一阶常微分方程解法的总结.docx

实用标准文案

第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程：

①、形如dy

f ( x)

g ( y) dx

当 g( y)

dy

f (x)dx ，两边积分即可得到结果；

0 时，得到

g( y)

当 g( 0 )0 时，则 y(x)0 也是方程的解。

例 1.1、dy

xy dx

解：当 y

dy x2

0时，有xdx ，两边积分得到 ln y C (C为常数 ) y2

x2

所以 y C1 e 2(C1为非零常数且

C1e C )

y0 显然是原方程的解；

x2

综上所述，原方程的解为y C1e 2(C1为常数 )②、形如 M ( x) N ( y)dx P(x)Q ( y)dy0

当 P( x) N ( y)

M (x)Q( y)

0 时，可有dx dy ，两边积分可得结果；

P(x)N ( y)

当 N ( y0 )0 时， y y0为原方程的解，当P(x0）0 时， x x0为原方程的解。例 1.2 、x( y21)dx y( x21) dy0

解：当 ( x21)( y21)0时，有y dy x dx 两边积分得到

1y 2x21

ln x21ln y 21ln C(C 0) ，所以有( x21)( y21) C (C 0)；

当 ( x21)( y21)0 时，也是原方程的解；

综上所述，原方程的解为( x21)( y21) C (C为常数 ) 。

⑵可化为变量可分离方程的方程：

dy y

①、形如g( )

实用标准文案

解法：令 u

y

，则 dy

xdu

udx ，代入得到 x

du

u g(u) 为变量可分离方程， 得到

x

y

dx

f (u, x, C ) 0

(C 为常数 ) 再把 u 代入得到 f (

, x,C) 0 (C 为常数 ) 。

x

dy

G (ax by), (ab 0)

②、形如

dx

adx du

1 du a

解法：令 u

ax

by ，则 dy

G(u) 为变量可分离方程，

b ，代入得到

b dx

b

得到 f (u, x,C )

0 (C 为常数 ) 再把 u 代入得到 f (ax by, x,C ) 0 (C 为常数 ) 。 ③、形如

dy

f (

a 1

x

b 1 y

c

1 )

dx

a 2 x

b 2 y

c 2

a 1

b 1

dy

G (ax

by) ，下同①；

解法：1、

b 2

0 ，转化为

a 2

dx

20

a 1

b 1

0 ，

a 1x

b 1 y

c 1 0 的解为 (x 0 , y 0 ) ，令

u x x 0 、

b 2

a 2 x

b 2 y

c 2

v y y 0

a 2

v

得到，

dv

f ( a 1u b 1v

f (

a 1

b

1 u g v ) ，下同②；

du

a 2u

b 2v )

a 2

b 2 v ) ( u

u

还有几类： yf ( xy)dx xg( xy)dy 0,u xy

x 2

dy

xy

dy

xf (

y y

f ( xy), v dx

x 2 ), w

x 2

dx

M ( x, y)( xdx

ydy) N ( x, y)( xdy ydx) 0, x r cos , y r sin

以上都可以化为变量可分离方程。

dy x y 5

例 2.1、

x

y

2

dx

解：令 u

x

y 2 ，则 dy

dx du ，代入得到 1

du u 7 ，有 udu 7dx

dx

u

所以

u

2

(C 为常数 ) ，把 u 代入得到（ x

2

7x

C

y

2） 7x C (C 为常数 ) 。

2

2

例 2.2 、

dy

2x y 1

dx

x 2 y 1

实用标准文案

2x y10x 1

u x

1

dy 3

，令3

解：由

2 y10得到，有

x1v y1dx

y

3

3

dv2u v 2

v v

，有 dv

u，令 t tdu udt ，代入得到

du u 2v12v u

u

得到，du12t

dt

d (1t t 2 )

，有 ln u

ln( 1t u22t2t 22(1t t 2 )2

所以有u

C1

，C1e x

1

1t 2

(C ) ，故代入得到

t3

y

1

x

（3 ）、一阶线性微分方程：

一般形式： a（1x) dy

a0 ( x) y h( x)

dy dx

P(x) y Q(x)

标准形式：

dx

解法： 1、直接带公式：

y Ce P( x)dx P ( x) dx P (x )dx

e

P( x) dx

e

e e Q( x)dx(

2、积分因子法：

y(x) 1 [(x)Q ( x)dx C ] ，P ( x) dx

( x) e

(x)

dy

P( x) y Q( x) ，y( x0)y0

3、 IVP：

dx

x x t dv

，代入得到

du

t u

dt

2t，化简

du12t

t 2 )

C (C为常数 ) ，

C1,(C

10)

2

1 1

y

3 3

1 1

x

33

P( x) dx

Q (x)dx C )

t

P (s) ds x P ( s)ds P (s)ds x P (s) ds y e x0( Q (t)e x0dt y0 )y0e x0Q(t )e x0dt

x0x0

例 3 、(x 1)dy ny e x ( x1) n 1

dx

dy n n

解：化简方程为：y e x ( x1) n，则 P(x), Q(x)e x (x 1)n ;

dx x1x1

( x)e P ( x )dx

n

dx

( x 1)-n

代入公式得到e x 1

(C为常

(4)、恰当方程：

形如 M ( x, y)dx N (x, y)dy 0, G ( x, y), s.t. dG M ( x, y)dx N (x, y)dy 解法：先判断是否是恰当方程：

如果有

M ( x, y)N ( x, y)

y x

恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个

G ( x, y), s.t G (x, y)M ( X , y),G( x, y)N ( x, y) ,

x y

有 G ( x, y)C,(C为常数 ) ；

例 4、(3x26xy2 )dx(6x2 y 4 y3 )dy0

解：由题意得到，M (x, y) 3x26xy2 , N ( x, y) 6 x2 y 4 y 3

由M

12xy

N

y

得到，原方程是一个恰当方程；

x

下面求一个 G ( x, y), s.t G( x, y)M ( X , y),G (x, y)N (x, y)

x y

由G( x, y)M ( X , y)3x26xy2得G ( x, y)x33x2 y 2( y) ，两边对y求偏x

导得到G 6 x2 y( y) 6 x2 y 4 y3，得到( y)4y3，有 ( y)y4，y

故 G ( x, y)x33x2 y 2y4，由dG0 ，得到

x3x 2 y 2y4C

, (C为常

数

)

3

(5)、积分因子法：

方程 M ( x, y)dx N (x, y)dy 0,( x, y), s.t . MdxNdy 0是一个恰当方程，那么称 (x, y) 是原方程的积分因子；积分因子不唯一。

M N

①当且仅当y x( x)dx N

(x) ，原方程有只与x有关的积分因子，且为( x, y) e，( x, y)

M N

②当且仅当y x

( y) ，原方程有只与y 有关的积分因子，且为( x, y)e

( y) dy M

，

两边同乘以( x, y) ，化为恰当方程，下同(4) 。

例 5.1 、(e x3y 2 )dx2xydy0

解：由 M ( x, y)e x3y2 , N (x, y)2xy得M N 6 y 2 y 4 y，且有

y x

M N

2

dx

y x( x)2x 2，原方程两边同乘 x2

，有 (x, y) e x，得到N x

x2 (e x3y 2 )dx 2x3 ydy0, 化为 d (( x22x2)e x x3 y 2 )0，得到解为

( x22x2)e x x3 y2C, (C为常数 )

例 5.2 、ydx(x y3 )dy0

解:由题意得到，M x y y

,N x

,

y

)(

x y3

)

，有M N1(1) 2

( ,)(y x

M N

2

y x2( y )dy dy

y22

( y)，有 ( x, y)e e y，原方程两边同乘y，得有

M y

到 dx(x y)dy d ( x

y 2)0 ，得到原方程的解为：

y y 2y2

x y 2

C,(C为常数 )

y2

(6)、贝努力方程：

形如dy

P( x) y Q( x) y n,

dx

n) y n dy ，代入得到

du

解法：令 u y1 n，有 du (1(1 n) P(x)u(1 n)Q( x) ，下

dx

同（ 3）

例 6 、dy

6y xy2 dx x

解：令 u

y 1 ，有 du

y 2

dy ，代入得到

du

6 u x ，则 P( x)

6

,Q( x) x ，

dx

x x

P( x )dx

6

[ x 6

xdx

x 2

C

6 , (C 为常数 ) ，把 u

有

( x) e

x 6

， u(x) x

C ]

代入

8

x

得到 1

x 2

C

6 ,(C 为常数 ) .

y

8

x

(7) 、一阶隐式微分方程：

一般形式： F ( x, y, y ) 0 ，解不出 y 的称为一阶隐式微分方程。

下面介绍四种类型：

(1) y f ( x, y ) ( 2) x f ( y, y )

(3) F ( x, y ) 0 (4) F ( y, y )

①、形如 y

f ( x,

dy

) ，

dx

一般解法：令 p

dy y

f ( x, p) ，两边对 x 求导得到 p

f f dp ，代入得到

x

，这是

dx

p dx

关于 x ， p 的一阶线性微分方程，仿照 (3) ，

1 、得出解为 p

(x, C), C 为常数 ，那么原方程的通解为

y f (x, ( x, C )), C 为常数

2 、得出解为 x

( p,C ), C 为常数 ，那么原方程的通解为

x ( p, C)

y

, C 为常数

f ( ( p, C ), p)

3 、得出解为

( x, p, C ) 0, C 为常数 ，那么原方程的通解为

( x, p, C ) 0

, C 为常数

y f ( x, p)

②、形如 x

f ( y,

dy

)

dx

一般解法：令 p

dy

，代入有 x f ( y, p) ，两边对 y 求导，得到 1 f

f dp ，此方

dx

p y

p dy

程是一阶微分方程， 可以按照以上 (1) — (5) 求出通解 ( y, p,C )

0,C 为常数 ，那么原方程

的通解为

( y, p, C) 0

, C 为常数

x f ( y, p)

③、形如 F ( x, y )

一般解法：设

x

(t ) , (t 为参数 ) ， dy y dx

(t ) (t) dt

，两边积分得到

y

(t )

y (t ) (t) dt C, C 为常数 ，于是有原方程的通解为

y

(t ) (t) dt C , C 为常数

x (t)

④、形如 F ( y, y )

y (t )

y dx 得

(t)dt

(t )dx ， 有

一般解法：设

y

,(t 为参数 ) ， 由 关 系 式 dy

(t )

dx

(t)

dt ，两边积分得到 x

(t) dt C ， C 为常数 ，于是

有

(t)

(t)

(t )

x

(t)

dt C

， C 为常数

y

(t )

例 7.1 xy 3

1 y

解：令 p

y ，得到 x

1 p

，两边对 y 求导，得到 1 (

1

3(1 p) ) dp ，

p 3

p p 3

p 4 dy

有 dy

(

2

3 2

3

C ,C

为常数 ，于是通解为

2

3 )dp ，得到 y

2

p

p

p 2 p

x 1 p

p 3

，C 为常数

2

3

C

y

2 p 2

p

例 7.2

y

y 2 e y

解：令 p

y ，得到 y

p 2 e

p

，两边对 x 求导，得到 p ( p

2

2 p)e p

dp

，有

dx

dx ( p 2) e p dp ，两边积分得到 x ( p 1)e p C ,C 为常数 ，于是通解为

x ( p 1)e p C , C 为常数 y

p 2e p

例 7.3 x 2

y 2 1

解：设

x cost , 有 dy y dx sin t (

cos 2t

1

y

sin t sin t )dt

dt ，所以

2

y

sin 2t t

C, C 为常数

4

2

于是通解为

y sin 2t t

C

, C 为常数

4 2

x cost

例 7.4

y 2 (1 y 2 ) 1

y sin t

dy sin t

1

dt dt

解：设

y

1 , 有 dx d( tan t) ，所以

cost

y

cos 2 t sin t

cos 2 t

x tan t C, C 为常数

于是通解为

x

tan t C

1

, C 为常数

y

cost

(8) 、里卡蒂方程：

一般形式：

dy

P x y 2

Q x y

R x

)

dx ( )

( )

(

1

dy dy 0 1 dz 一般解法：先找出一个特解

y 0 (x) ，那么令 y

y 0

，有

dx

dx

2

，代入原方

dy 0

z z dx

1 dz

P( x)( y 0

1

2

Q(x)( y 0

1

R( x) ，

程得到

z 2

dx )

)

dx z z dz

(2P(x) y 0 Q(x)) z P( x) 0 ，为一阶线性微分方程，解出

化简得到

dx

z( x)

( x, C ),C 为常数

那么原方程的通解为

y

1

,C 为常数

y 0

(x,C )

例 8 x 2 y ( xy 2) 2

解：我们可以找到一个特解

y 0

1

，验证： y 0

1 x x

2

，代入满足原方程。

令 y

1 1 ， y 1

1 dz

，代入有 x 2

( 1

1

dz

) (x(

1 1

) 2) 2 0 ，

x z

x 2

z 2 dx

x 2

z 2 dx

x z

化简得到，

dz

2 z

1

2 dx x C

e

x

dx

1，所以有 z( x)2 [

C ]

x 2 , C 为常数

dx

x

e

x

dx

3

所以原方程的解为

y

1 1

或

1

x

x , C 为常数

y

C x

3

x 2