成比例线段同步练习及答案
成比例线段同步练习及
答案
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
成比例线段 ◆随堂检测 1、如图,格点图中有2个三角形, 若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则AB =BC = ，
DE = ，EF = ，计算DE
AB = ，EF
BC = ，我们会得到AB 与DE 这两条线段的比值与BC ，EF 这两条线段的比值 （填相等或不相等），即
DE AB ＝EF
BC ，那么这四条线段叫做 ，简称比例线段． 2、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例
（1）a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm;
（2）a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm.
3、已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a =3㎝，b =2㎝，c =6㎝，
求线段d 的长.
4、已知d
c b a ==3，b b a -=
d d c -成立吗 5、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少
◆典例分析
6、已知a b b c c a k c a b
+++=== ，求k 是的值． 分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把
a +
b +
c =0这种情况漏掉.
点评：在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.
◆课下作业
●拓展提高
1、下列各组中的四条线段成比例的是( ) =2，b =3，c =2，d =3 =4，b =6，c =5，d =10
=2，b =5，c =23，d =15 =2，b =3，c =4，d =1
2、若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c
c b
d d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 3、若2x －5y =0，则y ∶x =________，
x y x +=________. 4、若53=-b b a ，则b
a =________. 5、已知a ∶
b ∶
c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.（1）求a ,b ,c ;（2）求4a －3b +c 的值..
6、在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15 cm ，AC =10 cm ，且BD ∶DC =AB ∶AC ， BD －DC =2 cm ，求B C.
7、现有三个数1，2，2，请你再添上一个数写出一个比例式 .
●体验中考
1、（2008年泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离
为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ．
2、（2009年台湾） 某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7.若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何 （ ）
(A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。
参考答案：
随堂检测：
2.（1）b a =2，c d =2，则c
d b a =，所以a 、b 、d 、c 成比例.
（2）由已知得ab ≠cd ,ac ≠bd ,ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例.
3.因为a 、b 、c 、d 是成比例线段，所以有
d
c b a =，即 23=
d 6，解得：d =4 所以线段d 的长为4 cm . 4.由d c b a ==3,得a =3b ,c =3d .所以b b a -=b b b -3=2,d
d d d d c -=-3 =2，因此d
d c b b a -=-. 5.根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000，因此，矩形运动场的长是2×8000=16000（cm ）=160（m ），矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ），所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m ,宽为80 m .
拓展提高：
5．解：（1）设a =4k ,b =3k ,c =2k .∵a +3b －3c =14,
∴4k +9k －6k =14,∴7k =14,∴k =2,∴a =8,b =6,c =4.
（2）4a －3b +c =32－18+4=18.
7. 比例式不惟一,如2
2，1，2，2成比例；12 2，2也成比例. 体验中考：
1. 100m
解：设两地之间的实际距离为x ， 则：15,20005200010000100x x cm m
==?==
2019届九年级数学上册第四章图形的相似4.1成比例线段第2课时知能演练提升新版北师大版
4.1 成比例线段 第二课时 知能演练提升 ZHINENG YANLIAN TISHENG 能力提升 1.已知,则下列式子正确的是() A.B. C.D. 2.已知,则a+b+c的值为() A.B.C.12 D.6 3.若,设A=,B=,C=,则A,B,C的大小顺序为() A.A>B>C B.A 8.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足,a+b+c=12. (1)试求a,b,c的值; (2)判断△ABC的形状. 创新应用9.已知a,b,c,d是非零实数,满足,且x=,求x的值. 答案： 能力提升 1.C 2.D 3.B 4.D 5. 6. 7.解当a+b+c≠0时,由=k, 得a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak, 即2(a+b+c)=(a+b+c)k,此时k=2; 当a+b+c=0时,有a+b=-c,则=-1, 此时k=-1.综上可知,k的值是2或-1. 8.解 (1)∵,∴,即. 又a+b+c=12,∴,即=3,解得a=5. 由=3,解得b=3,c=4. (2)∵32+42=52,即b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形.创新应用 9.解∵, ∴-1=-1=-1=-1,∴. 分两种情况: ①当a+b+c+d=0时, x= ==1; ②当a+b+c+d≠0时, 设=k, 则k= ==3, ∴a+b+c=3d,a+b+d=3c,a+c+d=3b,b+c+d=3a, ∴x= ==81. 综上可知,k的值为1或81. 欢迎您的下载，资料仅供参考！ 图形的相似和比例线段--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 是a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1.（2014?甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值． 【答案与解析】解：设===k， 则a=2k，b=3k，c=5k， 所以===． 相似形与比例线段 【放缩与相似形】 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 【比例线段】 线段的比：在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。即两条线段的长度的比。 如：线段a 与b 的比，记作b a （或a ： b ），若b a ＝3 1，则说明a 是b 的3 1，b 是a 的3倍。 比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也 称这四条线段成比例。在ab=cd 中，a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。 如果a ∶b =c ∶d ，那么ad=cb 。特别地，若a ∶b=b ∶d ，即c=b ，则b 叫a ，d 的比例中项，b 2=ad 。常用这种变形方式转化字母间的关系： ①d c b a =，②d b c a =，③a c b d =，④a b c d =，⑤b a d c =，⑥c a d b =，⑦b d a c =，⑧c d a b =。 合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= 等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 比例尺：比例尺＝实际距离 图上距离，即图上距离＝实际距离×比例尺。 黄金分割如果点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC 2=BC ·AB ，那 么称线段AB 被点C 黄金分割。其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其准确值为2 15-，近似值为0.618。 【三角形一边的平行线】 三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B 初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2（附答案详解） 1．已知线段2a cm =，8b cm =，它们的比例中项c 是（ ） A ．4cm B ．4cm ± C ．16cm D ．16cm ± 2．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．1、2、2、3 B ．1、2、3、4 C ．1、2、2、4 D ．3、5、9、13 3．如果a ：b ＝3：2，且b 是a 、c 的比例中项，那么b ：c 等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．2：3 D ．3：2 4．下列四条线段能成比例线段的是（ ） A ．1，1，2，3 B ．1，2，3，4 C ．2，2，3，3 D ．2，3，4，5 5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ） A 51- B ．5 C 35- D 56．已知线段a=2，b=8，线段c 是线段a 、b 的比例中项，则c=（ ） A ．2 B ．±4 C ．4 D ．8 7．若23 a b =，则32a b a b -+的值是（ ） A ．75 B ．23 C ．125 D ．0 8．以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2,3,4,6cm cm cm cm B ．2,4,6,8cm cm cm cm C ．3,4,5,6cm cm cm cm D ．4,6,6,8cm cm cm cm 9．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d =； ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB ．BC 的比例中项； ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则5． 其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图,线段1AB =,点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <),点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP <),点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <),..,依此类推,则线段 相似三角形知识点 一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段 大线段 小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。 例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理） 学生做题前请先回答以下问题 问题1：若四条线段a，b，c，d是成比例线段，则___________． 问题2：比例的性质： ①基本性质：若_______________，则__________________； 若ad=bc（a，b，c，d都不等于0），则_________________． ②等比性质：若______________，则_______________，其中_______________________．问题3：平行线分线段成比例： 三条平行线截两条直线，所得的_______________的比相等． 推论：_____________________________________________． 问题4：黄金分割： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_____________，那么称线段AB被点C_________， =________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点． 问题5：形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示____________的字母写在对应的位置上． 问题6：相似多边形： _________________、_________________的两个多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________． 问题7：相似三角形： _________________、_________________的两个三角形叫做相似三角形． 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 相似图形及成比例线段 一、单选题(共15道，每道6分) 1.已知a，b，c，d是成比例线段，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则线段a的长是( ) A.1cm B.4cm C.5cm D.9cm 答案：A 解题思路： 教学过程 一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3；—4：6=—4 6=— 2 3； 2 —3= —4 6，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b= c d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。 三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝ 是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。 a c a k b c k d b d b d ++=?=考点2 比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则 b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。 第一讲 相似三角形——相似与比例线段 第一课时 一．放缩与相似 1. 相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。 2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征 ∠A' =∠A ; ∠B'=∠B ; ∠C' =∠C BC C B AC C A AB B A 1 11111===K (2) 相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。 【典型例题】 1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为 千米。 【同类变式】 2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得?ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际?A'B'C'的周长是多少米？ 3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个 （1）有一个角是100o 的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o 的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。求矩形ABCD 的面积。 7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。 8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 二．比例线段 (1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b 或 b a 。 (2) 比例线段：在四条线段a b c d 中，其中两条线段a, b 的比等于两条线段c,d 的比, 即 d c b a =，那个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c d 叫做成比例的项。 (3) 比例外项，比例内项，第四比例项 (4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例中项。 ★比例的性质 (1) 比例的基本性质 d c b a = ad =b c (运用等式的基本性质) 特别地，a:b =b:c ，那么b 2=ac ,反之亦然 (2) 合比,分比性质 27.2.1相似三角形--平行线分线段成比例定理 一.基础题 1.如下左图⊿ABC 中,MN ∥BC,则BM:CN=AM: ;AB:AM= :AN; MN: =AN:AC. 2.如下中图已知DE ∥BC ，EF ∥AB;AD:DB=2:3,BC=20cm 则BF= . 3.如上右图平行四边行 ABCD ，E 为BC 上一点，BE ：EC=2：3，AE 交B 于F 点，则____=AD BE ，____=FD BF . 4、如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 中点，AE 与DF 交于H ，则AF:HE ＝________。 5、如图，AB∥BE∥CF，BC ＝3，，则AC ＝________。 6、如图，DE 是△ABC 的中位线，且DE ＋BC ＝6，则BC 长为________。 7、如图，△ABC 中，点P 在BC 上，四边形ADPE 为平行四边形，则＝________。 8、如图，△ABC 中，X 是AB 上一点，且AX ＝2XB ，XY∥BC，XZ∥BY，则AZ:ZC ＝________。 二.选择题 9.如下左图⊿ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（ ） A. AD ：AB=AE ：AC B. AD ：DB=AE ：EC C. AD ：DB=DE ：BC D. AD ：AB=DE ：BC 10.如下中图DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：FC BF EC AE =，BC AB BF AD =，BC DE AB EF =，BF EA CF CE =，其中正确的比例式的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11.如下右图AB 是斜靠在墙上的长梯，梯角B 距墙1.6m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为（ ） B M A N C E F B C D A A E D B C F 课后作业 一、选择题 1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知32=b a ，则b b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)5 3 5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3 6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米 8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm 9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AE AC ，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC 10.若b a c a c b c b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)2 1 (C)1 (D)- 12 二、填空题 1.若4x=5y,则x ∶y ＝ . 2.若 3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶x x z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么b b a +＝ . 5.若b a ＝d c ＝f e ＝3，且b+d+ f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝2 3，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm. 则AB+BC+AC ＝ . 27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例 一、教学目标： 知识目标 理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 情感态度与价值观 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 二、重、难点 重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程 1、复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段？ （2）什么是相似多边形？ （3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2: 3？ 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 2、小组活动，探究定理 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线于 A1， A 2，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。 （）计算 1212 2323 , A A B B A A B B 你有什么发现？ （）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别 为A 2 ， B 2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ (图2） （３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动， 达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。 效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格 中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。 2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？ 2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 相似图形及成比例线段（习题） ?例题示范 例1：一木匠要用一根长6米的木材做一个矩形窗框，要想给人带来的视觉最美，则窗框的长和宽分别是________________（精确到0.01米）．解：设矩形长为x m， 由题意，宽应为 1 ) 2 x m． 2()6 x x= 解得：x = 1) 1.85 2 ≈ 3-1.85=1.15 m ∴窗框的长为1.85 m，宽为1.15 m． ?巩固练习 1.在比例尺为1:6 000 000的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7厘 米，则海口与三亚的实际距离约为_______千米． 2.若 273 562 x y z +++ ==，且x+y+z=14，则 y z x z - + =______． 3.已知b c a c a b k a b c +++ ===，求k的值． 4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E， B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 c b a n m F E D C B A 5. D A E 6. 如图，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点 D ， E ， F ，已知AB =EF ，AC =6，DE =1，则EF 的长为__________． n m F E D C B A 7. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ，若AD =2BD ，则CF BF =________． F E D C B A 8. 如图，在正五角星中，C ，D 两点都是AB 的黄金分割点，已知AB =1，求CD 的长． 线段的比（一） 基础知识： 1．两条线段的比就是两条线段 的比. 线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为 2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺 A 、 B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比 为 3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a ,那么这四条线段a ,b , c ,d 叫做成比例线段，简称 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？ （1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm （2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm 课堂学习： 1.两条线段的比的概念 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把 n m 表示成比值k ，则CD AB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？ 巩固练习： 在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米? 归纳与小结： 1、（1）度量两条线段的必须统一 （2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关 （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是 2. 比例线段的概念 四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =,那么这四条线段a ,b , c , d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）. 如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么 d c b a =或a ∶b = c ∶ d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、 d 为外项，c 、b 为内项. 【 例2】 （杭州市）已知：1、 、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例 式 ． 分析：这是一道多种答案的开放性创新题 巩固练习 1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______． 2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？ 归纳与小结： （1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 . （2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a = 或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的 比例中项. 小结： 1.两条线段的比的概念 2.比例线段的概念 练习： 图形的相似和比例线段--知识讲解（提高） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n， 或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是 全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1. 求证：如果，那么. 【思路点拨】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明. 【答案与解析】∵， 在等式两边同加上1， ∴， ∴． 一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3 ；—4：6=— 4 6 =— 2 3 ； 2 —3 = —4 6 ，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b = c d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。 三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如 d c b a ＝是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。 a c a k b c k d b d b d ++=?=比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。 教师： 学生：_______ 时间:2013年 月 日 时间 相似三角形知识点整理 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）： 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 龙文教育个性化辅导授课案 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理） b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质 初三数学相似三角形典型例题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 第一讲相似三角形一一相似与比例线段 第一课时 一.放缩与相似 1.相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。 2.相似形的特征 (1)相似三角形的特征 .■1川凸弋丿萨“弋’* ZA' = ZA ; ZB'= ZB; ZC' = ZC AB AG AB AC BQ =K BC (2)相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。【典型例题】 1.如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm，那么长春到大连的实际距离为 __________ 千米。 【同类变式】 2.在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得？ABC的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm, 求这个图纸所反映的实际？A'B'C'的周长是多少米？ 3.某两地在比例尺为1:5000000 的地图上的距离是30cm，两地的实际距离是多少？如果 5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6. E 、F 分别为矩形 ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1 。 求矩形 ABCD 的面积。 7. 在相同时刻的物高和影长成正比例， 如果在某时， 旗杆在地面上的影长为 10m 此时身高 是1.8 米，小明的影长是 1.5 米，求旗杆的高度。 8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不 相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 在该地图上 A 地（正方形场地）面积是 4. 下列说法正确的有（ ）个 （1 ）有一个角是 100o 的等腰三角形相似 （3 ）所有的等腰直角三角形相似 （5 ）所有的矩形都相似 A ．2 个 B. 3 个 3cm 2 ,问该地实际面积是 __________ （2）有一个角是 80o 的等腰三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （ 6 ）所有的正方形都相似 C. 4 个 D. 5 个图形的相似和比例线段--知识讲解(基础)
相似形和比例线段(一)
初三数学《相似三角形》知识点归纳
相似三角形知识点归纳(全)
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)
相似三角形及黄金分割
相似图形及成比例线段(含答案)
相似三角形——比例线段
第一讲：相似三角形——比例线段
对应线段成比例
相似三角形之比例线段
【教案】 相似三角形及平行线分线段成比例(2)
相似图形及成比例线段(习题)
相似及对应线段成比例
图形的相似和比例线段--知识讲解(提高)
相似三角形-比例线段
相似三角形比例线段及判定
初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)
第一讲：相似三角形——比例线段