广义积分
第九章 广义积分习题课
一、主要内容 1、基本概念
无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法
Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。
3、广义积分的计算
4、广义积分与数项级数的关系
5、广义积分敛散性的判别原则和程序
包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：
1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。
3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子
下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。
例1 判断广义积分?+∞+=0q
p x x dx
I 的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记?+=101q
p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx
I
对1I ，先讨论简单情形。
q p =时，1
q p ≠，不妨设q p <，则?
-+=1
1)
1(p
q p x x dx
I ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。0>p 时，由于 1)
1(1
lim 0
=+-→+
p q p p
x x x x
因此，1I 与-p 积分同时敛散，即1
因此，对1I ，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。 上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}13
时发散。
对2I ，类似可以讨论，即 q p =时，1>p 时收敛，1≤p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则?
+∞
-+=1
2)
1(q
p q x x dx
I ，由于 1)
1(1
lim =+-+∞
→q p q q
x x x x
因此，2I 与-p 积分同时敛散，即1>q 时收敛，1≤q 时发散。
此时，广义积分2I 的敛散性完全由分母中的高阶项决定。 上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}1￡
时发散。
综上：p q q p <<<<11或时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1 例2 讨论21sin()m x x I dx x +∞ +=?的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。 分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。 解：先分析绝对收敛性，由于 1s i n () 1| |m m x x x x +≤， 故，m>1时，广义积分绝对收敛。 当01m <≤时，利用配因子法验证积分片段的有界性， 2222A 2221111|sin()||(1)sin()|11 1 |sin()()|A A A x dx x dx x x x x x d x dx M x x x +=-++≤+++≤???? 由Dirichlet 判别法，广义积分收敛。 由于 2111s i n ()2s i n ()1c o s 2() 2||m m m x x x x x x x x x ++-+≥≥， 而类似可以证明21cos 2()m x x dx x +∞+?收敛，21m dx x +∞?发散，因而，21 |sin()|m x x dx x +∞ +?发散，故01m <≤时，广义积分条件收敛。 注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。 注、不能将积分分成如下两部分 21s i n ()m x x I d x x +∞+=?＝22sin 1cos 1cos sin m m x x dx dx x x x x +∞+∞+??， 通过右端两部分的收敛性得到I 的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。 例3 讨论dx x x I m ?+∞+=0) 1ln(的敛散性。 分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln （1＋x ）的当0x +→和x →+∞时的性质，进行阶的比较。 解、记dx x x I m ?+=101)1ln(，dx x x I m ?+∞+=12) 1ln(。 对1I ， 由于 1) 1ln(lim 1 =+-→+ m m x x x x ， 故，当11m - <，即2m <时，1I 收敛；当2≥m 时，1I 发散。 对2I ， 利用已知的结论：0) 1ln(lim , 0=+>?+∞→εεx x x ，则 ???≥∞+<==++∞→m p m p l x x x m p x , , 0) 1ln(lim ， 当1>m 时，取p 使得m p <<1，则 0) 1l n (l i m =++∞ →m p x x x x 故2I 收敛。 当1≤m 时，取1=p ，则 +∞=++∞ →m x x x x ) 1ln(lim 故2I 发散。 因而，当21< sin 2x e x I dx x l +? = ò 的敛散性，其中0l >。 分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel 判别法或Dirichlet 判别法。 解：记 dx x x e I x ?=1 0sin 12sin λ， dx x x e I x ?∞+=1sin 22sin λ 对1I ，当2 i.e , 11<<-λλ时， e x x e x x x 22s i n l i m s i n 1 =-→+ λ λ 故，1I 收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。 当2 i.e , 11≥≥-λλ时， e x x e x x x 22s i n l i m s i n 1 =-→+ λ λ 故，1I 发散。 对2I ，由于 λ λx e x x e x ≤2sin sin ， 故当1>λ时，2I （绝对）收敛。 当10≤<λ时，由于，对任意1>A ， 222s i n s i n 1s i n 1 s i n ≤=? ? dt te dx x e A t A x 且 当+∞→x 时，λx 1 单调递减趋于0，由Dirichlet 判别法，2I 收敛。 又，此时 ?? ????-=≥≥---λλλλλx x x e x x e x x e x x e x 4c o s 122s i n 2s i n 2s i n 1211s i n 且?? ∞∞ ＋＋发散，11 4cos 1dx x x dx x λλ收敛，因此，λλx e dx x x e x ≤?∞+2sin sin 1发散。 因而，当10≤<λ时，2I 条件收敛。 综上，条件收敛时绝对收敛；时，I I ,1021≤<≤<λλ；发散。时，I 2≥λ 例5 讨论?+∞ =0sin dx x x I q p 的敛散性，其中p 、q 非负。 分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子q x sin ，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技巧是先易后难。 解、先考虑最简情形：0=q 时的情形。 记?=1 1)(dx x p I p ，?+∞ =1 2)(dx x p I p ，此时，)(1p I 、)(2p I 分别是无界函数 和无穷限广义积分，因此，1->p 时，)(1p I 收敛；1-≤p 时， )(1p I 发散；而对2I ，1- 当0≠q 时，令q x t =，q q p -+= 1α，则 t d t t q I q q p s i n 1 1? ∞ +-+= ＝ ???? ??+??+∞110sin sin 1tdt t tdt t q α α 对?=1 01sin tdt t I α ，由于 1sin lim 1 0=+→+ααt t t t ，故1I 与dt t ?+101 α同时敛散。因而，2 , 1)1(-><+-ααie 时，1I （绝对）收敛；2-≤α时，1I 发散。 对?+∞ =1 2sin tdt t I α，由于ααt t t ≤sin ，故，1-<α时，2I 绝对收敛；当 01<≤-α时，由Dirichlet 判别法，2I （条件）收敛。 当0≥α时，利用周期函数的积分性质，则 ?? =≥+π π ππ α0 222sin sin tdt tdt t n n 因而，由Cauchy 收敛准则，2I 发散。 综上：0=q 时，I 发散；0≠q 时， 01 1<+< q p －时，I 绝对收敛； 110<+≤ q p 时，I 条件收敛； q p 1 1+≤ 时，I 发散。 注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要矛盾。 注、也可以用配因子法处理。 下述的例子用阶的分析法。 例6 讨论dx x x I ? ∞+-?? ? ???--=0 31 1)sin 1(的敛散性。 分析 首先将积分分段处理，记dx x x I ??? ? ???-- =-1 031 11)sin 1( ，dx x x I ? ∞ +-?? ? ???--=1 31 21)sin 1(。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。对1I ，分析奇点附近被积函数的阶。由于 )(! 31s i n , )(!3sin 223 3x o x x x x o x x x +-=+-=， 因而，1 2 33sin (1)x x x ---:，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。 对2I ，对被积函数作阶的分析，由于x 充分大时sin 1x x <<，因此，利 用函数展开理论得 )(01)1(2x x x ++=+αα , )1,1(-∈x ， 由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。 解、记dx x x I ???????-- =-1 03111)sin 1( ，dx x x I ?∞+-?? ? ???--=131 21)sin 1(。 对1I ，利用L ’Hosptial 法则， 20 s i n 11l i m 6 x x x x + ?-=， 因而， 21 1 3 3 30 s i n 1l i m (1()6 x x x x + - -?-= ，故，1I 收敛。 对2I 由于 )1( , 1sin > x ，则 )sin (0sin 311)sin 1(2231 x x x x x x +=--- 其中 2 22 )sin ( 0x C x x ≤，因而221 sin )x o dx x ￥ ò ＋（收敛，又由于?+∞1 sin dx x x 条件收敛，故2I 条件收敛。 因此，I 条件收敛。 注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个有效的方法。 例7 dx x x x I ?∞ ++=11 cos ln )1 sin 1ln(βα （0>α）。 分析：这是无穷限广义积分，分析+∞→x 时被积函数的性质，此时 01 sin →αx ，故 αααx x x 1 ~1sin ~)1sin 1ln(+， 又 )1 (2111cos 32x o x x +-=，故 )1( 211ln(1cos ln 3 2 x o x x +- =21 ~x 所以 21~1cos ln )1sin 1ln(-++βαβ α x x x x ，证明过程就是验证上述函数关系。 解、由于 x x x x x x x x x x 1 c o s ln 11) 1 sin 1ln(lim |1cos ln |)1sin 1ln(lim 22-+=+?+∞→-++∞→α αβαβα 2c o s ln lim 1cos ln 1 lim 2 02=-=-=→+∞→t t x x t x 因而，I 与广义积分? +∞ -+1 2 1dx x βα同时敛散。故3>+βα时，I 收敛；3≤+βα时， I 发散。 下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。 例8 证明：设)(x f 、),[)(+∞a x g 在上连续，)(x g 单调且0)(12>≥≥C x g C ， 则? +∞a dx x f )(与? +∞ a dx x g x f )()(同时敛散。 证明：若?+∞ a dx x f )(收敛，由Abel 判别法，? +∞a dx x g x f )()(收敛。 若? +∞a dx x g x f )()(收敛，则 ? +∞ a dx x f )(＝? +∞ a dx x g x g x f ) (1 ) ()( 仍有)(1x g 单调且01 )(112 1>≥≥C x g C ，由Abel 判别法，则?+∞a dx x f )(收敛。 注、本命题结论非常简单，但命题中体现出来的思想非常有用。即在讨论广义积分的敛散性时，分析被积函数的结构，抓住主要因素，解决主要矛盾，略去次要因素，即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的广义积分讨论其敛散性。下面，通过一个例子，说明例8的作用。 例9 讨论dx x x x I q p ?∞ ++=1 1sin )0(≥q 的敛散性。 解、由于 q q p q p x x x x x x --+=+11sin 1sin , 由于 q x -+11 非负单调且21 111≥+≥-q x ，因此，利用例8的结论，其与dx x x p q ?+∞-1sin 同时敛散。因而，1>-p q 时绝对收敛；10≤- 发散。 下面一个结论与例8具有类似的思想。 例10 设函数f （x ）、g （x ）、h （x ）定义在[,)a +?上且对任意有限的实数A>a ，它们都在[a, A]上可积，证明：若 ()() ()f x g x h x ＃且广义积分 ? +∞ a dx x f )(、 ()a h x dx +? ò 都收敛，则()a g x dx +? ò 也收敛。 分析 题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。 证明：由所给的关系式，则 0()()()(g x f x h x f x ??， 由条件和广义积分性质，则 (()())a h x f x dx +? -ò 收敛，由比较判别法，则 (()())a g x f x dx +? -ò 收敛，由于()()()()g x g x f x f x =-+，再次利 用积分性质，则 ()a g x dx +? ò 收敛。 注、例10结论表明，对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分收敛性的又一思想。 注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似，但是，由于例8是一个等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8的结论比例10要好。 下面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。 例11 设f(x)>0且单调递减，证明? +∞a dx x f )(与2()sin a f x xdx +∞ ? 同时敛散。 证明：因为f(x)>0且单调递减，故lim ()x f x →+∞ 存在。 若lim ()x f x →+∞ ＝0，则由Dirichlet 判别法，()cos 2a f x xdx +∞ ? 收敛。由于 22 ()sin a f x xdx +∞ ?＝? +∞ a dx x f )(－()cos 2a f x xdx +∞? 故，? +∞a dx x f )(与2()sin a f x xdx +∞ ? 同时敛散。 若lim ()x f x →+∞ ＝b>0，此时?+∞a dx x f )(发散。 由极限定义，存在A>a ，使得x>A 时， ()02 b f x > > 故，取n 充分大，使得 222 4 A n A n A π π ππ'''=+>=+ >，则 21 ()s i n 8 A A f x x d x b π'' ' ≥? ， 故，2()sin a f x xdx +∞? 发散。因而，此时二者同时发散。 下面的例子用上述结论很容易处理。 例12 讨论2sin sin p x I dx x x +∞=+?的敛散性。 解、由于 2 s i n s i n s i n s i n (s i n ) p p p p x x x x x x x x x =- ++ 对12 sin p x I dx x +∞=? ，已知p>0时收敛，0p ≤时发散。为讨论222 sin (sin ) p p x I dx x x x +∞ =+? 的敛散性，注意到 2222 2 22sin sin sin sin 2sin 2(1)(sin )(1)p p p p p p p p x x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤≤++- 故，222 sin (sin ) p p x I dx x x x +∞ =+? 与2 22sin p x dx x +∞?同时敛散，由例11，又与221p dx x +∞?同时敛散，即12p > 时收敛，1 2p ≤时发散。 故，2sin sin p x I dx x x +∞=+?当12p >时收敛，1 2 p ≤时发散。 注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。事实上，和2sin p x dx x +∞ ? 作对比可以发现，分母上增加因子sinx ，深刻改变了其敛散性，使得收敛范围变小。这也反映了广义积分敛散性的复杂性。 注、例12也表明了因子sinx 的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子处在分母上时，其变号且非单调的性质起到了很大的作用，从而影响到了广义积分的敛散性。也可以通过与例9的结论对比发现这些差异，例9中，分母为 1~q q x x +，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx 起到了影响敛散性的 作用。 例13 若?+∞a dx x f )(收敛，)(x f 在),[+∞a 单调，则)1 ()(x o x f =)(+∞→x ， 即 lim ()0x xf x ? ? =。 分析 要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为（)+∞→x ， 即要控制当x 充分大时的xf （x ），而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积函数的无穷远处的行为有关的结论就是Cauchy 收敛准则，因此，建立二者的桥梁为Cauchy 收敛准则。因此，证明的关键就是如何从Cauchy 片段 ()A A f t dt ⅱ ￠ ò 中分离出xf （x ），因此，必须通过选择与x 有关的,A A ⅱ?达到目的，特别注意f （x ）可以由被积函数产生，即从积分号下把被积函数分离出来，而系数显然要通过积分限产生。 证明：设)(x f 单调递减，由? +∞a dx x f )(收敛，则0)(≥x f 。由Cauchy 收敛 准则，存在充分大00>A ，使得对任意012A A A >>，成立 2 1 ()A A f t dt e <ò ， 对任意02A x >，取 2 , 12x A x A = =，则 2 ()x x f t dt e <ò ， 利用函数的单调性，则， ε2)( 故，0)(lim =+∞ →x xf x 。 类例：若?1 )(dx x f 收敛，+∞== →)(lim 0 x f x ，则0)(lim =+∞ →x xf x 。 注、此结论比讲义中的结论更强。 注、作为最简单的广义积分――p －积分，揭示了广义积分收敛的本质，即+∞→x 时，被积函数趋于0的速度高于一阶时，广义积分收敛。本题说明： 在一定的条件下，上述条件还是必要的。 注、更进一步还有:若 ? +∞ a dx x f )(收敛，)(x xf 单调递减，则 0ln )(lim =+∞ →x x xf x 。事实上，对充分大的x ，由Cauchy 收敛准则， ??? =≥=>x x x x x x x x xf dt t x xf dt t t tf dt t f ln )(2 1 1)(1)()(ε。 结论说明，此时f （x ）趋于0的速度比1 ln x x 趋于0的速度还大。 注、成立更一般的结论：设 )(x f 在(0,1]单调，且1 ()p x f x dx ò 收敛， 则 1 lim ()0p x x f x + +?=。 例14 设若)(x f 在),[+∞a 上有连续导数且)(x f 单调递减趋于0（+∞→x ）， 证明? +∞ a dx x f )(收敛的充要条件是?+∞ 'a dx x f x )(收敛。 分析 从要证明的结论看，建立两个广义积分的联系的桥梁是分部积分法，即 ()()| ()A A A a a a f x dx xf x xf x dx ￠=- 蝌。从此关系式看，要证明结论关 键是解决极限 lim ()x xf x ? ? 的存在性。 证明：必要性。若? +∞a dx x f )(收敛，则由例13， 0)(lim =+∞ →x xf x ， 因而， ?? ? +∞ --→-='A a a A a A a dx x f a af dx x f x xf dx x f x )()()(|)()(， 故，?+∞'a dx x f x )(收敛。 充分性。由于0)(lim =+∞ →x f x ，下面利用?+∞ 'a dx x f x )(的收敛性研究极限 lim ()x xf x ? ? 的存在性，由于 ()()( ())( ())x x x x f x x f t d t x f t d t x f t d t +? ? ? ⅱ?= =-=-蝌 ? ? ?+∞ +∞'= '-≤x x dt t f t dt t f t )())(( 由?+∞'a dx x f x )(收敛，则0)(lim =+∞ →x xf x 。 又，同样成立 ?? -='A a A a A a dx x f x xf dx x f x )(|)()(， 因而 ? +∞ a dx x f )(收敛。 注、证明过程中，用到了结论：若 ()a f x dx +? ò 收敛，则 lim ()0A A f x dx +? ?? =ò 。 事实上，记 ()a f x dx +? ò ＝I ，则 l i m ()l i m [ ()] A A A A a f x dx I f x dx +? ? ギ +? = -=蝌。 例15 证明：若)(x f 在),[+∞a 上有连续导数且?+∞ a dx x f )(、? +∞ 'a dx x f )(都收 敛，则0)(lim =+∞ →x f x 证明：由收敛性定义，对任意a A >， ? +∞ 'a dx x f )(＝)]()([lim )(lim a f A f dx x f A a A A -='? +∞ →+∞→ 因而，)(lim x f A +∞ →存在，又? +∞a dx x f )(收敛，则必有0)(lim =+∞ →x f x 。 注、也可以用Cauchy 收敛准则证明。但本题采用定义证明更简单，因此既要掌握处理某一类型问题的一般原则，又要学会灵活应用。 注、此例还说明，对数项级数成立的收敛性的必要条件对广义积分并不成立，必须增加一定的条件才能保证其成立。 例16 证明：若非负函数)(x f 在),1[+∞单调减少，则? +∞1 )(dx x f 与数项级数 ∑∞ =1 )(n n f 同时敛散。 分析 本题要求在两种不同形式间进行比较，处理这类问题的思想方法是形式统一法，将积分转化为和式即?+∞ 1 )(dx x f ∑? ∞ =+=1 1 )(n n n dx x f ，由此看出，命题 的证明实际就是比较 ? +1 )()(n n dx x f n f 与的关系。 证明：由于0)(≥x f 且)(x f 在),1[+∞单调减少，故 ]1,[ , )1()()(+∈ +≥≥n n x n f x f n f 因而 ?? ? ++++=+≥≥=11 1 )1()1()()()(n n n n n n n f dx n f dx x f dx n f n f 故 ， ∑? ∑=++=≥≥n k n n k k f dx x f k f 1 1 1 1 2)()()(， 因而， ? +∞ 1 )(dx x f 与数项级数∑∞ =1 )(n n f 同时敛散。 例17设)(x f 在任意有限区间],[A a 上可积且0)(lim =+∞ →x f x ， A dx x f n a n =? +∞→)(lim ，证明： ? +∞ a dx x f )(＝A 。 分析 从条件和结论很发现证明的思路。 证明：由0)(lim =+∞ →x f x 和A dx x f n a n =? +∞→)(lim ， 则对任意0>ε，存在0>N ，使得当 N n N x >>和时， εε<- a A dx x f x f )( , |)(| 对任意1+>N M ，存在n N >，使得1n M n ?+，故 ? ??? -+-= -M a n a n a M a A dx x f dx x f dx x f A dx x f )()()()( ε εε2)()(|)(|≤+-≤-+≤??n M A dx x f dx x f M n n a 故，? +∞ a dx x f )(＝A 。 下面给出几个广义积分的计算题目。 关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用N-L 公式、分部积分、极限运算。技巧是选择合适的变量代换。 例18 （Frullani 积分）证明：若),0[)(+∞∈C x f 且对任意0>A ，广义积分 ? +∞ A dx x x f )(收敛，则 a b f dx x bx f ax f I ln )0()()(0=-=?+∞ 分析 解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用变量代换。事实上，已知的是积分形式 ? +∞ A dx x x f ) (，待计算的量是形式0 ()() f ax f bx dx x +? -ò ，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未 知的量联系起来。 证明：对任意的0>ε，则 dt t t f dx x ax f a ax t ??+∞=+∞ =εε) ()(； 同样，dt t t f dx x bx f b bx t ??+∞=+∞=εε)() (。因而， dx x x f dx x bx f ax f I b a ??++→+∞→=-=εεεεε) (lim )()(lim 00 利用积分中值定理， ?==+ →ε εεξb a a b f dx x f I ln )0(1)(lim 0 。 例19 证明：dt ab t f a dx x b ax f a )4(1)(0 2? ?+∞ +∞ +=+， 其中 0,0>>b a ，积分有意义。 分析 从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择一个合适的变换，使得ab t x b ax 42+=+ ，从这一关系式中可以发现，变换不 唯一。 证明：令t x b ax =- ，则 ab t x b ax 42+=+ 且dt ab t ab t t a dx ab t t a x 4421 ),4(21222 +++=++= ，故 dt ab t ab t t ab t f a dx x b ax f 44)4(21)(220 2 ++++=+? ?∞ +∞+∞- dt ab t ab t t ab t f a 44)4(][212202 0+++++= ??∞-∞+， 又 = ++++? ∞ -dt ab t ab t t ab t f 0 2 22 44) 4(dt ab t t ab t ab t f ? ∞ ++-++0 2 22 44) 4(， 由此可证明命题。 注、也可以取b ax t x -= ，此时1(2x t a = +。 例20 计算? +∞+=0 2 1ln dx x x I 。 分析 这类题目是无法直接计算出来的，常用的技巧是分段，选择适当的变量代换，在两个积分段之间寻找连续。 解、由于?? +-=+=∞ +1021 1 2 1ln 1ln dx x x dx x x x t ，而二者都收敛，故， ??+∞+++=12 1021ln 1ln dx x x dx x x I ＝0。 例21 证明? +∞ ++=0 2) 1)(1(1 dx x x I α )0(>α与α无关。 证明：由于?? ++= ++= ∞ +1 0211 2)1)(1() 1)(1(1 dt t t t dx x x x t αα α 因而 ???+∞+=+++++=110221 0211 )1)(1(1) 1)(1(1dt t dx x x dx x x I αα 故其与α无关。 下面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。 例22 设)(x f 在（0，1]单调，x=0为其奇点，广义积分1 0()f x dx ?收敛，证 明： 1 ()f x dx ? ＝1 1lim ()n n k k f n n →+∞=∑。 分析 与例16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。 证明: 设)(x f 在（0，1]单调递增，则 1 11()()()k k n n k k n n k f x dx f f x dx n n +-≤≤? ?, 因而，利用1 ()f x dx ?的收敛性，则 1 ()f x dx ? ＝1 1111111 ()()()(1)k n n n n k k k k n k k f x dx f f f n n n n n --===≤=+∑∑∑? 1 1 111 11 ()(1)()(1)k n n k k n n f x dx f f x dx f n n +-=≤+ =+∑? ?， 由此，命题得证。 注、由此可得 1 10 1ln ln 1lim lim lim n k k xdx n n n n n e e e e =-→+∞→+∞ →+∞ ∑ ?==== 即：!~n n n e n -。 例23 设对任意A>0，f(x)[0,]R A ∈且lim ()x f x a →+∞ =，证明： l i m ()tx t t e f x dx a +∞ -→=?。 分析 题目中所给的定量条件只有lim ()x f x a →+∞ =，为了利用这个条件，仍然 可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等价于 00 l i m (())0 tx t t e f x a dx +∞ -→-=?， 为利用条件，只需分段处理即可，即分别研究 0 (())A tx t e f x a dx --?、 (())(())tx y A tA y t e f x a dx e f a dt t +∞+∞---=-?? 的极限行为。 证明：因为lim ()x f x a →+∞ =，故存在M>0,使得x>M 时，|()|1f x a -<；又 f(x)[0,1]R M ∈+，因而，f(x)有界C 。 注意到 01tx t e dx +∞ -=?，故只需证明0 0lim |()|0tx t t e f x a dx +∞ -→-=?。 由于对任意0ε>，存在A>0，使得x>A 时 |()|f x a ε-<，故 0|()|tx t e f x a dx +∞ --=?0 |()|A tx t e f x a dx --?＋|()|tx A t e f x a dx +∞ --? ()()(1)()(1)A tx tx tA x A tA C a t e dx te dx C a e e dx C a e εεε +∞ +∞ -----≤++≤+-+≤+-+??? 由于 10 ,( t 0)tA e --→→，故，存在0,0t δδ>?<<时，|1|tA e C a ε --< +，因而 |()|2tx t e f x a dx ε+∞ -- 故，0 lim |()|0tx t t e f x a dx +∞ -→-=?。 指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）, 第一节 二重积分的概念与性质 一、内容要点 1、引例 例1曲顶柱体的体积 例2平面薄片的质量 通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。 2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。 3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。 例3关于估值定理的应用 例4关于中值定理的应用 4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。 二、教学要求和注意点 理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 第二节 二重积分的计算法 一、内容要点 利用直角坐标计算二重积分 1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分： ①若D 为X —型区域：{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(??σ ②若D 为Y —型区域：{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(??σ ③若D 既非X —型，又非Y —型区域，则将D 划分为若干子区域，使每一个子区域为X —型或Y —型。 2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。 例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。 例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。 例3关于利用对称性计算二重积分的例子。 例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。 利用极坐标计算二重积分 1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。 2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。 3、确定积分上下限的办法。 例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分 例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2 0-+∞? 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分 例4利用极坐标计算二重积分 二、教学要求和注意点 1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法 2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。 3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。 第四节 三重积分 一、内容要点 1、三重积分的概念，存在性及性质 2、三重积分在直角坐标系下的计算 ①先单积分后二重积分 ②先二重积分后单积分 3、更换积分次序 例1将三重积分化为三次积分 例2更换积分次序 例3先二重积分后单积分 4、柱面坐标系下三重积分的计算。 5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22y x +?等时，常用柱面坐标计算。 6、球面坐标系下三重积分的计算。 7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分，或被积函数含有式子)(222z y x ++? §2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。 解：211 ,x x x α β →+∞时 “分子”“分母” 。 2、 证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛 。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中 ， 11 (1)(1)421 11()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见 也收敛。 3、 证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛 。 解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故 ，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故 收敛。 4、 讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故 当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅当0α>时 收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2 x 同阶。于是1I 仅当0α<时 收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。 文献综述 信息与计算科学 无穷限广义积分的数值计算 一．前言部分 定积分的数值近似称为数值求积.[1] 它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分． 我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积． 在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”． 根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2] ． 比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢? 地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球． 我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题． 在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为 ()()? ?∞ ∞→=a lim b a b dx x f dx x f ． 对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下： 二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即：= 其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使 其中σ是区域(σ)的面积. 二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下： §6 用Mathematica 进行广义积分运算 用Mathematica 广义积分的命令和求定积分的命令相同，都是： (1) Integrate[f ，{x ，下限，上限}] (2) ?dx x f b a )( 6.1 无穷区间上广义积分的运算 例6.1 讨论dx x x ln 12?∞+的敛散性。 解 }],2,{,ln 1[ :]1[Infinity x x x Integrate In += Out[1]=∞+ 所以dx x x ln 12?∞+发散。 例6.2 计算广义积分dx e x -∞+?0 解 In[2]:=Integrate[Exp[-x]，{x ，0，+Infinity}] Out[2]=1 例6.3 计算广义积分dx x x 2 212++?∞+∞-。 解 先判断广义积分?++∞-dx x x 22120和?++∞+221 20x x 是否收敛。 In[3]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ，0}] Out[3]=2 1(π+i(Log[1-i]-Log[1+i])) In[4]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，0，+Infinity}] Out[4]=2 1(π-i(Log[1-i]-Log[1+i])) 即上面两个广义积分收敛，故原广义积分收敛。下面计算其值： In[5]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ， +Infinity}] Out[5]=π 6.2 瑕积分的运算 例6.5 计算广义积分dx x 220)1(1-? 。 解 In[1]:= dx x 220)1(1-? Out[1]= ∞ 即广义积分发散。 例6.6 计算广义积分dx x ? --3260)4(。 解 In[6]:= dx x ?--3260)4( Out[6]=3 21/3-3(-1)1/322/3 定积分的收敛或发散有时依据被积分表达式中的某个参数而定。例如两个重要广义积分: (1)dx x a 110????<≥)1)1a a 发散（若收敛（若 (2) dx x a 11?∞+???>≤)1)1a a 收敛（若发散（若 遇到这种情况时，Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果。 例6.7 计算广义积分dx x a 110? 解 若积分时不指定参数a 的范围，则Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果;当0)Re(>a 时，积分收敛到 a +-11，否则发散。 In[1]:=e1=dx x a 11?∞ + Out[1]=?? ????+->-∞+?dx x a a If a 1,11,1][Re[ 例6.8 计算广义积分xdx e ax sin 0?∞ 解 In[2]:=e1=dx x Sin e x a ][*0?∞ Out[2]=??????+- 第二章(第五,六节) 第五节 连续型随机变量 及其概率密度函数 随机变量X ,简记为X v r .., 分布函数}{)(x X P x F ≤=. 定义 4 设随机变量X 的分布函 数为)(x F ,如果存在一个定义在()+∞∞-,上非负可积函数)(x f ，使得对任何实数x ，恒有 ?∞-=x dt t f x F )()(, 则称X 为连续型随机变量, 称函数)(x f 为随机变量X 的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度. 概率密度函数的性质： 由定义可以知道，概率密度函数)(x f 具有下列基本性质： （1）0)(≥x f ，对一切()+∞∞-∈,x ； （2）1)()(=+∞=?+∞ ∞ -F dx x f 。 反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数)(x f ，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数. 连续型随机变量X 取区间值概率的计算. 定理 设X 为连续型随机变量, 分布函数为)(x F ,概率密度为)(x f , 则有 (1)?∞-=x dt t f x F )()(是连续函数; (2),0)()(}{=-==-x F x F x X P ()+∞∞-∈?,x ; (3)],(b a I =或],[b a ,或),[b a , 或),(b a ,或-∞=a ,或+∞=b ?=-=∈b a dx x f a F b F I X P )()()(}{; (4)若)(x f 在0x 点连续，则)(x F 在0x 点可导,且)()(0 0x f x F ='; 如果)(x f 是分段连续函数,只有有限个不连续点,则)()(x F x f '= (除去有限个不连续点,在这些点上 高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日 二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???L 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 第九章 广义积分习题课 一、主要内容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞+=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=101q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 第九章广义积分习题课 一、主要容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞ +=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=1 01q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 对1I ，先讨论简单情形。 q p =时，1 p 时，由于 7.1二重积分的基本概念（教案） 主讲人：孙杰华 教学目的：理解二重积分的概念、性质 教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主 教学内容： 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体. 与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这些小区 域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω. （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1 n i i V ==?Ω∑． 图7.1 (2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 (,),((,))i i i i i i i f ξησξησ?Ω≈??∈?. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 1 (,)n i i i i V f ξησ=≈?∑. (4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则 1 lim (,),(,)n i i i i i i i V f λξησξησ→==??∈?∑. 2．二重积分的定义 设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域 12,,,,n σσσ??? 其中,i σ?既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径. 1max{}(,)i i i i i n λλξησ≤≤=?∈?， 作乘积(,)(1,2 ,)i i i f i n ξησ?=， 作和式 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑， 若极限()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记 作 (),D f x y d σ??.即 (),D f x y d σ=??()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑． 其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素, ,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域. V n 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 第三章 一元函数积分学 三、广义积分 无限区间上的积分： 设)(x f 在],[+∞a 上连续，取a b >，则称dx x f b a b )(lim ? +∞ →为)(x f 在],[+∞a 上的广义 积分，记为：dx x f a )(? +∞ dx x f b a b )(lim ? +∞ →= 若上述极限存在，则称广义积分dx x f a )(?+∞ 存在或收敛。否则称广义积分不存在或称发散。 同理可定义广义积分： dx x f b )(? ∞ -dx x f b a a )(lim ? -∞ →=和dx x f )(? +∞∞ -dx x f c )(? ∞ -= dx x f c )(? +∞ + 若)(x F 是)(x f 的一个原函数 记：?? ???=-∞=+∞-∞→+∞ →)(lim )() (lim )(x F F x F F x x 则广义积分可表示为： dx x f a )(?+∞ | )(+∞=a x F )()(a F F -+∞= dx x f b )(?∞-|)(b x F ∞-=)()(-∞-=F b F dx x f )(? +∞∞ -| )(+∞∞ -=x F )()(-∞-+∞=F F 例33－1、计算无穷积分： 解：dx e x -+∞ ? dx e x b b -+∞ →? =0lim | lim b x b e -+∞ →-=1)10()(lim 0 =--=-=-+∞ →e e b b 或直接利用公式：dx e x -+∞ ? 1)1(0| =--=-+∞ -x e 例33－2、计算广义积分： ⑴、dx xe x 2 -+∞ ? dx xe x b b 2 lim -+∞ →? =)](2 1[lim 2 2 x d xe x b b -+∞ →? - = | 2 lim 2 1b x b e -+∞ →- =2 1)(lim 2 10 2 = -- =-+∞ →e e b b ⑵、dx x x 2 1+? +∞ dx x x b b 2 1lim +=? +∞ →2 2 1)1(lim 2 1x x d b b ++= ? +∞ → |0 2 )1ln(lim 2 1b b x +=+∞ →+∞=-+= +∞ →]1ln )1[ln(lim 2 12 b b ⑶、dx x x e 3 ) (ln 1? +∞ dx x x b e b 3 ) (ln 1lim ? +∞ →=)(ln ) (ln 1lim 3 x d x b e b ? +∞ →= 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,记作()d a f x x +∞ ? ,即 ()d a f x x +∞ ? =lim ()d t a t f x x →+∞?; 这时也称反常积分()d a f x x +∞? 收敛;如果上述极限不存在,函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()d a f x x +∞ ?就没有意义,习惯上称为反常积分()d a f x x +∞? 发 散,这时记号()d a f x x +∞? 不再表示数值了. 类似地,设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <. 如果极限 lim ()d b t t f x x →-∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()d b f x x -∞ ? ,即 ()d b f x x -∞ ? =lim ()d b t t f x x →-∞?; 这时也称反常积分()d b f x x -∞ ?收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分()d b f x x -∞ ? 发散. 设函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内连续,如果广义积分 ()d c f x x -∞ ? 和()d c f x x +∞ ? （c 为常数） 都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内的广义积 分,记作()f x dx +∞ -∞ ? ,即 ()d f x x +∞ -∞ ? =()d c f x x -∞ ? +()d c f x x +∞ ? =lim ()d c t t f x x →-∞?+lim ()d t c t f x x →+∞? 这时也称广义积分()d f x x +∞ -∞ ? 收敛;否则就称反常积分()d f x x +∞ -∞ ? 发散. 上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分. 2 无穷限广义积分的计算方法 2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分 由定义计算可以分两步: 1求定积分()d A a f x x ?=()F A .需要说明的是原函数()F A 均指有限形式. 习题9-1，9-2 二重积分的概念及计算法（一） 1．填空题： （1）由二重积分的几何意义得 ∫∫≤+=??122221y x d y x σ . （2）根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： ① ，其中是三角形区域，三顶点为（1,0），（1,1），（2,0），则 ∫∫+=D d y x I σ)ln(1∫∫ +=D d y x I σ22)][ln(D 1I 2I . ②，，其中是由∫∫++=D d y x I σ21)1(∫∫ ++=D d y x I σ32)1(D x 轴与直线围成的区域，则 1,0?==+x y x 1I 2I . （3）化二重积分为两种不同次序下的二次积分，其中是直线D 2,==x x y 及双曲线)0(1f x x y =所围成的闭区域，= ∫∫d y x f σ),(D = （4）①交换积分次序： ∫∫??=22221),(x x x dy y x f dx ②交换积分次序： ∫∫∫∫?=+y y dx y x f dy dx y x f dy 20313010),(),( 2．利用二重积分的性质，估计积分的值： ∫∫++=D d y x I σ)94(22，其中是圆形闭区域：. D 422≤+y x 3．计算下列二重积分： （1）∫∫+= D d x x y I σ2)1(cos ，其中是顶点分别为（0,0）,(1,0),(1,2)和（0,1）的梯形闭区域. D （2），其中是由∫∫+=D y x d e I σD 1≤+y x 所确定的闭区域. 4．计算二次积分∫∫101dx e dy y x y . 5．交换积分次序，证明： ∫∫∫???=a y a x a m x a m dx x f e x a dx x f e dy 000)()()()()(. 6．设平面薄片所占的闭区域是由直线D x y y x ==+,2和x 轴所围成，它的面密度 第五节广义积分 我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分. 分布图示 ★无穷限的广义积分 ★无穷限的广义积分几何解释 ★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★无界函数的广义积分 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10 ★例11 ★例12 ★例13 ★内容小结★课堂练习 ★习题5-5 ★返回 内容要点 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 例题选讲 无穷限的广义积分 例1 (E01) 计算广义积分. 解对任意的有 于是 因此或 例2 (E02) 判断广义积分的敛散性. 解对任意 因为不存在,故由定义知无穷积分发散. 例3(E03) 计算广义积分. 解 例4 计算广义积分 解原式 例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛). 解 注: 其中不定式 例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性. 证 因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散. 无界函数的广义积分 例7(E06) 计算广义积分 解原式 例8(E07) 计算广义积分. 解 故题设广义积分发散. 例9(E08) 讨论广义积分的敛散性. 证 因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散. 例10 计算广义积分瑕点. 解 , 例11 计算广义积分 解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是 再令取时时于是 注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之. 归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D U 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ??U ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ? ?也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()() () 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有 广义积分概念引入的几何背景分析 宋榕荣 [摘要] 我们在研究定积分时都有直观的几何意义，定积分的被积函数的区间为有限区间，函数为该区间上的有界函数。当我们去掉这两个限制时，就得到广义积分，我们就用它们之间的这种联系引入广义积分的几何背景。 [关键字] 定积分 广义积分 几何背景 一、广义积分与定积分之间的区别和联系 （1）形式上：定积分的区间是有限区间，即上下限都是有限实数，且定积分的被积函数是有界函数，而广义积分的被积函数的区间是无穷的或函数无界。 （2）内容上：定积分的被积函数是有界连续函数。 无穷区间[ ,a +∞）的广义积分()lim ()b a a b f x dx f x dx +∞→+∞=? ?，若l i m ()b a b f xd x →+∞ ?存 在，则广义积分 ()a f x dx +∞ ? 收敛，否则发散。类似的有在定义在（,b -∞]上的广义 积分的收敛发散性。同时还有定义在（,-∞+∞）上的广义积分的收敛性。 二、无穷区间上的广义积分的几何背景 无穷区间上的广义积分也就是被积函数的定义域无上限或无下限，这类的广义积分在形式上可分为三种，我们用三个例子来加以说明： 例1 求曲线f(x)= 2 1 x 的下方、x =1的右方、x 轴上方的平面区域面积。 分析：所求面积的区域如图所示。由于区域是不封闭的，故不可用定积分直接求其面积。但所给区域是确定的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。在x=1的右侧做一条垂直于x 轴的直线x=a(a>1),则 曲线f(x)= 21 x 、x =1、x =a 、x 轴围成一个曲边梯形（阴影部分所示），其面 积用定积分表示为1()a f x dx ?。要求其面积的不封闭区域可想象成右边界在无穷 远处的曲边梯形。该曲边梯形课由阴影部分曲边梯形的右边界x=a 沿x 轴正方向无穷远处平移得到，故其面积可从形式上类比1()a f x dx ?到1 ()f x dx +∞? ，而其 实质为1 lim ()a a f x dx →+∞? （b →+∞对应于阴影部分曲边梯形的右边界x=a 向右平移 至无穷远处）。故所求面积为1 ()f x dx +∞?=1 lim ()a a f x dx →+∞? 。 解：设曲线f(x)= 2 1 x 的下方、x =1的右方、x 轴上方的平面区域的面积为A ，则 A= 1()a f x dx ? =11 lim ()()f x d x ε ε+→+∞? dx = 21 1 lim a a x →∞? dx无穷限广义积分的计算(1)
二重积分的概念
广义积分的收敛性
无穷限广义积分的数值计算[文献综述]
二重积分的概念及性质
§11 用Mathematica进行广义积分运算
第二章第五节-第六节(上)
二重积分学习总结
广义积分
(整理)9广义积分习题课
二重积分的概念与性质教案
广义积分的收敛判别法
广义积分教案
最新无穷限广义积分的计算(1)
二重积分的概念及计算法(一)
05--第五节--广义积分.doc
归纳二重积分的计算方法
广义积分概念引入的几何背景分析