初中数学_因式分解——公式法(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

14.3 因式分解（第三课时）

14.3.2 公式法（2）

一、教学目标

（一）学习目标

1.掌握完全平方公式的特点.

2.会运用完全平方公式因式分解.

3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.

（二）学习重点

掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式.

（三）学习难点

灵活运用公式分解分解因式.

二、教学设计

（一）课前设计

1.自学反馈

请同学们根据爱作业在线预习的情况组内交流，有困惑的地方组长帮忙解决。

公式法：把乘法公式的等号两边 互换位置 ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.

（二）课堂展示

探究一 剖析完全平方公式

活动1 剖析完全平方公式问题 ：我们将形如222a ab b ++和22

2a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？

学生思考后分小组讨论，再归纳总结：

完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可. 口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放.

追问：平方差公式中的a 、b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的a 、b 是否也可以代表一个多项式呢？

【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程，剖析完全平方式的特点，为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.

●活动2 辨析完全平方公式

问题 ：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的a 、b .

（1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）22

69x xy y -+- ；（4）221x x +- 学生独立思考后，集体订正.

【设计意图】通过辨析完全平方式，为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于（2）、

（3）这种形式的完全平方式，学生辨析较困难，关键是掌握：完全平方式首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，各项的位置是可以调换的，为本节课突破难点奠定基础.

探究二 直接运用完全平方公式因式分解●活动1 公式中的a 、b 代表单项式的因式分解

例1 分解因式：

（1）216249x x ++ ；（2）22

44x xy y -+- 【知识点】运用完全平方公式分解因式

【解题过程】解：（1）2222

16249(4)2433(43)x x x x x ++=++=+；

（2）222222244(44)22(2)(2)x xy y x xy y x x y y x y ??-+-=--+=--+=--?? 【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22

(4)2433x x ++，认清谁是公式中的a 、b ，再进行因式分解 ；（2）可将负号提出是本题的关键，变形为

2222(44)22(2)x xy y x x y y ??--+=--+??，再因式分解. 【答案】 （1）2(43)x +；（2）2

(2)x y --.

练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y -- 【知识点】运用完全平方公式分解因式

【解题过程】解：（1）22222

42025(2)225(5)(25)x xy y x x y y x y -+=-+=-；

（2）22222221294(9124)(3)232(2)(32)xy x y x xy y x x y y x y ??--=--+=--+=--??

【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22

(2)225(5)x x y y -+，辨析公式中的a 、b ，再

进行因式分解 ；（2）将负号提出是本题的关键，变形为22(3)232(2)x x y y ??--+??，再因式分解.

【答案】 （1）2(25)x y -；（2）2

(32)x y --.

●活动2 公式中的a 、b 代表多项式的因式分解

例2 分解因式：

（1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ . 【知识点】运用完全平方公式分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：（1）2222()12()36()2()66(6)a b a b a b a b a b +-++=+-++=+-；

（2）222222()4()4()2()2(2)(2)()m n m m n m m n m n m m m n m n m +-++=+-++=+-=-.

【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将a+b 看成一个整体，设a+b =m ，则原多项式就化为2

1236m m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后有同类项还需合并同类项.

【答案】 （1）2(6)a b +-；（2）2()n m -.

练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++

【知识点】运用完全平方公式分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：（1）[]22222()()()()a a b c b c a b c a b c -+++=-+=--； （2

）22222222224(1)4(1)4(1)2(21)(1)(1)x x x x x x x x x x ????++++=++=++=+=+????

. 【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将b+c 看成一个整体，设b+c =m ，则原多项式就化为22

2a am m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.

【答案】 （1）2()a b c --；（2）4(1)x +.

探究三 综合应用●活动1

例3 分解因式： 22363ax axy ay ++ ；

【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式

【解题过程】解：222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+；

3. 课堂总结知识梳理（学生自己总结梳理）

（1）完全平方式：

形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.

（2）用完全平方公式分解因式：

文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-.

（3）公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.

重难点归纳

（1）完全平方公式使用的条件是：①多项式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积2倍，符号正负均可.

（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查

①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.

（3）有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.

(三)课后作业

基础型 自主突破

1.下列多项式是完全平方式的是（ ）

A ．244a a --

B ．23216a a -+

C ．224a a ++

D ．2816a a -+

2.已知224x mx -+ 是完全平方式，则m 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．±1

D ．±2

3. 计算x =156，y =144，则

221122x xy y ++ 的值是（ ） A ．150 B ．450 C ．45000 D ．90000

4.分解因式2(1)2(1)1a a ---+ 的结果是（ ）

A ．(1)(2)a a --

B ．2(1)a -

C ．2(1)a +

D ．2(2)a -

5. 计算：222172173417-?+ =_____________.

能力型 师生共研

7. 若224222()8()160x y x y +-++= ，则22x y + 的值为（ ）.

A ．4

B ．2

C ．± 2

D ．± 4

8. 已知△ABC 三边a 、b 、c 满足等式2220a ab b bc c ac -+-+-=，则△ABC 是 三

角形.

学情分析

两班共有学生110人，两班中绝大部分同学都能跟上现有的进度，上课发言积极，部分同学表现的比较出色，但也有个别同学的理解能力和接受能力不尽人意。

从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维能力有待培养，从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

从认知状况来说，学生在此之前已经学习了多项式乘法法则、平方差公式，、完全平方公式、提公因式法因式分解与平方差公式因式分解的探索过程，对“完全平方公式”已经有了初步的认识，为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于“完全平方式” 的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。

效果分析

1、课前，我首先充分备课，运用华乐思教学平台中的资源中心并融合课本内容与个人想法精心准备课件，创作出严谨而丰富的教学内容。在学生完成自学质疑学案的基础上借助华乐思教学平台的作业中心推送练习题，根据教师端形成的数据反馈来重新确定学习目标和本

节课的重难点，进一步优化课堂，提高了教学效果。

2、课堂中让学生积极参与到整个学习活动中。学生能借助互动电视、移动终端积极展示学习成果，极大地调动了学生能动性和主动性。并且移动终端的使用还能实时反馈学习情况，老师通过反馈的数据对学生情况的了解更加具体，能更有针对性的进行因材施教。

3、课后，学生在移动终端上可以再次借助微视频复习本节知识，复习情况及时上传，根据学生在此反馈的情况进行总结，再进行符合学生自身实际情况的因材施教。

教材分析

完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。而且，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起着十分重要的作用。完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展。教材从具体到抽象，引导学生观察、实验、猜测，进而论证，从而建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。

评测练习

基础型 自主突破

1.下列多项式是完全平方式的是（ ）

A ．244a a --

B ．23216a a -+

C ．224a a ++

D ．2816a a -+

2.已知224x mx -+ 是完全平方式，则m 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．±1

D ．±2

3. 计算x =156，y =144，则

221122x xy y ++ 的值是（ ） A ．150 B ．450 C ．45000 D ．90000

4.分解因式2(1)2(1)1a a ---+ 的结果是（ ）

A ．(1)(2)a a --

B ．2(1)a -

C ．2(1)a +

D ．2(2)a -

5. 计算：22

2172173417-?+ =_____________.

能力型 师生共研

7. 若224222()8()160x y x y +-++= ，则22x y + 的值为（ ）.

A ．4

B ．2

C ．± 2

D ．± 4

8. 已知△ABC 三边a 、b 、c 满足等式2220a ab b bc c ac -+-+-=，则△ABC 是 三

角形.

教学反思

在数学教学过程中，知识的传授不应只是教师单纯地讲解与学生简单的模仿，而应通过教学活动，让学生经历知识的形成与应用过程，从而使学生更好的理解知识的意义，掌握必要的技能，发展应用数学的意识，增强学好数学的愿望与信心。根据新课程标准要求和学生的起点能力，本节课的具体目标有两个，一个是会用完全平方公式分解因式，一个是会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。

在新课引入的过程中，我以“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式组织课堂教学。可以说，对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感。接下来，通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用完全平方进行因式分解。整堂课教下来我觉得自己做的比较好的几点是:

1、突显特点。这节课的重点是运用完全平方公式分解因式，而完全平方式的判定是关键。所以我比较重视完全平方式特点分析，应用。

2、自主训练。我以先引导学生分析多项式特点，再让学生尝试分解因式的方式完成例题教学。对课本上的练习题放手让学生自己完成，体现了以教师为主导，以学生为主体，及时反馈，及时巩固教学方式。

3、重视动态生成。教学中我发现学生们思维很活跃，接受能力比较强，我对例题教学作了及时调整，由师生合作完成改为先引导学生观察、分析多项式特点，再让学生自主完成解题过程。

不足之处:

1、探索用于因式分解的完全平方公式及特点分析时，没有把握好时间，这是导致后面时间不够的原因之一。

2、公式中的字母a,b可以表示数,单项式,多项式的广泛意义只是让学生体验，没有让学生开口表达。

以上是我上这节课的一些教学反思，在以后的教学中我会更多的结合学生的学习情况，多发现学生在学习方面的优势和不足，因材施教，更好的提高课堂效率。

课标分析

根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差公式、完全平方公式）。运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为学生以后分解二次三项式奠定了一定的基础。

1、掌握因式分解的公式法之完全平方公式；

2、熟练地运用完全平方公式进行因式分解；

3、学会用不同的方法将多项式因式分解。