北师大版数学八下因式分解教案设计

第四章因式分解

4.1 分解因式

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目标:

知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。

过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。

情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。

教学重难点：

探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。

教学过程：

创设情景，导出问题：

首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。

章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。

993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？

探索交流，概括概念：

想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。

小明是这样做的：

（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？

（2）993-99还能被哪些正整数整除。

答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。

（2）还能被98，99，49，11等正整数整除。

归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。

议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？

鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。

做一做：计算下列各式：

（1）（m+4）（m-4）= ;

（2）（y-3）2= ；

（3）3x（x-1）= ；

（4）m（a+b+c）= .

根据上面的算式填空：

（1）3x2-3x=（）（）

（2）m2-16=（）（）

（3）ma+mb+mc=（）（）

（4）y2-6y+9=（）（）

通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？

第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。

议一议：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？

概括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

教师指出因式分解的要求：

（1）分解的结果要以积的形式表示；

（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。

课堂练习：

（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．（x+3）（x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1

C．a2b+ab2=ab（a+b） D．

（2）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。

（3）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a ＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2

C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a+b）（a-b）

课堂小结：想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？

课外作业：资源与评价

板书设计：

因式分解

定义：

因式分解与整式乘法的关系：

教学后记：学生接受很好，在做些变式练习。

4.2 提公因式法

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目标：

知识与技能：

经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。

过程与方法：会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。

情感态度与价值观：进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。

教学重难点：

教学重点用提公因式法把多项式分解因式

教学难点探索多项式因式分解方法的过程

教学过程：

第一课时

创设情景，导出问题：

张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。关于这一问题给出了各自的做法。

方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）

方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）请问：两种计算的方法哪一位更好？为什么？

答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。

2、探索交流，概括概念

（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？

（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。

讨论概括：

（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。如b就是多项式ab+bc的公因式。同样，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同的公因式b。

（2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。巩固应用，拓展研究：

例1 将下列各式分解因式：

（1） 3x+6；

（2） 7x2-21x；

（3）8a3b2-12ab3c+abc；

（4） -24x3-12x2+28x

想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？

练习巩固，促进迁移：

（1）写出下列多项式的公因式：

① ma+mb ②4kx-8ky ③ 5y3+20y2④ a2b-2ab2+ab （2）把下列各式分解因式：

①3x2-6xy+x ②-4m3+16m2-26m

（3）利用分解因式计算：

① 33×0.48+85×0.48-18×0.48

② 7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.25

课堂小结：这节课我们学了写什么？

课外作业：资源与评价

板书设计：

提公因式

定义：

方法：例题

教学后记：当第一项是负数时，注意改变符号。

第二课时

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月一、课前热身，复习回顾：

想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？

做一做：

1、下列用提取公因式法分解因式正确的是（）

A、a3+2a2+a=a(a2+2a)

B、-x2y+4x2y2-7xy=-xy(x-4xy+7)

C6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6) D、a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)

2、（-3）2005+（-3）2004等于

3、把下列各式分解因式：

① a（x-3）+2b（x-3）；②5（x-y）3+10（y-x）2。

③ 3x2-6xy+x ④-4m3+16m2-26m

⑤4q（1-p）3+2（p-1）2

⑥ 3m（x-y）-n（y-x）

⑦m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）

4计算：

①已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；

②1998+19982-19992

5、比较2002×20032003与2003×20022002的大小。

小结：

想一想：这节课我们学了写什么？

课外作业：资源与评价

后记：理解因式分解的运用很广泛，会对具体问题具体分析。

4.3 运用公式法（平方差公式）

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目标：

知识与技能：

1、理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；

2、会用平方差公式进行因式分解；

3、使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。

过程与方法：

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．

情感态度与价值观：

在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

教学重难点：用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）

教学过程：

复习回顾：

填空：（1）（x+5）（x–5） = ；

（2）（3x+y）（3x–y）= ；

（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

探究新知：

将多项式a 2—b 2进行因式分解： ∵（a+b ）(a-b)= a 2—b 2

整式乘法

∴a 2—b 2=（a+b ）(a-b)

因式分解

结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。

说一说 ：找特征 ))((22b a b a b a -+=-

(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）

被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。

(2)公式右边：（是分解因式的结果）

分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试 ，写一写： 下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。

（1）M 2-81 （2）1-16b 2 （3）4m 2+9 （4）a 2x 2-25y 2 （5） -x 2-25y 2 例1：把下列各式因式分解：

（1）25–16x 2 （2）9a 2–24

1

b

练习：1、判断正误：

（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( )

.____________________49_;

____________________9__;

____________________2522222=-=-=-n m y x

x

（2）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （3）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( ) （4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( ) 2、把下列各式因式分解：

例2、把下列各式因式分解：

注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。 巩固练习：

例3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形。用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积。 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm 和r cm ，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm 呢？ 小结：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

249)1(x +-2

224

1)2(z y x -2

212125.0)3(p q -1

)4(4

-p 2)2(25

4

)

1(n m --22)()(9)2(n m n m --+2

394)3(xy x

-

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

课后作业：资源与评价

板书设计：

平方差公式

公式例题

练习

教学后记：

探索分解因式的方法实际上是对整式乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识，多做练习。

因式分解（完全平方公式）

备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月

教学目标：

知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式。

过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

情感态度与价值观：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

教学重难点：公式的理解和运用。

教学过程：

复习提问：

回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法。

（a±b）2=2

22b

a+

±

ab

两个数和或差的平方等于这两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。

把这两个公式反过来就是因式分解的公式了。即：

22b

2

ab

±=（a±b）2

a+

两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的两倍，等于这两个数和或者差的平方。

落实基础：

1、判别下列各式是不是完全平方式。

2、请补上一项，使下列多项式成为完全平方式． 结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a 2–2a

b +b 2=（a –b ）2 a 2+2ab +b 2=（a+b ）2 例1、把下列各式因式分解：

例2．把下列各式因式分解： 注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解。 随堂练习

1、判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a 、b 各表示什么？

2222222222(1)(2)2(3)2(4)2(5)2x y x xy y x xy y x xy y x xy y +++-++--+-；；；；．

()()()

()()

22222222421_____249______3_____414_____4

52_____x y a b x y a b x x y ++++-+++++；；；；．

2

29124)2(b ab a +-4914)1(2++x x 9

)(6))(3(2++-+n m n m 2

2)())(2(2)2)(4(n m n m m n n m +++---xy

y x 44)2(22+--2

2363)1(ay axy ax ++

2、把下列各式因式分解：

（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4

(3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )2 3、用简便方法计算：222003200340102005+?-

4、将142+x 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？

5、一天,小明在纸上写了一个算式为4x 2 +8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 自主小结：

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么

就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法． 课后作业：完成课后习题 板书设计：

完全平方公式 公式： 例题： 练习

教学后记：

本节课学习了运用公式法分解因式的第二种方法，具体应用时要特别关注第二项的符号。

22222

22(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14(6)4129x x a x x x x m m y xy x -++-++-+--+；；；

；

；

．

十字相乘法分解因式

备课时间：2015年11月 授课时间：2015年11月 教学目标： 知识与技能：

进一步理解因式分解的定义；

过程与方法：

会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解； 情感态度与价值观：

通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生

的观察能力。 教学的重点、难点

重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。 难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。 教学过程：

创设情境，导入新课：

1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？

2、你知道X 2+5X+6怎样分解因式吗？ 探究新课：

我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到

这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、

b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即

()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。可以用交叉线来表示：

十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例题讲解：

例1、把232x x ++分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。 例2 、把276x x -+分解因式。 例3 、把2421x x --分解因式。

例4 、把2215x x +-分解因式。（后三个例题鼓励学生独立完成。） 总结升华：怎样对2x px q ++分解因式？

如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。 拓展练习：

例5 把下列各式分解因式：

(1) 4268x x ++ (2) ()()2

43a b a b +-++ （3）2232x xy y -+ 当堂检测：

x x

+a +b

1、因式分解：

（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x （4）432-+x x （5）432--x x 2、（1）若多项式m x x +-82可分解为)6)(2(--x x ，则m 的值为 。 （2）若多项式122--kx x 可分解为)6)(2(+-x x ，则k 的值为 。 选作：若多项式m x x +-22可分解为))(3(n x x -+，求m 、n 的值。 总结：掌握常数项在分解时，与一次项系数的关系。 板书设计：

十字相乘分解因式 例题： 练习

后记：这部分虽然是后补的内容，但在二次函数是应用很广，好学生必须掌握。还需在多练习。

十字相乘法分解因式（2）

备课时间：2015年11月 授课时间：2015年11月 一、教学目标：

知识与技能：进一步理解因式分解的定义；

过程与方法：会用十字相乘法进行二次三项式，2ax bx c ++的因式分解； 情感态度与价值观：通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。 二、教学的重点、难点：

教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式2ax bx c ++的因式分解。

三、导学过程：

（一）创设情境，导入新课： 1、分解因式

（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x （4）432-+x x （5）432--x x 2、分解因式 231110x x ++ （二）自主学习：

()()223531110x x x x ++=++。

反过来就得到： ()()231110235x x x x ++=++。 想一想231110x x ++怎样因式分解的，有什么规律？

总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成

1 2 3 5

后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。

（三）合作探索：

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解？ 我们知道，

()()()1122212122112212122112

a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++ 反过来，就得到

()()()

2121221121122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

（四）点拨升华：

二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：

1a 1c 2a 2c

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。

四、当堂检测： 把下列各式分解因式：

(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y -- 选做：

(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+