矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案

第二章习题及参考解答

注：第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定)，第28题可不布置。第50题（含）以后属于附加内容，没有参考解答。

1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任

意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U.

证明：必要性是显然的，下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立，因为U?V.由

于U关于数乘封闭，而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。

2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W

也是V的子空间;

(2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间;

特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间.

证明：（1）由子空间判别法立即可得。

（2）由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空

间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。

3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明：

dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W).

(2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式:

dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间}

证明：（1）设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此

可以扩充成U或W的基.设

α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1)

与

α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2)

分别是U与W的基.我们证明

α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3)

是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量

线性表示.

设

k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4)

12

记

α=k 1α1+k 2α2+···+k r αr ,β=b r +1βr +1+b r +2βr +2+···+b s βs ,γ=c r +1γr +1+c r +2γr +2+···+c t γt .

则α∈U ∩W,β∈U,γ∈W ,以及α+β+γ=0.于是γ=?α?β∈U ,从而γ∈U ∩W ;从而存在适当的数d 1,d 2,···,d r ,使得γ=d 1α1+d 2α2+···+d r αr ,即

d 1α1+d 2α2+···+d r αr ?c r +1γr +1?c r +2γr +2?···?c t γt =0.

由于(2)是W 的一组基,故有d 1=d 2=···=d r =c r +1=c r +2=···=c t =0.同理,由于(1)是U 的一组基,由(4)又得,k 1=k 2=···=k r =b r +1=b r +2=···=b s =0.因此,(3)确是线性无关的向量组.

再设α∈U +W .则存在β∈U,γ∈W ,使得α=β+γ.因为(1)和(2)分别是U 和W 的基,因此有系数k 1,k 2,...,k r ,b r +1,b r +2,...,b s 及l 1,l 2,...,l r ,c r +1,c r +2,...,c t 使

β=k 1α1+k 2α2+···+k r αr +b r +1βr +1+b r +2βr +2+···+b s βs ,γ=l 1α1+l 2α2+···+l r αr +c r +1γr +1+c r +2γr +2+···+c t γt ,

因此

α=(k 1+l 1)α1+(k 2+l 2)α2+···+(k r +l r )αr +b r +1βr +1+b r +2βr +2+···+b s βs

+c r +1γr +1+c r +2γr +2+···+c t γt .

即α是向量组(3)的线性组合.所以,(3)是U +W 的一组基.

（2）设dim V =n .则显然子空间的真包含的链0=V 0?V 1?···?V m ?1?V m =V 的长度m ≤n .另一方面,设α1,···,αn 是V 的一组基，则

0=V 0?F α1?(F α1⊕F α2)···?(F α1⊕···⊕F αm )?···?(F α1⊕···⊕F αn )=V 显然是一个空间的真包含的链，其长度m =n .因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。

4.证明多子空间直和的判定定理：设W 1,W 2,···,W s 是线性空间V 的子空间,则下列命题等价:

(1)W 1+W 2+···+W s 是直和即dim (W 1+W 2+···+W s )=dim W 1+dim W 2+···+dim W s ;

(2)W j ∩∑

k =j W k =0,1≤j ≤s,1≤k ≤s ;

(3)任意向量α∈W 1+W 2+···+W s 的分解式唯一;(4)零向量的分解式唯一.

证明：(1)?(2)对s 做归纳，将∑

k =j W k 看做一个子空间即可。

(2)?(3)设α∈W 1+W 2+···+W s 有两个分解α=α1+α2+···+αs 以及α=β1+β2+···+βs ，其中αi ,βi ∈W i ,?i .则

αi ?βi =∑j =i

(βj ?αj )∈∑

j =i

W j

但左端属于W i ,因此由（2）的假设知αi ?βi =0,?i .即分解式唯一。

13

(3)?(4)显然。

(4)?(1)由零向量的分解式唯一可知(W 1+W 2+···+W s ?1)+W s 是直和，因此dim (W 1+W 2+···+W s )=dim (W 1+W 2+···+W s ?1)+dim W s ,进而由归纳法可知dim (W 1+W 2+···+W s )=dim W 1+dim W 2+···+dim W s .

5.设

A =

112

011134

,

求A 的四个相关子空间.

解：

R (A )=[(1,0,1)T ,(1,1,3)T ],R (A T )=[(1,0,1)T ,(0,1,1)T ],N (A )=[(?1,?1,1)T ],N (A T )=[(?1,?2,1)T ]6.设V 是线性空间,W 1,W 2,···,W s 是V 的真子空间.证明W 1∪W 2∪···∪W s =V .(提示:利用Vandermonde 行列式或归纳法.)

证明：不妨设W i ?∪j =i W j ,?i .因此存在αi ∈W i \∪j =i W j .所以存在t ∈F 使

得β(t )=∑s i =1t i ?1αi ∈∪s j =1W j 。否则：对F 中的无穷多个数t ，至少有一个W i 0包含了无穷多个β(t ).设有两两不同的t 1,···,t s ∈F ，使得β(i )=β(t i )∈W i 0,即

β(1)=t 01α1+···+t s ?11αs β(2)=t 02α1+···+t s ?12αs ······β(s )=t 0s α1+···+t s ?1

s αs

由于系数矩阵是诸行均不同的Vandermonde 矩阵，故可逆，因此所有αi 均可由β(1),···,β(s )线性表示，因此均属于W i 0，矛盾！

7.设V 是所有n 阶实数矩阵按矩阵的加法和数乘作成的实线性空间,U 是V 中所有迹为零的矩阵的集合.证明U 是V 的子空间,并求U 的维数和一个补空间.

证明：U 关于加法与数乘显然封闭，故是子空间。dim U =n 2?1,U 的一个补空间是全体纯量矩阵构成的子空间。

8.设V 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的实线性空间,U ={f (x )∈V |f (1)=0}.证明U 是V 的子空间,并求V 的一个补空间.

证明：U 关于加法与数乘显然封闭，故是子空间。dim U =n ?1,U 的一个补空间是全体常数多项式构成的子空间。

9.设U =[(1,2,3,6)T ,(4,?1,3,6)T ,(5,1,6,12)T ],W =[(1,?1,1,1)T ,(2,?1,4,5)T ]是R 4的两个子空间,

(1)求U ∩W 的基;

(2)扩充U ∩W 的基,使其成为U 的基;(3)扩充U ∩W 的基,使其成为W 的基;(4)求U +W 的基.

解：（1）(?1,2,1,2)T ;

(2)(?1,2,1,2)T ,(1,2,3,6)T ;

(3)W =[(?1,2,1,2)T ,(1,?1,1,1)T ];

(4)U +W =[(?1,2,1,2)T ,(1,2,3,6)T ,(1,?1,1,1)T ].

14

10.设U={(x,y,z,w)|x+y+z+w=0},W={(x,y,z,w)|x?y+z?w=0}.

求U∩W,U+W的维数与基.

解：2,4，U∩W=[(1,0,?1,0),(0,1,0,?1)],U+W=F4,故其一组基为标准基。

11.设A,B分别是n×m,m×p矩阵,V是齐次线性方程组xAB=0的解空间.证

明U={y=xA|x∈V}是F n的子空间,并求U的维数.

证明：直接验证可知U关于加法与数乘均封闭，故是子空间。dim U=r(A)?r(AB).

12.设A是n阶方阵.证明

(1)A可以唯一地表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.试用子空间的直和分解理

论解释这一结果;

(2)A可以唯一地表示成一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵的和.试用子空间的直

和分解理论解释这一结果;

(3)解释定义域为R的任意实函数可以唯一地表示成一个偶函数与一个奇函数的和;

(4)请举一个类似于上面(1)-(3)的例子并解释之.

证明：（1）A=1/2[(A+A T)+(A?A T)]，其中1/2(A+A T)与1/2(A?A T)分别是

对称与反对称矩阵。该分解唯一是因为对称矩阵全体构成的子空间与反对称矩阵全体构成的

子空间恰为互补的子空间。（2），（3），（4）皆类似。

13.证明数域F上的一元多项式的欧几里德带余除法:设f(x),g(x)是任意两个多项式,

其中g(x)=0,则存在唯一一对多项式q(x)与r(x)使得

f(x)=g(x)q(x)+r(x)

其中r(x)=0或?r(x)

证明：若g(x)的次数比f(x)的次数大，则无须证。对f(x)的次数作归纳即可。设f(x)

的次数为n，g(x)的次数为m≥n，则f(x),g(x)∈F[x]n+1。此时1,x,···,x m?1,g(x),xg(x),···,x n?m g(x)

恰好构成F[x]n+1的一组基，因此表达式

f(x)=a0?1+a1x+···+a m?1x m?1+a m g(x)+···+a n x n?m g(x)=[a0?1+a1x+···+a m?1x m?1]+[a m+···+a n x n?m 唯一。

14.(1)设f是定义在实数域上的加性函数.证明:如果f是连续的,则它一定是齐次的,

从而是线性变换;

(2)试将(1)中的结论推广到一般情形.

证明：(1)设f满足条件f(x+y)=f(x)+f(y)，则对一切有理数a有f(a)=af(1)。

对任意无理数b，存在有理数的无穷数列a1,a2,···使得a i→b,i→∞。由于f连续，故

f(b)=lim

i→∞f(a i)=lim

i→∞

[a i f(1)]=f(1)lim

i→∞

a i=bf(1)

即f是齐次的故为线性变换。

（2）设f是实线性空间V到R上的加性函数.若f是连续的,则它一定是齐次的,从而是线性变换。此含义和证明到第5章自明。

15.若σ(α1),σ(α2),···,σ(αs)线性相关,证明或否定α1,α2,···,αs也线性相关.

15

解：α1,α2,···,αs未必线性相关.比如取σ=0.一般地，若σ(α1),σ(α2),···,σ(αs)与α1,α2,···,αs的相关性总相同（任意向量组），则σ必是可逆变换。

16.(1)设U,V是F上的线性空间(不必有限维),σ∈Hom(U,V).则

(a)σ是单的??Ker(σ)=0;

(b)σ是满的??Im(σ)=V;

(c)σ是同构??σ可逆.

特别地,如果U=V是有限维线性空间,σ∈End V,则σ是单的??σ是满的??σ可逆.

(2)设σ∈Hom(U,V)是可逆线性变换,证明其逆唯一,且若τ=σ?1,则σ=τ?1;

(3)计算2维实线性空间C的所有自同构.

证明：(1)(a)必要性显然。反之，若Ker(σ)=0而σ(α)=σ(β)，则σ(α?β)=0，因此α=β,即σ单。

(b)显然。

(c)同构映射显然是可逆的。反之，可逆映射必然既单又满，因此是同构映射。

(2)见课本正文证明概要。

(3)按照线性变换与矩阵的对应关系，实线性空间C的所有自同构即是所有2阶可逆实矩阵，确切地说f:C→C是自同构当且仅当f:x+i y→(ax+by)+i(cx+dy)满足条件ad?bc=0.

17.设σ∈Hom(U,V).

(1)证明σ的核Kerσ与像Imσ分别是U与V的子空间;

(2)证明商空间U/Kerσ与Imσ同构并建立相应的一个同构映射.

证明：(1)利用子空间的判定定理立即可得。

(2)记K=Kerσ.则f:u+K→σ(u)给出U/Kerσ到Imσ的一个同构映射：首先，易知f是线性变换；其次，若f(u+K)=0，则σ(u)=0,因此u∈K即u+K=0，故f 单；而f显然是满的。所以f是同构。

18.设σ∈End V在V的某组基下的矩阵为A.证明或否定:存在τ∈End V,τ=σ,使得τ在另一组基下的矩阵也是A.

解：显然，若A是纯量矩阵，则不存在别的线性变换满足此性质。

若A不是纯量矩阵，则存在别的线性变换满足此性质：以A=E12为例，设σ在基α1,α2···,αn下的矩阵为E12，令τ是在基α2,α1,···,αn下的矩阵为E12的线性变换，则显然τ=σ.

19.证明域F上的两个线性空间U与V同构??dim F U=dim F V.

证明：必要性是显然的。设dim F U=dim F V.则可以构造同构映射如下：分别取定U 与V的各一组基，令σ为这两组基之间的一个一一对应，则σ唯一地确定了一个同构的线性变换。

20.第一章习题22与23中的线性空间各是几维的?试分别建立它们与某R n之间的同构变换.

解：均是1维的。它们与R1的同构映射由各自的数乘运算决定。

16

21.设U与V均是有限维线性空间,证明dim F Hom(U,V)=(dim F U)(dim F V).

证明：由线性变换基本定理可知Hom(U,V)～=F dim F V)×(dim F U)，因此dim F Hom(U,V)= (dim F U)(dim F V).

22.设V是F上的n维线性空间,α1,α2,···,αn是V的一组基.设M n(F)是F上全体n阶矩阵组成的线性空间.对任意σ∈End V,记A(σ)是σ在该基下的矩阵.定义End V 到M n(F)的映射ψ为

ψ:End V?→M n(F)

σ?→A(σ)

则ψ是一个保持运算(加法,数乘与乘法)的一一映射,即满足下列条件:

(1)A(σ+τ)=A(σ)+A(τ);

(2)A(kσ)=kA(σ),?k∈F;

(3)A(στ)=A(σ)A(τ);

(4)σ可逆??A(σ)可逆;且此时A(σ)?1=A(σ?1);

(5)A(0)=0;A(I)=I.

证明：直接验证即可。

23.证明线性变换基本定理：设U与V分别为n维与m维F线性空间.则Hom F(U,V)～=

F m×n.特别地,V?与V同构.

证明：分别取定U与V的各一组基，则任何线性变换σ∈Hom F(U,V)对应唯一的矩阵A(σ)（就是σ在取定的两组基下的矩阵），这个对应既是单的又是满的，且容易验证其是线性变换，因此给出所需要的同构。

24.设V是有限维线性空间.对任意v∈V,f∈V?,定义V到V??的映射φ如下:

φ:v→φ(v):f→f(v).

证明φ是V到V??的同构变换并求其逆变换.

证明：φ显然是线性变换。由于V是有限维的,V??与V的维数相等，故只需证明φ是单的即可。设φ(v)=0，则对任意f∈V?有f(v)=0，这迫使v=0，即φ是单的。

为构造φ的逆，取定V的一组基(遗憾：没有自然性了！)α1,···,αn以及相应的V?,V??的对偶基α?1,···,α?n和α??1,···,α??n。则可以看出φ(αi)=α??i。因此，其逆映射φ?1:α??i→

αi,1≤i≤n.

25.分别求导数运算?:f(x)→f (x)在标准基1,x,x2,···,x n?1与基1,(x?a),(x?

a)2,···,(x?a)n?1下的矩阵.问?的行列式与迹是多少?解释之.

解：均为

010 0

002 0

...............000...n?1 000 0

.

行列式与迹均为0.

17

26.设V是数域F上的n阶矩阵全体,σ是将V中任意元素的严格下三角部分变为0的映射.判断σ是否为V的线性变换.若是,求其核与像;并任选V的一组基,求σ在该组基下的矩阵.

解：σ的定义不完整，可设σ固定任意矩阵的上三角部分，则σ是线性变换。Kerσ=全体严格下三角矩阵，ImKer=全体上三角矩阵。σ在基{E ij,1≤i,j≤n}(顺序为先排i≤j)下的矩阵为I n(n+1)/2⊕0n(n?1)/2。

27.(1)设V=F n.对α=(x1,x2,···,x n)T,定义

τ(α)=(x2,x3,···,x n,0)T.

求τ的幂零指数及其在标准基下的矩阵;

(2)设σ,τ∈End V分别是线性空间V的同构变换和幂零变换,证明σ+τ是V的同构

变换;

(3)设A,D是可逆矩阵,B,C是幂零矩阵,证明分块矩阵(

A B

C D

)

可逆.

解：(1)σ的幂零指数为n，其在标准基下的矩阵为

010 0

001 0

...............000 (1)

000 0

.

(2)此题错。如(

01

10

)

与

(

0?1

00

)

。(3)此题错。如A=D=

001

010

100

与B=

E23,C=E12。

28.设V是数域F上的n阶矩阵全体,A是V中一个固定元素,P是V中一个固定的可逆矩阵,σ是左乘A的映射,τ是左乘P逆右乘P的映射.判断σ与τ是否为V的线性变换.若是,求其核与像.并任选V的一组基,计算σ与τ在该组基下的矩阵.

解：σ是线性变换，其核={X|AX=0},其像={Y|Y=AX,X∈V}.τ是线性变换且可逆。因此其核为0,其像是整个空间。

29.设V=R3,σ(x,y,z)=(x+2y?z,y+z,x+y?2z).求

(1)σ的核与像空间的基与维数;

(2)σ的行列式与迹.

解：(1)Kerσ=[(3,?1,1)],1维，Imσ=[(1,0,1),(2,1,1)],2维。

(2)行列式与迹均为0。

30.设V是n维内积空间,U是V的子空间.令W={α∈V|(α,β)=0,?β∈U}.证明W是V的子空间且V=U⊕W.

证明：直接验证加法与数乘封闭性即可知W是子空间且dim W=n?dim U。又易知W∩U=0，故V=U⊕W.

31.证明R(A)=N(A?)⊥.

18

证明：原等式等价于R(A)⊥=N(A?).设α∈N(A?)，即有A?α=0。所以α与(A?)?= A的每一列均正交，即N(A?)?R(A)⊥。由于二者维数相同，故等式成立。

32.设V=R[x]n,其上的内积为

(f(x),g(x))=

∫1

f(x)g(x)d x.

设U={f(x)∈V|f(0)=0}.

(1)证明U是V的一个n?1维子空间,并求U的一组基;

(2)当n=3时,求U的正交补U⊥.

证明：(1)利用子空间判别法直接验证即可，x,x2,···,x n?1是U的一组基。

(2)U⊥=[?3+12x?10x2].

33.在欧氏空间R n中求一个超平面W,使得向量e1+e2在W中的最佳近似向量为e2.

解：当n=2时，W=[e2]。当n≥3时，W=[e2,e3,···,e n].

34.证明:函数f(x)的Fourier级数中的系数a n,b n(n>0)恰好是f(x)与诸基向量cos nx,sin nx的内积.

证明：由于Fourier级数中的系数a n=1

π∫π

?π

f(x)cos nxdx,b n=1

π

∫π

?π

f(x)sin nxdx，易

知(f,g)=1

π∫π

?π

f(x)g(x)dx确实定义了以2π为周期的可积函数空间上的一个内积。

35.设U是欧氏空间V的子空间,β∈V,α∈U.则α是β在U上的最佳近似向量??β?α∈U⊥.

证明：必要性是显然的。下证充分性。设γ是U中任一向量,注意β?γ=(β?α)+ (α?γ),且β?α∈U⊥,α?γ∈U,所以||β?γ||2=||β?α||2+||α?γ||2≥||β?α||2.因此,对任意γ∈U,有

||β?α||≤||β?γ||,

即α是β在U上的最佳近似向量.

36.试任意构造维数大于5的一个线性空间V以及V的一个线性映射σ,使得σ的核的维数等于5.进一步,试将V改造成内积空间,求Imσ的正交补空间.再构造一个线性变换τ,使得Kerτ=Imσ,Imτ=Kerσ.

解：设V=R6为普通欧氏空间,σ(e1)=e1,σ(e i)=0,2≤i≤6.则(Imσ)⊥=Kerσ= [e2,···,e6].

令τ(e1)=0,τ(e i)=e i,2≤i≤6,则Kerτ=Imσ,Imτ=Kerσ.

37.设α0是欧氏空间V中的单位向量,σ(α)=α?2(α,α0)α0,α∈V.证明

(1)σ是线性变换;

(2)σ是正交变换.

证明：直接验证即可。

38.证明:欧氏空间V的线性变换σ是反对称变换(即(σ(α),β)=?(α,σ(β)))??σ在V的标准正交基下的矩阵是反对称矩阵.

19

证明：设σ在V的标准正交基α1,α2,···,αn下的矩阵是A=(a ij).则σ(αi)=∑n

k=1

a kiαk,1≤i≤n.于是

(σ(αi),αj)=

n

∑

k=1

a ki(αk,αj)=a ji,(αi,σ(αj))=

n

∑

k=1

a kj(αi,αk)=a ij.

因此σ是反对称变换当且仅当a ji=?a ij，即A是反对称矩阵。

39.设σ是实平面R2上的线性变换,其关于标准基的矩阵为

P=(

c s

s?c

)

其中c2+s2=1.证明σ是反射变换,并计算其对称轴.

证明：由于P的特征多项式为λ2?1，因此其特征根为1,?1，对应于特征值1的特征子空间即是σ的对称轴，其方程为y=x tanθ,其中c=cos2θ.

40.证明三维正交矩阵必正交相似于下面6种矩阵:

1

1

1

,

1

1

?1

,

1

?1

?1

,

?1

?1

?1

,

1

cosθsinθ

?sinθcosθ

,

?1

cosθsinθ

?sinθcosθ

.

(提示:利用三维正交矩阵有1个或3个实特征值并结合二维正交矩阵的分类.)

证明：如果三维正交矩阵A有3个实特征值，则它的特征值只能是±1,因此A必定正交相似于前四种(对角)矩阵。

如果三维正交矩阵恰有1个实特征值，则此特征值是1或?1.相应于该实特征值的特征子空间是1维的，其正交补空间是R3的1个超平面π(2维子空间)，π也是A的不变子空间。由于A是恰有一个实特征值的正交变换，故A在π上的限制是一个不为反射的正交变换，因此A必定正交相似于后两种矩阵。

41.设σ∈End R2.记单位正方形S={(x,y):0≤x,y≤1}在σ下的图形为G=σ(S)={σ(x,y):(x,y)∈S}.回答下列问题:

(1)列出G所有可能的形状;

(2)如果G仍为正方形,σ应满足什么条件?

(3)如果σ可逆,则G是什么形状?

解：(1)设σ(e i)=αi,i=1,2.则G=σ(S)={σ(x,y)=σ(xe1+ye2)=xα1+ya2: 0≤x,y≤1}.故若σ可逆，则α1,α2线性无关，G是一个以α1,α2为邻边的平行四边形。若0=σ不可逆，则α1,α2线性相关，G是一条线段（一个端点是原点）。若σ=0,则G 是原点。

(2)如果G仍然是正方形，即解答(1)中的α1与α2均非零、等长且正交，因此σ是正交变换的非零常数倍。

(3)见解答(1).

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42.(1)设σ∈End R2.设C是一个二次曲线(即抛物线,椭圆或双曲线).计算σ(C)所有可能的形状(可设C的方程均为标准方程);

(2)设P是一个平面n次代数曲线(即C的方程是n次多项式),计算σ(Q)所有可能的形状;

(3)分别对指数函数,对数函数,三角函数研究其曲线在σ下的图像;

(4)设σ∈End R3.设Q是一个二次曲面.计算σ(Q)所有可能的形状(可设Q的方程均为标准方程).

解：(1)只讨论C是抛物线(设y=x2)的情形，余类似。不妨设σ=0且σ(e1)= (a,c)T,σ(e2)=(b,d)T.则σ((x,x2)T)=(ax+bx2,cx+dx2)，即抛物线变为X=ax+ bx2,Y=cx+dx2(x是参数)。若σ不可逆，则(a,b)与(c,d)成比例，故X+αY=0，抛物线变为一条直线。若σ可逆，则(a,b)=(0,0)，不妨设a=0.消去参数x可得方程X2+2αXY+βY2+dX+eY=0，抛物线变为一椭圆或双曲线。因此，可逆的线性变换将二次曲线仍变为二次曲线。

(2)不超过n次的代数曲线。

(3)y=(λ)x变为ax+by=(λ)cx+dy等等。

(4)类似于(1)中的讨论，线性变换可将二次曲面变为直线、平面或二次曲面。

43.证明Householder变换H v是关于超平面v⊥的反射,从而是正交变换.试画出三维Householder变换的示意图.

证明：直接验证可知H v是固定超平面v⊥且H v(v)=?v。

44.证明Givens旋转矩阵G是正交矩阵.对任意向量x=(x1,x2,···,x n)T,计算Gx 的各个分量.设x是单位向量,讨论如何重复使用若干Givens旋转矩阵将x变为标准向量e1.

证明：GG T=I。设i

以n=2为例，设x=(x1,x2)T是单位向量，选取c=x1,s=x2，则Gx=e1。

45.(1)证明任何线性变换的伴随变换是唯一存在的;

(2)设σ是平面上的线性变换

σ:(x,y)T→(a1x+b1y,a2x+b2y)T.

证明σ的伴随变换σ?是

σ?:(x,y)T→(a1x+a2y,b1x+b2y)T.

一般地，设σ,τ是欧氏空间V的两个线性变换,A,B分别是σ,τ在某组标准正交基下的矩阵.则

(a)(σ?)?=σ;

(b)(σ+τ)?=σ?+τ?;

(c)(λσ)?=λσ?,?λ∈R;

(d)(στ)?=τ?σ?;

(e)τ=σ???B=A T.

(3)证明正交投影变换是自伴变换.

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证明：(1)利用矩阵与线性变换的对应关系可知，若σ在某组基下的矩阵是A，则在该

组基下的矩阵为A T的线性变换就是σ的伴随变换。

(2)由(3)中的(e)可知。

(3)由矩阵与线性变换的对应关系以及“若σ在某组基下的矩阵是A，则其伴随变换在

该组基下的矩阵为A T”可知(此即(1)的证明)。

46.(1)如何在酉空间中定义Hermite矩阵对应的Hermite变换?导出Hermite变换的一个

判断准则;

(2)在酉空间中定义伴随变换与自伴变换,并导出伴随变换的基本性质(参考定理2.4.5).

解：(1)(σ(x),y)=(x,σ(y))(即与欧氏空间上的对称变换形式完全一致)。

(2)同上题的(2)(即与欧氏空间上的对称变换的形式完全一致)。

47.设α1,α2,···,αn与β1,β2,···,βm分别是U与V的一组基,则向量组(αi,0),(0,βj),1≤i≤n,1≤j≤m构成U⊕V的一组基.

证明：验证线性无关性即可(因为元素个数与直和空间的维数相等)。

48.设U与V是2个内积空间,定义U⊕V的上的函数如下：

((u1,v1),(u2,v2))=(u1,u2)+(v1,v2).

证明上面的函数是U⊕V上的内积.

证明：对称性、正定性与双线线性都可以直接验证。

49.设σi∈Hom(U i,V i),i=1,2.定义U1⊕U2到V1⊕V2的映射σ如下(其中u i∈U i):

σ(u1+u2)=σ1(u1)+σ2(u2).

则σ是线性变换.

证明：直接验证即可。

50.设σi∈Hom(U i,V i),1≤i≤n.再设σi关于αi-α i-基的矩阵为A i.则

n∑

i=1

⊕σi∈

Hom(

n∑

i=1⊕U i,n

∑

i=1

⊕V i)关于n

∑

i=1

⊕αi-n

∑

i=1

⊕α i-基的矩阵为n

∑

i=1

⊕A i.

证明：利用线性变换的直和的定义直接计算即可。

51.证明公式(2.5.11)定义了一个线性变换.

52.证明命题2.5.1.

53.证明定理2.5.6.

54.证明集合V/U按公式公式(2.5.12)定义的加法和数乘作成线性空间.

55.证明命题2.5.1.

56.验证公式公式(2.5.15)定义的诱导映射ˉσ是线性变换.条件“U是σ的不变子空间”可以去掉吗？

57.设A∈M s(F),B,C∈M n?s(F).设V是有限维线性空间,σ∈End V.设σ在V的两组基

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α1

,···,αs ,αs +1,···,αn 与α1,···,αs ,βs +1,···,βn

下的矩阵分别为

(A X

0B

)与(A Y 0C ).证明U =Span {α1,···,αs }是σ的不变子空间,且σ的诱导映射ˉσ关于商空间V/U 的两组基ˉαs +1,···,ˉαn 与ˉβ

s +1,···,ˉβn 下的矩阵分别为B 与C .并据此推广推论2.5.3.

58.推广例2.5.7,即设A,B 均为n 阶矩阵.设σ是F n ×n 上的一个线性变换,其中

σ:X →σ(X )=AXB T .

证明σ关于标准基E 11,···,E 1n ,E 21,···,E 2n ,E n 1,···,E nn 的矩阵是B ?A .

59.(复数,位似与旋转矩阵)设σ是C 到自身的线性变换,其定义为

σ:

(x

y

)

→A (x y ),其中

A =

(a b

?b a

).

将(x ,y )T 记为普通复数x +y i,证明σ((x,y )T )=(a +b i)(x +y i).请解释之.

60.设V =M 2(C ),U =M 2(R ).记i U ={A ∈V |A =i X,?X ∈U }.研究(实)线性空间U ⊕(i U ),V/U 以及(V/U )?C 的结构.

61.验证例2.5.10.62.证明定理2.5.9.

63.建立例2.6.1中的线性方程组,并利用适当软件计算之.

64.验证公式(2.6.1)是绝对平方收敛子空间C 的一个内积.它是信号空间S 的内积吗?65.验证例2.6.3中的滤波器确实将高频信号{u k }过滤掉.研究被该滤波器过滤掉的所有信号具有什么特征?

66.求差分方程y k +3?2y k +2?5y k +1+6y k =0(对?k 成立)的解空间的一组基,并解释之.

67.证明定理2.6.1.

68.设σ同29题,S ={(x,y,z )T ∈R 3|0≤x,y,z ≤1}为标准单位立方体.计算σ(S )的体积.

69.利用定理2.6.1求椭球的体积公式.70.证明定理2.6.2.

71.求方程AX +XB =C 的解,其中A =

1?13?222?1?15

,B =

1?13

?222

0?1?15

001?3

1

,C = 2310

20110?1?23

.23

72.设σ:X →AX +XB 是M n (C )的线性变换.证明σ是同构??A 和?B 没有相同的特征值.

73.设U,W 是线性空间V 的两个子空间.

(1)证明(U +W )/W 与U/(U ∩

W )是同构的线性空间;(2)试建立(1)中的不依赖于任何基的一个同构映射.

74.(双线性函数与张量积)设A ∈F m ×n .对任意x ∈F m ,y ∈F m ,定义

f (x,y )=x T Ay.

则f (x,y )称为F 上的一个m ×n 维的双线性函数,A 称为该双线性函数的矩阵.F 上的m ×n 维双线性函数的全体记为B (m,n ).

(1)证明B (m,n )按照普通加法与数乘运算构成F 上的线性空间;(对照第一章第五节思考题6)

(2)计算B (m,n )的维数与一组基;

(3)建立B (m,n )与Hom F (F m ?F n ,F )=(F m ?F n )?之间的一个同构映射.解释之.

75.设U 与W 是线性空间V 的两个子空间,α,β∈V .证明:(1)α+U =P U ⊥(α)+U ;

(2)(α+U )+(β+W )=(α+β)+(U +W );(3)(α+U )∩(β+W )=???α?β∈U +W .

76.证明迹函数tr :X →tr(X )是线性空间M n (F )到F 的满足性质σ(XY )=σ(Y X )以及σ(I )=n 的唯一线性变换.

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