克拉默法则教案
克拉默法则
教学目标
1.线性方程的相关概念
2.克拉默法则 教学重点
克拉默法则及其应用 教学难点
克拉默法则的证明 教学方法
讲授法 教学过程
一、导入
前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课
n 个未知量n 个方程的线性方程组
()???
??
?
?=+++????????????=+++=+++12211222212111212111n n nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：
()2.
,,,2211D D x D
D x D D x n n =
?=
=
其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项
n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论
（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出
这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
1.把
D
D D D D D n ,,,2
1?代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：
（一）证明(2)是(1)的解，即
i n in
i i b D
D a D
D a D D a =+++ 22
11
),,2,1(n i =
或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式
nn
n n n
n n
in i i i a a a b a a a b a a a b a a a b D
2
1
222212
112111
210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得
n
n n in i i i i D a D a D a D a D b D 1
1
13
2
4
13213
1212
111
10)
1()
1()1()
1()1()
1()
1()
1(-++++++--++--+--+-+-=
.2211n in i i i D a D a D a D b ----=
在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此
2211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =
即(2)是(1)的解。
（二）证(2)是(1)的唯一解.
设i i c x =),,2,1(n i =是(1)的一个解，即
i n in i i b c a c a c a =+++ 2211
).,,2,1(n i =
因为
nn
j
nj n n j
j n j j j a c a a a c a a a c a a D c
122211111
=
)
列(111
2221212111111111j a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a a nn
n
nn j nj n n n n
n j j n n n j j
++++++++++++=
）
（列).
,,2,1(.
1
22211111j n j D a b a a b a a b a j nn
n
n n n
===
∴).,,2,1(n j D
D c j j ==
即(2)是(1)的唯一解。
注意：克拉默法则所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论。
例：解线性方程组
??
?
??
?
?*=+-+-=+-=--=+-+)(0674522963852432143242
14321x x x x x x x x x x x x x x
解：方程组)(*的系数行列式
.0276
7
4
1
212060311512≠=-----=
D
由克拉默法则知方程组)(*有唯一解。 又因为
,816
74
0212560391518
1=------=
D ,10867012150609115822-=-----=
D
,276
41
2520693118123-=---=
D .2707
4
1
5120903185124=-----=D 所以方程组)(*的解是：
31=x ，42-=x ，13-=x ，.14=x
三、小结
在第一章第四节给出的二元与三元线性方程组的求解公式就是克拉默
法则的特例。克拉默法则的重要意义是在于它给出了线性方程组有解的一个充分条件，并且给出了解的表达式。不过这个求解公式的理论价值大于实用价值，因为克拉默法则进行计算是不方便的，按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 阶行列式，这个计算量很大。
在下一章我们将学习线性方程组的另一种求解方法——消去法。
四、作业
P138—习题1（1）（4）.
经济管理类本科数学基础课程教学基本要求
经济管理类本科数学基础课程教学基本要求 数学与统计学教学指导委员会 一、前言 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学的内容更丰富，方法更综合，应用更广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质经济和管理人才中越来越显示出其独特的、不可替代的重要作用。 高等学校经济类和管理类专业本科生的数学基础课程应包括微积分、线性代数与空间解析几何、概率论与数理统计，它们都是必修的重要基础理论课。在学习过程中，要将数学知识与其经济应用有机结合。通过这些课程的学习，应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数、常微分方程与差分方程、向量代数与空间解析几何、线性代数、概率论与数理统计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础。在传授知识的同时，要注意培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力。 课程的教学基本要求，是经济类和管理类专业本科生学习本课程都应当达到的合格要求，其中带*号的条目是为某些相关专业选用的，也是对选用专业学生的基本要求。各校各专业根据本校本专业的实际情况，在达到基本要求的基础上，还可以提出一些较高的或特殊的要求。 各门课程的内容按教学要求的不同，都分为两个层次。文中用黑体字排印的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。非黑体字排印的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 基本要求中所列出的各项内容与要求是制订教学计划、教学大纲和编写教材的重要依据，但不涉及课程体系的结构、教学内容的先后安排和编写教材的章节顺序。 二、微积分课程教学基本要求 1. 函数、极限、连续 (1) 在中学已有的基础上, 加深对函数概念的理解和对函数基本性态(奇偶性、周期性、单调性、有界性)的了解。 (2) 理解复合函数的概念；了解反函数的概念，理解初等函数的概念。 (3) 会建立简单的经济问题的函数关系式；了解经济学中常用的一些函数。 (4) 理解数列极限和函数极限的概念。
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则 现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形. 定理4 如果线性方程组 ?????? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212*********,, (1) 的系数矩阵 ?? ?? ? ? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 (2) 的行列式 0||≠=A d 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 d d x d d x d d x n n === ,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即 .,,2,1,1,1,1 21 ,221,22111,111 ,111 n j a a b a a a a b a a a a b a a d nn j n n j n n n j j n j j j == +-+-+- (4) 定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 1. 把),,,( 2 1d d d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组
?????? ?=+-+-=+-=--=+-+. 0674,522,963,85243 2143 24214321x x x x x x x x x x x x x x 应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有 定理5 如果齐次线性方程组 ?????? ?=+++=+++=+++0 ,0,0221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A . 例2 求λ在什么条件下，方程组 ?? ?=+=+0 , 02121x x x x λλ 有非零解. 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.
线性代数教案设计
线性代数 课程教案 学院、部 系、所 授课教师 课程名称线性代数 课程学时45学时 实验学时 教材名称 年月日 线性代数课程教案
授课类型 理论课 授课时间 3 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 本授课单元教学目标或要求： 1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n 阶行列式的定义。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法 设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； …… 最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++ 。 2. n 阶行列式 121211 1212122212() 1 2(1)n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 12()n p p p 求和。 n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。 3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 1112 112212212122 a a D a a a a a a = =-
(完整版)克拉默法则教案
克拉默法则 教学目标 1.线性方程的相关概念 2.克拉默法则 教学重点 克拉默法则及其应用 教学难点 克拉默法则的证明 教学方法 讲授法 教学过程 一、导入 前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。 二、新课 n 个未知量n 个方程的线性方程组 ()?????? ?=+++????????????=+++=+++12211222212111212111n n nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛ 利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D Λ M O M M ΛΛ 21 22221112 11 = 称为方程组(1)的系数行列式。 定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为： ()2.,,,2211D D x D D x D D x n n =?== 其中j D ),,2,1(n j Λ=是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项 n b b b ,,,21Λ而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论 （1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出 这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 1.把 D D D D D D n ,,,2 1?代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。 证明： （一）证明(2)是(1)的解，即 i n in i i b D D a D D a D D a =+++Λ2211 ),,2,1(n i Λ= 或02211=----n in i i i D a D a D a D b Λ ).,,2,1(n i Λ= 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式 nn n n n n n in i i i a a a b a a a b a a a b a a a b D Λ M O M M M ΛΛΛ2 1222 212112 111210= ),,2,1(n i Λ=. 把0D 按第一行展开，得 n n n in i i i i D a D a D a D a D b D 1 1 132413213121211110) 1() 1()1()1()1()1()1()1(-++++++--++--+--+-+-=Λ .2211n in i i i D a D a D a D b ----=Λ 在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此 02211=----n in i i i D a D a D a D b Λ ).,,2,1(n i Λ= 即(2)是(1)的解。 （二）证(2)是(1)的唯一解. 设i i c x =),,2,1(n i Λ=是(1)的一个解，即 i n in i i b c a c a c a =+++Λ2211 ).,,2,1(n i Λ=
孙斌-工程数学教案
线性代数 课 程 教 案 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 本授课单元教学目标或要求： 1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n 阶行列式的定义。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法 设12 n p p p 是1,2, ,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； …… 最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。 2. n 阶行列式 12 12 11 1212122212() 1 2 (1)n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其中12 n p p p 为自然数1,2, ,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 12()n p p p 求和。 n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。 3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 1112 112212212122 a a D a a a a a a = =-
第 2 页，共 46 页 11 1213 21 222311223312233113213231 32 33 132231122133112332 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++--- 重点和难点：理解行列式的定义 行列式的定义中应注意两点： (1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的 乘积共有!n 项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12 ()n p p p 的逆序数， 即当12n p p p 是偶排列时， 对应的项取正号；当12 n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。 综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半 带正号，一半带负号。 例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。 解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。 例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。 解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665a a a a a a 是6阶行列式中的项。 324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不是6阶行列式中的项。 例：计算行列式0 0010 020******** D = 解：0123(1)123424D +++=-???= 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合 首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。 通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。 本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6) 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
高等代数(1)课程教学大纲
高等代数（1）课程教学大纲 第一部分前言 一、课程基本信息 1.课程类别：专业基础课 2.开课单位：数学与财经系 3.适用专业：数学与应用数学专业 4.备选教材：《高等代数（第三版）》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社，2003. 二、课程性质和目标 高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。 本课程的教学目的是使学生获得一元多项式，行列式，线性方程组，矩阵等方面的系统知识,为进一步学习近世代数，复变函数、等后续课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。 通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握高等代数的基本理论知识；培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。 三、课程学时与学分 教学时数：96学时，其中理论教学81学时，实践教学15学时 学分数： 6 学分 教学时数具体分配：
第二部分教学内容及其要求 第一章多项式 1.教学目标： 要求学生理解数域的概念；掌握一元多项式的概念、运算及基本性质；掌握带余除法与整除性的关系，会进行相关运算；会求多项式的最大公因式；理解不可约多项式的概念，掌握求重因式的方法；理解多项式在不同的数域的因式分解形式；掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。 2.教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k 重因式与k重根的关系。 3.教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein 判别法。 4.教学时数
第三讲克拉默法则与矩阵的概念
§1.6 克拉默法则 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的n 个线性方程的方程组 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, （1） 与二、三元线形方程组相类似，它的解可以用n 阶行列式表示，即有 1、克拉默法则：如果线形方程组（1）的系数行列式不等于零，即 ,01111≠=nn n n a a a a D 那么，方程组（1）有唯一解 ,,,,2211D D x D D x D D x n n === （2） 其中),,2,1(n j D j =是把系数行列式D 中的j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即 .1,1,1,1,1111 111nn n n n n n j a j a b j a a a j a b j a a D +-+-= 例1 解线性方程组???? ?????=+-+-=+-=--=+-+0674,522,963,852432143 24214321x x x x x x x x x x x x x x 解 ,2727332770103531277212135712 770212060311357067412120603115122321242122=---=-------==----=-----==-----=++--c c c c r r r r D
,1086 7012 15060911 582,81674021256039151821-=-----==------=D D ,270 7415 12090318 512,27604125206931181243=-----=-=---=D D 于是得 .1,1,4,34321=-=-==x x x x 2、定理1： 如果线形方程组（1）的系数的系数行列式0≠D ，则（1）一定有解，且解是唯一的. 3、定理2（定理1的逆否定理）：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零. 4、定义：线性方程组(1)右端的常数项n b b b 、、、 21不全为零时,线形方程组(1) 叫做非齐次线性方程组,当n b b b 、、、 21全为零时,线形方程组(1)叫做齐次线性 方程组. 5、定理3：如果齐次线形方程组的系数行列式0≠D ,则齐次线形方程组只有非零解. 推论：如果齐次线形方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 例2 问λ取何值时,齐次线形方程组 ?? ???=-+=-+=++-0)4(2,0)6(2,022)5(z x y x z y x λλλ (1) 有非零解？ 解：若齐次线形方程组（1）有非零解，则（1）的系数行列式0=D 而
(原创)利用克拉默法则求解多元一次方程组
(原创)利用克拉默法则求解多元一次方程组 package zouyf.matrix; /** * @author zouyf 2008-4-7 本程序利用克拉默法则求解多元一次方程组 */ public class GetMatrix { private double[][] savequot;// 保存变量系数 private double[] constquot;// 保存常量系数 private double[] saveResult;// 保存解的集合 public GetMatrix(double quot[][]) { int count = quot.length; savequot = new double[count][count]; constquot = new double[count]; saveResult = new double[count]; int i = 0, j = 0; for(i = 0; i < count; i++) { for(j = 0; j < count; j++) { savequot[i][j] = quot[i][j]; } constquot[i] = quot[i][count]; saveResult[i] = 0; } } private double getMatrixResult(double input[][])// 递归的方法求得某个行列式的值 { if(input.length == 2)//递归出口，为二阶行列式时，直接返回 { return input[0][0] * input[1][1] - inp
(精选)高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设.21 22221 112 11 d a a a a a a a a a nn n n n n =Λ ΛΛΛΛ ΛΛ 则._____1 2 21 22211 121=n n nn n n a a a a a a a a a Λ Λ ΛΛΛΛ Λ (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛ ΛΛΛ2122221 11211 则1211122221 21 n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ21 22221 11211 则 d a a a a a a a a a n nn n n n -=11211 2122221ΛΛΛ ΛΛΛ ΛΛ（ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ） √ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a ΛN 212 1 = （ ）× 10. 0 10000 2000 010 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛn n -=n ！ （ ）×
线性代数网络教学阶段测试一
一、单项选择题（共20题） 1.设多项式则f（x）的常数项为（） A.4 B.1 C.-1 D.-4 【正确答案】A 【答案解析】f（x）=（-1）A12+xA13，故常数项为. 2.设A为三阶方阵且（） A.-108 B.-12 C.12 D.108 【正确答案】D 【答案解析】 3.设都是三阶方阵，且，则下式（）必成立. 【正确答案】B 【答案解析】方阵行列式的性质
4.当a=( )时，行列式的值为零。 A.0 B.1 C.-2 C.2 【正确答案】C 【答案解析】所以a= -2。 5.设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（）. 【正确答案】C 【答案解析】这是行列式的性质. 6.设行列式（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【正确答案】D 【答案解析】
7.行列式中第三行第二列元素的代数余子式的值为（） A.3 B.-2 C.0 D.1 【正确答案】B 【答案解析】 8.行列式中元素g的代数余子式的值为（）。 A.bcf-bde B.bde-bcf C.acf-ade D.ade-acf 【正确答案】B 【答案解析】直接计算知应选B 9.下列等式成立的是（）,其中为常数. 【正确答案】D 【答案解析】由行列式的性质可以判断D正确.
10.设（） A.k-1 B.k C.1 D.k+1 【正确答案】B 【答案解析】将所求行列的第二行的-1倍加到第一行，这样第一行可以提出一个k,就得到k 乘以已知的行列式，即为k，本题选B. 11.计算四阶行列式=( )。 A.（x+3a）（x-a）3 B.（x+3a）（x-a）2 C.（x+3a）2（x-a）2 D.（x+3a）3（x-a） 【正确答案】A 【您的答案】A【答案正确】 【答案解析】 12.设=（）。 A.-9m B.9m C.m
(精选)线性代数基本定理
线性代数基本定理 一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A 也可以不等于O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è??? ÷ 2.矩阵不可交换 (A +B )2=A 2+AB +BA +B 2 (AB )k =ABABABAB ...AB 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A +B )T =A T +B T (l A )T =l A T
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆 如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。 把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。 5.矩阵的分块进行计算 加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，如： 如红线所示： 左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间
至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。 求逆： 如果A 1 ,A 2 ,...,A m均可逆， 若，则 反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。求转置： 块转置，每一块里面的也要转置 6.把普通线性组合式写成矩阵形式 二、行列式的计算 计算一般行列式时需注意： A．代数余子式的正负 B．初等变换用等号，行列式的值可能变化1.特殊形状行列式 上下三角行列式、反上下三角行列式
克莱姆法则
克莱姆法则（Cramer's Rule ） 教学过程(自己写的不一定好，大家自己斟酌，括号中的内容不在教案范围内，把括号的内容全部删掉就是教案。红色的内容和其中的公式是教案内容也是板书的部分) 一；引入（大约5分钟）：复习行列式的计算，并通过实例引入： (1)回忆行列式的定义和简单的计算性质(我们学习了行列式的定义和计算，一个行列式的值就是所有不同行列的元素的成绩的代数和，那么下面我们来研究一下行列式的应用，到底行列式用在什么地方呢？我们看一下如下的例子) （例题及分析写在黑板的右边） 例：解二元一次解方程组：11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=?，（通过消元法我们可以解得方程组的解为） 消元法解方程得：122212111221221111212 211221221b a b a x a a a a a b a b x a a a a -?=?-??-?=?-? 。（我们来看一下这两个解会发现什么？ 两个根1x 和2x 的分母是相同的刚好是行列式） 令：11122122 a a D a a = ，（这个行列式刚好是方程组的系数行列式而分母我们也可以用行列式表示，我们用行列式来表示一下分子） 1 121222b a D b a =和1112212 a b D a b =；（看，1D 和2D 恰好是用常数项分别代替1x 和2x 的系数得到的行列式；即） 此时：112 2D x D D x D ?=????=??。（那我们按照这个形式将二元的形式推广到n 元的情形会得到什么呢？能不能像这样用行列式来表示线性方程组的解呢？这就是我们这节课要学习的克莱姆法则） （在黑板中间写标题：）板书标题：克莱姆法则 二；新课（约25分钟） （黑板左边写定理）定理一克莱姆法则：若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组： 【1】11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解，且解为： 1212,,n n D D D x x x D D D ===……………………………………（2） 其中j D 是将系数行列式的第j 列换成方程的常数项得到的行列式。
【线性代数期末试卷】线代期末试题5
级（学生填写） ： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： -------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）
（学生填写） ： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线） 2. 计算五阶行列式1 1110980 1 00710 60541 30200 15=D 解: 方法有多种,最简单的是按行（或列）展开, 若方法正确，给3分，结果正确再给3分 5D 展开 按5c 1 000710654132001 …… 1分 展开按4r 1064130 01 …… 3分 展开 按1r 1 041=1 …… 6分 3. 求矩阵 1234012300120 001A ?? ? ? = ? ? ?? 的逆矩阵1-A . 解: 因为1=A ≠0, 所以矩阵A 可逆. ………2分 利用矩阵的初等行变换法求1-A , ()A E M ???→ ?初等行变换1 000121 0010001210010001200010 01-?? ? - ? ? - ? ?? ? M M M M ………5分 故 1-A =1210012100120001-?? ?- ? ?- ??? ………6分
《高职高等数学》课程教学大纲
《高职高等数学》课程教学大纲 一、课程性质、任务 《高职高等数学》是高职院校相关专业的一门重要的基础课。通过教学，使学生掌握一元及多元微积分、常微分方程、级数等基础知识，学会用运动和变化的观点思考问题，拓展学生分析问题和处理问题的能力；初步学会应用数学思想和方法去分析、处理某些实际问题。 二、课程在专业中的地位和作用 《高职高等数学》是研究自然科学和工程技术的重要工具之一，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。本课程要使学生在学习初等数学的基础上进一步学习和掌握高等数学的基础知识和思维方式，为学生学习专业基础课和相关专业课程提供必需的数学基础知识和数学工具。 三、课程教学目标和基本教学要求 教学目标： 重视与高中（职高）知识的衔接及各专业知识的必需，以掌握概念，强化应用为重点，贯彻拓宽基础、强化能力、立足应用的原则。教学内容应由浅入深、由易到难，循序渐进，既兼顾数学本身的系统性，又要贯彻理论联系实际的原则，强调应用性和实用性。逐步培养学生具有初步抽象概括问题的能力、一定的逻辑推理能力、比较熟练的运算能力以及自学能力。 教学要求： 1、在重点讲清基本概念和基本方法的基础上，适度淡化基础理论的严密论证和推导，加强与实际联系较多的基础知识和基本方法教学。注重基本运算的训练，简化过分复杂的计算和变换； 2、结合数学建模突出“以应用为目的，以必需够用为度”的教学原则，加强对学生应用意识、兴趣、能力的培养；让学生学会利用常用的数学软件，完成必要的计算、分析或判断；教学过程中，逐步使用现代教学手段，尽量结合使用电子教案进行日常教学； 3、教学中以极限、导数、积分、微分方程及应用等知识为主线，着力培养学生利用数学原理和方法消化吸收工程概念和工程原理的能力。 四教学内容（单元、课题或章节）、教学目标与学时分配 总体模块学时分配：微积分模块 56学时；应用模块 52学时。 模块（1）线性代数基础
《线性代数》教学大纲教学内容及要求
《线性代数》教学内容及要求 1．行列式 二阶和三阶行列式，n阶行列式的定义，行列式的性质，行列式按行(列)展开，克拉默法则。 2．矩阵 矩阵，矩阵的运算，逆矩阵，分块矩阵，矩阵的初等矩阵和初等变换，矩阵的秩。 目的要求：理解矩阵的概念，掌握几种特殊矩阵(单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，三角矩阵，对称矩阵，反对称矩阵)的定义与性质。 熟练掌握矩阵运算(加、减、数乘、乘法)及其运算，掌握矩阵转置的性质，掌握行列式运算规律，了解方阵的幂。 理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性质。理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。理解分块矩阵的概念，会用矩阵分块法进行矩阵运算。 理解矩阵的初等变换，初等矩阵的概念。理解矩阵秩的概念，会用初等变换求矩阵的逆和秩。 3．线性方程组 高斯消元法，向量组的线性相关性，向量组的秩和极大线性无关组，线性方程组解的结构。 目的要求：理解线性方程组的概念，掌握用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的主要条件和非齐次线性方程组有解的主要条件。
熟练掌握用初等行变换求线性方程组的通解的方法（高斯消元法），理解向量组线性相关和线性无关的概念，理解向量组的秩的概念，掌握向量组秩与矩阵秩之间的关系，并用矩阵秩研究向量组线性相关与线性无关的判定方法。了解线性方程组的解的结构，会求齐次线性方程组的基础解系以及非齐次线性方程组的通解。 4．相似矩阵 方阵的特征值与特征向量，相似矩阵，对称矩阵的相似矩阵。 目的要求： 理解矩阵的特征值，特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可对角化的主要条件．掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法，掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。5．相似矩阵与二次型 向量的内积，二次型及其标准形，用正交变换法化二次型为标准形，正定二次型。 目的要求： 了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，理解二次型秩的概念，理解二次型及其标准形等概念以及惯性定理的条件和结论，会用正交变换化二次型为标准形．理解正定二次型，正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质。
克莱姆法则
教学目的及要求：1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组 )1(, ,,22112222212111212111 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 )2(. 0,0,0221122221211212111 n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 . 2.克莱姆法则 定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0 D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为
),,2,1(n j D D x j j (3) 其中),,2,1(n j D j 是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0 D 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理: 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见021 n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0 D 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例1用克莱姆法则求解线性方程组： 453522 532322 1321x x x x x x x
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则 教学目的及要求： 1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点： 克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行 探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。 含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n b 1, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n b 2, (1) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n b n , a 11 a 12 a 1n D a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 2. 克莱姆法则 定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为 性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组， 即 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n 0, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n 0, (2) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n 0. 称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即 ,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一
2 2 5 20, 20, 85 45 D j x j D(j 1,2, ,n) (3) 其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理: 定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方 程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理 3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0. 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性 方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例 1 用克莱姆法则求解线性方程组： 2x1 3x2 5x3 2 x1 2x2 5 3x 2 5x3 4 解D 20 2 35 D1( 2) 2 5 D2 60,
《线性代数》教学大纲-哈尔滨理工大学
《线性代数》教学大纲 Lin ear Aigebra 课程编号：070A1060 适用专业：理工管各专业学时：40 学分：3 一、内容简介 内容包括：行列式，矩阵的运算，向量的线性相关性，线性方程组的基本理论及解法，特征值与特征向量的概念与计算，矩阵的相似对角阵及用正交变换化对称矩阵为对角阵的方法，化二次型为标准形，线性空间与线性变换。 二、本课程的目的和任务 线性代数是高等学校理工科和经济学科等有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程及经济管理课程的基础。另外，由于计算机科学的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。 三、本课程与其它课程的关系 本课程的先修课是高等数学中的“空间解析几何与向量代数”部分。作为基础课，它是许多后继课，如计算方法、数理统计、运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。 随着对教学内容的改革，本课程可以与高等数学中的某些部分结合起来讲授，如向量代数；又可在多元函数的微分学中介绍其部分应用，如二次型的正定性。 四、本课程的基本要求 通过本课程的学习，要求学生熟练掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，禾U用矩阵的初等变换求解方程组及逆阵，向量组的线性相关性，禾U用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。具体要求如下： n阶行列式的定义 第一讲二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数、目的：理 解n阶行列式的定义。 要求：掌握二阶、三阶行列式的计算，会求全排列的逆序数，利用定义计算简单的行列式。 第二讲对换、行列式的性质目的：理解n阶行列式的性质。