地信复习重点

山东农业大学测绘类专业地信复习资料

2013-2014-2学期地信复习资料

名词解释

地理信息系统：是由计算机硬件、软件和不同的方法组成的系统，该系统设计来支持空间数据的采集、管理、处理、分析、建模和显示，以便解决复杂的规划和管理问题。

地理信息：是指表征与地理环境固有要素有关的物质的数量、质量、分布特征、联系和规律等的数字、文字、图像和图形等的总称。

矢量数据结构：基于矢量模型的数据结构简称为矢量数据结构。它是利用欧几里得几何学中的点、线、面及其组合体来表示地理实体空间分布的一种数据组织方式。

数据结构：即数据组织的形式，是适合于计算机存储、管理、处理的数据逻辑表达。

拓扑关系：表示地理实体间的空间相关性，定义了地物之间的空间联系，是GIS分析中最基本的关系。

数据压缩：即从空间坐标数据集合中抽取一个子集，使这个子集在规定的精度范围内最好地逼近原集合，而又取得尽可能大的压缩比。

地图投影：依据一定的数学法则，将不可展开的地表曲面映射到平面上或可展开成平面的曲面（如圆锥面、圆柱面或椭圆柱面）上，最终在地表面点和平面点之间建立一一对应的关系。

空间索引：依据空间实体的位置和形状或空间实体之间的某种空间关系按一定的顺序排列的一种数据结构，其中包含空间实体的概略信息，如标识码、最小外接矩形以及存储地址。

元数据：指在空间数据库中用于描述空间数据库的内容、质量、表示方式、空间参考和管理方式等特征的数据。

概括：把一组具有相同特征和操作的类归纳在一个更一般的超类中。（P121）空间缓冲区分析：是围绕空间的点、线、面实体，自动建立其周围一定宽

度范围内的多边形。

空间分析：是基于空间数据的分析技术，它是以地球科学原理为依托，通过分析算法，从空间数据中获取有关地理对象的空间位置、空间分布、空间形态、空间构成、空间演变等信息。

电子地图：以地图数据库为基础，以数字形式存储于计算机外存储器上，并能在电子屏幕上实时显示的可视地图，是数字地图在电子屏幕上的符号化显示，又称“屏幕地图”或“瞬时地图”。

虚拟现实：采用各种技术，来营造一个使人感觉置身于类似于现实世界的环境中。

地理信息系统产品：主要指经过空间数据处理和空间分析产生的可以供各专业人员或决策人员使用的各种地图、图表、图像、数据报表或文字说明等。选择或填空题：

1.地理信息系统日(GIS Day) ：每年11月的第三个星期三

2.拓扑关系的类型有：拓扑邻接，拓扑关联，拓扑包含

3.空间数据的基本特征：空间特征，属性特征，时间特征

4.栅格数据精度：由网格边长决定，一般可通过保证最小多边形的精度标准

来确定网格尺寸。

5.数据压缩的方法

①基于矢量的压缩：道格拉斯-普克法，垂距法，光栏法

②基于栅格的压缩：弗尔曼链码，游程编码，块码，四叉树编码，八叉树编码

6.基于多边形的栅格化采用的技术方法:内点填充法，边界代数法和包含检验

法

7.高斯-克吕格投影的特点：

①中央经线上没有任何变形，满足中央经线投影后长度不变的条件。

②除中央经线上的长度比为1外，其他任何点上的长度比均大于1。

③在同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大，最大值位于投影带的边缘。

④在同一条经线上，纬度越低，变形越大，变形最大值位于赤道上。

⑤投影属于等角性质，故没有角度变形，面积比为长度比的平方。

⑥长度比的等变形线平行于中央子午线。

8.空间数据库传统概念模型：层次数据模型、网状数据模型、关系数据模型

9.空间索引有哪些：范围索引，格网空间索引，四叉树空间索引

10.空间缓冲区分析的模型：线性模型，二次模型，指数模型。

课本答案：线性函数模型，幂函数模型，指数函数模型（P166）二者均正确

11.建立数字高程模型的点的内插方法：分块内插法，逐点内插，整体内插(P96)

12.系统设计时采用的结构化生命周期法的特点：（不确定）强调用户的调查和

系统功能需求的分析

13.数字地球的概念提出者：美国副总统戈尔于1998年1月

简答题：

1.简述地理信息系统的组成有哪些？

系统硬件，系统软件，空间数据，应用人员，应用模型。

2.简述常用的栅格代码（属性值）的确定方法有哪些？

中心点法，面积占优法，重要性法，长度占优法。

3.简单数据结构的特点有哪些？

①数据按点、线或多边形为单元进行组织，数据结构直观简单。

②每个多边形都以闭合线段存储，多边形的公共边界被数字化和存储两次，造成数据冗余和产生不一致性。

③点、线和多边形有各自的坐标数据，但没有拓扑数据，彼此不关联。

④岛或洞只作为一个单个图形，没有与外界多边形的联系。

4.简述栅格数据矢量化的步骤？

首先，在栅格数据中搜索多边形边界弧段相交处的节点位置；

接着，从搜索出的节点里任选一个作为起始跟踪节点，顺着栅格单元属性值不同的两个栅格单元之间进行多边形边界弧段的跟踪，记录每一步跟踪的坐标，直到另一个节点为止；

最后，将跟踪得到的弧段数据连接组织成多边形

5.简述道格拉斯-普克法的思路？（P93）

先拟定一个阈值，然后生成一条连接折线首尾节点的直线段，并计算原

始折线上的点到直线段的距离。假如所有直线上的点到直线段距离均小于预先设定的阈值，这条直线段用来代替原先那条折现，假如有些点的距离大于阈值，距离最远的那点保留，将原始折线分成两段，对两线断重复上述过程，最后保留下来的点即为经过压缩后的折线。

6.简述扫描数字化的步骤？

①先进行扫描参数的设置。包括扫描模式设置（二指，灰度，百万种彩色扫描）；扫描分辨率的设置；调整亮度，对比度及色调等；设定扫描范围。

②扫描参数设置完成后，通过扫描将地图转换成栅格数据文件。

③然后采用栅格数据矢量化的技术追踪出线和面，采用模式识别的技术识别出点和注记，并根据地图内容和地图符号的关系，自动给矢量数据赋以属性值。

7.空间数据库设计的原则有哪些？（P115）

①尽量减少空间数据存储的冗余量；

②提供稳定的空间数据结构，在用户的需要改变时，该数据结构能迅速做相应的变化；

③满足用户对空间数据及时访问的需求，并能高效地提供用户所需的空间数据查询结果；

④在数据元素间维持复杂的联系，以反映空间数据库的复杂性；

⑤支持多种多样的决策需求，具有较强的应用适应性。

8.简述空间数据管理实现方式从文件发展到数据库主要经历了哪几个阶段？

初级式的管理模式→混合式的管理模式→扩展式的管理模式（引擎方式）→集成式的管理模式

9.简述实体-联系模型的优缺点？

优点：接近人的思想，易于理解，同时又和计算机的具体实现无关，是一种很好的数据库概念设计方法。

缺点：没有一个数据库管理系统直接支持E-R模型的实现。

10.空间网络分析的应用有哪些？

（1）公共交通运营的线路选择和紧急救援行动线路的选择等，与网络最佳

路径选择有关；

（2）当估计排水系统在暴雨期间是否溢流及河流是否泛滥时，需要进行网流量分析或负荷估计；

（3）城市消防站分布和医疗保健机构的配置等，可以看成是利用网络和相关数据进行资源的分配等。

11.DEM的数据源主要有哪些？

①以航空或航天遥感图像为数据源

②以地形图为数据源

③以地面实测记录为数据源

④其他数据源

12.应用模型建模的步骤？

（1）

（2）准备分析数据

（3）空间分析操作

（4）结果分析

（5）解释、评价结果（如有必要，返回第一步）

（6）结果输出（地图、表格和文档）

13.简述地理信息标准化的内容？

1.统一的名词术语内涵

2.统一的数据采集原则

3.统一的空间定位框架

4.统一的数据分类标准

5.统一的数据编码系统

6.统一的数据组织结构

7.统一的数据记录格式 8.统一的数据质量含义

14.简述虚拟现实的特征有哪些？

1.立体感的视觉效果

2.存在感

3.多感知性

4.闭环交互方式

5.动态显示

论述题：

1.结合专业，谈谈GIS的应用和发展趋势？（结合课件和自己的理解写，不许雷同）答案略

2.论述地理信息系统的设计过程？

①系统分析：以访问座谈等方式进行用户需求调查（who，what，why，

where，quality），从社会、技术、经济三大要素对需求进行可行性分析，

经过审批立项。

②系统设计：

总体设计---设计内容包括用户需求，系统目标，总体结构，系统配置，

数据库设计，系统功能，经费和管理。

详细设计---设计内容包括子系统设计，数据库设计，功能模块设计，

用户界面设计。

③系统实施：系统硬件和软件的引进及调试，系统数据库的建立，应

用管理系统的开发，系统测试和联调，系统验收和鉴定。

④系统运行和维护：保证系统正常工作的一切措施和实际步骤，包

括数据维护，软件维护和硬件维护。

分析题：空间分析、栅格编码部分

题型：一、名词解释（共20分）10个×2分

二、选择题（共计10分）10个×1分

三、简答题（共50分）10个×5分

四、论述题（共10分）1个×10分

五、分析题（考两道）2个×5分（空间缓冲区分析考一道，课件上老师讲过的例题仔细看）

信息安全数学基本第一阶段知识归纳

信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数的可除性一整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数，我们常常将q 写成a ／b 或否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a b. 2整除的基本性质 (1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|≤|a|. 3整除的相关定理 (1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ，有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…， a b n n a s a s ++ 11

s n，整数是c的倍数 (5) 设a，b都是非零整数.若a|b，b|a，则a=±b (6) 设a, b , c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则(ab , c)=(b , c) (7) 设a , b , c是三个整数，且c≠0，如果c｜ab , (a , c) = 1, 则c | b. (8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a或p|b (9) 设a1 , …,a n是n个整数，p是素数，若p| a1…a n,则p一定整除某一个a k 二整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念定义：设是个整数，若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作. 若,则称互素．若,则称两两互素．思考：1．由两两互素，能否导出 2．由能否导出两两互素？ 2．最大公因数的存在性 (1)若不全为零，则最大公因数存在并且

信息安全数学基础第一阶段知识总结

有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数是c 的倍数 (5) 设a ，b 都是非零整数.若a|b ，b|a ，则a=±b (6) 设a, b , c 是三个整数，且b ≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则 (ab , c)=(b , c) (7) 设a , b , c 是三个整数，且c ≠0，如果c ｜ab , (a , c) = 1, 则c | b. (8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a 或p|b (9) 设a 1 , …,a n 是n 个整数，p 是素数，若p| a 1 …a n ,则p 一定整除某一个a k 二整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念定义：设是个整数，若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作 . 若 ,则称互素．若 ,则称两两互素． n n a s a s ++ 11

信息安全数学基础(A)答案

贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A 信息安全数学基础注意事项： 1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。 2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间为120分钟。一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解： 2 2[,](3(,)(3(,)(2( ,) [,](2abm am bm am bm abm a b m abm a b a b m = == =分）分）分）分） = = 二、设 n=pq,其中p,q 是素数.证明：如果 2 2 =(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分）证明：由2 2 2 2 =(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分）又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分）同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分）由于,n a b n a b -+宎，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分）由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分）由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数得可除性一整除得概念与欧几里得除法 1 整除得概念定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、 2整除得基本性质 (1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数， (i）若b|a,则|b|｜|ａ|、 (ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、 (iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、 3整除得相关定理（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、 (２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b (3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、 (４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数

s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b (6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c） (7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）＝1, 则c｜b、（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b （9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk 二整数得表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、三最大公因数与最小公倍数（一)最大公因数 1．最大公因数得概念定义:设就是个整数,若使得 ,则称为得一个因数。公因数中最大得一个称为得最大公因数。记作、若，则称互素。若,则称两两互素。?思考:１.由两两互素，能否导出 2。由能否导出两两互素？２。最大公因数得存在性（1)若不全为零,则最大公因数存在并且 (2)若全为零,则任何整数都就是它得公因数。这时,它们没有最大公因数． 3.求两个正整数得最大公因数。定理1：设任意三个不全为零得整数，且则

信息安全数学基础教学大纲

西北师范大学网络与信息安全方向课程教学大纲信息安全数学基础一、说明（一）课程性质专业课、必修课（二）教学目的信息安全数学基础是网络与信息安全方向的一门核心数学基础课，是一门理论性较强的课程。本课程的目的是为了适应信息安全专业培养目标的要求，使学生学习掌握如何应用信息安全数学中的理论和方法来分析研究信息安全中的实际问题。（三）教学内容向学生系统介绍信息安全数学基础的理论和方法，使学生认识信息安全数学在信息安全中的作用，领会其基本思想和分析与解决问题的思路。要求掌握整除与欧几里得除法、不定方程、同余、同余方程、二次同余式与平方剩余、原根与指标，近世代数（群与群的结构、环论、域的结构、有限域等）等内容。（四）教学时数学时数为：72学时（五）教学方式<宋体小四加粗> 教学方法为课堂教学二、各章教学内容和要求第1章整数的可除性教学要点：掌握整除的基本概念和性质，最大公因数的概念和广义欧几里得除法的使用，最小公倍数以及素数的基本定理。重点为整除的概念、广义欧几里得除法。从基本的整除理论入手，阐明本课程与其他学科的关系，让学生对整个理论框架有个初步的认识，同时也尽量培养学习兴趣。教学时数： 11学时教学内容： 1.1 整除的概念欧几里得除法（4学时）介绍整数的一些基本概念和性质 1.2 整数的表示（1学时）介绍整数的各种表示形式 1.3 最大公因数与广义欧几里得除法（1学时）介绍最大公因数与广义欧几里得除法 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数（1学时）介绍最小公倍数的定义和相关性质 1.5 素数算术基本定理（1学时）介绍算术基本定理和素数的性质 1.6 素数定理（1学时）介绍素数的判定算法

信息安全数学基础课后答案完整版Word版

第一章参考答案（1） 5,4,1,5. （2） 100=22*52, 3288=23*3*137. （4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p 1p 2 ––p r , b=q 1 q 2 ––q s ,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p 1p 2 ––p r )n, b n=(q 1 q 2 ––q s )n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p 1p 2 ––p r , b=q 1 q 2 ––q s , a n=(p 1p 2 ––p r )n, b n=(q 1 q 2 ––q s )n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i 的n次方| b n, 所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p 1p 2 ––p r , b=q 1q 2 ––q s , ab=p 1 p 2 ––p r q 1 q 2 ––q s , 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k 1m+r, bc=k 2 m+r,有 ac=k 1d(m/d)+r, bc=k 2 d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i *m i ，a-b是任意m i 的倍数，所以a-b是m i 公倍数，所以[m i ]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/ 最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x. （6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)

信息安全数学基础2018(A卷)

广州大学2017-2018学年第一学期考试卷课程信息安全数学基础2 考试形式（闭卷，考试）学院_________系_____专业班级______学号___________姓名_________ 或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。” 一、简答题（每小题5分，共25分） 1．什么是正规子群？ 2．试写出群同态基本定理的内容。 3．试说明什么整环？

4．试解释什么是多项式的分裂域。 5. 试说明有限域中的本原元是什么？二、判断题（每小题2分，共10分） 1. 两个偶置换的乘积一定是偶置换( ) 2. 循环群一定是交换群( ) 3. 两个子群的交可集能不是子群( ) 4. E/K是代数扩张，K/F是代数扩张，则E/F也是代数扩张( ) 5. n次分圆多项式Q n(x)的次数一定是n ( ) 三、计算题（每题10分，共50分） 1. 在S4中，令K={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，求K的所有左陪集。

2. 验证集合H={[0],[4],[8],[12],[16],[20]}是加法群(Z ,+)的正规子群，并 24 /H，该商群中有几个元素？计算商群Z 24 3. 设Z[i]={a+bi|a,b∈Z,i2=-1}，令I=(2+i)为主理想。求剩余类环Z[i]/I。 4. 在高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}中，试将11+13i分解为不可约元之积。

5. 找出F 2[x]中的一个4次本原多项式。四、证明题（每题5分，共15分） 1. 假定G 是群，a,b ∈G ，如果o(a)=3, o(b)=4，并且ab=ba ，证明o(ab)=1 2. 2. 试证明() 32)3,2(+=Q Q .

信息安全数学基础习题答案

信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性 1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z 5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z 因此70|n 2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。 3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z （2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1 由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k 所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。 4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a 由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1) 又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1) 又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。 5．证明：构造下列k个连续正整数列： (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z 对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。 6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13 经验算都不能整除191 所以191为素数。因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23 经验算都不能整除547 所以547为素数。由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。 8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=9 10．证明：p1 p2 p3|n，则n= p1 p2 p3k，k∈N+ 又p1≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3 p1为素数则p1≥2，又p1≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22 即p2≤(n/2)1/2得证。 11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数： 12．证明：反证法假设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。 (3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘，得

信息安全数学基础答案第一二三四五六七八章2

第一章（1）5,4,1,5. （2）100=22*52, 3288=23*3*137. （4）a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b 没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i的n次方| b n, 所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, ab=p1p2––p r q1q2––q s, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c 也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x. （6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群. （7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群. 必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2. （8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1

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信安数学基础答案

信安数学基础答案【篇一：信息安全数学基础课后答案完整版】 1） 5,4,1,5. （2） 100=22*52, 3288=23*3*137. （4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将an, bn表示为多个素因子相乘an=(p1p2––pr)n, bn=(q1q2––qs)n明显an, bn也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs, an=(p1p2––pr)n, bn=(q1q2––qs)n,因为an| bn所以对任意的i有, pi的n次方| bn, 所以bn中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr, b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7） 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83, 89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,1 99. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12） (70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=- 362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有 2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有 2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.

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第一章参考答案（1）5,4,1,5. （2）100=22*52, 3288=23*3*137. （4）a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i的n次方| b n, 所以 b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, ab=p1p2––p r q1q2––q s, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m 即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x. （6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群. （7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群. 必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左

信息安全数学基础知识点

第六章素性检验 6.1 拟素数引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任意整数b,(b,n)=1,有 )(mod 11n b n ≡- 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得 ) (mod 11n b n ≡/-，则n 是一个合数。定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，则n 叫做对于基b 的拟素数。引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则 12-d 能整除12-n 定理1：存在无穷多个对于基2的拟素数。定理2：设n 是一个奇合数，则 (i)n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数当且仅当b 模n 的指数整除n-1。 (ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),的拟素数，则 n 是对于基21b b 的拟素数。 (iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数，则n 是对于基1-b 的拟素数。 (iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式 )(mod 11n b n ≡-不成立，则模n 的简化剩余系中至少有一半的数使得该同余式不成立。 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Fermat 素性检验给定奇整数3≥n 和安全参数t 。 1.随即选取整数 b ,22-≤≤n b ； 2.计算()n b r n mod 1-=; 3.如果1≠r ，则n 是合数； 4.上述过程重复t 次；定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有的正整数b ，(b,n)=1, 都有同余式 ()n b n mod 11≡-成立定理3：设n 是一个奇合数。 (i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。 (ii)如果k p p n Λ1=是一个无平方数，则n 是Carmichael 数的充要条件是 11--n p i ，k i ≤≤1 定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数的乘积注：1.存在无穷多个Carmichael 数 2.当n 充分大时，区间[]n ,2内的Carmichael 数的个数大于等于72n 6.2 Euler 拟素数引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式 )(mod 21n n b b n ?? ? ??≡- 对任意整数b 成立因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得

信息安全数学

School of Mathematics and Applied Statistics INFO412 Mathematics and Cryptography Section1:Elementary Theorems

De?nition1.1 (i)An integer n is divisible by an integer k if there exists an integer l such that n=lk. We write k|n and we say that k divides n or that k is a factor of n. (ii)An integer n>1is prime if n is only divisible by itself and1. (iii)An integer n>1is composite if it is not prime. Note1.2 The number1is neither prime nor composite. Example1.3 Since6=2×3,we have3|6and6is divisible by3(or3divides6,or3is a factor of6). The?rst few primes are 2,3,5,7,11,13,17,19,23,....

Theorem1.4 There are in?nitely many primes. Proof. Assume there are only?nitely many primes,say p1,p2,...,p k.Consider the number n=p1p2···p k+1. If p i|n then p i|(n?p1p2···p k),that is,p i|1. This is impossible,and so p i does not divide n. Thus n has no prime factors,a contradiction. Hence there must be an in?nite number of primes. Remark1.5 Here,we used the fact that each integer n>1 has at least one prime factor.This is a theorem in its own right,and requires proof.(Can you prove it?You will need to use mathematical induction,or something equivalent.)

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第一章参考答案 (1)5,4,1,5. (2)100=22*52,3288=23*3*137. (4)a,b可以表示成多个素因子的乘积a=pip2—p r? b=q】q2—q、,又因为(a, b)=l, 表明a, b没有公共(相同)素因子.同样可以将a) 9表示为多个素因子相乘a n=(pip2一py, b n=(qiq2一q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. (5 ) 同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=pip2一p r, b=qiq2—q s, a n=(PiP2—Pr)L b'-(qiq2—s)L因为a n| b“所以对任意的i有,pi的n次方| b n,所以中必然含有a 的所有素因子，所以b中必然含有a的所有素因子，所以a|b. (6)因为非零a, b, c 互素，所以(a, b)=(a, c)=l,又因为a=pip2一Pr, b=qiq2— ab=p)p2—Prqiq?― s,又因为a, b, c互素，所以a, b, c中没有公共(相同)素因孚，明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). ( 7 ) 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. (11)对两式进行变形有21 =0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m 即使求21和1001的公约数，为7和1. (12)(70!)/(61!)= 62*63*—*70=(?9)*(?8)*—*(-l)=?9!=?362880=l(mod 71).明显61!与71互素，所以两边同乘以61!,所以70!=61!(mod71). (13)当n为奇数时2n=(.l)n=.l=2(mod 3),两边同时加上1有2n+l=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-l)n=l(mod 3),两边同时加上1有2n+l=2(mod 3),所以结论成立. (14 ) 第一个问：因为(c,m)=d, m/d 为整数.假设ac=k]m+r, bc=k2m+r,有ac=k|d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r 所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=l,所以两边可以同除以一个c,所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m),所以a.b=ki*m“ a-b是任意mi的倍数，所以a.b是mi公倍数，所以[mj]|a.b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数，是错误的，该式子在两个数时才成立) (15) 将整数每位数的值相加，和能被3整除则整数能被3整除，和能被9整除则整数能被9整除,(1)能被3整除，不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4) 都不能第二章答案 (5)证明：显然在群中单位元c满足方程x2=x,假设存在一?个元素a满足方程x2=x，则有a2=a，两边同乘以广有3『.所以在群中只有单位元满足方程x2=x. (6)证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e,所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)?=abab=e.对abab=e,方程两边左乘以a,右乘以b有 aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab,有ab=ba,所以G 是交换群. (7)证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb,方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元，有a-l ababb_,= a_,aabbb-1,有ab=ba,所以G是交换群.

信息安全数学基础 (一)

信息安全数学基础第一章——第三章知识点梳理内容：整数的可除性、同余、同余式（概念、定理/性质、教材典型例题）

练习题： 1. a =24871与b =3468的最大公因数，运用广义欧几里得除法计算(a , b )并求整数s 和t ，使得sa ＋tb ＝(a , b )。 2. 求1008与1134的最大公因数和最小公倍数。 3. 证明3个相邻整数的乘积是3的倍数。 4. 试证对任意的整数n ，数23 326 n n n ++是整数。（通分，利用3题结论） 5. 任意一个n 位数121n n a a a a -与其按逆字码排列得到的数 11 1n n a a a a -的差是9的倍数。（说明12121111010n n n n n n a a a a a a a ----=?+?++） 6. 证明当0n >时，()1n n +不可能是平方数。（提示：反正法，假设 ()21,0n n m m +=>）

7. 设{}1,2, ,2001A =则不存在集合A 的划分123A A A A A =???，其中集合i A 中各数字的和组成等差数列。（反正法，假设存在()14i A i ≤≤各数字之和分别为,,2,3a a d a d a d +++） 8. 设 a 和b 是整数，n 是正整数，证明 (a ×b ) (mod n )＝ ((a mod n ) × (b mod n )) mod n 。 9. 求使21n +能被3整除的一切自然数n 。 10. 证明：如果m 和n 是互素的大于1的整数，则 ()()() 1 mod n m m n mn ??≡＋。（欧拉定理） 11. 对任意整数a ，5a 与a 的个位数相同。（费马定理） 12. 证明：如果a k ≡ b k (mod m )，a k +1 ≡ b k +1 (mod m ) ，a ，b ，k ，m 是整数，k > 0，并且(a ，m ) ＝1，那么a ≡ b (mod m )。 13. 求出一次同余数式()63mod9x ≡的所有解。 14. 求解同余式组8(mod 23)4(mod 29) x x ≡??≡?. 15. （应用题）设p ，q 是两个不同的奇素数，n ＝pq ，a 是与pq 互素的整数。整数e 和d 满足(e , ? (n ))＝1，ed ≡ 1 (mod ? (n ))，1 < e < ? (n )，1 ≤ d< ? (n )。证明：对任意整数c ，1 ≤ c < n ，若a e ≡ c (mod n )，则有c d ≡ a (mod n )。