高二数学必修5数列通项公式的求法归纳(精)学生用

数列通项公式的求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公

式.

二、公式法

若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n

n 求解。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例3. 已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2

（1）递推公式为n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

注：由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项还可以如下求得： 所以1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，???，12)1(a f a =依次向前代入，得 1)1()2()1(a f n f n f a n ???--=，

类型3

递推式：()n f pa a n n +=+1

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式 ①()n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

②()n f 为一次多项式，即递推公式为s rn pa a n n ++=+1 例6．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得 []12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

??????+-=-=∴13323A B B A A ???==1

1B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n n

备注：本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之. ③ )(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2; 类型4

递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++ 引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再应用类型3的方法解决。 例7. 已知数列{}n a 中，651=

a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5

递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足???-==+q st p t s ，再应用前面类型3的方法求解。

例8. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。