史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

??

?≥???????-=????????????????=-2

1

11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2

1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

{}n b 的通项公式。

③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=?+=-q q q q q b n n n

三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

四、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

例5.

在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。

五、取倒（对）数法

a 、r

n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解

b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11-n n a a 先求出.,1

n n

a a 再求得

c 、)

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=

+n a a a n n

n 求.n a 例7 设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

解：两边取对数得：122log 21log -+=n n

a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a n

b ，

则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .

11221--=?=n n n b ，1221log -=+n a n ，12

log 12-=-n a n

， ∴1

21

2--=n n a

变式:

1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1

*≥∈－－（，）＋－ 求数列｛a n ｝的通项公式；

2、若数列的递推公式为1111

3,

2()n n

a n a a +==-∈ ，则求这个数列的通项公式。 3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。 4、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+?=

--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =

2

2+n n

a a n ∈N +，求通项a n ． 六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算. 七、待定系数法：

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=

1

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =

21

a 1

-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。

练习、1数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。 2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．

2、递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1+n q ，得111+?=++n

n

n n q a q p q a ，令n n n

q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．

、

例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a ．

解：将123-+=n n n a a 两边同除n 3，得n n n n a a 32131-+=?1

1

33213

--+=n n n

n a a 设n n n a b 3

=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--?t b b n n 31

321+=-

?3=t ．条件可化成)3(3

231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以38

33311-=-=-a b 为首项，

32为公比的等比数列．1)32

(383-?-=-n n b ．因n n n a b 3

=, )3)3

2

(38(331+?-==∴-n n n n n b a ?2123++-=n n n a ．

3、形如b an pa a n n ++=+1)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例11:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 解：令1(1)3()n n a x n y a xn y ++++=++ 化简得：1322n n a a xn y x +=++-

所以2221x y x =??-=-?解得1

0x y =??=? ，所以1(1)3()n n a n a n +++=+

又因为115a +=，所以数列{

}n a n +是以5为首项，3为公比的等比数列。

从而可得11

53,53-n n n

n a n a n --+=?=?所以 4、形如2

1n n a pa an bn c +=+++)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从

而转化为{

}

2

n a xn yn c +++是公比为p 的等比数列。 例12:设数列{}n a ：2

114,321,(2)n n a a a n n -==+-≥，求n a .

八：不动点法，形如 h

ra q

pa a n n n ++=

+1

解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、

r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q

px x ++=,当特征方程有且仅

有一根0x 时,则01n a x ????-??是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2

x 时，则12n n a x a x ??

-??-??

是等比数列。

例15：已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=

∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

例16 已知数列{}n a

满足111

(14116n n a a a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b 2

1(1)24

n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=

-

，代入11

(1416

n n a a +=++得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+

因为0n b =

，故10n b +=≥

则123n n b b +=+，即11322n n b b +=+，

可化为11

3(3)2

n n b b +-=-，

所以{3}n b -

是以13332b -===为首项，以2

1

为公比的等比数列，因

此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+

21

()32n -=+，得

2111()()3423

n n n a =

++。

评注：本题解题的关键是通过

将的换元为n b ，使得所给递推关系式转化

113

22

n n b b +=

+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 例18. 已知数列{}n a 满足21

1=

a ，2

11n n a a +=+，求n a 。 解析：设3cos 211π

==

a ，∵ 211n n a a +=+， ∴ 6

cos

2π

=a ，3

2cos

2

3?=π

a ，…，3

2

cos

1

?=-n n a π

总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等

差（或等比）数列的通项公式求其通项。

十、双数列

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例19. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，

)2(3111--+=n n n b a a ,)2(31

11--+=n n n b a b ，求n a ,n b .

解：因=+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3

1

11--+n n b a 11--+=n n b a

所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=???=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a (1)

又因为=-n n b a -+--)2(3111n n b a )2(3

111--+n n b a )(31

11---=n n b a

所以=-n n b a )(3

111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31

(111b a n -=-

1)31(-=n .即=-n n b a 1)3

1

(-=n ………………………（2） 由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])3

1

(1[211--=n n b

十一、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例20：若数列{}n a 满足???

????

<≤-≤≤=+)

121(,12)210(,21

n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

变式:（2005，湖南,文，5）

已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a = （ ）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

2

3 十二、分解因式法

当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得a n .

例21.已知),1,0(,)1()(,)1()(34≠-?=-=r x r x g x x f 数列}{n a 满足1,21==n a a （n ∈N ），且有条件n a a f n g a a n n n n (,0)()1()(11求=+-?---≥2）.

解：由得：

0)]1()([)1(.0)1()1()(113141311=-+--=-+-??-------n n n n n n n n a a a r a a a r a a 即对n ∈N ，

,11:.0)1()(,1111---?-+==-+-≠n n n n n n a r

r r a a a a r a 合并同类项得故再由待定系数法得：).1(1

11--=

--n n a r

r a ∴.)1(11

--+=n n r

r a 十三、循环法 数列有形如0),(12=++n n n a a a f ，的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出.n a

例22.．在数列}{n a 中，.19981221,,5,1a a a a a a n n n 求-===++ 解：由条件,)(11123n n n n n n n a a a a a a a -=--=-=+++++ 即,,363n n n n n a a a a a =-=∴-=+++ 即每间隔6项循环一次.1998=6×333， ∴.461998-==a a

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.