数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法

公式：

1、 定义法

若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或

11-=n n q a a 中即可.

例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.

练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有

1234127

,0,,,,6954

n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、 累加法

形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()

11n n a a f n --=-，

()

122n n a a f n ---=-，

()322a a f -=，

()

211a a f -=，

以上()1n -个等式累加得

()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+

++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+

++

（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；

③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求

练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n

+==++求求{}n a 的通项公式.

3、 累乘法

形如()1

n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.

给递推公式

()()1

,n n

a f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子： ()()()()234123

1

1,2,3,,

1.n

n a a a

a f f f f n a a a a -====- 利用公式()234

1123

1

,0,n

n n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯

⨯⨯⨯⨯

≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-

例3、已知数列{}n a 满足11,2,31

n n n n

a a a a n +==+求.

练习1：数列{}n a 中已知112

1,n n a n a a n

++==, 求{}n a 的通项公式.

练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且22

11(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.

4、 奇偶分析法

(1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式

①当()

1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.

②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到

()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.

例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式.

练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.

例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.

练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.

练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式.

(2) 对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式

①当()

1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.

②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()

+1

11n n f n a a f n -=

-，分奇偶项来求通项.

例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.

练习：已知数列{}n a 满足112

,23

n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式.

例7、已知数列{}n a 满足1113,2n

n n a a a +⎛⎫

=⋅= ⎪⎝⎭

，求{}n a 的通项公式.