选修2-2 第二章 推理与证明(B)

选修2-2 第二章 推理与证明(B)

一、选择题

1、某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)

种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( )

A ．f (n －1)＋1

B ．f (n －2)＋2

C ．f (n －2)＋1

D ．f (n －1)＋f (n －2)

2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝

底×高

2

，可推知扇形面 积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr

2 D ．不可类比

3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( )

A ．n π

B ．(n －2)π

C ．π

D ．2π

4、“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是

( )

A ．正方形都是对角线相等的四边形

B ．矩形都是对角线相等的四边形

C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D ．矩形都是对边平行且相等的四边形

5、设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出

f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )

6、已知p ＝a ＋

1

a －2

(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p

7、已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1

c 的值( )

C ．可能是零

D ．正、负不能确定

8、如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )

A.3

2

B ．23－2

C ．1＋ 3

D ．2－ 3

9、设f (n )＝

1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )

A.12n ＋1

B.12n ＋2

C.12n ＋1＋12n ＋2

D.12n ＋1－12n ＋2

10、下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色

应该是( )

A ．白色

B ．黑色

C ．白色可能性大

D ．黑色可能性大

11、三个实数a ，b ，c 不全为0的充要条件是( )

A ．a ，b ，c 都不是0

B ．a ，b ，c 中至多有一个是0

C ．a ，b ，c 中只有一个是0

D ．a ，b ，c 中至少有一个不是0

12、平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f (k )，则增加了一条直线后，它们的交

点个数最多为( ) A ．f (k )＋k B ．f (k )＋1

二、填空题

13、已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________.

14、若不等式(－1)n

a <2＋(－1)n ＋

1

n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ________．

15、由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是

__________________________________________________．

16、从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，

概括出第n 个式子为____________．

三、解答题

17、已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，

数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－1

2

b n .

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；

(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1

b n

与S n ＋1的大小，并说明理由．

18、已知a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1，

求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1

c

.

19、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．

(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；

(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．

20、函数列{f n(x)}满足f1(x)＝x

(x>0)，f n＋1(x)＝f1[f n(x)]．

1＋x2

(1)求f2(x)、f3(x)；

(2)猜想f n(x)的表达式，并证明．

21、在不等边△ABC 中，A 是最小角，

求证：A <60°.

22、 先解答(1)，再通过类比解答(2)．

(1)求证：tan ????x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；

(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )

1－f (x )

，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．

以下是答案 一、选择题

1、D [到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n

－1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．]

2、C [由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可知选C.]

3、C [作凸(n ＋1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n 边形和一个三角形．]

4、B [从小前提和结论来看其大前提是矩形都是对角线相等的四边形．]

5、D [由题设f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，因此，

对于A 不一定有k ＝1,2时成立． 对于B 、C 显然错误．

对于D ，∵f (4)＝25>42，因此对于任意的k ≥4， 有f (k )≥k 2成立．]

6、A [∵p ＝a ＋

1a －2＝a －2＋1

a －2

＋2≥4， q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2<4 (a >2)， ∴p >q .]

7、B [∵(a ＋b ＋c )2＝0，

∴ab ＋bc ＋ac ＝－1

2(a 2＋b 2＋c 2)<0.

又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac

abc <0.]

8、B [由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，

则2－(x ＋y )＝xy ≤? ??

??x ＋y 22

，

∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0， ∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. ∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.]

9、D [f (n ＋1)－f (n )＝(

1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2)－(1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n )

＝1＋1－1＝1－1.]

10、A [由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1

颗珠子的颜色相同，即为白色．]

11、D

12、A [增加一条直线后，最多和原来的k 条直线都相交，有k 个交点，所以交点个数

最多为f (k )＋k .]

二、填空题 13、3

解析 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6 项一个循环，则a 33＝a 3＝3.

14、－2≤a <3

2

解析 当n 为偶数时，a <2－1

n

，

而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32

.

当n 为奇数时，a >－2－1

n

，

而－2－1

n

<－2，∴a ≥－2.

综上可得－2≤a <3

2.

15、正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等

解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．

16、1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1·(1＋2＋…＋n )

解析 式子左边是正、负相间，奇数项为正，偶数项为负，所以用(－1)n －1调节，左子 右边是前n 个正整数的和，奇数项为正，偶数项为负，用(－1)n ＋1调节．

三、解答题

17、解 (1)由已知得?????

a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.

因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2， 所以a 2＝3，a 5＝9.

所以d ＝a 5－a 23＝9－3

3＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.

因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝2

3

.

当n ≥2时，T n －1＝1－1

2

b n －1，

1

??1

梦想不会辜负每一个努力的人

化简得b n ＝1

3

b n －1.

所以{b n }是首项为23，公比为1

3

的等比数列，

即b n ＝23·????13n －1＝2

3

n .

所以a n ＝2n －1，b n ＝2

3n .

(2)因为S n ＝1＋(2n －1)

2

×n ＝n 2，

所以S n ＋1＝(n ＋1)2

，1b n ＝3n 2

.

下面比较1

b n

与S n ＋1的大小：

当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1

b 1

当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1

b 2

当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1

b 3

当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1

b 4

>S 5，

猜想：n ≥4时，1

b n >S n ＋1.

下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．

②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时， 1b k >S k ＋1，即3k

2>(k ＋1)2， 那么，1

b k ＋1

＝3k ＋12＝3·3k 2

>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3

＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2 ＝S (k ＋1)＋1，

所以当n ＝k ＋1时，1

b n

>S n ＋1也成立．

由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1

b n

>S n ＋1都成立．

综上所述，当n ＝1,2,3时，1

b n

当n ≥4时，1

b n

>S n ＋1.

18、证明 ∵a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1，

∴a ＋b ＋c ＝

1bc

＋1ca

＋1ab

<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2

梦想不会辜负每一个努力的人

＝1a ＋1b ＋1c

. 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1

c .

19、解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．

结论是正确的：证明如下： 设α∥β，且γ∩α＝a ，

则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾， ∴必有γ∩β＝b .

(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误 的，这两个平面也可能相交．

20、(1)解 f 1(x )＝

x

1＋x 2

(x >0)，

f 2(x )＝

x

1＋x 21＋

x 2

1＋x 2＝

x

1＋2x 2

，

f 3(x )＝

x 1＋2x 2

1＋

x 2

1＋2x 2

＝

x

1＋2x 2＋x 2

＝

x

1＋3x 2

.

(2)猜想f n (x )＝x

1＋nx 2

，

下面用数学归纳法证明：

①当n ＝1时，命题显然成立．

②假设当n ＝k 时，f k (x )＝x

1＋kx

2

，

那么f k ＋1(x )＝

x 1＋kx 21＋

x 2

1＋kx 2

＝

x

1＋kx 2＋x 2

＝

x

1＋(k ＋1)x 2

.

这就是说，当n ＝k ＋1时命题成立．

由①②，可知f n (x )＝x

1＋nx 2

对所有n ∈N *均成立．

21、证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)，

∵B >A ≥60°，C >A ≥60°，

梦想不会辜负每一个努力的人

22、(1)证明 tan ????x ＋π

4＝tan x ＋tan

π

41－tan x tan

π

4 ＝

1＋tan x

1－tan x

；

(2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数． 证明如下：

∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)

1－f (x ＋1)

＝1＋

1＋f (x )1－f (x )1－

1＋f (x )

1－f (x )

＝－1f (x )，

∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1

f (x ＋2)＝f (x )，

∴f (x )是周期函数．