最新人教版高中数学选修2-2第二章《推理与证明》本章小结

知识建构

1.合情推理与演绎推理

(1)归纳和类比都是__________,归纳是由__________到__________、__________到__________的推理,类比是由__________到__________的推理.

(2)从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为__________,它是由__________到__________的推理.

答案：(1)合情推理特殊一般部分整体特殊特殊

(2)演绎推理一般特殊

2.直接证明与间接证明

(1)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法是__________.

(2)从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证明方法是__________.

(3)假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法为__________.

答案：(1)综合法(2)分析法(3)反证法

3.数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题,常用数学归纳法,其步骤为:

(1);

(2).

答案：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立

(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立结论成立则n=k+1时结论也成立

上述过程用框图表示为:

实践探究

1.下图中的三角形称为希尔宾斯基(S ierpi n s k i)三角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式__________.

思路分析:如题图,这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.猜想这个数列的一个通项公式是a n =3n -1.

答案:a n =3n -1

温馨提示:(1)上面数列的递推关系为a n +1=3a n .

(2)通项公式可用数学归纳法证明

2.若数列{a n }是一个等差数列,则{n

a a a n 21+++ }是一个等差数列.类比这条性质,若数列{

b n }是一个等比数列,则有__________是一个等比数列.

思路分析:在等差数列{a n }与等比数列{b n } 中,有

{a n } {b n }

和 a 1+a 2+…+a n

积 b 1b 2…b n

算术平均数{n a a a n 21+++ }等差几何平均数{n n 21b b b }等比

证明:设数列{b n }的首项为b 1,公比为q, 则n 1)-(n 2111n n 211n 1n n

211

n 1

n 21q b q b b b b b b b ++++++++++= =

121

n 12n 1n 21)n(n n 11

n 21)n (n 1n 1q q b q b q b q b --+++=(常数),

∴数列{n n 21b b b }为等比数列. 答案:{ n n 21b b b }

3.已知O 是△A B C 内任意一点,连结A O 、BO 、C O 并延长交对边于A′、B ′、C′,则

1C C C O B B B O A A A O =''+''+''.

这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”: C C C O B B B O A A A O '

'+''+''

=ABC

ABC ABC OAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=1. 运用类比,猜想对于空间中的四面体A —B CD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明. 猜想:已知点O 为四面体A —B CD 内任意一点,连结A O 、BO 、C O 、D O 并延长交相对面于

A′、B ′、C′、D′,则有

OD D O OC C O OB B O OA A O '+'+'+'=1. 证明:设点A 、O 到平面B CD 的距离分别为h 、h′,则

OA A O h h '=', ∴OA A O h h h S 3

1h S 31V V BCD BCD BCD A BCD

O '='=⋅'⋅=∆∆--. 同理,ACD

B ACD O V V OB B O --=', ABD

C AB

D O V V OC C O --=', ,V V OD D O ABC

D ABC O --=' ∴OD D O OC C O OB B O OA A O '+'+'+'=BCD

A BCD A V V --=1.

高中数学选修2-2疑难规律方法2：第二章推理与证明

1合情推理的妙用合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．一、归纳推理的考查 1．数字规律周期性归纳例1观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为() A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 [解析]∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 013＝54×502＋5末四位数字为3125. [答案]A 点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性． 2．代数式形式归纳

例2设函数f(x)＝x x＋2 (x>0)，观察： f1(x)＝f(x)＝ x x＋2， f2(x)＝f(f1(x))＝ x 3x＋4， f3(x)＝f(f2(x))＝ x 7x＋8， f4(x)＝f(f3(x))＝ x 15x＋16， …… 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________. [解析]依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n. 所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x (2n－1)x＋2n . [答案] x (2n－1)x＋2n 点评对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．3．图表信息归纳例3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图(1) 图(2) 他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

高中数学选修2-2知识点总结(精华版)

数学选修 2-2 知识点总结一、导数 y f f (x2 ) f (x1 ) f ( x1x) f ( x1 ) 1．函数的平均变化率为 x x2x1x x 注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数 y f (x)在 x x0处的瞬时变化率是 y lim f ( x0x) f ( x0 )，则称函数 y f (x) 在点x0处可导，并把这个极限叫 lim x x 0 x x 0 做 y f ( x)在x0处的导数，记作 f ' ( x0 ) 或y'|x x，即 f ' (x0 ) =lim y lim f (x0x) f ( x0 ) . x 0x x0x 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度； 5、常见的函数导数函数导函数 y c y '0 y x n n N *y ' nx n 1 y a x a0,a1y 'a x ln a y e x y 'e x y log a x a0,a 1, x 0y ' 1 x ln a y ln x y '1 x y sin x y 'cos x y cos x y 'sin x

6、常见的导数和定积分运算公式 :若 f x ， g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算 f (x) g( x) ' ' ( x) g ' ( x) f f (x) ' f ' (x)g( x) f (x) g ' (x) g (x) 积的导数运算特别地： Cf x ' Cf ' x f ( x) g ( x) ' ' ( x) g(x) f ( x) g ' ( x) f 2 ( g( x) 0) g( x) 商的导数运算特别地： 1 g '( x) g ' g 2 x x 复合函数的导数 y x y u u x b x dx f 微积分基本定理 a （其中F' x f x ） b b b [ f 1(x) f 2( x)]dx a f 1( x)dxf 2(x)dx 和差的积分运算 a a b b 特别地： kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ) a a b c dx b 积分的区间可加性 f (x)dx f (x) f ( x)dx (其中a c b) a a c 用导数求函数单调区间的步骤 : ①求函数 f(x)的导数 f '( x) ②令 f '( x) >0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . ③令 f '( x) <0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间； [注 ]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x)的导数 f '( x)

1-2,2-2第二章：推理与证明教材分析与教学建议

1-2，2-2第二章：“推理与证明”教材分析与教学建议一、地位与作用 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理与演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，演绎推理和逻辑证明能力的培养是高中数学课程的重要目标。本章学习，有利于发展学生思给能力，提高学生数学素养，让学生感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。二、内容说明 “推理与证明”是新课标新增内容(选修1-2第二章，选修2-2第二章)，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求）．“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用．三、课标要求 1．合情推理与演绎推理（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 2．直接证明与间接证明（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．（2）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 3．数学归纳法（文科不做要求）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．四、本章重点与难点 1．重点：（1）合情推理、演绎推理；（2）直接证明与间接证明。 2．难点：（1）演绎推理和反证法；（2）对数学归纳法的理解（只限理科）。五、教学内容及课时安排 1．理科课时安排（合情推理与演绎推理3课时，直接证明与间接证明2课时，数学归纳法2课时，小结1课时，共8课时）

高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数 1．函数的平均变化率为=??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：

①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值； ⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 [注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f

高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)

广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2的全部内容。

综合法和分析法一、教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；（三)情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点三、教学难点: 分析法和综合法的思考过程、特点四、教学过程： (一）导入新课: 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法:直接证明与间接证明。（二）推进新课： 1。综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的结论。例如：已知a，b>0,求证2222 +++≥ ()()4 a b c b c a abc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最

高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明用反证法解题的几种类型素材新人教A版选修22

用反证法解题的几种类型在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证法更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明，如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型宜用反证法。 1“至多、至少”型命题[2] 通过反设结论，改变原来的限制条件，然后归谬、推理、找出矛盾。例6、设1111x y z x y z ++=++=，求证：x ,y ,z 中至少有一个等于１。证明：假设x ,y ,z 中没有一个等于１，则1x -≠0，10y -≠, 10z -≠。因而 (1)(1)(1)0x y z ---≠，即 ()()10xyz xy yz xz x y z -+++++-≠ (*) 因为 1111x y z ++=，所以 xy yz xz xyz ++=, 代入(*)式，有 10x y z ++-≠。这和已知1x y z ++=相矛盾，故,,x y z 中至少有一个等于１。 2唯一型命题以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论。例7、求证：两条直线相交只有一个交点。证明：假设两条直线l 1,l 2相交有两个交点（设为A 、B 两点），则过A 、B 两点有两条不同

直线l 1, l 2，这与“两点确定一条直线”（公理）相矛盾,故假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点。 3无限型命题待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出，这些命题结论的反面事项是有限的、肯定的，这时宜用反证法。例8、证明方程510x x +=的正根是无理数。证明：当0x >时，函数510y x x =+-单调上升；又当 1.5x =时，510y x x =+-0<；当 1.6x =时，510y x x =+-0>。所以方程510x x +=的正根是在1.5与1.6之间，设正根是有理数q p (,p q 是互质的自然数),则(q p )5+q p =10，即54510p pq q +=，445()10p p q q +=，由于,p q 是自然数，所以44p q +为整数，则5 10q p 是整数。又因为,p q 互质，所以,p q 只有公因数１，上式说明p 只能是10的因数，但是p 取1，2，5，10的既约分数时，q p 都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。 4肯定型命题[3] 以“必然”为结论的命题，通过肯定结论给出命题，将原来的肯定命题转化为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾。例9、已知,,a b c 均为正整数，且满足222a b c +=,又a 为质数，求证：b 与c 两数必为一奇一偶。证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数，由222a b c +=,得2()()c b c b a +-=,根据奇偶数性质知c b +和c b -同为偶数，则2 a 必为偶数，a 也为偶数，但a 是质数，所以a =2，即有()()4c b c b +-=,所以 ⎩⎨⎧=-=+22b c b c 或⎩ ⎨⎧=-=+14b c b c ，可得 ⎩⎨⎧==20c b 或⎪⎩ ⎪⎨⎧== 2523c b ，

高中数学选修2-2知识要点

第一章导数及其应用一、导数概念的引入 1、导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ∆→+∆-∆ 2、导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3、导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 二、导数的计算 1、基本初等函数的导数公式: （1）若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；（2）若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; （3）若()sin f x x =,则()cos f x x '= （4）若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; （5）若()x f x a =,则()ln x f x a a '= （6）若()x f x e =,则()x f x e '= （7）若()log x a f x =,则1 ()ln f x x a '= （8）若()ln f x x =,则1 ()f x x '=

高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题

高中数学选修2–2知识点第一章导数及其应用一．导数概念 1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在 0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆。导数的物理意义：瞬时速率。 2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数() y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0 ()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5. 若()x f x a =, 则()ln x f x a a '= 6. 若()x f x e =,则()x f x e '= 7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a '= 8. 若()ln f x x =,则 1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 3. 2 ()()()()()[]() [()] f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(()) ()y f g x g x '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: (1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.

人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学选修2-2知识点总结

高中数学选修2-2学问点总结第一章导数及其应用 1．函数的平均变更率为 = ∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的变更量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变更率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数 ) (x f y =在 x x =处的瞬时变更率是 x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0 |'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 000 0. 3.函数的平均变更率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际本钱。 5、常见的函数导数与积分公式

6、常见的导数与定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'() f x②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前确定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数'() f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函 f x(3)求方程'() 数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右

高中数学选修2-2知识总结(详尽版)

选修2-2考点总结 <详尽版> 一、导数复习： 1.平均变化率: 函数的平均变化率=函数值的改变量自变量的改变量 ()()()()()f x x f x f x x f x x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 注1：其中x ∆是自变量的改变量,可正,可负,但不可零. 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度. 2.函数的瞬时变化率()()()()()00lim lim x x f x x f x f x x f x x x x x ∆→∆→+∆-+∆-==+∆-∆ 注1：当函数值的改变量自变量的改变量存在极限时,极限值叫做瞬时变化率,并把这个变化率叫做导数,即： ()() ()0 lim 'x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆或记作 'x y 注2：函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度 3.导数定义：()() ()0 lim 'x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆,导数概念易考,所以必须理解 4. 5.（1）求曲线在某点的切线斜率与其切线方程〔分两类〕: 错误!曲线在点()() 00,x f x 处的切线方程为：y-f=f ' 错误!曲线过点〔m,n 〕的切线方程：设切点为()() 00,x f x → 表达出y-f=f '→ 代入点〔m,n 〕→ 求出x 0→ f与f '→最后代入y-f=f '即可（2）求单调区间: 解()'0f x >得()f x 增区间,解()'0f x <得()f x 减区间〔注意：单调区间一定写成区间形式,且不能并起来〕（3）已知函数单调性求参数X 围<单调性的逆向问题>：首先转换成恒成立问题〔等号不能少〕；再

高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明

推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分 1．知识结构： 2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理． ①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理． ②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理． ③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f => (3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的． ④推理过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比猜想．

3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）． ①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； ②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”： ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）； ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）； ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述： ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ； ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ； ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,, n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++ ++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++ ++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数（小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤= 因此，sin sin sin A B C ++的最大值是 2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型 4.和情推理与演绎推理的关系： ①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理； ②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法(第一课时)教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)

广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法（第一课时）教案理新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法（第一课时）教案理新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法（第一课时）教案理新人教A 版选修2-2的全部内容。

§2。3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标 1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力． 2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤． 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．二、教学重点与难点重点:借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数 n （n 取无限多个值）有关的数学命题。难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明； 2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。教学过程：学生探究过程：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-，自然数平方和公式2222(1)(21)1236 n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．怎样证明一个与自然数有关的命题呢？讨论以下两个问题的解决方案: (1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完,这样总可以得到一个肯定的结论．因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起)，假定这排砖有无

高中数学推理与证明(师生版)知识点分析新课标人教A版选修2

高中数学推理与证明（师生版）知识点分析新课标人教A 版选修2 推理与证明（一）合情推理与演绎推理 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）直接证明与间接证明 1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。 1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 2．推理与证明与数列、几何等有关内容综合在一起的综合试题多。 §101合情推理与演绎推理【考点要求】1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比直接证明间接证明数学归纳法综合法分析法反证法考纲导读高考导航知识网络

解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。【基础知识】 1. 推理一般包括合情推理和演绎推理； 2.合情推理包括和；归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.。归纳推理的基本模式：a,b,c ∈M 且a,b,c 具有某属性，结论：∀d ∈M,d 也具有某属性。类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简称类比。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。类比推理的基本模式：A:具有某属性 a,b,c,d ；B 具有某属性' ' ' ,,c b a ；结论：B 具有属性'd 。（a,b,c,d 与' ' ' ,,c b a ，' d 相似或相同） 3.演绎推理：：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. （2）三段论常用格式为：①M 是P ，② S 是M ，③S 是P ；其中①是，它提供了一个个一般性原理；②是，它指出了一个个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.用集合说明：即若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P 。 4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．【基础训练】 1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 . 答案白色 2.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 .答案 a n =2n -1 3.已知a 1=3,a 2=6,且a n +2=a n +1-a n ,则a 33为 . 答案 3 4.下面使用类比推理恰当的是 . ①“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0，则a =b ” ②“(a +b )c =ac +bc ”类推出“ c b a +=c a +c b ” ③“(a +b ）c =ac +bc ”类推出“ c b a +=c a +c b (c ≠0)” ④“（ab ）n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ” 答案 ③ 5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100 +1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 . 答案一切奇数都不能被2整除，大前提 2100 +1是奇数，小前提所以2100 +1不能被2整除. 结论 6.由 107＞85,119＞108,2513＞21 9,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .

最新人教版高中数学选修2-2第二章《推理与证明》本章小结

高中数学选修2-2疑难规律方法2：第二章 推理与证明