2015年上海高考数学(文科)试题答案详解

2015年上海高考数学（文科）试题解析版

一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分） 1、函数()x x f 2sin 31-=的最小正周期为 _________.

分析：本题是基础题目，主要考查余弦的二倍角公式，属于常考题目。 答案：π

2、设全集U R =，若集合{

}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________. 分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。 答案：{1,4}

3、若复数z 满足i z z +=+13_

，其中i 为虚数单位，则z =___________. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。

答案：

11

42i + 4、设()x f 1-为()1

2+=

x x

x f 的反函数，则()=-21f ___________.

分析：考查了反函数的知识点，较为基础。

答案：2

3-

5、若线性方程组的增广矩阵为????

??211302c c ，解为?

??==5

3y

x ，则=-21c c ___________.

分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。

答案：16

6、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.

分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。 答案：4

7、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________.

分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题

目就非常容易解决掉。 答案：2

8、方程()()

223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.

分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。 答案：2

9、若y x ,满足??

?

??≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数()y x x f 2+=的最大值为___________.

分析：本题是线性规划的知识点，属于文科拓展的内容，问题比较直接，并没有拐弯难为学生。 答案：3

10、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）

分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。 答案：120

11、在6

212??? ?

?

+x x 的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.

分析：考察了二项式定理的通项公式，知识点比较简单，本题的指数不算大，很多同学可以把二项式展开做；数理

统计的内容在考卷中连续出现两题，而且较为简单，往年高考中很少见到。 答案：240

12、已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14

22

=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率

的2倍，则2C 的方程为___________.

分析：考察了共渐近线的双曲线方程求法，根据顶点相同，可进一步确定双曲线方程；如果本题“斜率的2倍”改成“倾斜角的2倍”，所考查的知识点就多一些，本题相对简单，尤其是出现在12题的位置。

答案：

22

4x y -=

13、已知平面向量c b a ,,满足b a ⊥，且{}{}3,2,1,,=c b a ，则c b a ++的最大值

为___________.

分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法就是数形结合，因为已知a 和b 之

间的关系，在通过向量平行且同向时相加模最大，就能够很容易解决本题目。 答案：35+

14、已知函数

()x

x f sin =，存在

m

x x x ,,21，满足

π

6021≤<<<≤m x x x ，且

()()()()()()()

*-∈≥=-++-+-N m m x f x f x f x f x f x f m m ,2,1213221 ，则m 的最小值为____.

分析：本题属于压轴的填空题，难度比前面的十三道题都提升了很大一个档次，首先考查了正弦函数的知识点，其次是要理解绝对值的含义，因为要求m 得最小值，所以要尽可能的使得每个绝对值的值尽可能的大，所以会利用正弦函数的最大值和最小值。 答案：8

二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

15、设C z z ∈21,，则“21z 、z 均为实数”是“21z z -为实数”的（ ）

A 、充分非必要条件

B 、必要非充分条件

C 、充要条件下

D 、既不充分也不必要条件 分析：基础题目，考查了条件与命题和复数的定义。 答案：A

16、下列不等式中，与不等式

23

282

<+++x x x 解集相同的是（ ）

A 、()()

23282<+++x x x B 、 ()()

32282++<+x x x

C 、82

3

21

2+<

++x x x D 、218322>+++x x x 分析：考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性，属于基础题目。 答案：B

17、已知点A 的坐标为()

1,34，将OA 坐标原点O 逆时针方向旋转3

π

至OB ，则B 点的纵坐标为（ ） A 、

233 B 、2

35 C 、211 D 、213

分析：考查了任意角的三角比的概念及正弦的两角和公式，属于中等题目，但与往年的模拟考中的一道题只是换了

一下数据。 答案：D

18、设()n n n y x P ,是直线()

*∈+=-N n n n

y x 1

2与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11lim n n

n x y （ ） A 、1- B 、2

1

-

C 、1

D 、2 分析:本题的知识点属于极限的求法，但实际上在解题时会先取极限再求值；因为()n n n y x P ,的极限位置为(1,1)点，而题目中所要求的是()n n n y x P ,与(1,1)构成的斜率的极限，由于两点都在圆上，而且无线逼近，可以得到斜率的极限为过(1,1)与圆相切时的斜率。 答案：A

三、解答题（本题共5大题，满分74分）

19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，

E 为劣弧BC 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角。

分析：本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法，属于比较基础的题目，几何法主要通过中位线，把已知直线平移到同一个平面内即可，因为垂直关系比较容易找到，从而线段的长度也就容易计算了。

答案：13，

10

arccos

10

20、（本题满分14分）已知函数()x

ax x f 1

2+=，其中a 为常数， （1）根据a 的不同取值，判断()x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若()3,1∈a ，判断()x f 在[1,2]上的单调性，并说明理由。

分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论写在前面，然后再去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符号。总体来说本题考查的知识点偏基础。

答案：（1）0a =时，()f x 为奇函数；

0a ≠时，()f x 非奇非偶。

（2）单调递增。

21、

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）．甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后在原地等待．设1t t =时，乙到达C 地．

（1）求1t 与1()f t 的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在1[,1]t 上的最大值是否超过3? 说明理由．

分析：本题是解三角形与函数最值综合的一道应用题，虽然牵扯到分段函数，但并不是很难，主要考察学生的基础知识——余弦定理的应用及二次函数求最值求法. 答案：（1）13=8

AC t h v =

乙，设此时甲运动到P 点，则115

=8AP v t km =甲，在APC V 中，()1f t PC ==

22341

2cos 8

AC AP AC AP A +-?=

（2）当17

8

t t ≤≤

时，乙在CB 上，设为Q 点，设此时甲在P 点，则：878QB A C C B t t =+-=-，55PB AB AP t =-=-

∴222()2cos 254218f t PQ QB PB QB PB B t t ==+-?=-+，

当

7

18

t <≤时，乙在B 点不动，设此时甲在P 点，则：()55f t PB AB AP t ==-=-， ∴2

37254218,88

()755,1

8t t t f t t t ?-+≤≤??=?

?-<≤??

∴当3

18t ≤≤时，341()[0,

]8f t ∈，且34138

>∴()f t 的最大值超过了3km . 22、（本题满分16分）本题共有2个小题．第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．

（1）设11(,)A x y ，22(,)C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； （2）设1l ：kx y =，???

?

??33,33C ，31=S ，求k 的值； （3）设直线1l 和2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变。

分析：本题属于中等偏易的题目.考察了学生直线方程求法和点到直线的距离公式，题目中语言的叙述和问题的提

出具有引导作用，很有层次感，只是在整个运算过程中多为字母运算，提升了运算的难度，侧面也反应出计算能力的提升为考试的主要趋势。第一问面积的求法，在2013年闸北二模卷中出现过类似的题目，当时是文科填空第二题，主要是考察利用矩阵求三角形面积；第二问只需联立直线与椭圆的方程，解出11(,)A x y 然后再带入第一问的公式即可求出k ；第三问考查了一个恒成立问题，直线1l 和2l 的斜率无论怎么变化S 始终不变，所以只需得出的等式中，将斜率作为未知量，其余作为已知量，然后未知量的系数为0即可。 解：（1）直线1l 的方程为：1

1

y y x x =

， 则点C 到直线1l 的距离为：1

2212121

12

221

1

11(,)1y x y y x x y x d C l x y

y x --=

=

+??+ ???

，

（方法1）又2

2

1122AB AO x y ==+，∴1(,)S AB d C l =?12212x y x y =-.

（方法2）

111

11121122112111221

22

1121221

x y S x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y =?--=-+-+-+=-

（2）1

5-或1-

（3）

12m =-

23、（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n N *∈.

（1）若

35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；

（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥()n N *∈，求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；

（3）设130a λ=<，()n n b λn N *

=∈，求λ的取值范围，使得对任意的m 、n ，0n a ≠，且1

(,6)6m n a a ∈。

分析：作为压轴题，本题的第一问比较简单，只要通过题目给出的等量关系转化就可以完成；第二问给出的条件较

为抽象，没有具体的通项公式，而且题干中的条件比较少，所以难度跳跃很大，考查了累加法的你运用，由简到繁的运算是很多上海考生所想不到的；第三问的难点在于如何一步步缩小λ的取值范围；首先依题意把{}n a 的通项公式求出来，然后根据m 、n 的任意性，找出特殊值

2a 与1a 的关系， 根据指数函数性质，可以确定出2a 为最大值，

1a 为最小值，进而求出题目结论。

答案：（1）65n a n =-

（2）设

112()2n n n n n a a b b c ++-=-=， 0n n a a ≥，∴00n n a a -≥

当

0n n ≥时，

0n n a a -00001121()()()

n n n n n n a a a a a a +++-=-+-++-

000121

2222n n n n c c c c ++-=----- 0001212()n n n n c c c c ++-=-++++ 000012112[()()()]n n n n n n b b b b b b +++-=--+-++-

02()0n n b b =--≥

00

n n b b ∴-≥

同理，当

0n n ≤时，00n n b b -≥

综上，

00

n n b b -≥对

()n N *

∈恒成立，即{}n b 的第0n 项是最大项； （3）1

04λ-<<