第一讲逻辑与公理化系统
第一讲数理逻辑与公理化系统
逻辑是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观事物的思维过程，逻辑思维，人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观对象。它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。
概念是反映事物内的本质属性及其分子的的思维形式，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。其特征是概念的内涵（内容）和外延（包含在概念中的事物）；
判断的特征是对事物有所断定且有真假；
演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理）
定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。
定义的规则：一是定义概念与被定义概念的外延相同；二是定义不能用否定形式；三是定义不能用比喻；四是不能循环定义。
划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。
数学中的逻辑除了上述特点之外，更重要的是定量的刻画客观事物，在这一过程中，集合是一个基本的概念，它通过集合中的一些关系将事物量化。
将具有某种确定的特性的事物的全体称为一个集合。
在数学中，在逻辑量化过程中，会用到量词。
量词是命题中表示数量的词，分为全称量词和存在量词。全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“一切”、“所有”、“凡”等；存在量词断定存在（即至少有一个，但不一定是每一个）个体具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“有的”、“有”、“至少有一个”、“找得到一个”等。
符号表示为?（任一）表示全称量词，?（存在）表示存在量词，在数学中主要有以下几种形式：
x
F
?表示任一x具有性质F；
,x
)
(
x?表示存在x具有性质F（满足条件F）；
F
,x
(
)
y
x?
?表示任一x和任一y具有关系G（满足条件G）；
G
(
,
)
,y
x
x,具有关系G（满足条件G）；
y
x?
?表示对任一x，存在y，使得y
G
,
)
(
,y
x
x,具有关系G（满足条件G）；
y
x?
G
?表示存在x，对任一y，使得y
(
)
,
,y
x
),(,y x G y x ?? 表示 存在x ，存在 y ，使得y x ,具有关系G （满足条件G ）
； 复杂的命题或定理、定义是由这几种形式的组合，其一般形式为：
n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。
其中),,2,1(n i p i =为逻辑符号?或?；)1,,,2,1(+=n n i q i 为数学表达式。 例1 设R b a ∈,.证明：若对任何正数ε有ε+
证明（反证） 若结论不成立，则根据实数的有序性，必有b a >.令b a -=ε，则0>ε且ε+=b a ，这与题设ε+
数学的定义都是用逻辑的量化形式给出来的，例如极限的定义
数列极限定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的实数（R a ∈?），
+∈?>?N N ,0ε，当N n >时（N n >?），有ε<-a a n ，则称a 是数列{}n a 的极限，此时也称数列{}n a 收敛于a 。
定义中，数列{}n a 在条件： a 是一个确定的实数（R a ∈?），+∈?>?N N ,0ε，当N n >时（N n >?）下的性质是ε<-a a n 。
为了更好地理解定义，从反面看一个数列不收敛，这需要对偶法则。
公理系统：从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，这样形成的演绎系统叫做公理系统。欧氏几何学是一个古典的公理系统；现代公理系统的特征：一是严格性；二是选定公理所依据的标准（不是自明的）。
形式系统是一个完全形式化了的公理系统，系统包括各种初始符号、形式规则、公理、变形规则。
公理4个：
第一公理：重言律).)((p p p →∨
第二公理：∨引入律)).((q p p ∨→
第三公理：析取交换律).()((p q q p ∨→∨
第四公理：)).()(()((r p q p r q ∨→∨→→
变形规则：一、代入规则；二、分离规则；三、置换规则
推演规则（8条），重点介绍求否定规则与对偶规则
求否定规则：设E 为一公式，其中→和?不出现，其否定式-
E 可用以下方法直接得到
（1） ∨被代以.∧
（2） ∧被代以.∨
（3） 不出现于部分公式π?中的π被代以π?
（4） π?被代以π.
对偶规则：设B A ,为两个公式，在其中→和?不出现，*A 和*B 是B A ,中把∨和∧互换的结果，有
（1） 从├B A →，可得├.**A B →
（2） 从├B A ?，可得├.**A B ?
注意：求否定规则实质上是数学中的求否命题，对偶规则的本质是命题与其逆否命题等价；
由此可以给出对偶法则：设命题P 为“n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。”，则为了得到P 的否命题的正面叙述，只要将“n n q p q p q p ,,,2211 使得1+n q 成立。”中的逻辑符号),,2,1(n i p i =从)(??改为)(??，并将1+n q 改为它的否定形式即可。
例2定义数列{}n a 发散：N n N a >????,,,0ε，使得.0ε≥-a a n
例3数集A 无上界。
先看数集A 有上界：A x M ∈??,，有.M x ≤
则由对偶法则，数集A 无上界：A x M ∈??,，有.M x >
公理系统的作用在于，从一些公理或推演规则出发，把某一范围内的真命题推演出来。因此公理系统要求有两个重要性质，一是完全性（完备性），即从公理出发，能推出多少，是否完全；二是一致性（无矛盾性），即有没有逻辑矛盾，是否一致。
一致性定义有几种，一般介绍以下三种：
一、古典定义：一公理系统是一致的，当且仅当，不存在任何公式A ，A 和非A 都在
这个系统里可证。
二、语义定义：一公理系统是一致的，当且仅当，一切在这系统里可证的公式都是真的。
三、语法定义：一公理系统是一致的，当且仅当，并非任一合式公式都在这系统里可证。 完全性定义有以下三种：
一、语义定义：一公理系统是完全的，当且仅当，一切属于某一特定范围内的真命题都
是在这个系统里可证的。
二、语法定义：一公理系统是完全的，当且仅当，如果把一个推演不出的公式作为公理，
其结果，所得的系统就不一致。
三、古典定义：一公理系统是完全的，当且仅当，对于任一合式公式A ，或者A 是可
证的，或者非A 是可证的。
独立性定义：一公式集合M 是独立的，如果M 中任一公式A 都不能根据给定的推演规则从M 中其它公式推演出来。
不同命题的逻辑：
（1） 古典逻辑（二值逻辑：真或假，具有排中律）；
（2） 多值逻辑（变项和公式的值不止一项）；
（3） 模态逻辑；
（4） 构造性逻辑（真假概念是与构造的可实现性相联系的，排中律失效）
附录：数理逻辑发展简史
数理逻辑的五个特征：
第一，数理逻辑是边缘性的学科，在它的范围内，逻辑内容和数学的内容常常交织在一起；第二，从逻辑角度考虑，数理逻辑是研究演绎方法的科学。演绎方法包括演绎推理和以演绎为基础的证明和公理方法。
第三，在方法方面，数理逻辑使用了特制的符号语言并且在不同部分引用了不同程度的数学方法，随着数理逻辑的进展，还出现了一些新方法，如形式化方法、算术化方法、递归论和模型论方法等。
第四，数理逻辑的很大部分内容已经成长为数学的分支。
第五，数理逻辑的逻辑方面是现代的形式逻辑。
狭义的数理逻辑：用数学方研究数学中的演绎思维和数学基础的学科；
广义的数理逻辑：包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论，有时也称为符号逻辑（1881年英国逻辑学家J.Venn提出）。
数理逻辑的发展阶段
从17世纪末莱布尼茨起至今有三百年历史。
第一阶段，开始用数学方法研究和处理形式逻辑的时期，初始阶段。在本阶段里，用数学方法研究思维规律的想法开始被提出。从17世纪70年代的莱布尼茨到19世纪末布尔（英国）、德摩根（英国）、施罗德（德国）约200年，其成果是逻辑代数和关系逻辑。
莱布尼茨是数理逻辑的创始人，他相信逻辑，更推崇数学方法。他认为，数学之所以能如此迅速的发展，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特制的符号语言，这种符号为表达思想提供了优良的条件。他在数理逻辑方面的贡献：一是成功地将命题形式表达为符号公式；二是构成了一个关于两个概念相结合的演算。
布尔是一个自学成才的数学家，1844年发表论文《关于分析中的一个普遍方法》1849年被聘为爱尔兰考克城皇后学院的教授。他的逻辑著作《逻辑的数学分析》（1847）和《思维规律的考察》（1854），布尔的目的是构造一个演绎思维演算，他的指导思想是逻辑关系和某些数学运算甚为类似，代数系统有不同的解释，把解释推广到逻辑领域，就可以构成一思维的演算。1833年G.Peacock（1791—1858）提出了所谓的“形式永久性原则”，他们把代数学看作为一种关于符号及其组合规律的科学，代数定理只依据于符号所遵守的组合规律，而与符号所涉及的内容无关。布尔在《思维规律的考察》中说，思维的运算和代数的运算，他们的“规律必须独立地确定是否成立；它们之间的任何形式的相符只能通过比较然后才能建立起来。”根据以上思想，布尔构成了一个抽象代数系统，对于这个系统，他给出了四种解释：一种是类的演算，两种是命题的演算，一种是概率的演算。19世纪后期德国数学家施罗德将布尔代数构成一个演绎系统。
英国数学家德摩根是第一个提出关系逻辑理论的人，他提出了域论的概念，德摩根定理是逻辑学上的一个重要定理。
第二阶段，19世纪中叶数学科学的发展提出了研究数学思想和数学基础的必要性。数理逻辑适应数学的需要，联系数学实际，在60年的时间内奠定了它的理论基础，创立了特有的新方法，取得了飞跃的发展，成为一门新科学，主要包含以下四个方面：（1）集合论的创立。在19世纪70年代，德国数学家G.Cantor由于数学理论的需要，创立了集合论，奠定了以后发展的基础。
集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论；数学里遇到的无穷有：无穷过程、无穷小、无穷大。中国古代和西方希腊时期，数学家们已经接触到无穷过程和无穷小，可是还不能掌握其规律，对他们没有本质的认识。17世纪微积分出现以后，用到了无穷小增量，引起了
对无穷小的讨论及唯心主义的攻击（英国哲学家、牧师G .Berkeley 在《分析学家》中写到：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”）19世纪20年代，A.L.Cauchy 明确了诸如收敛性、极限等许多概念，建立了极限理论，使得人们对无穷过程才有了本质的认识。但直到20世纪60年代通过模型论的方法，即非0又非有限数量的无穷小量才重新得到肯定，并在此基础上建立了非标准分析。
无穷集合的分类——比如狄立克莱函数（分类是必要的）；
多维连续统：发现两个不同的无穷集——自然数集合和连续统（实数集合）
更大的无穷（更大的序数——基数的扩大）
康托尔定理：.2αα
>
良序定理，连续统假设——至今未证明；
实（在）无穷与潜（在）无穷，康托尔的观点：（1）数学理论必须肯定实无穷；（2）不能把有穷所具有的性质强加于无穷，无穷有其固有的本质；（3）有穷的认识能力可以认识无穷，哲学的无穷和数学的无穷。
（2）公理化方法的发展。
公理方法的应用是从公元前约300年欧几里得的《几何原本》开始的，从《几何原本》到1899年希尔伯特的《几何基础》共经历了2300多年，从不成熟的实质公理学发展到具有丰富方法论的形式公理学的逻辑理论，这为20世纪公理方法与数学基础的研究开辟了道路。 实质公理学，公理学所处理的对象已先于公理而给定。《几何原本》，牛顿力学都是实质公理学；形式公理学并不要求先给定某一类具体的对象。
（3） 逻辑演算的建立
19世纪70年代至20世纪初，为了探究数学科学的性质和数学思维的规律，经过德国数学家弗雷格、意大利数学家皮亚诺、英国逻辑学家数学家和哲学家罗素的努力，建立了一个初步自足的完全的逻辑演算。
（4）证明论的提出及其后果
19世纪中叶，数学基础研究获得了三方面的重要成就：（1）康托尔创建了集合论，加深了对实无穷的认识；（2）希尔伯特发展了形式公理化方法；（3）弗雷格和皮亚诺给出了一个完全的逻辑演算。
出现的一些带根本性质问题：（1）是否有实无穷？（2）如何解决康托尔的“一切集合的集合”的悖论？（3）如何论证一个关于基本数学理论的形式公理系统，如实数系统的一致性？（4）数学基础是什么？（5）数学能否建立在逻辑之上？
对这些问题的争论，形成了不同的数学学派：直觉主义，构造主义
直觉主义学派的创始人是荷兰数学家布劳威尔，主张直觉或直接感知是认识的根本来源，是必然性知识的保证。
构造主义学派主张，自然数及其某些规律，特别是数学归纳法，是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其他一切数学对象必须能从自然数构造出来，否则就不能作为数学对象。构造主义不承认间接的存在性证明，存在就必须构造得出来——排中律不是普遍有效。
第三阶段，1940年前后到70年代是数理逻辑的发展阶段。本阶段数理逻辑的主要内容大致为：逻辑演算、证明论、公理集合论、递归论和模型论。
重要结果：
（1）1928年希尔伯特和阿克曼从逻辑演算中把谓词演算分离出来并证明其一致性；（2）1930年歌德尔完全性定理；（3）1931年歌德尔的两个不完全性定理；（4）能行性或机械过程的数学描述；（5）一些限制性定理的不可判定性。
歌德尔的完全性定理：
（1）狭谓词演算的每一有效公式都可证；（2）狭谓词演算的任一公式或者是可否证或者是可满足的（而且是可数个体域可满足的）；（3）一可数无穷多公式的系统是可满足的当且仅当每一有穷子系统是可满足的。
歌德尔不完全性定理：
一个包括初等数论的形式系统，
第一不完全性定理：如果该系统是一致的那么就是不完全的；
第二不完全性定理：如果该系统是一致的那么其一致性在本系统中不可证。
为此，数学分析需要的基本知识是什么？其公理化系统又是怎样的？
一、建立实数的原则与完备有序域
有理数全体组成的集合Q ，构成一个阿基米德有序域，当它扩充为实数集R 之后，仍是一个阿基米德有序域。
一个数域F 构成一个阿基米德有序域，指它满足以下三个条件：
（1）F 是域（2种运算?+,，8条规则）；
（2）F 是有序域，定义序关系“<”满足传递性、三歧性（加法乘法保序性）；
（3）阿基米德性质：F 中的任意两个正元素b a ,，必存在正整数n ，使得.b na >
二、戴德金分划
设有理数集Q 的两个子集',A A 满足：
（1）',A A 都不空；
（2）Q A A =' ；
（3）'',A a A a ∈∈?，都有'a a <，
称有序集合对)',(A A 为Q 的一个分划（戴德金分划）；并分别称',A A 为下类和上类。
有端（点）分划——确定一个有理数；无端分划——确定一个无理数。
戴德金定理：设)',(A A 为R 的一个分划，则或者A 有最大元，或者'A 有最小元。 该定理与确界定理等价。
三、无限小数与实数
回顾：（1）用无限小数定义实数；（2）无限小数的运算法则；（3）确界与确界定理 例4 实数的稠密性：)(,y x R y x <∈?，则在它们之间必有无穷多个实数，且有无穷多个有理数。
四、实数完备性等价命题
（1） 戴德金定理；（2）确界定理；（3）单调有界定理；（4）区间套定理；
（5） 有限覆盖定理；（6）聚点定理；（7）苛西准则
关系：).2()7()6()5()4()3()2()1(???????（证明见备课本）
（0.0） 戴德金定理?确界定理
证明 只证明非空有上界的数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界类似可证。
设S 为一非空有上界的数集，并令在R 中的全体上界组成集合'A ，记'\A R A =，从而)',(A A 是R 的一个分划，且A S ?.由戴德金定理，或者A 有最大元，或者'A 有最小元，记这个元为η，下证.sup S =η
（1）S x ∈?，则.η≤x
（2）若S ∈η，则η必是S 的最小上界；若S ?η，0>?ε，必有A ∈-εη，事实上，若'A ∈-εη，则.εηη-≤这是不可能的。从而εη-不是S 的上界。
有确界的定义，.sup S =η
（1.0） 确界定理?戴德金定理
证明 设R 的任一分划)',(A A ，由于'A 中每一个数皆为A 的上界，故由确界定理，A 有上确界A sup =α，又由分划定义)'(R A A =?，α或者属于A ，或者属于
若A ∈α，则因α≤∈?x A x ,，故α为A 中最大元；
若'A ∈α，则α必'A 为中最小元。若不然，必定存在'A b ∈，使得α
（1） 确界定理?单调有界定理
证 只证明单调增加有上界数列有极限，单调减少有下界数列有极限类似可以证明。 设{}n a 为递增数列，且有上界。由确界定理，存在上确界{}n a sup =α，下面证明α又是{}n a 的极限。
任给0>ε，由上确界定义，存在{}n N a a ∈，使得εα->N a ，又{}n a 是递增数列，且α是{}n a 的上界，故当N n >时有εααεα+<≤≤<-n
N a a ，再由极限的定义有
.lim α=∞→n n a
（2） 单调有界定理?闭区间套定理
证明 设{}],[n n b a 为一闭区间套，则{}n
a 为递增数列，并以1
b 为上界，因而存在极限ξ=∞→n n a lim ，且
,3,2,1,=≤n a n ξ。同理{}n b 为递减数列，且有下界1a ，
从而有极限，又.,2,1,0lim )(lim lim =≤=+=+-=∞→∞→∞→n b a a b b n
n n n n n n n ξξ 这表明.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ
最后证明这样的ξ是唯一的。（反证）若存在另一个数 ,2,1],,['=∈n b a n
n ξ，则
),(0'∞→→-≤-n a b n
n ξξ
故.'ξξ=
（3） 闭区间套定理?有限覆盖定理
证明（反证） 设{}),(βα=H 为闭区间],[b a 的一个无限开覆盖，假设不能用H 中有限个开区间来覆盖],[b a 。
把],[b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间“不能用H 中有限个开区间覆盖”，记这个子区间为.2],,[],[1111a b a b b a b a -=-?再把],[1
1b a 等分为两个子区间，同样有其中至少一个子区间
“不能用H 中有限个开区间覆盖”，记之为
.2],,[22222a b a b b a -=-将上述步骤无限地进行下去，一
般有 （1）
,2,1],,[],[11=?++n b a b a n n n n ， （2）.02lim )(lim =-=-∞→∞→n n n n n a b a b
且每个],[n n b a 都“不能用H 中有限个开区间覆盖”。于是{}],[n n b a 构成一个闭区间套，由闭区间套定理，存在唯一一点.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ但因
],[b a ∈ξ，
它必含于H 中某个开区间),(βα之内。设0},min{>--=ξβαξε，由（2）式，当n 足够大时，就有
).,(),(],[βαεξ??U b a n
n 这说明当n 足够大时，],[n n b a 只需要H 中一个开区间就能将它覆盖，这与构造],[n
n b a 的假设“不能用H 中有限个开区间覆盖”相矛盾。所以，必存在H 的某一有限子集就能覆盖],[b a .
（4） 有限覆盖定理?聚点定理
证明 设S 为实轴上有界无限点集，故存在
0>M ，
使得].,[M M S -?这样，若S 有聚点，由极限的保序性知聚点必定在],[M M -中。现在用反证法证明聚点的存在。
假设],[M M -中任一点都不是S 的聚点，则对每一个],[M M x -∈，必有相应的x δ，使得在),(x x U δ内至多只有一点S x ∈。于是，这样的邻域的全体形成对闭区间],[M M -的一个无限开覆盖：]}.,[|),({M M x x U H x
-∈=δ 由有限覆盖定理，H 中存在有限个开区间 H K i x U H i
x i ?==},,2,1|),({* δ 便能覆盖],[M M -，当然也覆盖S ，从而S 中至多只有K 个点，这与S 为无限点集相矛盾。所以在],[M M -中一定有S 的聚点。
聚点定理有一个重要推论——致密性定理，致密性定理考虑的是数列极限及其子列极限的关系，在讨论数列的极限时经常用到。 推论（致密性定理）有界数列必含有收敛的子列。即若存在0>M ，满足 ,2,1,||=≤n M a n
，则必有数列{}n a 的子列{}k n a 使得a a k n k =∞→lim .
（5） 聚点定理?柯西收敛原理 证明 必要性 若数列{}n a 收敛，设a a n n =∞→lim ，则
由极限的定义，0,0>?>?N ε当N n >时，有.2||ε
<-a a n 于是，对任何N m n >,，有
.||||||ε<-+-≤-a a a a a a m n m n
所以柯西条件成立。
充分性当柯西条件满足时，首先证明{}n a 为有界数列。事实上，对于+∈?=N N 1,1ε，当
11,N m N n =≥时，
有1||||||11<-≤-N n N n a a a a ，从而.||1||1N n a a +≤令 }1|||,|,|,||,max {|1
1121+=-N N a a a a M ，则有
.,2,1,|| =≤n M a n
由于{}n a 为有界数列，故由致密性定理，{}n a 存在收敛的子列{}k n a ，设a a k n k =∞→lim ，下面证明{}n a 也以为极限。
由柯西条件与收敛的定义，N K ≥?>?,0ε当K m n k >,,时，有
2||ε<-k n n a a ，.2||ε<-a a k n ，因此当K n >，同时有K k n k >≥，就有
ε<-+-≤-||||||a a a a a a k k n n n n ，即a a n n =∞→lim .
（6） 柯西收敛原理?确界定理
证明 设S 为非空有上界的数集。由阿基米德性质，对任何正数a ，恒有整数K ，使得Ka =λ为S 的上界，而a K a )1(-=-λ不是S 的上界。现取 ,2,1,1==n n a ，相应地存在n K 和n K n
n =λ，使得n
λ是S 的上界，而n n 1
-λ不是S 的上界。下面证明{}n λ满足
柯西条件。 由于01lim =∞
→n n ，故0,0>?>?N ε，使得当N m n >,时有 .1,1εε< 又因为n n 1-λ 不是S 的上界，故S b n ∈?，使得n b n n 1 ->λ；而m λ是S 的上界，故m n b λ≤。将此两式相减，得到n m n 1<-λλ；同理又有.1m n m <-λλ故N m n >,时，满足.}1,1max {||ελλ <<-m n m n ，由柯西收敛原理，知{}n λ收敛，记.lim ηλ=∞→n n 最后证明S sup =η，首先S x ∈?，因n x λ≤，故有η≤x 。 再有0>?δ，当n 足够大时，能使22,21δ ηλδηδ+<<- δ η-=-->n b 由上确界的定义有S sup =η. 五、 上极限与下极限（特殊的数列） 作业： 1、用逻辑符号叙述 （1）数集A 有界；（2）函数的定义；（3）函 数f 在数集A 上的上、下确界；（4）函数f 在数集A 上单调增加。 2、设B A ,为非空有界数集，且它们的元素都非负。定义数集 },|{B b A a b a c B A ∈∈+==+；},|{B b A a ab c AB ∈∈== 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+；（2）B A B A inf inf )inf(+=+； （3）B A AB sup sup )sup(?=； （4）.inf inf )inf(B A AB ?= 3、用确界定理证明区间套定理。 4、用区间套定理证明确界原理和单调有界定理。 5、设A 为一非空有界数集，证明 .inf sup ||sup ,A A y x A y x -=-∈ 现代公理化方法的奠基人——希尔伯特 1900年8月6日，第二届国际数学家代表大会在法国巴黎召开。一位38岁的德国数学家神采奕奕地走上了讲台，他向与会者，也向国际数学界提出了横跨数学领域的尚待解决的23个数学问题，预示了20世纪数学的发展进程，他就是20世纪世界最伟大的数学家之一——希尔伯特。 希尔伯特于1862年1月23日生于哥尼斯堡，1943年2月14日在哥廷根逝世。他于1880年入哥尼斯堡大学，1885年获博士学位。希尔伯特的数学贡献是巨大的，他典型的研究方式就是直攻数学中的重大问题，开拓新的研究领域，并从中寻找普遍性的方法。1899年希尔伯特在汲取前人工作的基础上，完成了他著名的《几何基础》一书，第一次给出了完备的欧几里德几何公理体系——希尔伯特公理体体系，从而彻底结束了两千多年来，人们对欧几里德《几何原本》的补充、整理工作。在《几何基础》中，希尔伯特仍使用欧几里德的传统语言和叙述方法，首先补充了欧氏体系中缺少的公理，建立起欧几里德几何的完备公理集，从这个公理集可以无缺陷地推出欧氏几何中的所有定理，并精确地提出了公理系统的相容性、独立性和完备性，因而希尔伯特被誉为现代公理化方法的奠基人。 希尔伯特的数学贡献也是多方面的，他所研究的领域遍及代数学，几何学、分析学、数学基础及物理学许多方面，并取得了举世公认的伟大成就。他眼光深邃，精力充沛，富于创造、献身科学事业的信念使他深深地埋头科学研究，以致几乎考察了数学领域的每一个王国，超凡的才、学、识使他能以卓越的远见和洞察力提出了新世纪数学所面临的难题，从而推动了半个多世纪以来众多数学分支的发展。据统计，从1936——1974年，被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖者中，至少有12人的工作与希尔伯特的问题有关。 希尔伯特的成功固然有其特定的社会因素，但也是与他本人的勤奋努力、顽强拼搏分不开的，在他的回忆录中，他承认自己小时候并非天才，而是一个愚钝的孩子，他的亲友也没人提到过希尔伯特的能力曾受到人们的注意，但他顽强的精神，却给周围人留下极深刻的印象：不论面对多么繁重的计算，他都具有计算到底的毅力，有一股不达目的绝不罢休的劲头。 公理化和形式化axiomatization and formalization 研究演绎科学理论和构造演绎系统的两种方法。它们被广泛应用于现代逻辑和数学研究中。 公理化 把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：①从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念；②从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。 公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。 公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。 古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的，概念是对象的反映，公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这对象域的真命题。从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预先想到的解释。但是，系统自身并不给初始概念予直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定，对初始概念和公理可以给予不同的解释，可以刻划多个不同的对象域，即有多个不同的对象域都可以使得一个公理系统的公理和定理为真，它们在不同的解释下成为不同对象域的真命题。 公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性、完全性和范畴性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的。 形式化 公理系统的进一步形式化不仅可以有不同的解释，而且需要应用专门设计的人工符号语言，使一个理论更为精确化和严格化，也就是运用人工的表意符号语言陈述所要形式化的理论。这种人工语言称为形式语言。把一个理论形式化就是把理论中的概念转换为形式语言中的符号，命题转换为符号公式，定理的推演转换成符号公式的变形，并把一个证明转换成符号公式的有穷序列。形式语言的符号和它们所表示的概念之间的对应是确定的，符号公式的结构反映它们的意见。把一个理论形式化后，就可以暂时完全撇开原来理论中的概念、命题的意义，而只从语言符号、公式结构（符号组合的形状）方面研究。意义是抽象的，往往不容易精确理解和掌握。而符号和公式是有穷的具体的对象，能够对其作更精确、更严格的研究，从而通过对具体对象的研究把握抽象的东西。 形式系统 把一个理论形式化的结果是建立形式系统。形式系统是形式化了的公理系统，它包括以下3个部分：①形式语言。规定一个形式语言，首先要列出各种初始符号，它们是形式语言的字母，其中一部分是初始概念，包括逻辑概念；然后再列出一组形成规则，形成规则规定怎样由初始符号组合起来的符号序列是系统中的合式公式，只有合式公式才是有意义的命题，而不合式的符号序列则是无意义的。②形式系统的公理。公理是挑选出来作为出发点的一组合式公式，它们经解释后可以是真的命题。③一组变形规则，也称为推导规则。变形规则规 物理学的公理体系 基于目前整个物理学逻辑体系的不完备性，给出了物理学公理假设及其七个推论，并由此构成了物理学的公理体系。物理学公理体系的建立意味着物理学逻辑体系框架的建设完成。 【关键词】 物理学公理 ---度规，物理学公理的第一推论--- 物理单位（量纲）的时空数值，物理学公理的第二推论--- 度规物理量，物理学公理的第三推论--- 完备物理常数定理，物理学公理的第四推论--- 物理单位（量纲）的时空组态，物理学公理的第五推论--- 时空组态和时空数值的互易性，物理学公理的第六推论--- 物理量的的时空结构，物理学公理的第七推论--- 物理单位（量纲）时空组态计算法则。 【正文】 迄今为止物理学尚没有公理，自然就没有形成其公理体系，只存在着基本物理单位和导出物理单位基础概念和大量散落分布于诸物理学分支学科中的定义，原理，定律，定理等。尽管存在着一些横跨诸分支学科的普适性很大的基本物理学原理，也被人们普遍认为是普适性的真理，但在逻辑上它们还不是公理，而属于基于基本物理单位和导出物理单位基础物理概念的推论。 物理学发展在目前遇到了很大的困难并处于长期徘徊不前困境，一方面在向全球理论物理学家们暗示需要对他们正在使用的方法论作进一步的考究，另一个情况则显得更加紧迫和严重，那就是物理学基本逻辑体系的完善性建设问题。 由于物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的定义）现在被发现并不是对它们指称的物理实在所固有存在形式（时空结构）的全面反映，因而导致了以它们为基础概念而创立的各种常规物理概 念均无法切入到其指称的各类存在所固有的存在形式之上（时空结构），因而造成了以上述基础物理概念和常规物理概念为基础而建立起来的所有物理学理论从根本上不具有对其欲认识的客观现象及其变化规律给出本质性物理学描述能力，而只能停留在它们的表象层面上给出已有的和将要给出的较好的物理学描述。 但宇宙及其所属各类存在原本是一体的，具有固有的，不可分割和逻辑一致的内在联系。对它们的表象性认识是无法穷尽的，而且表象性的认识往往会产生假象，这些认识假象混杂在正确的表象认识之中鱼目混珠，真假难辨，很容易让人们对宇宙的认识产生模糊甚至混乱。这种模糊和混乱认识局面的理论根本原因就在于非本质性的物理概念以及以其为基础而建立起来的物理学理论无法统一地对宇宙诸表象性认识的众多和繁杂结果进行本质性的筛选，精化，提炼并最终得到实证。 这样，实现对物理学最基础概念的深化认识，将它们在客观中的固有存在形式准确地以物理学概念反映出来，便成为21世纪物理学家们和人类对宇宙实施正确认识的当务之急和头等大事。这在理论上等效于开创性地建设一个可以准确地，完整地并具有实证性地反映宇宙基本存在形式的物理学逻辑公理体系。 目前物理学的逻辑体系不完备，缺少公理体系。物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的符号系统）尚没有实现对其所属物理实在的逻辑形式的全称指称表述。物理学理论的这个逻辑缺陷从根本上制约 命题逻辑练习题 一、从五个备选答案中选择一个正确的答案，并做出简要的分析： 1、古代一位国王率领张、王、李、赵、钱五位将军一起打猎，各人的箭上均刻有自己的姓氏。围猎中，一只鹿中箭倒下，但却不知是何人所射。国王令众将军猜测。 张说：“或者是我射中的，或者是李将军射中的。” 王说：“不是钱将军射中的。” 李说：“如果不是赵将军射中的，那么一定是王将军射中的。” 赵说：“既不是我射中的，也不是王将军射中的。” 钱说：“既不是李将军射中的，也不是张将军射中的。” 国王令人把射中鹿的箭拿来，看了看，说：“你们五位将军的猜测，只有两个人的话是真的。” 根据国王的话，可以判定以下哪项是真的？ A、张将军射中此鹿。 B、王将军射中此鹿。 C、李将军射中此鹿。 D、赵将军射中此鹿。 E、钱将军射中此鹿。 1、某大学进行演讲比赛，得第一名的只有一人。在对六个参赛者进行名次预测时，四人作了如下 预测： 甲：取得第一名的要么是我，要么是乙。 乙：取得第一名的要么是甲，要么是丙。 丙：如果不是戊取得第一名，就一定是己。 丁：第一名决不会是甲。 比赛结果发现，只有一个人的预测正确。请问谁得第一名？谁的预测正确？ A、甲得第一名，乙的预测正确。 B、乙得第一名，甲的预测正确。 C、丙得第一名，乙的预测正确。 D、丁得第一名，丁的预测正确。 E、戊得第一名，丙的邓测正确。 2、销售经理的人选，对于一个公司的生存和发展十分重要。哈维珍珠有限责任公司对于销售经理 的任用，就非常填重。由于前任销售经理因故离任，关于公司新销售经理的人选，甲、乙、丙 三位董事经过充分考虑，提出了他们的意见： 甲：要么聘用李先生，要么聘用王先生。 乙：如果不聘用李先生，那么也不聘用王先生。 丙：如果不聘用王先生，那么就聘用李先生。 数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公 理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、 第一讲数理逻辑与公理化系统 逻辑是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观事物的思维过程，逻辑思维，人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观对象。它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。 概念是反映事物内的本质属性及其分子的的思维形式，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。其特征是概念的内涵（内容）和外延（包含在概念中的事物）； 判断的特征是对事物有所断定且有真假； 演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理） 定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。 定义的规则：一是定义概念与被定义概念的外延相同；二是定义不能用否定形式；三是定义不能用比喻；四是不能循环定义。 划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。 数学中的逻辑除了上述特点之外，更重要的是定量的刻画客观事物，在这一过程中，集合是一个基本的概念，它通过集合中的一些关系将事物量化。 将具有某种确定的特性的事物的全体称为一个集合。 在数学中，在逻辑量化过程中，会用到量词。 量词是命题中表示数量的词，分为全称量词和存在量词。全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“一切”、“所有”、“凡”等；存在量词断定存在（即至少有一个，但不一定是每一个）个体具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“有的”、“有”、“至少有一个”、“找得到一个”等。 符号表示为?（任一）表示全称量词，?（存在）表示存在量词，在数学中主要有以下几种形式： x F ?表示任一x具有性质F； ,x ) ( x?表示存在x具有性质F（满足条件F）； F ,x ( ) y x? ?表示任一x和任一y具有关系G（满足条件G）； G ( , ) ,y x x,具有关系G（满足条件G）； y x? ?表示对任一x，存在y，使得y G , ) ( ,y x x,具有关系G（满足条件G）； y x? G ?表示存在x，对任一y，使得y ( ) , ,y x 逻辑运算公理 常用的逻辑运算公理如表1.2所示 表1.2 常用逻辑运算公理 1.3 逻辑运算定理 常用的逻辑运算定理如表1.3所示 表1.3 常用逻辑运算定理 1.4 常用公式 逻辑运算的公式有许多，在表1.4中列出了五个常用公式，实际上，只要经过证明的等式都可以在以后的变换和化简时使用。 表1.4 常用公式 注：公式1、2为吸收律和分配律的应用，公式3为多余因子定律，公式4为多余项定律，公式5为与或和或与转换定律。 1.5 逻辑代数的三个基本规则 1.代入规则 若两个逻辑函数相等，即F=G，且F和G中都存在变量A，如果将所有出现变量A的地方都用一个逻辑函数L代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 因为任何一个逻辑函数，它和一个逻辑变量一样，只有两种可能的取值(0和1)，所以代入规则是正确的。 有了代入规则，就可以将基本等式（定理、常用公式）中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大了它们的应用范围。 例已知等式A(B+E)=AB+AE,将所有出现E的地方代之以(C+D)，试证明等式成立。 解: 原式左边=A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)=AB+AC+AD 原式右边=AB+A(C+D)=AB+AC+AD 所以等式A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)成立。 注意：在使用代入规则时，必须将所有出现被代替变量的地方都用同一函数代替，否则不正确。 2.反演规则 设L是一个逻辑函数表达式，如果将L中所有的“·”(注意，在逻辑表达式中，不致混淆的地方,“·”常被忽略)换为“＋”，所有的“＋”换为“·”；所有的常量0换为常量1，所有的常量1换为常量0；所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量，这样将得到一个新的逻辑函数，这个新的逻辑函数就是原函数L的反函数，或称为补函数，记作。这个规则称为反演规则。 反演规则又称为德·摩根定理，或称为互补规则。运用反演规则可以方便地求出反函数。 数学公理化方法 在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。 公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。伯拉图阐明了许多逻辑原则。亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。 公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。这是公理化方法的进一步发展。 1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。 几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。 ! "# 20173一、引言 人们有时会说，尽管罗素和怀特海（1910）的《数学原理》（Principia Mathematica ，下文简写为 PM ）是早期分析哲学的奠基性著作之一，但它很少被阅读甚至被认为是“难以读懂的”①。除了PM 第14章中定性的讨论之外，当代哲学家已经不会再去研究PM 了。其部分原因既在于其过时的观点， 也在于它已经被逻辑学的后续进展所取代。当代逻辑学家可能把关于命题逻辑的前几章（2-5章）看作是从公理中毫无目的地选择出来的近两百条基本定理的堆砌。PM 第一卷于1910年出版之后，亨利·谢费（Henry Sheffer ，1913）和珍·尼可德（Jean Nicod ，1917）已经表明，命题逻辑可以由一个连接 词（“谢费竖”）和使用这个连接词的公理进行形式化②。尼可德和谢费是罗素的学生，他们的成就主 要反映在1925年的PM 第二版《导言》里，《导言》给人的印象是：罗素早期曾经否定过PM 中的初等逻辑系统。到了20世纪20年代中期，人们已经知道如何使用真值表证明命题逻辑的任意一个公理系统在语义上是完全的③。研究早期分析哲学的学者们发现，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中最先提出：命题逻辑的公理形式是不必要的。而且，重言式的概念可以取代定理的概念成为逻辑真的解释。因此，在PM 出版时，其中的命题逻辑就被认为已经过时并且与哲学几乎无关。然而，探寻PM 在皮亚诺逻辑和罗素早期研究的踪迹，将帮助我们理解PM 之后的逻辑学中许多看似困惑的特征。 罗素于1900年在巴黎数学大会听到朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano ）和他学生的报告，他把这个报告描述为在“我理智生命的最重要一年中的最重要的事件”（罗素，1944）。正是这次与新符号逻辑 从《数学原则》到《数学原理》的命题逻辑 伯纳德·林斯基著[摘要]《数学原理》（Principia Mathematica ）是罗素和怀特海的著作，也是早期分析哲学的基石，它的 公理系统与《数学原则》（Principles of Mathematics ）的公理系统不同。通过研究罗素如何在《数学原理》中找 到证明方法的过程，可以发现经典命题逻辑公理形式化证明的一般方法。《数学原理》改变了《数学原则》中的初始命题，带来了新的证明，一些定理和引理随着论题的发展而被删除了，但《数学原则》中尽量多的结果还是被保留下来。《数学原理》中的命题逻辑系统是一个逐步演化的结果。 [关键词]《数学原则》；《数学原理》；《蕴含理论》；皮亚诺，皮尔士 [作者简介]伯纳德·林斯基，加拿大阿尔伯特大学哲学系教授，加拿大埃德蒙顿；陈磊，北京师范大 学哲学学院副教授；王秀娟，北京师范大学哲学学院硕士研究生，北京100875 ［中图分类号］B81［文献标识码］A ［文章编号］1004-4434(2017)03-0032-09 [基金项目]国家社科基金一般项目“相对论的一阶逻辑基础研究”（14BZX078）资助 ①见格里芬和林斯基（2013）在XViii 页引述了这个观点。②谢费尔（1913）和尼可德（1917）。 ③伯纳斯（1926）的工作中包含了PM 的一条公理是多余的以及公理的完备性这两个结果。这两个结果都没有在PM 的第二版中出现。见林斯基（2011）。 陈 磊，王秀娟 译 32 计算机科学M O O C课程群 离散数学基础 命题逻辑的自然演绎系统 (一) 形式语言和变形规则 ? 定义：形式语言 L ?形式语言 L 包括初始符号集和形成规则。 ?初始符号 (1)命题变量符号 p1, p2, p3, … ； (2)命题联结词 ?, ∧, ∨, →, ?； (3)辅助性符号 (, )，用于描述联接词的辖域或运算优先次序。 ?形成规则 (1)单独的命题变量符号是合式公式 (wff，简称公式)； (2)若 A 是 wff，则 ?A 也是 wff； (3)若 A, B 是 wff，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A?B) 也是 wff； (4)当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff。 ?规定 ?公式最外层括号可以省略；省略括号情况下，联接词的结合按 ?, ∧, ∨, →, ? 的次序进行。 ?一般地定义：(A?B) = (A→B)∧(B→A) ?说明 ?生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式，称为该合式公式的子式。 ?生成合式公式最后一步使用的联结词称为该公式的主联结词。 ?比如 (A∧B)→(A∨B) 中的 →；又如 A∨(A∧B) 中的 ∨。 ? 定义：变形规则 ?变形规则 (或推演规则) ?° Γ├ B?± 描述合式公式之间的语法推演关系，它只涉及公式的形式结构，与其真值含义无关。 ?“Γ├ B”表示在演绎系统 N 中“由 Γ 形式推出 B”的语法推演关系 (或语法变形)， 也称为 N 的定理。其中 Γ 是元语言符号，描述 N 中的一个有限公式集合，称为规则的 前提，B 是 N 的公式，称为结论公式。 ?规定 ?等价规则： (1) 若 Γ├ A∧B 则 Γ├ B∧A； (2) 若 Γ├ A∨B 则 Γ├ B∨A。 ?Γ = {p1, p2, …, p n} 时， Γ├ B 也可以写成 p1, p2, …, p n├ B ?定义：基本变形规则集 R ?每一条变形规则都指出一种语法推演关系的模式。 ?设 Γ 是 L 中的一个有限公式集，A, B, C 是 L 的公式。 (1)包含规则：若 A∈Γ 则 Γ├ A 。特别地 A├ A。 –包含规则也称为前提引入规则。 (2)前提附加：若 Γ├ A 则 Γ, B├ A 。 –前提附加规则也称为弱化规则。 –Γ, B├ A 是 Γ∪{B}├ A 的简写。 (3)否定引入：若 Γ├ A 则 Γ├ ??A。 (4)否定消去：若 Γ, ?A├ B 且 Γ, ?A├ ?B 则 Γ├ A。 –否定消去也称为反证法 (5)合取引入：若 Γ├ A 且 Γ├ B 则 Γ├ A∧B。 (6)合取消去：若 Γ├ A∧B 则 Γ├ A 且 Γ├ B。 (7)析取引入：若 Γ├ A 或 Γ├ B 则 Γ├ A∨B。 (8)析取消去：若 Γ, A├ C 且 Γ, B├ C 则 Γ, A∨B├ C –析取消去的另外描述形式：若 Γ├ A∨B，Γ, A├ C 且 Γ, B├ C 则 Γ ├C。 (9)蕴涵引入：若 Γ, A├ B 则 Γ├ A→B 。（CP 规则） (10)蕴涵消去：若 Γ├ A→B 且 Γ├ A 则 Γ├ B 。 (11)等价引入：若 Γ, A├ B 且 Γ, B├ A 则 Γ├ A?B。 –或：若 Γ├ A→B 且 Γ├ B→ A 则 Γ├ A?B。 (12)等价消去：若 Γ├ A?B 且 Γ├ A 则 Γ├ B 。 –或：若 Γ├ A?B 则 Γ├ A→B 且 Γ├B→ A。 (13)等值替换：若 A├ B, B├ A 且 Γ├ Φ(A)，则 Γ├ Φ(B)；Φ(A) 描述 N 的 一个含子式 A 的公式。 ?定义：基本变形规则集 R ?每一条变形规则都指出一种语法推演关系的模式，其中可以包含无数实际实现的形式，称为规则的代入实例。 ?变形规则是由形式演绎系统约定为合法的推演规则。大部分变形规则具有直观的语义意义。 ?命题逻辑自然演绎系统 N 由形式语言 L 和一组变形规则集 R 构成 ?说明： 公理化方法 公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。 简介 恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会 科学部门，并在其中起着重要作用． 历史发展 产生 公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统． 亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑． 公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性 數學中的公理化方法(下) 吳開朗 四、數學公理系統的美學標準 美國數學家F.S.梅里特在其所著《工程中的現代數學方法》一書中曾經說過:“每一模型都是由一組公理定義的,···公理自身必須無矛盾且相互獨立”[11]。所謂一組公理,即是一個公理系統。關於公理系統的無矛盾性,是指借助於演算不可能在一個公理系統中推出兩個相互否定的命題。關於公理系統的獨立性,是指在該系統中任何一條公理都不可能作為其餘各公理的邏輯推論。如果一個公理系統具備無矛盾性(即相容性)和獨立性,那麼,這個公理系統(或者說這個理論體系)就是優美的。因此,相容性和獨立性也就是公理系統的美學標準。 獨聯體維林金等編著的《中學數學現代基礎》一書中曾指出:“可以由給定的公理系統導出的全部不同的命題,一般說來有無窮多個。因此,為了證明給定的公理系統的相容性,要想由這一公理系統作出全部可能的推論,並且指出其中沒有相互矛盾的命題,這是不可能的。為了解決這個難題,曾經創造一種特殊的方法,它的名稱叫做模型法”。[12]所謂模型法,即是欲證明某一新數學理論的無矛盾性(一致性),或者欲證明某一新數學理論 與某一已知的(舊)數學理論的相容性(相對一致性),可以設法為它在古典數學中構造一個模型,並且進而證明這個新數學理論的公理系統在該模型中都能夠得以實現,這樣,即可以把這個新理論的相容性,化歸為新理論與建造它的模型(新理論的模型)時所需要的古典數學理論的相容性(相對一致性)。因此,這種模型法,又可稱之為化歸法。例如,我們利用龐卡萊(Poincar′e)模型和球面模型,可以把非歐幾何的相容性,化歸為歐氏幾何的相容性,再利用算術模型,又可進一步把歐氏幾何的相容性,化歸為算術理論的相容性。[13]然而,對於一個新理論而言,並不需要如此逐步化歸,一般地說,只要是在古典數學中,能夠為其構造一個數學模型已足,因為古典數學已經過億萬群眾長期的科學實踐檢驗。 維林金在《中學數學現代基礎》一書中指出:“利用模型法也可以解決所給公理系統的獨立性問題。如果理論T中的公理A,由其它公理既不能證明,也不能否定,則稱公理A是與其它公理相獨立的。要證明所給公理A的獨立性,應該建立一個新的公理系統,在其中將公理A換成它的否定,而T中其它公理則保持不變。如果所給的公理系統以 1 公理法 选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”． 两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展． 1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点． 希尔伯特公理体系的主要思想包含： （1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象． （2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系． （3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质． 希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点： 第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中． 第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出． 第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题． 欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系． 公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象． 数学公理化方法的意义和作用 2008-9-27 16:06:49 ——摘自《徐利治谈数学哲学》 公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，可以说，它对各门现代数学都有极其深刻的影响．即使在数学教学中，公理化方法也是一个十分重要的方法． 所谓公理化方法(或公理方法)，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学理论构造成为演绎系统的一种方法．所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系而并非人们自由意志的随意创造． 众所周知，Hilbert l899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作．该书在问世后的二三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大．Hilbert的几何公理系统实际上是在前人的一一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改．直到1930年出第七版时，还作了最后修改．这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程是可以包含着一些发展阶段的． 谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下四点： (1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用．凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便． (2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创 (3)数学公理化方法在科学方法论上有示范作用．这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如，20世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化，而物理学家亦把相对论表述为公理化形式…… (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例 数学公理化方法 2007-09-19 23:30 §2 数学公理化方法 公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，它对于各门现代数学都有极其深刻的影响．公理化方法是数学研究的一种基本方法，即使在数学教学中，也是一个十分重要的方法． 一、公理化方法的意义和作用 所谓公理化方法，就是由尽可能少的不加定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发，运用逻辑规则推导出其余命题或定理，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法． 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学 公理化方法和中学几何公理体系 12数学陈婷12220620 摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。 关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示 正文： 一、几何学发展简史 几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。 一）欧氏几何的创始 公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。 欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。他的思想被称作“公理化思想”。 欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点： 1、在欧式几何中用了重合法来证明全等： 在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。因此没有逻辑根据，他在证明中，移动图形，且默认为图形的性质不变，这在物理经验中是需要非常多的约束条件的，而欧几里德只是默认，并没严格的初始约束条件，因此逻辑上的严格性有问题。 2、几何中的某些定义，不能自在自为自足，有时甚至使用未加定义的概念。而有些被定义的概念往往是多余的，含糊不清。对一些不能定义的初始条件反而定义，甚至是不严格的定义。如：点、线、面等等初始概念就不应该定义，反而不严格的定义。 3、引用从未提起过，且未被发觉的假定。 4、证明不严格，许多定理的证明都依赖于感性直观，通过对图形的直观来证明。缺乏对直观与抽象的区别，过分依赖于感性直观。许多知识都是经验中的知识。 5、在欧氏几何的五条初始公理中，第五公理（平行线公理）引来许多争议。在陈述上、内容上复杂、累赘。缺乏说服力，不自明。 几何中的公理化方法 定义：所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 公理化方法的意义：公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且是合理的．因此，一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求： 相容性：这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理．反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的．因此，公理系统的无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求． 独立性;这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度． 完备性:这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由． 从理论上讲，一个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的．至于某个所讨论的公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求的公理系统确实存在等，则是另外一回事了．应该指出的是，对于一个较复杂的公理体系来说，要逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现。 §5.3 使用RMI方法的条件 从前述各例，我们可以归纳出正确使用RMI方法的条件。 （1）映射?须是两类数学对象之间的一一对应关系； （2）所采用的映射?须是可定映的，即目标映象能通过确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来； ?必须具有能行性，即通过目标映象能将目标原象的某种（3）相对的逆映射（反演）-1 需 要的性态经过有限步骤确定下来。 以上几点也从另一角度说明，RMI方法并非是处处适应的万能法则。 正确有效地应用RMI方法的关键显然在于引进合乎要求的映射，这就要求使用者在如下方面去努力：一是理解原象关系结构系统的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手段的能力；四是掌握常用的方法与变换的能力；五是寻求反演公式与手段的能力。 ?的可定映射?，谁数学史的发展表明，谁能巧妙地引进非常有效且具有能行性反演-1 就对数学的发展作出贡献。反之，正因数学自身的发展（特别是它的现代发展），不断产生了一些新的重要的映射工具，也就为RMI方法的运用展示了更广阔的前景。 129 第六章数学公理化方法 数学公理化方法是一种演绎的方法，当一个理论体系达到充分发展，需要以演绎的形式来表达它的基本范畴之间，原理、原则之间的关系，形成逐渐演进和发展时，公理化方法是最为有力的手段。可以说，它对各门数学分支学科都产生着巨大的影响，即使在数学教育中，也起着重要的作用。 §6.1数学公理化方法的意义 所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公社）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 数学发展的历史有力地表明公理化方法在数学方法中有着重要的意义。我们可以归纳出如下几点： 1．总结性：恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。”这种方法将数学知识的概念、命题的形式进行了分析和总结，凡是得了公理化结构形式的数学，均可在已形成的逻辑关联中去使用。这不仅使其运用很方便，同时也促进了数学理论的发展。如概率论开始形成时，实践性很强，后来公理化了，理论就大大提高了一步；法国布尔巴基学派在三大结构基础上，建立了各种各样的公理化体系，对促进数学发展起了极大地作用。 在近、现代，由于在各门数学中广泛采用公理化方法。形成了一批有影响的具有一定权威性的数学专著。如代数学中的范德瓦尔登所著现代公理化方法的奠基人——希尔伯特
公理化和形式化
物理学的公理体系
命题逻辑练习题及答案14
数学的公理化
第一讲逻辑与公理化系统
逻辑运算公理
数学公理化方法
从《数学原则》到《数学原理》的命题逻辑(伯纳德 林斯基)
命题逻辑的自然演绎系统-1
《公理化体系》
数学中的公理化方法(下)
公理法
数学公理化方法的意义和作用
公理化方法和中学几何公理体系
几何中的公理化方法
第六章、数学公理化方法