一次函数与三角形全等复习
一次函数与三角形全等复习
1、变量与常量
2、函数
3、函数的图像
4、函数关系的表示方法
解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法.
例1、铁路客运部门规定，每位旅客可免费携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需要购买行李票，行李票用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，当旅客携带30kg 的行李，需购买5元行李票；当旅客携带50kg 的行李，则需购买15元的行李票.
（1）写出y 与x 之间的关系式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克行李？
（3）当旅客携带40kg 行李时，他应购买多少钱的行李票？
5、函数自变量取值范围与系数取值范围的确定
例2下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．y=
拓展2．一个周长为70cm 的等腰三角形．请你写出底边长y （cm ）与一腰长x （cm ）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围．
6、正比例函数定义
7、一次函数
一般地，形如y=kx+b （k 、b 是常数，0≠b ）的函数，叫做一次函数.
平移：一次函数y=kx+b 的图象是经过点(0,b)且平行于直线y=kx 的一条直线，或者说
直线y=kx+b 可以看作直线y=kx 平移|b |个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移），b 叫做直线y=kx+b 在y 轴上的截距.
例3 直线y=2x 的图象向上平移3个单位后，所得的解析式为
直线y=2x 的图象向右平移3个单位后，所得的直线解析式为
交点问题：
例4、无论M 为何实数，直线m x y 2+=与4+-=x y 的交点不可能在 （ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
拓展1：．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）．
（A ）k<
13 （B ）13
拓展2、已知abc≠0，并且
p b
a c a c
b
c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过（ ）并求出P 的值。
A 、第一、二象限
B 、第二、三象限
C 、第三、四象限
D 、第一、四象限
面积问题
例5、已知一次函数y=2x+b 的图象与坐标轴围成的三角形面积是8，求b 的值.
例6、设直线kx+(k+1)y －1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k ，则S 1+S 2+…S 2000＝ .
课堂练习：
1、若函数b x y +-=的图象不经过第一象限，则常数b 的取值范围是（ ）
A 、0>b
B 、0 C 、0≥b D 、0≤b 2、直线坐标中，若直线221-= x y 与直线b x y +-=41相交于x 轴，则直线b x y +-=41不经过第（ ）象限. A 、一 B 、二 C 、三 D 、四 3、某产品生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量y 是时间(t)的函数，那么这个函数的大致图象只能是（ ） （全等三角形复习三题）4、如图，BD 是⊥ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，236cm S ABC =△，AB ＝18cm ， BC ＝12cm ，求DE 的长. 5、如图，△ABC 中，AB=4，AC ＝7，M 是BC 的中点，AD 平分∠BAC ，过M 作MF//AD ，交AC 于F 。求FC 的长度。 6、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，求证：BD CE 2 1 27题精选1（2011-11-27） 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式； （2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 （3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 （1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 x y x y 第 2题图① 第2题图② 第2题图③ 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式； 的外部作一条直线3l ，过点 B 作BE ⊥3l 于E,过点 C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证： BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 4、如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、b 满足. （1）求直线AB 的解析式； （2）若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； （3）过A 点的直线 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直 线交AP 于点M ，试证明 的值为定值． 一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别 存在点E，F，使得△EOF与△AOB全等，则直线EF的表达式为( ) ? A. B. ? C. D. 1 2 2.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线上不与A，B重合 的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若使△BCD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D. 3.(本小题16分)如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P(x，y)是直线y=-2x+4上的一个动点， 过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( ). A. B. ? C. D. 4.(本小题16分)如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=x+2上不与A，B重合的动点．过 点C的另一直线CD与x轴相交于点D，若使△ACD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D. 4 5 5.(本小题18分)如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标 轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．若满足点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等，则满足题意的点D有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.(本小题18分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)， P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．当△OPC的面积为时，点P的坐标为( ) ? A. B. C. D. 一次函数之等腰三角形存在性（北师版） 11.25 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点， 若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( ) A. B. C. D. 1 初二春季·第3讲·尖子班·教师版 函数6级 一次函数的应用 函数7级 一次函数与全等三角形综合 函数8级 反比例函数的基本性质 春季班 第十一讲 春季班 第二讲 梦游记 漫画释义 满分晋级阶梯 3 一次函数与 全等三角形综合 2 初二春季·第3讲·尖子班·教师版 本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在 这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握． 本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面题型切片 编写思路 知识互联网 3 初二春季·第3讲·尖子班·教师版 考查和总结一次函数部分的一道好题． 几种全等模型的回顾： A B C E F A B C D E F A B C E A B C D E F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△ 图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =- 图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC = 【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动． ⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）； ⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证： MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明． （实验中学单元测试） 例题精讲 思路导航 题型一：一次函数与全等三角形综合 一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y 1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标； （2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论； （3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON． 解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC， 又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ， ∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1）， 由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2； （2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD， ∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB， ∴△BOE≌△DGE， ∴BE=DE； （3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点， ∴P（﹣，）， 由y=x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S△BCM=． 假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积， 则BN?=×， ∴BN=，ON=， ∵BN＜BM， ∴点N在线段BM上， ∴N（﹣，0）． 点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解． 2．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0） （1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。 专题：动点型。 分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值； （2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置． 一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26 4.(本小题 16 分) 如图，直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是直线 y=x+2 上不与 A，B 重合的动点．过 点 C 的另一直线 CD 与 x 轴相交于点 D，若使△ACD 与△AOB 全等，则点 C 的坐标为( 八年级上数学一次函数与三角形全等专练及答案(2套) 【模拟试题1】 (答题时间：80分钟) 一、填空题 1、把2x ＋y ＝1写成y 是x 的函数关系式是 ． 2、已知直线y ＝kx ＋b 过(0，1)和(－1，0)两点，则函数关系式为 ． 3、直线y ＝kx ＋b 的图像过第一、二、四象限，且过点(1，－3)，则k ＋b ＝ ． 4、如图，BAD ABC ???，A 和B 是对应点，C 和D 是对应点，若AB ＝8cm ，BC ＝13cm ，AC ＝7cm ，BD ＝ ． 5、如图，AB 、CD 相交于O ，AO ＝BO ，要判定图中的两个三角形全等，只需再补充一个条件，这个条件是 ，或 ，或 ，或 ． 6、等腰三角形的周长为10cm ，一边长为3cm ，则其他两边长分别为 ． 7、等腰三角形的一个角为 70，则其它两个角分别是 ． 8、如图，已知?ABC 中，AB ＝AC ， 120=∠BAC ，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，垂足为E ，DE ＝2cm ，则BC ＝ ． 9、一次函数y ＝kx ＋b )0(≠k 的图像与直线2x ＋y ＝5平行，且经过点(1，－1)，则此一次函数的解析式是 ． 10、P (－1，2)关于x 轴的对称点坐标是 ；关于y 轴对称点的坐标是 ；关于直线x ＝1为对称轴的对称点坐标是 ；关于直线y ＝－2为对称轴的对称点坐标是 ． 二、选择题 1、点(1，m )，(2，n )在函数y ＝－x ＋1的图像上， 则( ) A ． m >n B ． m 引例：面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动． ⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）； ⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明． 图2 图1 图2 【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作 BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围． 【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，， ()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限． ⑴ 求直线AB 的解析式； ⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标； ⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由． 【例3】 已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，． ⑴求直线()0y mx m =≠的解析式； ⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积． 【例4】 已知：一次函数1 32 y x = +的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1） ． ⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标； ⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 八年级一次函数及全等三角形综合试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．如图，在一次函数y=﹣x+3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴；垂足为B，且矩形OAPB的面积为2，则这样的点P个数共有（） 2．直线y=kx+b不经过第三象限，a＞e，且A（a，m）、B（e，n）、C（﹣m，c）、D（﹣n，d）这四点都在直线上，3 3．（2007?牡丹江）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为（） ．C D． 4．（2013?绥化）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A 运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（） ．C D． 5．（2012?武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（） 6．（2011?玉溪）如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A 运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（） 7．（2011?黄石）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线 ．C D． 8．（2013?哈尔滨模拟）甲乙两人在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人同时、同向出发，两人之间的距离s （单位：米）与两人跑步的时问t（单位：分）之间的函数关系图象如图所示．下列四种说法： ①l5分时两人之间距离为50米； ②跑步过程中两人休息了5分； ③20～30分之间一个人的速度始终是另一个人速度的2倍； ③40分时一个人比另一个人多跑了400米． 其中一定正确的个数是（） 9．（2013?长春一模）一次函数y=﹣x+b的图象如图所示，则b的值可能是（） 上海轻轻信息科技有限公司 地址：上海市凯进路259号 1 一次函数与三角形全等 1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式； （2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 （3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ -AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 上海轻轻信息科技有限公司 地址：上海市凯进路259号 2 2 、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 （1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 第2题图① 第2题图② 第2题图③ 上海轻轻信息科技有限公司 地址：上海市凯进路259号 3 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式； （2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥ 3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 一次函数与三角形全等复习 1、变量与常量 2、函数 3、函数的图像 4、函数关系的表示方法 解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法. 例1、铁路客运部门规定，每位旅客可免费携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需要购买行李票，行李票用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，当旅客携带30kg 的行李，需购买5元行李票；当旅客携带50kg 的行李，则需购买15元的行李票. （1）写出y 与x 之间的关系式； （2）旅客最多可免费携带多少千克行李？ （3）当旅客携带40kg 行李时，他应购买多少钱的行李票？ 5、函数自变量取值范围与系数取值范围的确定 例2下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ． B ． C ． D ．y= 拓展2．一个周长为70cm 的等腰三角形．请你写出底边长y （cm ）与一腰长x （cm ）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围． 6、正比例函数定义 7、一次函数 一般地，形如y=kx+b （k 、b 是常数，0≠b ）的函数，叫做一次函数. 平移：一次函数y=kx+b 的图象是经过点(0,b)且平行于直线y=kx 的一条直线，或者说 直线y=kx+b 可以看作直线y=kx 平移|b |个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移），b 叫做直线y=kx+b 在y 轴上的截距. 例3 直线y=2x 的图象向上平移3个单位后，所得的解析式为 直线y=2x 的图象向右平移3个单位后，所得的直线解析式为 交点问题： 例4、无论M 为何实数，直线m x y 2+=与4+-=x y 的交点不可能在 （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 拓展1：．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k< 13 （B ）13 本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在 这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜 题型切片 编写思路 知识互联网 一次函数与 全等三角形综合 结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握． 本讲的最后一道例题是20XX年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面考查和总结一次函数部分的一道好题． 题型一：一次函数与全等三角形综合 思路导航 几种全等模型的回顾： 例题精讲 【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动． ⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）； ⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证： MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明． （实验中学单元测试） 【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+ 041 44k b k b b =+=-???? ?==?? 4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =- ⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+ ⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =- 图2 图1 图2 【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴 上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围． 【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO == 典题精练 函数6级 一次函数的应用 函数7级 一次函数与全等三角形综合 函数8级 反比例函数的基本性质 春季班 第十一讲 春季班 第二讲 梦游记 满分晋级阶梯 漫画释义 3 一次函数与 全等三角形综合 题型切片（两个）对应题目 题型目标 一次函数与全等三角形的综合例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5． 本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模 型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的 三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得 到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较 活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点 应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一 次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握． 本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性知识互联网 编写思路 题型切片 质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面考查和总结一次函数部分的一道好题． 几种全等模型的回顾： A B C E F A B C D E F A B C E A B C D E F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△ 图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =- 图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC = 【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动． ⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出 结论）； ⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； 思路导航 例题精讲 题型一：一次函数与全等三角形综合 全等三角形单元测试题 一．选择题 1．如图，下列三角形中全等的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 2．如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是（） A．AB＝CD B．∠1＝∠2 C．∠B＝∠D D．AD＝AB 3．已知：如图，在ΔABC与ΔAEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF 于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，己知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（） A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．S △AEB ＝S △EDB 6．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝10，则点P到AB的距离是（） A．15 B．12 C．5 D．10 7．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点O，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 8．具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形是（） A．有两个角对应相等的两个三角形 B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形 C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形 D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形 9．如图，∠C＝∠D，BC＝DE，下列添加的条件不能使△ADE≌△ACB的是（） 《一次函数与几何图形综合》专题 总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题； 函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类： 一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题； 另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。 一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。 1.代数 （1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义） （2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标 4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据 2.几何 （1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据 3.代数与几何 （1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据 （2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式 （3）怎样设数据（坐标或线段长） 函数与几何综合题的解题思想方法： “函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种： 1.综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。 2.运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组； 3.注意使用分类讨论的思想（函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽 K 型全等三角形辅助线和一次函数的联系 制卷人：汪老师 基本图形 （1）K 型图 K 型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用 如图，已知AC ⊥CF 、EF ⊥CF 、AB ⊥BE ，AB=BE 求证：AC=BF 、BC=EF 。 （2）K 型图变化 将△ABC 向右移动会出现下面的情况 如图，已知AC ⊥CF 、EF ⊥CF 、AB ⊥CE ，AC=CF 求证：AB=CE （3）赵爽弦图 如图， 已知AE ⊥BD 、CD ⊥BD 、AB ⊥BC,AB=AC 求证：AE=BD 、BE=CD 。 如图，已知?ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 为BC 上一点，DE ⊥AD ，求DE=AD ，连接BE ，求证：∠DBE=45°. B 1.如图，OA=OB ，OA ⊥OB ，∠ASO=135°，求证：AS ⊥BS 。 1.如图，将等腰直角ABC ?放在直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，其中0 90=∠ABC ，AB=BC ，点A （－4,0）、B （0,2），求点C 的坐标。 2.在?ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，?ABC 在直角坐标系中的位置如图所示： （1）如图1，已知A （0，-4），B （1,0），求点C 的坐标； （2）如图2，已知A （ 0, 0 ），B （3,1），求点C 的坐标。 图1 图2 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 的坐标为（0，2），B 点在x 轴上，对角线AC ，BD 交于点M ， OM=C 的坐标为 ，直线DM 的解析式为 。 4.在平面直角坐标系中，A （0 , 3）、点B 的纵坐标为2、点C 的纵坐标为0，当A 、B 、C 三点围成等腰直角三角形时，求点B 、C 的坐标. （1）当点B 为直角顶点： 图1 图2 （2）当点A 为直角顶点： 图3 图4 （3）当点C 为直角顶点： 圆的复习 一、温故而知新，可以为师矣 1. 识别一条直线是圆的切线，有三种方法： (1)根据切线定义判定：即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线； (3)根据直线的位置关系来判定：即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 注意：证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，（1）如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可；（2）如果未知直线过圆上一点，则作垂直，然后证明垂线段等于半径。 2．切线长定理： （1）.从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 （2）. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。 （3）．圆外切四边形对边的和相等。 （4）.如果三角形的三边用a,b,c表示，内切圆的半径用r表示，那么三角形的面积为 （5）.直角三角形的内切圆半径为： 课前小测 1．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒 立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（） A． B. C. D. 2．如图：PT切⊙O于点T，经过圆心的割线PAB交⊙O于点A和B，PT=4，PA=2，则⊙O的半径是； 3.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，延长BC到D，使CD = BC， CE切⊙O于点C，交AD于E，求证：CE⊥AD 例题讲解 知识点一：切线的证明 例1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长 线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC=2 1 AB ； 知识点二：切线与一次函数 3、一次函数与全等三角形综合 题型切片 题型一：一次函数与全等三角形综合 思路导航 例题精讲 【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动． ⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）； ⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明． （实验中学单元测试） 【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+ 041 44 k b k b b =+=-???? ?==?? 4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =- ⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+ ⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =- 图2 图1 图2 典题精练 【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴 上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围． 【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO == ∴B 点坐标为()40-， ⑵ 由⑴可知DO OC m ==， ∴1 42 S m =??，2S m =，m 的取值范围是04m << 【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为 ()40A ，，()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限． ⑴ 求直线AB 的解析式； ⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标； ⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化 而变化，写出你的结论并说明理由． （西城期末）一次函数与全等三角形综合题
一次函数之全等三角形存在性
第3讲.一次函数与全等三角形综合(答案版)
一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案
一次函数之全等三角形存在性
1.(本小题 16 分) 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，若 x 轴的负半轴、y 轴的负半轴上分别 )
存在点 E，F，使得△EOF 与△AOB 全等，则直线 EF 的表达式为(
?
A.
B.
?
C.
D.
1
2
2.(本小题 16 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是直线
上不与 A，B 重合 )
的动点．过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于点 D，若使△BCD 与△AOB 全等，则点 C 的坐标为(
?
A.
B.
?
C.
D.
3.(本小题 16 分) 如图，直线 y=-2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P(x，y)是直线 y=-2x+4 上的一个动点， 过 P 作 AB 的垂线与 x 轴、y 轴分别交于 E，F 两点，若△EOF 与△AOB 全等，则点 P 的坐标为( ).
A.
B.
?
C.
D.
? ?
)
A. C.
B. D.
4
5
5.(本小题 18 分) 如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，已知 A(2，0)，B(0，4)，线段 CD 的两端点在坐标 轴上滑动（点 C 在 y 轴上，点 D 在 x 轴上），且 CD=AB．若满足点 C 在 y 轴负半轴上，且△COD 和△AOB 全等，则满足 题意的点 D 有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.(本小题 18 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(-3，0)，
P(x，y)是直线
上的一个动点（点 P 不与点 A 重合）．当△OPC 的面积为
时，点 P 的坐标为(
)
?
A.
B.
C.
D.八年级上数学一次函数与三角形全等专练(含答案)(2套)
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