二次函数在实际生活中的应用.
二次函数在实际生活中的应用
【经典母题】
某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x，
y＝(x－9)(1 360－80x)
＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．
－b
2a＝－
2 080
2×（－80）
＝13，
∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，
y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．
答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．
【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．
【中考变形】
1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销
售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图Z8－1所示．
(1)图中点P 所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；
(2)请直接写出y 与x 之间的函数表达式：__y ＝20x
＋1_000__；自变量x 的取值范围为__30≤x ≤50__；
(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；
第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．
(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得?????400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得?????k ＝－20，
b ＝1 000，
∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000.
当y ＝0时，x ＝50，
∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.
(3)设第二个月的利润为W 元，
由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，
∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.
答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．
2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在图Z8－1
一次函数关系，如下表所示：
若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．
(1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；
(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；
(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？
解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，
将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，
得?????110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得?????k ＝－1，
b ＝160，
∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；
(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，
解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，
则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200
＝－x 2＋260x －16 400
＝－(x －130)2＋500，
∴当x ＝130时，W 取最大值500.
答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；
(3)设需t 天才能还清集资款，
则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ，
解得t ≥102249.
∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．
答：该店最少需要103天才能还清集资款．
3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间
价格比淡季上涨1
.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)
解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得
40 000x ? ??
??1＋13＝24 000
x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ? ????1＋13＝40 000600×? ??
??1＋13＝50(间)， 旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)．
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；
(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，
y ＝(800＋x )? ??
??50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025，
∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.
答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．
4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.
图Z8－2
(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；
(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．
①求W 关于x 的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？
(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
解：(1)y ＝?????－x ＋14（2≤x ＜8），
6（x ≥8）；
(2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t.
①当2≤x ＜8时，
W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48，
当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，
∴函数表达式为W ＝?????－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），
－x ＋48（x ≥8）；
②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意， 当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.
答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ；
(3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类
杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元．
由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132，
化简，得3m ＝x ＋60.
①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得 W ＝－(x －4)2＋64，
当x ＝4时，有最大毛利润64万元．
此时，m ＝643，m －x ＝523；
②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．
答：综上所述，购买杨梅共643 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅523 t ，
公司能获得最大毛利润64万元．
【中考预测】
某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．
(1)写出月销售利润y (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式；
(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；
(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，
销售价应定为多少？
(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为
y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；
(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，
y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；
(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得
10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，
解得x1＝50，x2＝80.
当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；
(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.
答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．
二次函数在实际生活中的应用
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－ 2 080 2×（－80） ＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时， 销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式 中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18） （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，
二次函数实际应用问题及解析
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中： （1）求抛物线的函数解析式； （2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？ 【答案】（1）213222y x x =-++；（2）(2+m ． 【解析】 试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C （2，3.5）及B （0，1.5），设顶点式求解析式； （2）求AD ，实际上是求当y=0时点D 横坐标． 在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=， 点坐标为(23.5)， （1）设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，
则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)， ， 当0x =时， 1.5y c == 由22b a -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2 616 3.54a a a -= 解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，． 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++． 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从 中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型． 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）x x y 202 12+- =)150(≤二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题