缓和曲线计算原理
1.2道路线形的基本介绍
道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用。道路的新建和改建，测量工作必须先行，所以公路施工测量所承担的任务也是非常大的，为了更好的进行道路施工工作，下面就道路线形进行一下简单的介绍。
一般所说的路线，是指道路中线的空间位置。中线在水平面上的投影称作路线的平面；沿中线竖直剖切再行展开则是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点的横断面。
无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。当线路方向改变时，在转向处需用曲线将两直线连接起来。因此，线路工程总是由直线和曲线所组成。曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。
公路中线应满足的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不出现两个曲率变化值）。考虑上述几何条件，顾及计算与敷设方便，现代公路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线构成，称之为平面线形三要素。其中缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐变到圆曲线半径R 的变量。在与直线连接处半径为∞，与圆曲线连接处半径为R ，曲线上任一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。
目前公路线形设计已开始使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计，特别是在互通立交匝道和山区高速高速公路线形设计中，这种线形设计使用得较多。非对称线形分为完全非对称线形和非对称非完整线形两种，所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处（ZH 或HZ ）的半径为∞，圆半径为R ，第一缓和曲线长1s l ，第二缓和曲线长为2s l ，12s s l l ≠。所谓“非完整”的含义是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是∞，而是1R 、2R 。而坐标法成为高速公路放样的主要方法，坐标法放样线路中线的这个操作过程中，最重要的一部就是计算线路放样点的坐标。
2 路线中桩坐标计算原理
在实际工程中，线路的设计由专门的设计方完成，在线路完成设计得到审批后设计方便把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）提供给施工方。所提供的曲线要素一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用一定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线）、曲线长。当然不同的工程项目所提供的曲线要素也不一样，以上所述的要素是大多数设计方会提供的，有的设计方在提供上述要素的前提下，还提供曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素，供施工方在计算
施工坐标时予以相互检核。
所以，为了保证原理的通用性，我们需要用最少的、最通用的、最有利于使用、最有利于推算的条件来讲解。通过对多份实际工程中用到的曲线元素的分析，得出了计算最复杂曲线（非完整缓和曲线）的中、边桩坐标及中桩→边桩坐标方位角的最少条件。
中桩，指的是为表示中线位置和线形等，沿路线中线所设置的编有桩号的桩或标志。中桩测设是指沿着直线或曲线详细测设中桩，是工程中放样测量的重要组成部分。中桩的放样方法有多种，但随着测量仪器的日益先进，测量手段也开始发生变化且趋向于简单，测量的结果也日益精确，当然所要求的放样元素也由所变化。现在工程中实际用到的放样仪器主要是全站仪、GPS-RTK ，这就决定我们在计算线路的放样元素时，得出的主要对象是桩位在总体坐标系中的二维坐标（高程放样是在其单独的高程坐标系中单独进行的）。
经过总结，发现进行中桩坐标计算时，无论其是何种曲线段只要给出下述条件即可进行相应的计算。条件：线路中各曲线段的起点坐标1x 1y 、起点里程1s 、起点半径1r 、
终点坐标2x 2y 、终点里程2s 、终点半径2r 、交点坐标3x 3y 、曲线参数A 、转向(-1或
1)。
由于在圆曲线、完整缓和曲线段及非完整缓和曲线段中桩、边桩坐标计算过程中，需要先建立局部坐标系然后进行二维坐标之间的转换，所以下面首先对二维坐标系之间的转换进行讲解：
2.1二维直角坐标系的转换
两个直角坐标系（如右图）进行相互转换的旋转角称为欧勒角，对于二维直角坐标系两个坐标系之间的夹角大小等于其欧勒角。对于二维直角坐标系已知P 点在局部坐标系中的坐标,()P
P
A B ，局
部坐标系原点0
,()x y 以及局部坐标系相对于总体坐标系
的坐标方位角，则P 在总体坐标系中的坐标为：
00cos sin sin cos p P P p x x A y y B θθ
θθ
?????
?????=+????????????????
??
- 将矩阵换算为方程式的形式为：
00
cos sin sin cos p
p
p
P
P
p
x x A B y
y A B θθθθ=+
-???
=++?
?
式中0x 0
y 与θ值可由计算人员提供。
B
同样，若已知P 点在总体坐标系中的坐标,()P P
x y ，可按下式将其换算为在局部坐
标系中的坐标,()P
P
A B ：
00()()()()cos sin sin cos P
P
P P
P
P y y x x A y y x x B θ
θθ
θ?=-+-??
=--+-?
?
在前期的预备知识了解后，下面就工程中可能遇到的十一种路段，如何进行中桩坐标的计算逐一的进行详细的讲解。
2.2直线段中桩坐标计算原理
首先说清的一点是，直线段不具有交点坐标。
在进行中桩坐标计算时，首先根据起点坐标1x 1
y 与终点坐标2x 2y 计算起点至终点
的坐标方位角jdjz ：
212
1
arctan
y y jdjz x x
-=-
在得到计算起点至终点的坐标方位角jdjz 后，即可计算该直线段上任意里程s 的坐标，计算方式为：
1
1
1
1
()()cos sin jdjz x x s s y y jdjz
s s =+-=+- 这样，直线段的任意要求里程的中桩坐标就求出来了。
2.2圆曲线段中桩坐标计算原理
现在的铁路公路为了顾及到车辆行驶的安全性，防止使驾驶员的产生视觉疲劳，经常布设圆曲线，圆曲线是一种比较简单的线形，但因圆曲线段的线路走向较直线段较为复杂，所以在计算中桩过程中，为了坐标的计算方便以及后续的坐标系转换，须建立单独的坐标系，首先在局部坐标中计算各个桩号的中桩坐标，然后再根据局部坐标系原点在全局坐标系中的坐标以及局部坐标系X 轴方向在全局坐标系中的坐标方位角进行坐标转换。 2.2.1 圆曲线段中桩坐标计算通用原理
由于路线的转向不同，局部坐标系的建立方式也有所不同，这里先讲述圆曲线段中桩坐标计算的通用原理。
如右图所示，以曲线起点ZY 为坐标原点，以顺着线路方向的切线为X 轴，以切线的垂线方向为Y 轴，两个轴构成测量坐标系。
则该圆曲线段上任意里程的中桩在局部坐标系中的坐标为：
sin 1cos 180
R x y R S R R
???=??=??
?-=
式中s 为曲线段距离，即曲线段桩号差值。
在计算出桩位在局部坐标系中的坐标后，就必须进行坐标系之间的转换：
00
cos sin sin cos p
p
p
P
P
p
x x A B y
y A B θθθθ=+
-???
=++?
?
这里叙述的两个轴的定义只是为了叙述原理方便所定义的，并不代表全部情况，随着线路转向不同的而不同，当然x ，y 的计算公式也因坐标系的不同而不同，实际线路计算时需灵活处理。同时顾及坐标计算的方便以及后续坐标系的转换，这里建议在建立坐标系时建立测量坐标系而不是数学坐标系。 2.2.1 圆曲线段左、右转的处理方式
圆曲线段之所以要讨论左、右转的问题，主要是顾及到在局部坐标系中的坐标保证是正值，同时保证为了后期的坐标转换的方便，很容易通过图形来表示：
通过我们也可以很容易的总结出桩位在各自的局部坐标系中的坐标，中（）式为线路左转时的局部坐标的计算公式，（）式为线路右转时的局部坐标的计算公式：
sin 1cos 180R x y R S R R ???=??=???-=
sin 1cos 180
R x y R S R R
???=??=??
?-=
无论线路是左转还是右转，在计算完桩位在局部坐标系中坐标后都需要进行坐标系的转换，公式不再赘述，公式中的各个量得含义也不变。
2.3完整缓和曲线段中桩坐标计算原理
直线的半径为无穷大；进入圆曲线时，则半径为R ，所以从直线段过渡到圆曲线时，汽车的行驶曲
率半径是不断变化，这一变化路段即为缓和曲线段。 2.3.1 完整缓和曲线段中桩坐标计算通用原理
由于缓和曲线段没有统一的曲率半径，所以计算桩位坐标的过程是比较困难比较繁
式中p l 将cos β、sin β按级数展开：
积分得：
在计算出桩位在局部坐标系中的坐标后，就必须进行坐标系之间的转换：
00
cos sin sin cos p
p
p
P
P
p
x
x A B y
y A B θθθθ=+
-???
=++?
?
这里叙述的两个轴的定义只是为了叙述原理方便所定义的，并不代表全部情况，随着线路转向不同的而不同，当然x ，y 的计算公式也因坐标系的不同而不同，实际线路计算时需灵活处理。同时顾及坐标计算的方便以及后续坐标系的转换，这里建议在建立坐标系时建立测量坐标系而不是数学坐标系,这样有利于坐标系的统一。
2.3.2 完整缓和曲线段不同过渡方式的左、右转的处理方式
这里之所以要强调不同过渡方式的不同，是因为不同的过渡方式附带的不同转向所导致的坐标系的建立方式不同以及坐标计算公式不同，但坐标系建立的原则就是保证x 值与y均保证为正值，方便后期的坐标转换。现在就不同的过渡方式以及不同的转向进行逐一讨论：
1.线路是由大半径过渡到校半径，转向是左转
这里为了计算出的中桩坐标都是正值，而且为了后期的坐标系的转换的方便这里建议建立坐标系的方式为：原点位于QD(起点)，X轴经过原点正向垂直于ZH→JD切线的方向，Y轴经过过原点正向指向与于ZH→JD切线的方向一致。这样各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中
l为所求桩位距离QD的曲线长即为里程差，0l为完整的缓和曲线长度，R为终点半径。
P
2.线路是由大半径过渡到校半径，转向是右转
这里建议建立坐标系的方式为：原点位于QD(起点)，X轴经过原点正向指向ZH →JD切线的方向，Y轴经过过原点正向垂直于ZH→JD切线方向，构成测量坐标系。这样各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中各字母的含义与前面所述一样，在此不再赘述。
3.线路是由小半径过渡到大半径，转向是左转
这里建议建立坐标系的方式为：原点位于ZD(终点)，X轴经过原点正向指向ZD →JD切线的方向，Y轴经过原点正向垂直于ZD→JD切线方向，构成测量坐标系。这样各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中P l 为所求桩位距离ZD 的曲线长即为里程差，0l 为完整的缓和曲线长度，R 为QD 半径。
4.线路是由小半径过渡到大半径，转向是左转
这里建议建立坐标系的方式为：原点位于ZD (终点)，X 轴经过原点正向与ZD →JD 切线的方向垂直，Y 轴经过原点正向与ZD →JD 切线方向一致，构成测量坐标系。这样各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中P l 为所求桩位距离ZD 的曲线长即为里程差，0l 为完整的缓和曲线长度，R 为QD 半径。
这样完整缓和曲线段上的桩位在局部坐标系中的局部坐标就计算完毕，然后为了放样过程的顺利进行，须保证所有计算结果位于同一个总坐标系中，坐标系之间的转换问题及解决办法我们在前面已经讲述，式中各个值也已经阐述，这里转换的具体操作流程不再赘述。
2.4.2 完整缓和曲线段不同过渡方式的左、右转的处理方式
这里之所以要强调不同过渡方式的不同，是因为不同的过渡方式附带的不同转向所导致的坐标系的建立方式不同以及坐标计算公式不同，但坐标系建立的原则就是保证x 值与y 均保证为正值，方便后期的坐标转换。现在就不同的过渡方式以及不同的转向进行逐一讨论：
1.线路是由大半径过渡到校半径，转向是左转
这里为了计算出的中桩坐标都是正值，而且为了后期的坐标系的转换的方便，这里建议建立的临时局部坐标系的方式为：原点位于QD (起点)，X 轴经过原点正向垂直于ZH
→JD 切线的方向，Y 轴经过过原点正向指向与于ZH →JD 切线的方向一致。
这样2'0
()(2)r l l l θ=-??这样就可以得到最终局部坐标系X 轴指向的坐标方位角
'
θθθ=+；总坐标系原点坐标0
(,)y x :
1
1
cos sin sin cos y x x x y y y x θθθθ?=-+??
=--??
各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中P l 为所求桩位距离QD 的曲线长即为里程差，0l 为完整的缓和曲线长度，R 为终点半径。
2.线路是由大半径过渡到校半径，转向是右转
这里建议建立坐标系的方式为：原点位于QD (起点)，X 轴经过原点正向指向ZH
→JD 切线的方向，Y 轴经过过原点正向垂直于ZH →JD 切线方向，构成测量坐标系。
这样2'0
()(2)r l l l θ=-??这样就可以得到最终局部坐标系X 轴指向的坐标方位角
'
θθθ=-；总坐标系原点坐标0
(,)y x :
1
1
cos sin sin cos y x x x y y y x θθθθ?=-+??
=--??
各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中各字母的含义与前面所述一样，在此不再赘述。
3.线路是由小半径过渡到大半径，转向是左转
这里建议建立坐标系的方式为：原点位于ZD (终点)，X 轴经过原点正向指向ZD
→JD 切线的方向，Y 轴经过原点正向垂直于ZD →JD 切线方向，构成测量坐标系。
这样2'0
()(2)r l l l θ=-??这样就可以得到最终局部坐标系X 轴指向的坐标方位角
'
θθθ=-；总坐标系原点坐标0
(,)y x :
2
2
cos sin sin cos y x x x y y y x θθθθ?=-+??
=--??
各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中P l 为所求桩位距离ZD 的曲线长即为里程差，0l 为完整的缓和曲线长度，R 为QD 半径。
4.线路是由小半径过渡到大半径，转向是左转
这里建议建立坐标系的方式为：原点位于ZD (终点)，X 轴经过原点正向与ZD →JD 切线的方向垂直，Y 轴经过原点正向与ZD →JD 切线方向一致，构成测量坐标系。
这样2'0
()(2)r l l l θ=-??这样就可以得到最终局部坐标系X 轴指向的坐标方位角
'
θθθ=+；总坐标系原点坐标0
(,)y x :
2
2
cos sin sin cos y x x x y y y x θθθθ?=-+??
=--??
各个桩位在局部坐标系总的值为：
式中P l 为所求桩位距离ZD 的曲线长即为里程差，0l 为完整的缓和曲线长度，R 为QD 半径。
这样完整缓和曲线段上的桩位在局部坐标系中的局部坐标就计算完毕，然后为了放样过程的顺利进行，须保证所有计算结果位于同一个总坐标系中，坐标系之间的转换问题及解决办法我们在前面已经讲述，式中各个值也已经阐述，这里转换的具体操作流程不再赘述。
2 路线中桩→边桩坐标方位角、边桩坐标计算原理
边桩计算的必要性，我们没必要加以过多解释，而中桩→边桩坐标方位角的计算很多人并不明白它的必要性，在这里解释一下。
在实际线路施工中要求我们测量人员进行测量的内容很多，包括使用全站仪进行横断面测量、工程开工是所进行的征地界的测量、路基施工的坡脚的测量、桥梁桩位坐标计算，都需要知道中桩→边桩坐标方位角，尤其是桥梁的施工中，一个里程一般有多个桩位，而且不是分布在一条线上，如果不知道中桩→边桩坐标方位角则完全无法计算。
同样，面对多种十一种曲线段（包括直线段）中桩→边桩坐标方位角的计算方法也是有所差别的，这里再对其进行分别讲解：
3.1直线段边桩坐标、中桩→边桩坐标方位角计算原理
直线段得这两项内容的计算方法还是很简单的，这里以中桩→右桩的坐标方位角的计算为例进行讲解。
首先根据起点坐标1x 1
y 与终点坐标2x 2y 计算起点至终点的坐标方位角jdjz ：
212
1
arctan
y y jdjz -=-
在得到计算起点至终点的坐标方位角jdjz 后，然后在jdjz 的基础上再加上2π即得到中桩→右桩的坐标
方位角，当然角度的表示方式为弧度。根据中桩坐标、中桩→右桩的坐标方位角以及左、右边距，根据坐标增量公式即可很容易的计算出左、右桩在总坐标系中的坐标(,)z z y x 、(,)y y
y x ：
cos()sin()z z
zb jdzy x x y y zb jdzy ππ?=+??
=+??
?+?+
cos()sin()y y
yb jdzy x x y y yb jdzy ?=+??
=+??
??
这样直线段的中桩→右桩的坐标方位角jdzy 以及左、右桩的坐标(,)z z y x 、(,)y y y x 便很容
易的计算出来了。
3.2圆曲线段边桩坐标、中桩→边桩坐标方位角计算原理
3.2.1 圆曲线段边桩坐标、中桩→边桩坐标方位角计算通用原理
圆曲线段的的中桩→右桩的坐标方位角jdzy 以及左、右桩的坐标(,)z z y x 、(,)y y
y x 也是比较简单的，这里我们还是以在计算圆曲线中桩坐标所举得例子（如下图）为例进行
讲解：
首先根据局部坐标系x 轴的坐标方位角θ确定局部坐标系坐标原点处的中桩→右桩的坐标方位角2jdzy πθ=-，在此基础上就可以计算此曲线段上的任意里程桩号的中桩→右桩的坐标方位角i
jdzy ；
具备了这样的思想后，开始计算此曲线段上任意里程桩号相对于局部坐标原点的转角zj s R =；
在此基础上即得此曲线段上任意里程桩号中桩→右桩的坐标方位角
i
jdzy
jdzy zj =
+，当然角度的表示方式也为弧度。
根据中桩坐标、中桩→右桩的坐标方位角以及左、右边距，根据坐标增量公式即可很容易的计算出左、右桩在总坐标系中的坐标(,)z z y x 、(,)y y
y x ：
cos()sin()z
i
z
i
jdzy x x zb y y jdzy zb ππ?=+??=+??+?+? cos()sin()y
i
y
i
yb jdzy x x y y yb jdzy ππ?=+??
=+??
+?+?
这样圆曲线段的中桩→右桩的坐标方位角i
jdzy 以及左、右桩的坐标(,)z z y x 、(,)y y
y x 便很
容易的计算出来了。
3.2.2 圆曲线段左、右转的处理方式
这里之所以要讨论左右转的问题，是因为在中桩的计算中也有左右转的问题，路线的转向不同建立的坐标系也是不同的，所以在中桩→边桩坐标方位角的计算与取值时也是不同的。
不同的转向的讲解见下图：
当路线左转时，局部坐标系坐标原点处的中桩→右桩的坐标方位角为
2jdzy πθ=-，此曲线段上任意里程桩号相对于局部坐标原点的转角zj s R =；所以此曲线段上任意里程桩号中桩→右桩的坐标方位角i
jdzy
jdzy zj =
+；
当路线左转时，局部坐标系坐标原点处的中桩→右桩的坐标方位角为
2jdzy πθ=-，此曲线段上任意里程桩号相对于局部坐标原点的转角zj s R =；所以此曲线段上任意里程桩号中桩→右桩的坐标方位角i
jdzy
jdzy zj =
-。
根据中桩坐标、中桩→右桩的坐标方位角以及左、右边距，根据坐标增量公式即可
很容易的计算出左、右桩在总坐标系中的坐标(,)z z y x 、(,)y y
y x ：
cos()sin()z
i
z
i
jdzy x x zb y y jdzy zb ππ?=+??=+??+?+? cos()sin()y
i
y
i
yb jdzy x x y y yb jdzy ππ?=+??
=+??
+?+?
出来了。
3.3θ标方位角jdzy θ=-方位角i
jdzy ；
角zj s R =；
在此基础上即得此曲线段上任意里程桩号中桩→右桩的坐标方位角
i
jdzy
jdzy zj =
+，当然角度的表示方式也为弧度。
根据中桩坐标、中桩→右桩的坐标方位角以及左、右边距，根据坐标增量公式即可很容易的计算出左、右桩在总坐标系中的坐标(,)z z y x 、(,)y y
y x ：
cos()sin()z
i
z
i
jdzy x x zb y y jdzy zb ππ?=+??=+??+?+? cos()sin()y
i
y
i
yb jdzy x x y y yb jdzy ππ?=+??
=+??
+?+?
这样圆曲线段的中桩→右桩的坐标方位角i
jdzy 以及左、右桩的坐标(,)z z y x 、(,)y y
y x 便很
容易的计算出来了。
2.1.2 缓和曲线段中桩坐标计算
同样，带有缓和曲线的曲线段在计算桩点坐标时较为困难，
由于圆曲线段中桩坐标计算与缓和曲线段中桩坐标计算过程中均建立了新的坐标系，其坐标也均是新建的坐标系中的坐标而不是总坐标系中的坐标，所以必须把新建立的坐标系中的坐标转换为总坐标系中的坐标。其转换原理如下：
2.1.3 坐标系的转换
两个直角坐标系（如右图）进行相互转换的旋转角称为欧勒角，对于二维直角坐标系两个坐标系之间的夹角大小等于其欧勒角。对于二维直角坐标系有：
00cos sin sin cos p P P p x x A y y B θθ
θθ
?????
?????=+????????????????
??
- 将矩阵换算为方程式的形式为：
00
cos sin sin cos p
p
p
P
P
p
x
x A B y
y A B θθθθ=+
-???
=++?
?
式中各字母的含义如图所示。
将圆曲线段中桩坐标与缓和曲线段中桩坐标利用上式进行转换。至此，两段曲线的坐标俱已计算完毕，而且所有的坐标均转换至总坐标系中。
2.2 线路中桩坐标手工计算步骤 1、中桩坐标的计算
在计算线路中桩坐标之前，首先须假定一点的坐标及一条边的坐标方位角，由观测的两个转角计算QD 、JD 1、JD 2、ZD 四点的坐标及三条边的坐标方位角，以利于后期坐标计算时的直接利用。
然后根据各曲线给定的外矢距、观测的两个转角及缓和曲线段的缓和曲线长（如果曲线有缓和曲线）计算两个曲线段的半径，并根据计算出的半径和已测的转角、缓和曲线长计算两段曲线各自的切线长、曲线长等。
具备这些已知因素后，即可分段分别计算中桩坐标：
1）QD → ZY 段：此段根据距离（即桩号差）以及QD → ZY 段的坐标方位角，利用坐标增量公式即可计算的各中桩点的坐标。
B
2）ZY → YZ 段：此段需单独建立坐标系，原点设在ZY 点，X 轴方向与QD → ZY 段方向垂直，Y 轴方向与QD → ZY 段方向一致，X 轴与Y 轴两者构成测量坐标系，然后利用下式计算各中桩点坐标：
[]
1cos i R
x ?=- sin i
y
R ?
=
180S R ?π
=? 由于这时ZY → YZ 段的坐标是新建立的坐标系里的坐标，所以这时须对其进行坐标系转换，把新建坐标系中的坐标转换到总坐标系中，其公式为：
cos sin sin cos p
p
p
p
p
p
x x A B y y A B αααα
=+-=+- 式中各字母的含义如上所述，这里不再重复。
利用此坐标系中桩坐标可计算至YZ 点。
3）YZ → ZH 段：此段亦可根据距离（即桩号差）以及YZ → ZH 段的坐标方位角，利用坐标增量公式即可计算的中桩各点的坐标。
4）ZH → YH 段：此段亦需单独建立坐标系，原点设在ZH 点，X 轴方向与YZ → ZH 段方向垂直，Y 轴方向与YZ → ZH 段方向一致，X 轴与Y 轴两者构成测量坐标系，然后分为两段来计算：
①ZH → HY 段利用下式计算各中桩点坐标：
3
5220
640p p
p
l
x Rl
l
y l R l
=
=-
②HY → YH 段利用下式计算各中桩点坐标：
200
200
cos()
sin(
)
l l R P R x R
l l R y
R
ρβρβ==-+-?+-?+ 同样，由于这时ZH → YH 段的坐标是新建立的坐标系里的坐标，所以这时须对其进行坐标系转换，把新建坐标系中的坐标转换到总坐标系中，其公式也为：
cos sin sin cos p
p
p
p
p
p
x x A B y y A B αααα
=+-=+-
式中各字母的含义如上。
至此，利用此坐标系中桩坐标可计算至YH 点。
5）YH → HZ 段：此段亦需单独建立坐标系，原点设在HZ 点，X 轴方向与ZD → HZ 段方向一致，Y 轴方向与ZD → HZ 段方向垂直，X 轴与Y 轴两者构成测量坐标系，利用
下式计算各中桩点坐标：
5
220
30
406p
p
p l
x l R l l y Rl
=-
=
同样，由于这时YH → HZ 段的坐标是新建立的坐标系里的坐标，所以这时须进行坐标系转换，把新建坐标系中的坐标转换到总坐标系中，其公式也为：
cos sin sin cos p
p
p
p
p
p
x x A B y y A B αααα
=+-=+-
利用此坐标系可计算至HZ 点。
6）HZ → ZD 段：此段亦可根据距离（即桩号差）以及HZ → ZD 段的坐标方位角，利用坐标增量公式即可计算的中桩各点的坐标。
至此，路线的中桩坐标计算完毕，同时所有的成果都已归算至同一坐标系中。 2.3 线路边桩坐标计算
边桩坐标计算的思想是首先计算出每个中桩与其对应的边桩连线的坐标方位角，然后根据路线宽，即边桩距中桩的距离，由坐标增量公式即得边桩坐标。下面以我组路线以及先计算右桩坐标为例进行叙述边桩坐标的计算步骤：
首先计算出每个中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角，需分段进行： 1）QD → ZY 段：此段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角即为QD → ZY 段方向的坐标方位角加上90°。
2）ZY → YZ 段：此段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角即为以QD → ZY 段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角为基准减去相应中桩对应的转角，公式为：
180S R θπ
=?
中S 为中桩桩号差即为要求算的边桩对应的中桩距ZY 点的曲线距离，此段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角可计算至YZ 点。
3）YZ → ZH 段：此段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角亦即为YZ → ZH 方向的坐标方位角加上90°。
此段算得的中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角可与ZY → YZ 段中的YZ 点处的中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角相检校，如果计算都正确，则两者应相差无几。
4）ZH → HY 段:此段的中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角以YZ → ZH 段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角为基准减去相应中桩对应的转角，转角公式为：
201802p l Rl βπ
=?
5）HY → YH 段：此段的中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角以ZH → HY 段的HY 点中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角为基准减去相应中桩对应的转角，转角公式为：
180S R θπ
=?
6）YH → HZ 段:此段的中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角以HZ → ZD 段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角为基准加上相应中桩对应的转角，转角公式为：
201802p l Rl βπ
=?
由此可知，欲求YH → HZ 段的中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角须先算HZ → ZD 段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角。
同样，由此计算的YH 点处中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角可与HY → YH 段中的YH 点处的中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角相检验，如果计算都正确，则两者同样应相差无几。
7）HZ → ZD 段：此段中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角亦即为YZ → ZH 方向的坐标方位角加上90°。
至此，整条线路中桩与其对应的右桩连线的坐标方位角俱已算出，再根据路线宽，由坐标增量公式即可得右桩坐标。
左桩坐标计算原理相对简单，左桩坐标等于两倍中桩坐标减去右桩坐标。 至此，整条线路的中桩、边桩坐标已经全部算得。
(完整word版)缓和曲线计算原理
1.2道路线形的基本介绍 道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用。道路的新建和改建，测量工作必须先行，所以公路施工测量所承担的任务也是非常大的，为了更好的进行道路施工工作，下面就道路线形进行一下简单的介绍。 一般所说的路线，是指道路中线的空间位置。中线在水平面上的投影称作路线的平面；沿中线竖直剖切再行展开则是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点的横断面。 无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。当线路方向改变时，在转向处需用曲线将两直线连接起来。因此，线路工程总是由直线和曲线所组成。曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。 公路中线应满足的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不出现两个曲率变化值）。考虑上述几何条件，顾及计算与敷设方便，现代公路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线构成，称之为平面线形三要素。其中缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐变到圆曲线半径R 的变量。在与直线连接处半径为∞，与圆曲线连接处半径为R ，曲线上任一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。 目前公路线形设计已开始使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计，特别是在互通立交匝道和山区高速高速公路线形设计中，这种线形设计使用得较多。非对称线形分为完全非对称线形和非对称非完整线形两种，所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处（ZH 或HZ ）的半径为∞，圆半径为R ，第一缓和曲线长1s l ，第二缓和曲线长为2s l ，12s s l l ≠。所谓“非完整”的含义是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是∞，而是1 R 、2 R 。而坐标法成为高速公路放样的主要方法，坐标法放样 线路中线的这个操作过程中，最重要的一部就是计算线路放样点的坐标。 2 路线中桩坐标计算原理 在实际工程中，线路的设计由专门的设计方完成，在线路完成设计得到审批后设计方便把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）提供给施工方。所提供的曲线要素一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用一定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线）、曲线长。当然不同的工程项目所提供的曲线要素也不一样，以上所述的要素是大多数设计方会提供的，有的设计方在提供上述要素的前提下，还提供曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素，供施工方在计算
缓和曲线计算公式
缓和曲线计算公式 缓和曲线计算公式: 缓和曲线参数: 0=A L R ? 缓和曲线长度R A L ÷=20 缓和曲线半径÷=2A R 0L 所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A 及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。
缓和曲线圆曲线计算公式
缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道（计算公式） 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：xZ，yZ
计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 xZ，yZ为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径 P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：SZ
缓和曲线计算公式
高速公路的线路(缓和曲线)计算公式 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角： α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程：
说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l
②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： 当只知道HZ 点的坐标时，则：
l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反 x Z ，y Z 为点HZ的坐标 ? 三、曲线要素计算公式
公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）——第一缓和曲线长度 l 1 ——第二缓和曲线长度 l 2 l ——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径
R ——曲线起点处的半径 1 ——曲线终点处的半径 R 2 P ——曲线起点处的曲率 1 P ——曲线终点处的曲率 2 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 (上坡为“＋”，下坡为“－”)已知：①第一坡度：i 1 (上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i 2 ③变坡点桩号：S Z ④变坡点高程：H Z ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S
缓和曲线、圆曲线测设计算例题
已知曲线半径R=6000，缓和曲线长度l 0=280，交点JD27坐标及相邻方位角已在图中给出，ZH点里程为DK2+100。请计算： 1、曲线要素中的切线长T、曲线长L、外矢距E； 2、HY、QZ、YH、HZ的里程； 3、ZH点坐标及其左边桩3米的坐标； 4、DK2+180的坐标及右边桩2米的坐标； 5、DK2+660的坐标及右边桩35米的坐标。永州(DK2+100)H YHZ YH QZ .080-17-52=2α=232- 附公式： m为缓和曲线切垂距，m= l - l 03 /（240R2）p为缓和曲线内移距，P= l 02 /（24R）- l 04 /（2688R3）缓和曲线方程式：
X=h - h5/（40R2l2）+ h9/（3456 R4l4） Y=h3/（6Rl）- h7/（336 R3l3）+ h11/（42240 R5l5）解： 1、转向角α=α 2-α 1=7°18′ 05.9″ 切线长T=（R+P）tg（α/2）+m= 522.863 曲线xxL=（Rαπ）/180+l 0= 1044.626 外矢距E=（R+P）sec（α/2）-R= 12.746 式中m为缓和曲线切垂距，m= l - l 03 /（240R2 ）= 139.9974 p为缓和曲线内移距，P= l
/（24R）- l 04 /（2688R3 ）= 0.5444 2、HY点里程为DK2+100+280=DK2+380；QZ点里程为； HZ点里程为DK2+100+ 1044.626=DK3+ 144.626； YH点里程为DK3+ 144.626-280=DK2+ 864.626 3、JD27到ZH点的方位角α JD27到ZH点的坐标增量为： △x=T×cosα △y =T×sinα 于是ZH点坐标为yZH= Y JD27+△y = 1415.299mHZ35-13.
缓和曲线的计算步骤
缓和曲线的计算步骤 在缓和曲线的计算中，首先要判断缓和曲线的完整性。判断公式为 L 0=C/R 上式中，L 0为缓和曲线的计算长度，C 为缓和曲线参数，C ＝A 2，A 也是缓和曲线的一个参数，R 为设计给的缓和曲线起、终点半径中的最小值。若计算出来的L 0与设计给的缓和曲线长度l 一样，那么该曲线即是完整的，若L 0比设计给的缓和曲线长度要大，那么设计给的缓和曲线就不是完整的。 下面就完整缓和曲线与不完整缓和曲线的计算方法作一个说明。 一、完整缓和曲线的计算方法： 完整缓和曲线有一个特征，就是它的起点或终点半径中有一个是无穷大（该点不是ZH 点就一定是HZ 点），我们称的“缓和曲线起点”就从这个半径为无穷大的点开始的。 计算过程如下： 1、根据交点（JD ）的桩号推求直缓点、缓圆点、曲中点、圆缓点、缓直点的桩号。有时设计已经给出这些数据。 2、 建立切线坐标系，求曲线中线点的切线坐标。 切线坐标系，即以ZH 点（或HZ ）为原点、以该点切线方向为X1轴的坐标系。为了使第一缓和曲线和第二缓和曲线具有通式，我们在ZH 点和HZ 点采用同样的左手坐标系（图1）。 在缓和曲线段，中线点切线坐标 X 1=l -l 5/40C 2+l 9/3456C 4+… Y 1=l 3/6C- l 7/336C 3+l 11/42240C 5+… (1) 式中 l 为ZH 或HZ 至所求点的曲线长。 (1)式是第一缓和曲线和第二缓和曲线的计算通式，仅注意在计算第二缓和曲线时计算的方向相反，C 的符号也相反。 在通常情况下，（1）式取前两项即可满足精度要求；但是当曲线半径过小时，必须顾及第三项，例如匝道或试车场以及山区公路可能有这种情况。
公路缓和曲线原理及缓和曲线计算公式
一、缓和曲线 缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一。 1．缓和曲线的作用 1）便于驾驶员操纵方向盘 2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化 3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车 4）与圆曲线配合得当，增加线形美观 2．缓和曲线的性质 为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0°均匀地增加到圆曲线上。 S=A2/ρ（A：与汽车有关的参数） ρ=C/s C=A2 由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。 3．回旋线基本方程 即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。 令：ρ=R，l h=s 则 l h=A2/R
4．缓和曲线最小长度 缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。a1=0,a2=v2/ρ,a s=Δa/t≤0.6 2）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s) 3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度 超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。 发布日期：2012-01-31 作者：李秋生浏览次数：149 4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度 缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3°——29°之间，视觉效果好。 《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。 5．直角坐标及要素计算
缓和曲线要素及计算公式
缓和曲线要素及计算公式 缓和曲线：在直线与圆曲线之间加入一段半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 缓和曲线的主要曲线元素 缓和曲线主要有ZH 、HY 、QZ 、YH 、HZ 5个主点。 由此可得： q P R q T T h ++=+=2 tan )(α R P R E h -+=2 sec )(α s h L R L 2180)2(0+-=πβα 180 )2(0R L y πβα-= 式中：h T －缓和曲线切线长 h E －缓和曲线外矢距 h L －缓和曲线中曲线总长 y L －缓和曲线中圆曲线长度
缓和曲线与圆曲线区别： 1. 因为缓和曲线起始端分别和直线与圆曲线顺滑的相接，因此必须将原来的圆曲线向内移动一段距离才能够接顺，故曲线发生了内移（即设置缓和曲线后有内移值P 产生） 2. 缓和曲线的一部分在直线段，另一部分插入了圆曲线，因此有切线增长值q; 3. 由于有缓和曲线的存在，因此有缓和曲线角0β。 缓和曲线角 0β的计算： R L S 2/0=β(弧度)= R L S π90 (度) 内移值P 的计算： ()m R L P S 242 = 切线增长值q 的计算： )(240223 m R L L q S S -= P －缓和曲线内移值 q －缓和曲线切线增长值 0β－缓和曲线首或尾所采用的缓和曲线段分别的总缓和曲线角。 S L －缓和曲线两端各自的缓和曲线长。 R －缓和曲线中的主圆曲线半径 α－偏转角
缓和曲线主点桩号： ZH 桩号=JD 桩号-h T HY 桩号=ZH 桩号+S L QZ 桩号=HY 桩号+2y L YH 桩号=QZ 桩号+ 2 y L HZ 桩号=ZH 桩号+h L 另外、QZ 桩号、YH 桩号、HZ 桩号还可以用以下方式推导： QZ 桩号=ZH 桩号+ 2 h L YH 桩号=HZ 桩号-S L HZ 桩号=YH 桩号+S L 切线支距法计算坐标： 缓和曲线段内坐标计算如式： 2 2540S P p L R L L -=X s P RL L Y 63 = 进入净圆曲线段内坐标计算如式： ?? ??????- ?? ???+=R L L R q X s p π1802 sin ? ??????????- ?? ? ?? -???+=R L L R P Y s p π1802cos 1
教程(圆曲线缓和曲线计算公式
[教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公 式) 未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院 第九章道路工程测量 (road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设 一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量 (road construction survey) 。 （一）勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 分为：初测 (preliminary survey) 和定测 (location survey)
1、初测内容：控制测量 (control survey) 、测带状地形图 (topographical map of a zone) 和纵断面图 (profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量 (center line survey) 、测纵断面图 (profile) 、横断面图 (cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量 (road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。 本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。 二、中线测量 (center line survey) 1、平面线型：由直线和曲线（基本形式有：圆曲线、缓和曲线）组成。 2、概念：通过直线和曲线的测设，将道路中心线的平面位置测设到地面上，并测出其里程。即测设直线上、圆曲线上或缓和曲线上中桩。 三、交点 JD(intersecting point) 的测设 （一）定义：路线的转折点，即两个方向直线的交点，用 JD 来表示。 （二）方法： 1、等级较低公路：现场标定 2、高等级公路：图上定线——实地放线。
曲线坐标计算
曲线坐标计算 一、 圆曲线 圆曲线要素：α---------------曲线转向角 R---------------曲线半径 根据α及R 可以求出以下要素： T----------------切线长 L----------------曲线长 E----------------外矢距 q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差） 各要素的计算公式为： ??=180π αR L (弧长) )12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数） 圆曲线主点里程：ZY=J D －T QZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －q JD=QZ ＋q ／2（校核用） 1、基本知识 ◆ 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。 ◆ 表示方法：DK26＋284.56。 “+”号前为公里数，即26km ，“+”后为米数，即284.56m 。
CK ——表示初测导线的里程。 DK ——表示定测中线的里程。 Ｋ——表示竣工后的连续里程。 铁路和公路计算方法略有不同。 2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法） 已知条件：起点、终点及各交点的坐标。 1）计算ZY、YZ点坐标 通用公式： 2）计算曲线点坐标 ①计算坐标方位角 i 点为曲线上任意一点。 li 为i 点与ZY点里程之差。 弧长所对的圆心角 弦切角 弦的方位角 当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。 ②计算弦长
③计算曲线点坐标 此时的已知数据为： ZY（x ZY，y ZY）、 ZY- i、C。 根据坐标正算原理： 切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得： 利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得： 式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为ZY 时，“±”取“＋”，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；当起点为YZ时，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入； 注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直 3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角 4、弧长公式 由L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180 二、缓和曲线（回旋线） 缓和曲线主要有以下几类： A：对称完整缓和曲线（基本形）------切线长、ls1与ls2都相等。B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等
缓和曲线常用计算公式
一、缓和曲线常数 1、 内移距P ： 3420268824R l R l P n -= 2、 切垂距m ： 2 302402R l l m -= 3、缓和曲线基本角： R l R l πβ000902== 3、 缓和曲线偏角： R l R l πδ000306== 5、缓和曲线反偏角： R l R l b π000603== 缓和曲线常数既有线元素，又有角元 素，且均 为圆曲线半径R 和缓和曲线 长0l 的函数。线元素要计算到mm ，角元素要计算到秒。 二、缓和曲线综合要素 切线长：()m P R T +?? ? ??+=2tan α 曲线长：()0022l R L +-=βα 外视距：R P R E -?? ? ??+=2cos 0α 切曲差：L T q -=2 曲线综合要素均为线元素，且均为转向角 α、圆曲线半径R 和缓和曲线长0 l 的函数。曲线综合要素计算到cm 。 三、缓和曲线任意点偏角计算
2020202902306Rl l Rl l Rl l Rl l t t t t t t πβπδ==== 0202603Rl l Rl l b t t t π== 实际应用中，缓和曲线长0l 均选用10m 的倍数。 四、偏角法测设缓和曲线遇障碍 ()()T B B T l l l l Rl 2610 +-=βδ ()()()()T F T F T F T F F l l l l Rl l l l l Rl 23026100 +-=+-= πδ —B l 为靠近ZH(HZ)点的缓和曲线长； —T l 为置镜点的缓和曲线长； —F l 为远离ZH(HZ)点的缓和曲线长。 五、直角坐标法 1、缓和曲线参数方程： 520 2401a a a l l R l x -= 30 373033661l R l l Rl y a a a -= 2、圆曲线 m R x b b +=αsin ()P R y b b +-=αcos 1 式中，b α为圆心O 到切线的垂线方向和到B 的半径方向所形成的圆心角，按 下式计算:
公路缓和曲线段原理及缓和曲线计算公式
程序使用说明 Fx9750、9860系列 程序包含内容介绍:程序共有24个，分别是： 1、0XZJSCX 2、1QXJSFY 3、2GCJSFY 4、3ZDJSFY 5、4ZDGCJS 6、5SPJSFY 7、5ZDSPFY 8、5ZXSPFY 9、6ZPJSFY 10、7ZBZFS 11、8JLHFJH 12、9DBXMJJS 13、9DXPCJS 14、9SZPCJS 15、GC-PQX 16、GC-SQX 17、PQX-FS 18、PQX-ZS 19、 ZD-FS 20、ZD-PQX 21、ZD-SQX 22、ZD-ZS 23、ZDSP-SJK 24、ZXSP-SJK 其中，程序2-14为主程序，程序15-24为子程序。每个主程序都可以单独运算并得到结果，子程序不能单独运行，它是配合主程序运行所必需的程序。刷坡数据库未采用串列，因为知道了窍门，数据库看起很多，其实很少。 程序1为调度2-8程序； 程序2为交点法主线路(含不对称曲线)中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序3为主线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序4为线元法匝道中边桩坐标正反计算及极坐标放样程序； 程序5为匝道线路中边桩高程计算及路基抄平程序； 程序6为任意线型开口线及填筑边线计算放样程序； 程序7专为主线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序8专为匝道线路开口线及填筑边线计算放样程序，只需测量任意一点三维数据，即可马上计算出该点相对于中桩法线上的偏移量； 程序9为桥台锥坡计算放样程序； 程序10为计算两点间的坐标正反算程序； 程序11为距离后方交会计算测站坐标程序；
缓和曲线计算公式
当前的位置】：工程测量→第十一章→ 第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设 第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设 §11—4 圆 曲线加缓 和曲线及 其主点测 设 一、缓和曲 线的概念 二、缓和曲线方程 三、缓和曲线常数 四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设 一、缓和曲线的概念 1、为什麽要加入缓和曲线？ (1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为克服离心力的影响，铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行。 图11-10(a).(b）为采用外轨超高前、后的情况。 外轨超高和内轨加宽都是逐渐完成,这就需要在直线与圆曲线之间加设一段过渡曲线——缓和曲线. 缓和曲线: 其曲率半径ρ 从∞逐渐变化到圆曲线的半径R 。 2、缓和曲线必要的前提条件（性质）： 在此曲线上任一点P 的曲率半径ρ与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为： ρ ∝1l 或ρ. l = C (11-4) 式中: C 为常数,称曲线半径变更率。 当l= l o时，ρ= R ，按（11-4）式，应有 C = ρ.l= R .l o (11-5) 符合这一前提条件的曲线为缓和曲线，常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。 3、加入缓和曲线后的铁路曲线示意图（见图11-J）
二、缓和曲线方程 1、加入缓和曲线后的切线坐标系 坐标原点：以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点； X坐标轴：直缓(ZH)点或缓直(HZ)点到交点(JD)的切线方向； Y坐标轴：过直缓(ZH)点或缓直(HZ)点与切线垂直的方向。 其中：x、y 为P点的坐标；x o、y o为HY点的坐标； ρ 为P 点上曲线的曲率半径；R 为圆曲线的曲率半径 l 为从ZH点到P 点的缓和曲线长；l o为从ZH点到HY点的缓和曲线总长； 2、缓和曲线方程式: 根据缓和曲线必要的前提条件推导出缓和曲线上任一点的坐标为 实际应用时, 舍去高次项, 代入C=R*l o，采用下列公式：
卵形曲线计算原理
卵形曲线计算原理 一、概念 卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。 二、卵形曲线坐标计算原理 根据已知的设计参数，求出包括卵形 曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。 三、坐标计算 以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一： （图一） 已知相关设计数据见下表：
1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算 A1==59.161 卵形曲线参数： A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1） =（271.881-223.715）×50×75÷（75-50） = 7224.900 A2==84.999 A3==67.082 2．卵形曲线所在缓和曲线要素计算 卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166 卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用） LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1 =7224.900÷50=144.498 ∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213 LE=HY2至HZ'的弧长 =A2÷R2=7224.900÷75=96.332 或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332 卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核） HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核） 由上说明计算正确 3．HZ'点坐标计算（见图二）
缓和曲线要素及公式介绍
11.2.1 带缓和曲线的圆曲线的测设 为了保障车辆行驶安全，在直线与圆曲线之间加入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 目前常用的缓和曲线多为螺旋线，它有一个特性，曲率半径ρ与曲线长度l成反比。数学表达为： ρ∝1/l 或ρ·l = k ( k为常数) 若缓和曲线长度为l0，与它相连的圆曲线半径为R，则有： ρ·l = R·l0 = k 目前我国公路采用k = 0.035V3（V为车速，单位为km/h），铁路采用k = 0.09808V3，则公路缓和曲线的长度为l0 = 0.035V3/R , 铁路缓和曲线的长度为：l0 = 0.09808V3/R 。 11.2.2 带缓和曲线的圆曲线的主点及主元素的计算 带缓和曲线的圆曲线的主点有直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH、缓直点HZ 。
带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式： 切线长 T h = q＋(R＋p)·tan(α/2) 曲线长 L h = 2l0＋R·(α－2β0)·π/180° 外矢距 E h = (R＋p)·sec(α/2)－R 切线加长 q = l0/2－l03/(240R2) 圆曲线相对切线内移量 p = l02/(24R) 切曲差 D h = 2T h －L h 式中：α为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q、p、β0缓和曲线参数。 11.2.3 缓和曲线参数推导 dβ = dl/ρ = l/k·dl 两边分别积分，得： β= l2/(2k) = l/(2ρ)
当ρ = R时，则β =β0 β0 = l0/(2R) 若选用点为ZH原点，切线方向为X轴，垂直切线的方向为Y轴，建立坐标系，则： dx = dl·cosβ = cos[l2/(2k)]·dl dy = dl·sinβ = sin[l2/(2k)]·dl 考虑β很小，sinβ和cosβ即sin(l2/(2k))和cos(l2/(2k))可以用级数展开，等式两边分别积分，并把k = R·l0代入，得以曲线 长度l为参数的缓和曲线方程式： X = l－l5/(40R2l02)＋…… Y = l3/(6Rl0)＋…… 通常应用上式时，只取前一、二项，即： X = l－l5/(40R2l02) Y = l3/(6Rl0) 另外，由图可知， q = X HY－R·sinβ0 p = Y HY－R(1－cosβ0) 以β0= l0/(2R)代入，并对sin[l0/(2R)]、cos[l0/(2R)]进行级数展开，取前一、二项整理可得：q = l0/2－l03/(240R2) p = l02/(24R) 若仍用上述坐标系，对于圆曲线上任意一点i，则i点的坐标X i、Y i可以表示为： Xi = R·sinψi＋q Yi = R·(1－cosψi)＋p 11.2.4 带缓和曲线的圆曲线的主点桩号计算及检核
圆曲线、缓和曲线计算方法
● 圆曲线 方法一： sin (1cos )180i i i i i i x R y R l R ???π??=?=-????=?? ——i l 为待定点i P 至起点间的弧长 i ?为i l 所对的圆心角 R 为曲线半径 方法二： 11802l A R π ?=?? 2sin l R A =? 00cos(/)sin(/)x x l A y y l A =+?+-??=+?+-?起点方位角左减右加起点方位角左减右加 ——00(,)x y 为圆曲线起点坐标 方法三： 180l A R π ?=? 00cos(/)sin(/)x x R B A y y R B A =+?+-??=+?+-? ——l 为圆曲线上任意一点距起点距离 00(,)x y 为圆曲线圆心坐标 B 为圆心到圆曲线起点的方位角，A 为任意点对应的圆心角 ● 缓和曲线
5 22030406l x l R l l y Rl ?=-????=?? ——l 为曲线上任一点至起点的曲线长 R 曲线半径 0l 为缓和曲线全长 圆曲线、缓和曲线计算方法 1、直线段：先由JD1以及JD2的坐标算出JD1到JD2的方位角，即直线段方位角A ，故可算出HZ 、ZH 坐标及其直线段各点坐标。 2、缓和曲线：以HZ 、ZH 为起点，缓和曲线上任意一点离HZ 、ZH 距离为l ，利用公式5 22003040()6l x l R l l R l y Rl ?=-????=?? 为缓和曲线全长,为圆曲线半径算出该点的相对起点坐标，利用arctan y x 算出该点相对起点的方位角B ，再根据线路走向及直线段方位角可算出该点的方位角C （顺时针加，逆时针减） ，用可求出该点相对起点的距离D ，最后用00cos sin x x D C y y D C =+??=+? 可求出该点的坐标。（00(,)x y 为缓和曲线起点的坐标） 3、圆曲线：用上述方法求出圆曲线两端点HY 、YH 坐标，算出HY 到YH 的方位角F ，以 及两点间的距离E ，用12arccos E R 可算出两端点连线与起点到圆心连线的夹角G ，根据线路走向求出起点到圆心的方位角H （H=F+/-G ），00(,)x y 圆曲线为起点坐标，根据
公路缓和曲线及其原理
一、缓和曲线： 缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一。 1．缓和曲线的作用 1）便于驾驶员操纵方向盘 2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化 3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车 4）与圆曲线配合得当，增加线形美观 2．缓和曲线的性质 为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0°均匀地增加到圆曲线上。 S=A2/ρ（A：与汽车有关的参数） ρ=C/s C=A2 由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。 3．回旋线基本方程 即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。 令：ρ=R，l h=s 则l h=A2/R 4．缓和曲线最小长度 缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定： 1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。a1=0,a2=v2/ρ,a s=Δa/t≤0.6 2）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s) 3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度
超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。 4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度 缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3°——29°之间，视觉效果好。 《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。 5．直角坐标及要素计算 1）回旋线切线角 （1）缓和曲线上任意点的切线角 缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。 βx=s2/2Rl h （2）缓和曲线的总切线角 β=l h/2R.180/л 2）缓和曲线直角坐标 任意一点P处取一微分弧段ds，其所对应的中心角为dβx dx=dscosβx dy=dssinβx 3）缓和曲线常数 （1）主曲线的内移值p及切线增长值q 内移值：p=Y h-R(1-cosβh)=l h2/24R 切线增长值：q=X h-Rsinβh=l h/2-lh3/240R2 （2）缓和曲线的总偏角及总弦长 总偏角：βh=l h/2R 总弦长：C h=l h-l h3/90R2 O为圆曲线的圆心，圆曲线所对圆心角（等于公路偏角）。当插入缓和曲线后，可以看作是原来半径为R+△R的圆曲线向内移动了△R距离，因此设置缓和曲线后的圆曲线半径为R。
圆曲线缓和曲线计算公式
圆曲线缓和曲线计算公式 2011-09-13 15:19:36| 分类： |字号订阅 第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式) 2010-07-29 13:10:53阅读706评论0 字号：大中小订阅 [教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院第九章道路工程测量(road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。 （一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey) 1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量(center line survey) 、测纵断面图(profile) 、横断面图(cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量(road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。 本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。 二、中线测量(center line survey)
铁路缓和曲线计算
、缓和曲线的作用及其几何特征 行驶于曲线轨道的机车车辆，出现一些与直线运行显著不同的受力特征。如曲线运行的离 心力，外轨超高不连续形成的冲击力等。为使上述诸力不致突然产生和消失，以保持列车曲线运行的平稳性，需要在直线与圆曲线轨道之间设置一段曲率半径和外轨超高度均逐渐变化的曲线，称为缓和曲线。当缓和曲线连接设有轨距加宽的圆曲线时，缓和曲线的轨距是呈线性变化的。概括起来，缓和曲线具有以下几何特征： 1. 缓和曲线连接直线和半径为R 的圆曲线，其曲率由零至1/R 逐渐变化。 2. 缓和曲线的外轨超高，由直线上的零值逐渐增至圆曲线的超高度，与圆曲线超高相连接。 3. 缓和曲线连接半径小于350m 的圆曲线时，在整个缓和曲线长度内，轨距加宽呈线性递增，由零至圆曲线加宽值。 因此，缓和曲线是一条曲率和超高均逐渐变化的空间曲线。 二、缓和曲线的几何形位条件 图2-9所示为一段缓和曲线。其始点与终点用ZH 与HY 表示。要达到设置缓和曲线的目的，根据如图所取直角坐标系，缓和曲线的线形应满足以下条件： 1.为了保持连续点的几何连续性，缓和曲线在平面上的形状应当是：在始点处，横坐标x ＝ 0,纵坐标y ＝ 0,倾角φ ＝ 0;在终点处，横坐标 x =x 0，纵坐标y =y 0 ，倾角φ ＝ φ 0 。 2.列车进入缓和曲线，车体受到离心力 J 的作用，为保 持列车运行的平稳性，应使离心力不突然产生和消失，即在缓和曲线始点处，J ＝0,在缓和曲线终点处 Ρ=R 。 3.缓和曲线上任何一点的曲率盈余外轨超高相吻合。 在纵断面上，外轨超高顺坡的形式有两种形式。一种形式是，如图2-10（a ）所示；另一 种形式是曲线形，如图2-10（b ）所示。 列车经过直线顺坡的缓和曲线始点和终点时，对外轨都会产生冲击。在行车速度不高，超高顺破相对平缓时，列车对外轨的冲击不大，可以采用直线形顺坡，即可满足曲率与超高相配合的要求。 当行车速度较高，为了消除列车对 外轨的冲击，应采用曲线形超高顺坡。 其几何特征是缓和曲线始点及终点处 图 2－9缓和曲线坐标图 图 2－10 超高顺坡
(完整版)缓和曲线、圆曲线测设计算例题
已知曲线半径R=6000，缓和曲线长度l 0=280，交点JD27坐标及相邻方位角已在图中给出，ZH 点里程为DK2+100。请计算： 1、曲线要素中的切线长T 、曲线长L 、外矢距E ； 2、HY 、QZ 、YH 、HZ 的里程； 3、ZH 点坐标及其左边桩3米的坐标； 4、DK2+180的坐标及右边桩2米的坐标； 5、DK2+660的坐标及右边桩35米的坐标。 永州α=225-17-08.0JD27(D K 2+100)(1000.000,1000.000)α=232- 35-13.9H Z Q Z HZ H Y YH 附公式： m 为缓和曲线切垂距，m= l 0/2- l 03/（240R 2） p 为缓和曲线内移距，P= l 02/（24R ）- l 04/（2688R 3） 缓和曲线方程式： X=h - h 5/（40R 2l 2）+ h 9/（3456 R 4l 4） Y=h 3/（6Rl ）- h 7/（336 R 3l 3）+ h 11/（42240 R 5l 5） 解： 1、转向角α=α2-α1=7°18′05.9″ 切线长T=（R+P ）tg （α/2）+m = 522.863 曲线长L=（R απ）/180+l 0= 1044.626 外矢距E=（R+P ）sec （α/2）-R=12.746 式中m 为缓和曲线切垂距，m= l 0/2- l 03/（240R 2）=139.9974 p 为缓和曲线内移距，P= l 02/（24R ）- l 04/（2688R 3）=0.5444 2、HY 点里程为DK2+100+280=DK2+380； QZ 点里程为DK2+100+1044.626/2=DK2+622.313； HZ 点里程为DK2+100+1044.626=DK3+144.626； YH 点里程为DK3+144.626-280=DK2+864.626 3、JD27到ZH 点的方位角αJD27-ZH =232°35′13.9″-180=52°35′13.9″ JD27到ZH 点的坐标增量为： △x =T ×cos αJD27-ZH =317.667m △y =T ×sin αJD27-ZH =-415.299m 于是ZH 点坐标为 X ZH = x JD27+ △x = 1317.667m y ZH = Y JD27+△y =1415.299m