正交矩阵

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；

当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；

当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.

<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 1A =±

()1

111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.

<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.

由 1A =±，*

1

A A A A

-'==

当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知

111()()AB B A B A AB ---'''===

故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.

正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ

也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.

运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.

二.正交矩阵的作用

（一）正交矩阵在线性代数中的作用

在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.

设向量12(,,,)n W w w w '= ，

令)

s j i =>， ,j

i

w w c d s s

==

，则称n 阶矩阵

11ij c d i T d c j i j ??

?

? ? ?= ? ?- ?

?

???

行行

列列

为初等旋转矩阵.

初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.

设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；

〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.

证明 〈1〉222

2

2

()

1i j w w c d s

++=

= ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩

阵.

〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且

0j i

i j

j i j w w w w u dw cw s

s =-+=-

+

=

所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.

〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.

引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ?=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.

定理1 设P 是n 阶正交矩阵

??1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，

即12r P PP P = ；

2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右

乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩

22

j

i i i j w w u cw dw s

s s =+=

+=

阵.

n

E -1111n n

??? ?

?

?= ?

?

?-??

证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有

12

r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得

E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即 E R R =' （2）

设 R =11121222n n nn r r r r r r ??

?

? ? ? ??? 其ii r >0(i =1,2,…n -1)

则R R '=11122212n

n

nn r r r r r r ?? ? ? ? ? ???

11121222n n nn r r r r r r ??

? ? ? ? ??? =1

11?? ? ? ? ? ??

? 由上式得

??????

?-===-===-==≠=1

1

111

,,2,1,,1,0

P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且

且

所以1

,1n

E P R E P -?=?=?=-??，当当 （３）

于是由（1）（3）式得

<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；

<2>当1-=P 时， 12

r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.

引理2 设()ij n m R A a A m A P O

???

=== ???，秩（）

，则其中P 是n 阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ?-)(零矩阵.

利用以上的结论可得：

定理2 设()ij n m A a A m ?==，秩（）

，则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为???

?

??O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是

m m n ?-)(矩阵.

证明 由引理2知1R A P O

??

= ??

?

，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶

上三角阵，又根据定理1知：

11

,1,1r r n P P P P P P E P -?=?=?=-?? 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.

<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O

????''=== ? ??

?

??

令，

<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O -??

= ???

于是有 11r n R R P P A E O O -????''== ? ?????

显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，

1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.

设112111n a a a α?? ? ?= ? ? ??? ，122222n a a a α?? ? ?= ? ? ???

，……，12m m

m nm a a a α?? ? ?= ? ? ???

是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记

1112

1212221212

()m m m n n nm a a a a a a A a

a a ααα??

?

?

==

?

?

???

是秩m 为的n m ?的矩阵.

若()ij n m A a ?=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵

12,,,r

P P P ，使1r R P P A O ??''= ???

（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''

12121r r r P P P P E P P P

P -''''''''∴== （５） 由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化

为???

? ??O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .

综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：

12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法

为：

<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=；

<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为???

?

??O R ，同时E 就被

化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；

<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.

下面，我们通过实例说明此方法的应用.

例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.

解 矩阵

123111100()010001A ααα---?? ?

?== ? ? ???

对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T

12T

＝002200220010000

1??

- ?

?

?-- ? ? ? ???,23T

=10000000000

1?? ? ? ?

? ? ? ? ??

?

34T

=100001001

21002?? ? -

? ? -??

?

得 34T 23T 12T )(E A

=0

0000023

111100

02222??

? ? ? ? ?

? ? ?

---- ?

??

则00011112

222P ??

? ?

? ?

'= ? ?---- ???

，121210210022P ??- ? ? ?- ?

?= ?- ?

? ?- ???

取

100P ? ?= ? ? ? ???

，20P ? = ? ? ? ?

??

，3P ? = ? ???

则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用

全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群

在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.

定义5 设G 是任一集合，?是G 的子集构成的子集族，且满足：

1o 集合G 与空集Φ属于?； 2o ?中任意个集的并集属于?； 3o ?中任意有穷个集的交集属于?；

称?是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑?，称G 是一个拓扑空间.

定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：

1o ,,,()()a b c G a b c a b c ?∈= ； 2o st G e G a ,,∈?∈?e a a e a == ；

3o st G a G a ,,1∈?∈?-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.

定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ?G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.

根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.

〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2

n E

，也就是将

A =()ij a 对应于2

n E

的点

1

1121

2122(,,,

,,,,,,,)n n n n

a a a a a a a a .?是点集2

n E 的子集族，则2

n

E 和Φ都属于?，?中任意个集的并集属于?，?中有穷个集的交集也

属于?，可以验证2

n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空

间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.

〈2〉1o )(,,n O C B A ∈? 由于矩阵的乘法满足结合律，所以

)()(BC A C AB =

2o st O E n n ,)(∈? A AE A E O A n n n ==∈?,)(

3o st A A O A n ,,1)('=?∈?- E A A AA A A A A ='=='=--11

所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.

〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法

m ：M M M ?→

设(),()ij ij A a B b ?==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1n

ik kj k a b =∑.现在M

具有乘积空间1112(E E E n ??? 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，

我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m M M M E π?→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)n

ij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项

式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ?→也是

连续的.

()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，

1()()n A O f A A -?∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ?∈映为

1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉

，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A A

π=，A 的行列式及

A 的代数余子

式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.

至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群

在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.

定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析

流形，且映射1

1212(,)g g g g -→ 12,g g G ?∈ 为解析流形G G ?到G 上的

解析映射，则称G 为n 维lie 群.

定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.

证明 A M ?∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2

n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的

解析函数，

{}det 0A M A ∈=为M

的闭子集，因此

{}*\det 0M M A M A =∈=为M 中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知

道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2

n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，

()n O 为lie 群. 为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2

n E 时，

()n O 相当于2

n E 内的有界闭集.设 ()n A O ?∈，由于AA E '=有

1

n

ij kj

ik j a b

δ==∑ 1,i k n ≤≤

对于任意的 ,i k ，定义映射

1

:ik f M E → A M ?∈ 1

()n

ik ij kj j f A a b ==∑

则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤

由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此

()n O 是M 的闭集.由于11n

ij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证

明了()n O 的紧致性.

在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.

（3）()n O 是不连通的

定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集

A 和

B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.

证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为

()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和

S 是闭集，有不连通的定义

我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用

在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1n

k ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化

的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.

在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：

〈1〉杂化轨道的归一性

杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=?.

〈2〉 杂化轨道的正交性

0()k l

d k l τφφ=≠?.

〈3〉 单位轨道贡献

每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨

道成分之和必须为一个单位，即2222121n

ki i i ni k c c c c ==+++∑ =1.

由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.

以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：

21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子

的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2x

p φ、

2y

p φ、2z

p φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成

另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.

21112131422122232423132333441

42

43

442x y

z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ??

???? ?

? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?

? ? ??????? = 2222x

y z

s p p p A φφφφ??

? ? ? ? ???

A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2x

p φ、

2y

p φ、2z

p φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨

道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .

2222

1112131

41a a a a +++= 11121314a a a a ===

11

241a =

∴ 11121314a a a a ====1

2

(取正值) 因为是等性杂化轨道.

2222

11213141a a a a === 2222

11121314a a a a +++=1

∴ 11213141a a a a ====1

2

（取正值）

∴ 22232432333442

43

441111222212

1212

a a a A a a a a a a ?? ? ? ? ?=

? ? ? ? ???

22232411111

022222a a a ?+++= 2222

222324

1()12

a a a +++= 222324a a a ==

∴ 取符合条件的 2212a =

，2312a =，2412

a = 32333411111

022222a a a ?+++= 22322333243411

022

a a a a a a ?+++= 即 3233341

2a a a ++=-

3233341

2

a a a --=-

321

2a ∴=- 3334a a =-

取 3312a =，341

2

a =-

42434411111

022222a a a ?+++= 42434411111

022222a a a ?+--= 42434411111

022222

a a a ?-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 441

2

a =-

1111222211112

2221111222211112222A ?? ? ? ?--

?∴= ? ?-- ? ?--? ??

可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：

22221

()2x y z

a s p p p φφφφφ=+++

22221

()2x y z b s p p p φφφφφ=+--

22221

()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-

22221

()2

x y z d s p p p φφφφφ=--+

（2）sp 杂化轨道

一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线

性变换2111

122221

22x s p a

a a a φφφφ??????= ? ? ???????的系数矩阵11

1221

22a a A a a ??

=

???

是正交矩阵. 根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =

1121

a a ∴==

22

1112121,a a a +=∴=

（取正值）

22220,a a =∴=

A ???∴= sp ∴

杂化轨道式为：122)x s p φφφ=

+

222)x s p φφφ=

- (四)正交矩阵在物理中的作用

任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.

设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →

=与曲线()r t →

}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →

到曲线1()r t →

的变换为

111213x x b y A y b z z b ??????

? ? ?=+ ? ? ? ? ? ???????

（1） 其中

11

121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???

是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得