数学物理方程-第五章格林函数法

第五章 格林函数法

在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问

题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.

§5?1 格林公式

在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.

设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在

Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实

函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.

如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P

x

??或x P 等等.

设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式

(

)P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω

?Ω

???++=++???????? (1.1) 或者

(

)(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ

?Ω

???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (

,,)x y z

???

?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式

???????=??Ω

Ω

ds n F dv F (1.3)

其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=

为?Ω的单位外法向量.

注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =

时，其运算定义为

(,,)(,,)

,

F P Q R x y z

P Q R

x y z

???

??=???????=++???

形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F

. 而作用于数量函

数(,,)f x y z 时，其运算定义为

(

,,)(,,)f f f

f f x y z x y z

???????==??????， 形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .

设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =?

得

()u v dV u v nds Ω

?Ω

???=???????

(1.4) 直接计算可得

v u v u v u ??+=????)( (1.5)

其中xx yy zz v v v v ?=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得

v

u vdV u

ds u vdV n Ω

?Ω

Ω

??=-???????????? (1.6) (1.6)称为Green 第一公式.

在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得

u

v udV v

ds v udV n Ω

?Ω

Ω

??=-???????????? (1.7) 自(1.6)减去(1.7)得

()()v u

u v v u dV u

v ds n n

Ω

?Ω

???-?=-??????? (1.8) (1.8)称为Green 第二公式.

设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -

==引入函数 001

(,)4P P

P P r πΓ=

，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξη?的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得

00(,)0, P P P P ?Γ=≠

即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.

设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤?Ω. 记\G B =Ω,

则G B ?=?Ω??. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0?Γ=，故有

()G

G

u udV u

ds n n

??Γ?-Γ?=-Γ??????? 或者

()()G

B

u u udV u

ds u ds n n n n ?Ω

??Γ??Γ?-Γ?=-Γ+-Γ??????????? (1.9) 在球面B ?上，

02

1

()41

4P P r n r

r

r ππ??Γ?Γ

=-=-=

???， 因此

2

1(,,)4B

B

u

u

ds ds u x y z n π

ε

???Γ==????? (1.10)

其中(,,)P x y z B ∈?.

同理可得 14B

B

u u

ds ds n n πε

????Γ

=??????(,,)u x y z n ε?'''=? (1.11) 其中(,,)P x y z B '''∈?.

将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有

(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z n ε?'''→?，

并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得

()(,,)u

udV u

ds u n n

ξηζΩ

?Ω

?Γ?-Γ?=-Γ+???????， 即

(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ?ΩΩ??Γ

=Γ--Γ????????

(1.12) (1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ?值与边界

?Ω上u 及n

u

??的值表示.

注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green

第三公式, 需要取011

(,)ln 2P P r

πΓ=

，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，

r =0

P P r =0||P P -=

此时Green 第三公式也成立.

§5?2 Laplace 方程基本解和Green 函数

基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.

5．2.1 基本解

设3

0(,,)P R ξηζ∈，若在点0P

放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)

001

(,,)(,)4P P

u x y z P P r π=Γ=

(2.1) 易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足

0 .u -?= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程

0(,)u P P δ-?= (2.2)

其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.

当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为

0011

(,)ln

2P P

P P r πΓ=

(2.3)

其中0(,)P ξη，2

(,)P x y R ∈，0P P r =同理可证，0(,)P P Γ在平

面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -?=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程

0(,)u P P δ-?= (2.4)

其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.

注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直

接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.

5．2.2 Green 函数 考虑如下定解问题

(,,), (,,) (2.5)

(,,)(,,), (,,) (2.6)

u f x y z x y z u x y z x y z x y z ?-?=∈Ω??

=∈?Ω

?

设0(,,)P ξηζ∈Ω，21

(,,)()()u x y z C C ∈Ω?Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第

三公式可得

(,,)()u u u ds udV n n ξηζ?Ω

Ω

??Γ

=Γ

--Γ???????? (2.7) 在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和

自由项求出，即有

u

ds ds n n ??Ω

?Ω

?Γ?Γ=??????

u d V f d V Ω

Ω

Γ?=-Γ??????

.

而在u

ds n

?Ω

?Γ

???中，u n ??在边界?Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.

注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)u

x y z n

??=?.此时，在方程（2.7）右端第二项u

ds n

?Ω

?Γ

???中，u 在边界?Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.

如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7) 右端第一项u

ds n

?Ω

?Γ

???. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解. 设h 为如下定解问题的解

0,(,,)(2.8)

,(,,)

(2.9)

h x y z h x y z -?=∈Ω??

=-Γ∈?Ω

? 在Green 第二公式中取v h =得

()h u h udV u

h ds n n

Ω

?Ω

??-?=-??????? 或者

0()u h

h

u ds h udV n n ?Ω

Ω

??=--???????? (2.10) 将(2.7)和(2.10)相加得

(,,)()u G u G

u ds G udV n n ξηζ?Ω

Ω

??=--???????? (2.11) 其中0(,)G P P h =Γ+.

由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解

00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)

(2.13)

G P P P x y z G P P P x y z δ-?=∈Ω

??

=∈?Ω?

0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.

由于G 在?Ω上恒为零，由(2.11)可得

(,,)G

u u

ds G udV n ξηζ?Ω

Ω

?=--??????? G

ds GfdV n ?

?Ω

Ω

?=-+??????. (2.14) 因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.

§5?3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题

由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.

5．3.1 半空间上Dirichlet 问题

设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>?Ω==. 考虑定解问题

2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)

u f x y z x y z u x y x y x y R ?-?=∈Ω

??=∈?

设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于?Ω的对称点. 若在0P ，

1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为

0011

1

(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=

其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于?Ω对称，且1P ?Ω，故有

01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P

P δ-?Γ-Γ=∈Ω??

Γ-Γ=∈?Ω? 即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有

001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ

011

114r r π

??=

- ???

14π

??= (3.3)

直接计算可得

3/2

2220

12()()z G G n z

x y ζ

πξηζ?Ω=??=-=-

????-+-+??

(3.4)

将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得

(,,)G

u ds Gfd n ξηζ?

ν?Ω

Ω

?=-+?????? 3/2

222

00

1(,)2()() (,)(,,)x y dxdy

x y G P P f x y z dxdydz

?ζπ

ξηζ∞

∞

-∞-∞

∞

∞∞

-∞-∞

=

??-+-+??

+??

???

上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.

5．3.2 圆域上Dirichlet 问题

设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ?Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题

(,), (,) (3.5)

(,)(,), (,) (3.6)

u f x y x y u x y g x y x y -?=∈Ω??

=∈?Ω

? 设0(,)P ξη∈Ω，1(P ξη为0(,)P ξη关于圆周?Ω的对称点，即2

01,OP OP R =如图3-1所示 . 由于2

01OP OP R =，因此对任意

M ∈?Ω有 01

~OP M OMP ??

R

OP r r M

P M P |

|010=

1P

01

011

||P M

PM

R r OP r =

图3.1

因此有

01

01111ln ln 022||P M PM

R r OP r ππ-= (3.7) 上式说明函数

01001111

(,)ln ln

22||P P P P

R G P P r OP r ππ=

- (3.8) 在?Ω上恒为零. 又由于1P ?Ω，故有

000(,)(,),(,)0,.

G P P P P P G P P P δ-?=∈Ω

??=∈?Ω?

即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.

引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则2

11

00

(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有

000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-

利用余弦定理可得

0P P r =

(3.9)

1P P r =

(3.10)

将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得

22

22200004

22

20002cos()1

(,)ln 42cos()

R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11) 直接计算可得

R

G

G n

ρρ

?Ω

=??=

??

22

22

0001

22cos()

R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12) 记()(cos ,sin )g R R ?θθθ=，则有

00(,)G

u ds Gfd n ρθ?

σ?Ω

Ω

?=-+???? 22

2022

000()()

1

22cos()

R d R R π

ρ?θθπρρθθ-=+--?

- 22222200042220

0002cos()

1(cos ,sin )ln 42cos()

R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπ

ρρρρθθ+--+--??

(3.13)

(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.

注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.

注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].

§5?4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题

5．4.1 一维热传导方程半无界问题

为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题

20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ?-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)??

???

该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.

一维热传导方程的基本解为

224(,)() .

x a t

x t H t -Γ=

(,)x t Γ是如下问题的解

20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)

t xx u a u x t u x x x δ?-=-∞<<∞>?

=-∞<<∞?

相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.

为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ?δξ=-，其中ξ为x 轴正

半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为

x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放

的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为

(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6） 利用叠加原理可得原问题的解为

(,)() (,)u x t G x t d ?ξξξ∞

=-? . (4.7)

若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.

5．4.2 一维波动方程半无界问题 考虑以下齐次方程定解问题

20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)

??

???

一维波动方程的基本解(,)x t Γ为

1

, 2(;) 0, .x at

a x t x at ?

完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为

(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11） 其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为

(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞

=-?. （4.12）

注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为

1

, 2(;) 0, x at

a

x t x at ξξξ?-

类似地有

1

, 2(;) 0, x at

a

x t x at ξξξ?+

将上面两式代入到（4.12）中并整理可得

1(), 0 2(,)1(), 0.2x at

x at

x at

at x

d x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-?-≥??=??-

注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.

注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.

习 题 五

1．设3R Ω?为有界区域，?Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω?Ω. 证明 （1）u udV ds n Ω

?Ω

??=??????

. （2）2

u u udV u

ds u dV n Ω

?Ω

Ω

??=-??????????. 2. 设3R Ω?为有界区域，?Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω?Ω满足下面问题

0, (,,)(,,)0, (,,).

xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ?=++=∈Ω

??

=∈?Ω? 证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将

定解问题中的边界条件换为

0, (,,),u

x y z n

?=∈?Ω?问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？ Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？

3*

设3R Ω?为有界区域，?Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω?Ω满足下面问题

(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ?-?+=∈Ω

??

=∈?Ω?

其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题 （1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ?=∈Ω=∈?Ω证明(,,)0u x y z ≡. （2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),u

x y z n

?=∈?Ω?问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？

4.（1） 验证0?Γ=，0P P ≠，其中

0(,) 3P P n Γ=

=

01(,)22P P n πΓ=

=

（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0, u =

(0,)

1B u n ds δ???=-?

的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为

(0,)B δ?的单位外法向量.

（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且

满足B(0,)

lim ()0, 1r u r u nds δ→∞

?=??=-??

的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的

球形域，n

为(0,)B δ?的单位外法向量.

5． 设2R Ω?有界区域，?Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω?Ω. 证明

(,)()u u u ds ud n n ξησ?Ω

Ω

??Γ

=

Γ

--Γ?????? 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.

6. 设2R Ω?有界区域，?Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ

为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题

(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ?-?=∈Ω

??

=∈?Ω

? 若(,)h x y 是如下定解问题的解

00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ?=∈Ω

??

=-Γ∈?Ω?

证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω?Ω，则有

(,)G

u ds Gfd n ξη?

σ?Ω

Ω

?=-+????， 其中G h =Γ+.

7. 设3R Ω?有界区域，?Ω充分光滑, 考虑定解问题

(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z u

x y z x y z n

?-?=∈Ω

??

??=∈?Ω??? 证明该问题可解的必要条件为

0f dV ds ?Ω

?Ω

+=?????.

8*

证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足 02001

0(,), (,),0, .4P P

G P P x y R z P P r π<<

∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果. 9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题

0, (,),0

(,0)(), (,).u x y u x x x ?-?=∈-∞∞>??

=∈-∞∞?

10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数. （1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.

11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题

0,(,)(,)(,), (,).

u x y u x y x y x y ?-?=∈Ω

??

=∈?Ω? 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.

12*

求解定解问题

0,(,,)(,,)(,,),(,,).

u x y z u x y z g x y z x y z -?

=∈Ω??=

∈?Ω?

其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ?=++Ω==∈++<.

13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题

(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.

k k k u f x y x y u x y g x y x y k -?=∈Ω

??

=∈?Ω=? 利用Poisson 公式证明

2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈?Ω

14*

证明在广义函数的意义下，11

(,0)ln 2P r

πΓ= 满足 ()()u x y δδ-?=， 其中

xx yy r u u u =?=+.

15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题

0, (,)(,)(,),(,) .

u x y u x y g x y x y -?=∈Ω

??

=∈?Ω? 如果(,)g x y 在?Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.

16*

设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ?Ω. 证明调和函数的平均值公式

00002(,)

(,)

1

1

(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ?=

=

??? 17*

[极值原理]设2R Ω?有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω?Ω为Ω 内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.

18*

[极值原理]设2R Ω?有界区域，边界?Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω?Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界?Ω上达到.

19*利用第12题的结果,建立在3R Ω?内调和函数的平均值公式，并证明和

第16题类似的结果.

20*

设2R Ω?有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω?Ω∈?Ω=满足

(,), (,)(,)(,),(,)

k k k u f x y x y u x y g x y x y -?=∈Ω

??

=∈?Ω? 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈?Ω.

21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ?ψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ?ψ在区域D 内调和.

22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.

（2）求下面定解问题的一个解

0, 0,0

(,0)0,0, (0,)10,0.

xx yy u u x y u x x u y y +=>>??

=>=>? 23*

求下面定解问题的一个解

22

22

0, 1

(,)0,0, (,)1,0, 1.

xx yy u u x y u x y y u x y y x y ?+=++=?? 24. 求下面定解问题的一个解

0, 0<(,0)0, (,)1, 0.

xx yy u u y x

u x u x x x +=

==>? 25. 求下面定解问题的一个解

0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x R

u x x u x x ππ+=∈

=∈??=<=>?

26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2

R

B Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边

界上非负，证明以下结果

（1）(,),x y ?∈Ω有

(0,0)(,)(0,0),R r R r

u u x y u R r R r

-+≤≤+-

其中r = （2）存在常数0M > 使得 1

1

max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤