2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线
()=y f x 的拐点的个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】(C )
【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211
()23
=
+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( )
(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c
【答案】(A )
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知,212x e 、13
x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )
(3) 若级数
1
∞
=∑n
n a
条件收敛,则
=
x 3=x 依次为幂级数1
(1)∞
=-∑n n n na x 的 ( )
(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B )
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。 【解析】因为
1
n
n a
∞
=∑条件收敛,即2x =为幂级数
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑的条件收敛点,所以
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收
敛区间还是(0,2)。
因而x =
3x =依次为幂级数1
(1)n n n na x ∞
=-∑的收敛点,发散点.故选(B )。
(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =
,y =围成的平面区
域,函数(),f x y 在D 上连续,则
(),D
f x y dxdy =?? ( )
(A)
()1
3sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r rdr π
θπθ
θθθ??
(B)
(
)34
cos ,sin d f r r rdr π
πθθθ? (C)
()13sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r dr π
θπθ
θθθ??
(D)
(
)34
cos ,sin d f r r dr π
πθθθ?
【答案】(B )
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形,
所以
(,)D
f x y dxdy =??
34
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ?,故选(B )
(5) 设矩阵21111214A a a ??
?= ? ???,21b d d ?? ?= ? ???
,若集合{}1,2Ω=,则线性方程组Ax b =有
无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D
【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a
d a d a d a a d d ????
? ?=→-- ? ? ? ?----?
???,
由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =。故选(D )
(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222
1232+-y y y ,其中
()123,,=P e e e ,若()132,,=-Q e e e ,则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准
形为 ( )
(A) 222
1232-+y y y (B) 222
1232+-y y y
(C) 222
1232--y y y (D) 222
1232++y y y
【答案】(A)
【解析】由x Py =,故222
123
()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.且 200010001T P AP ??
?
= ?
?-??. 100001010Q P PC
?? ?
== ? ?-??
200()010001T T T Q AQ C P AP C ??
?
==- ?
???
所以222
123
()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+。选(A ) (7) 若A,B 为任意两个随机事件,则 ( )
(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()
()2
P A P B P AB +≤ (D) ()()()2≥P A P B P AB
【答案】(C)
【解析】由于,AB A AB B ??,按概率的基本性质,我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤,从而()()
()2
P A P B P AB +≤
,选(C) .
(8)设随机变量,X Y 不相关,且2,1,3===EX EY DX ,则()2+-=????E X X Y ( )
(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)
【解析】2
2
[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-
2
()()()()2()D X E X E X E Y E X =++?- 23221225=++?-?=,选(D) .
二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 2
0ln cos lim _________.x x
x →=
【答案】1
2
-
【分析】此题考查0
型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换.
【解析】方法一:2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222
x x x x
x x x x x x →→→--===-(罗比达法则) 方法二:2
222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2
x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====-(等价无穷小替换) (10)
2
2sin ()d ________.1cos x x x x π
π-+=+?
【答案】2
π4
【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
【解析】22
2
02sin 2.1cos 4x x dx xdx x π
π
ππ-??+== ?+?
???
(11)若函数(,)=z z x y 由方程ez+xyz+x+cosx=2确定,则(0,1)
d ________.z =
【答案】dx -
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令(,,)cos 2z
F x y z e xyz x x =+++-,则
(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+
又当0,1x y ==时1z
e =,即0z =.
所以
(0,1)
(0,1)
(0,1,0)
(0,1,0)1,
0(0,1,0)(0,1,0)
y x z z F F z z
x
F y
F ''??=-
=-=-
=''??,因而(0,1)
.dz
dx =-
(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面所围成的空间区域,则
(23)__________.x y z dxdydz Ω
++=???
【答案】
14
【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性,得
1
(23)66z
D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy Ω
Ω
++==???????
??,
其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面,其面积为
21
(1)2
z -.所以 1
1232
0011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ
++==?-=-+=???????? (13) n 阶行列式2002
1202
___________.00220
012
-=-L L M M O
M M L L
【答案】1
2
2n +-
【解析】按第一行展开得
11112002120
2
2(1)2(1)22
0220
012
n n n n n D D D +----==+--=+-L L L
L L
221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L
122n +=-
(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ,则{0}________.P XY Y -<= 【答案】
1
2
【解析】由题设知,~(1,1),~(0,1)X N Y N ,而且X Y 、相互独立,从而
{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>
11111{1}{0}{1}{0}22222
P X P Y P X P Y =><+<>=
?+?=. 三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ,3
()=g x kx ,若()f
x 与()g x 在
0→x 是等价无穷小,求,,a b k 的值.
【答案】,,.a b k =-=-=-1
1123
【解析】法一:原式()3
ln 1sin lim
1x x a x bx x
kx
→+++=(泰勒展开法) ()()233333
0236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →????+-+++-+ ? ?
????==
()()2343
3
1236
lim
1x a a b a x b x x x o x kx →??++-
+-+ ??
?==
即10,0,123a a
a b k +=-
== 11
1,,23
a b k ∴=-=-=-
(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,由线()=y f x 在点
()()0
,x f x 处的切线与直线0
x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4,且()02f =,求()
f x 的表达式.
【答案】f x x
=
-8
()4. 【解析】设()f x 在点()()
00,x f x 处的切线方程为:()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =,得到()
()
000f x x x f x =-
+',
故由题意,
()()00142f x x x ?-=,即()()()
0001
42f x f x f x ?=',可以转化为一阶微分方程,
即2
8
y y '=, dxdy=8y2,两边同时积分可得x=-8y+c ,将f0=2,代入上式可得c=4
即()8
4
f x x =
-+.
(17)(本题满分10分)
已知函数(),=++f
x y x y xy ,曲线C :223++=x y xy ,求(),f x y 在曲
线C 上的最大方向导数. 【答案】3
【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模.
()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+,
故(){},1,1gradf x y y x =++
,
此题目转化为对函数
(),g x y =在约束条件2
2
:3C x y xy ++=下的最大值.
即为条件极值问题.
为了计算简单,可以转化为对()()2
2
(,)11d x y y x =+++在约束条件2
2
:3C x y xy ++=下的最
大值.
构造函数:()()()()
2
2
2
2
,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-
()()()()22
2120212030
x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'?=+++=?
'=+++=??'=++-=?,得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----.
()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====
3=. (18)(本题满分 10 分)
(I )设函数()()u x ,v x 可导,利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()
(II )设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导,n f x u x u x u x =L 12()()
()(),写出()f x 的求导公式.
【解析】(I )0()()()()
[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h
→++-'=
0()()()()()()()()
lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h
→++-+++-=
00()()()()
lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h
→→+-+-=++
()()()()u x v x u x v x ''=+ (II )由题意得
12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L
121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L (19)(本题满分 10 分)
已知曲线L
的方程为,
z z x ?=??=??
起点为()
A
,终点为()
0,B ,计算
曲线积分()()2
222d d ()d L
I y z x z
x y y x y z =
++-+++?.
π
【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ
=??=??=?
,ππ
:22θ→-
π22
π2
[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ-
-++++?
π222
π2
sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-
=+++?
π220
sin d π2
θθ==
(20) (本题满11分)
设向量组1,23,ααα内3R 的一个基,113=2+2k βαα,22=2βα,()313=++1k βαα. (I )证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;
(II )当k 为何值时,存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同,并求所有的
ξ
.
【答案】
【解析】(I)证明:
()()()
()12313213123,,2+2,2,+1201,,0
20201k k k k βββαααααααα=+??
?
= ? ?+?
?
2
0121
2
2
4021
201
k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3
R 的一个基. (II )由题意知,
112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠
即
()()()1112223330,
0,1,2,3
i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=
()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解
即13213+2,,+0k k ααααα=
即1
01
10020k k
=,得k=0
11223121300,0
k k k k k k ααα++=∴=+=
11131,0k k k ξαα=-≠
(21) (本题满分11 分)
设矩阵02313312a -?? ?=-- ? ?-??A 相似于矩阵12000031b -?? ?
? ???
B =.
(I)
求,a b 的值;
(II )求可逆矩阵P ,使1
-P AP 为对角矩阵.. 【解析】(I) A~B ,可得a+3=b+2
23120
1
330
01
2
31
--=?--=-A B b a
14
235-=-=??∴???
-==??
a b a a b b (II)
023100123133010123123001123A E C ---?????? ? ? ?
=--=+--=+ ? ? ? ? ? ?--??????
()123112*********---???? ? ?
=--=-- ? ? ? ?-????
C
C 的特征值1230,4λλλ===
0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T
A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C
令123231(,,)101011ξξξ--?? ?
==- ? ???P ,
1115-?? ?
∴= ? ???
P AP
(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,
0,
0.x
x f x x -?>?=?≤??
对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数。 (I)求Y 的概率分布; (II)求EY
【解析】(I)记p 为观测值大于3的概率,则3
13228
()ln x
p P X dx +∞
-=>=
=?, 从而Y 的概率分布为:12
221
171188
n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()(),23,,n =L (II):
EY=n=2∞n?PY=n=n=2∞n?(n -1)?(18)2?(78)n -2=164n=2∞n?(n -1)?(78)n -2 令:
Sx=n=2∞n?(n -1)?xn -2 -1 Sx=n=2∞n?(n -1)?xn -2=(n=2∞xn)''=(x21-x)''=(-1-x+11-x)''=2(1-x)3 所以:EY=164?S78=16 (23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为: x f x θθθ ?≤≤? =-??? 1 ,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数,12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I) 1 1112 ()(;)E X xf x dx x dx θ θ θθ+∞ -∞ += =? = -? ?, 令()E X X =,即12 X θ+=,解得$1 121n i i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量; (II) 似然函数1()(;)n i i L f x θθ== ∏, 当1i x θ≤≤时,11111()()n n i L θθ θ== =--∏,则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而 dln d 1L n θθθ =-(),关于θ单调增加, 所以$12min n X X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量。 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题P 2015年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C ) 2.设211 23 ()x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解,则 (A )321,,a b c =-==- (B )321,,a b c ===- (C )321,,a b c =-== (D )321,,a b c === 【详解】线性微分方程的特征方程为2 0r ar b ++=,由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根.如果21r =不是特征方程的实根,则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ,其中()Q x 应该是一个零次多项式,即常数,与条件不符,所以21r =也是特征方程的另外一个实根,这样由韦达定理可得 213212(),a b =-+=-=?=,同时*x y xe =是原来方程的一个解,代入可得1c =-应该选(A ) 3.若级数 1 n n a ∞ =∑ 条件收敛,则3x x ==依次为级数 1 1() n n n na x ∞ =-∑的 (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的 收敛为1,即11lim n n n a a +→∞=,所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,) ,显然3x x ==依次为收敛点、发散点,应该选(B ) 4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy == 与直线,y x y ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由()f x ''的图形可知,曲线()y f x =存在两个拐点,故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则() (A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解,所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根,从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得: 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛,则x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的: (A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞=∑条件收敛,故2x =为幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为()0,2,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2,因而x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛 点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则 (,)D f x y dxdy =?? (A ) 12sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? (C ) 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得,4 π θ= ;由y =得,3 π θ= 由21xy =得,2 2cos sin 1, r r θθ== 由41xy =得,2 4cos sin 1, r r θθ== 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ; ; ; , 因此(D)是收敛的。 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限,直接有 , 在处无定义, 且所以是的可去间断点,选B。 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出 再有 于是,存在此时. 当,, = 因此,在连续。选A 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续,其 二阶导函数的图形如右图所示, 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续,除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧,对应的点就是的拐点。 虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域,函数在 D上连续,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的 拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则() (A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛,则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的: (A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则 (,)D f x y dxdy =?? (A ) 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? (C ) 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 考研数学真题及解析 与 x = 3 依次为幂级数∑ n a (x -1) 的 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸. 指定位置上. (1) 设函数 f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续,其中二阶导数 f ''(x ) 的图形如图所示,则曲 线 y = f (x ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设 y = 1 e 2 x + (x - 1 )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3 y '' + ay ' + by = ce x 的一个特解,则 ( ) (A) a = -3, b = 2, c = -1 (B) a = 3, b = 2, c = -1 (C) a = -3, b = 2, c = 1 (D) a = 3, b = 2, c = 1 (3) 若级数 ∑ a n 条件收敛,则 x = n =1 ∞ n n n =1 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1, 4xy = 1与直线 y = x , y = 面区域,函数 f ( x , y ) 在 D 上连续,则 ?? f ( x , y ) dxdy = D 3x 围成的平 ( ) ∞ 3 ?π ? ?π ?π ? ?π 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (A) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (B) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (C) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ (D) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ ?1 1 1 ? ?1 ? (5) 设矩阵 A = 1 2 a ? , b = d ? ,若集合Ω= {1, 2},则线性方程组 ? ? 1 4 a 2 ? d 2 ? ? ? ? ? Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a ?Ω, d ?Ω (B) a ?Ω, d ∈Ω (C) a ∈Ω, d ?Ω (D) a ∈Ω, d ∈Ω (6) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换为 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2 , 其中 P = (e 1 , e 2 , e 3 ) 下的标准形为 ( ) ,若Q = (e 1 , -e 3 , e 2 ) ,则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy (A) 2 y 2 - y 2 + y 2 (B) 2 y 2 + y 2 - y 2 (C) 2 y 2 - y 2 - y 2 (D) 2 y 2 + y 2 + y 2 (7) 若 A,B 为任意两个随机事件,则 ( ) (A) (C) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) 2 (B) (D) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) 2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是() (A ) 2 +∞ ? (B )2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内() (A )连续 (B )有可去间断点 (C )有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>,若()f x '在0x =处连续,则() (A )1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续,其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为() (A )0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ,满足22 (,)y f x y x y x +=-,则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是() (A ) 12,0 (B)0,12(C )-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域,函数 (,)f x y 在D 上连续,则(,)D f x y dxdy ??=() (A ) 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (C ) 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7).设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???,b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2,则线性方程组Ax b =有无穷多个解的 充分必要条件为() (A ),a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e ),若 132(,,)Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为( ) (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则 (10)函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = (11)设函数()f x 连续,2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=,'(1)5?=,则(1)f = (12)设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解,且在0x =处()y x 取值3,则()y x = (13)若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定,则(0,0)dz = (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1,2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵,则行列式B = 三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++,2 ()g x kx =,若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小, Page 1 of 102015年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.下列反常积分收敛的是( ) (A ) (B ) (C ) (D )2? 2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛,所以(A )是发散的;21p dx x +∞? 1p >2+∞?(B )是发散的;22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? (C )是发散的;221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞?事实上,对于(D ),应该选(D ).22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?2.函数在内( )2 01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ??? (,)-∞+∞(A )连续 (B )有可去间断点(C )有跳跃间断点 (D )有无穷间断点 【详解】220010 sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义,而,所以应该选(B ).0x =00 1lim ()lim x x x f x e →→==3.设函数 ,若在处连续,则( )100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ()f x '0x =(A ) (B ) (C ) (D )1αβ->01αβ<-≤2αβ->02 αβ<-≤【详解】当时,,当时,,0x >1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ ++--+→→''=== 2015年考研数学一真题及答案解析 2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数 () ''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个 数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). 3 (2)设211()23 =+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微 分方程 '''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1 =-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1 ===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程 20 r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为 32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A ) (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛,则 = x 3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B ) 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛,即2x =为幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收 敛区间还是(0,2)。 因而x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的收敛点,发散点.故选(B )。 (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x = ,y =围成的平面区 域,函数(),f x y 在D 上连续,则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? 【答案】(B ) 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形, 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确; D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件,拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点,根据拐点的定义,即凹凸性改变的点;二阶导函数 ()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知,拐点个数为2,故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则 https://www.360docs.net/doc/5019035970.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ; ; ; , 因此(D)是收敛的。 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限,直接有 , 在处无定义, 且所以是的可去间断点,选B。 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数, ().若在处连续,则 (A) (B) (C) (D)【答案】A https://www.360docs.net/doc/5019035970.html,/ 【解析】易求出 , 再有 不存在,, 于是,存在,此时. 当时,, = 不存在,, 因此,在连续。选A 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续,其 二阶导函数的图形如右图所示, 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续,除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧 异号,对应的点就是的拐点。 虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足,则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,21 2x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A ) 2015年考研数学一真题及答案(完整版) 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1 为特征方程2 0r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为 32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A ) (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛,则 3=x 与3=x 依次为幂级数 1 (1) ∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B ) 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛, 即2x =为幂级数1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛 区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点,发散点.故选(B ). (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,3y x =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin214 2sin2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθθθθ?? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? 【答案】(B ) 2015年考研数学(一)试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解, 所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A ) (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛,则 3= x 与3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点,收敛点 2015年考研数学一真题 一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分. 1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图 所示,则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 (A )0(B )1(C )2(D )3 【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C ) 2.设211 23 ()x x y e x e = +-(A )321,,a b c =-==-(B )a =(C )321,,a b c =-==(D )3a =【 21=即得 a x xe =是原来方程的一个解,代入可得1c =-应该选(A ) 3 =依次为级数1 1()n n n na x ∞ =-∑的 (A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为1, 即11lim n n n a a +→∞=,所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,),显然3x x ==依次为收敛点、发散点,应该选(B ) 4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上 连续,则 (,)D f x y dxdy =??() 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题: 1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ... (1) 设函数 f ( x)在,内连续,其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示,则曲线 y f ( x)的拐点的个数为() (A)0(B)1(C)2(D)3 【答案】(C) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函 数异号。因此,由f(x) 的图形可得,曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选( C) . (2) 设y 1 e2x(x1)e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一 23 个特解,则() (A)a3,b2, c1 (B)a3, b2, c1 (C)a3,b2, c1 (D)a3, b2, c 1 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此 类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 1 e 2 x、1e x为二阶常系数齐次微分方程y ay by 0 的解,所以【解析】由题意可知, 2,1 23 为特征方程 r 2ar b 0 的根,从而a (12)3,b 1 2 2 ,从而原方程变为 y 3y 2 y ce x,再将特解 y xe x代入得c1.故选(A) (3) 若级数a n条件收敛,则x 3 与x 3 依次为幂级数na n ( x1)n的() n 1n 1 (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【答案】(B ) 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。 【解析】因为a n条件收敛,即 x 2 为幂级数a n ( x 1) n的条件收敛点,所以a n ( x 1)n n 1n 1n 1 的收敛半径为1,收敛区间为(0, 2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故na n (x 1)n的收 n 1 敛区间还是 (0, 2)。因而 x3与 x 3 依次为幂级数na n ( x 1)n的收敛点,发散点.故选(B)。 n 1 (4) 设D是第一象限由曲线 2 xy 1, 4 xy 1与直线 y x ,y3x 围成的平面区 域,函数 f x, y在 D 上连续,则f x, y dxdy() D 1 (A)3d sin2f r cos , r sin rdr 1 42sin2 1 (B)3d sin 2f r cos, r sin rdr 1 42sin 2 1 (C) 3 d sin2f r cos, r sin dr 1 42sin 2 1 (D) 3 d sin2f r cos , r sin dr 1 42sin 2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的 拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由()f x ''的图形可知,曲线()y f x =存在两个拐点,故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则() (A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解,所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根,从而 ()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得: 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛,则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的: (A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛,故2x =为幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为()0,2,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2, 因而x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则 (,)D f x y dxdy =?? (A ) 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? (C ) 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得,4 π θ= ;由y =得,3 π θ= 由21xy =得,2 2cos sin 1, r r θθ==2015年考研数学一真题与解析
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