线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥=++≤++≥++++=无约束
3213213213213
21,0,5343
32243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0
,0,8374355
22365max 3213213213213
21x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束
(3)⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====)
,,1;,,1(0)
,,1(),,1(min 1
111n j m i x n j b x m i a x x c z ij m
i j ij n
j i ij m
i ij
n
j ij (4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1()
,,1(min 1
211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij n
j i j ij n
j j
j 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么?
(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；
(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322
326532min 432143214
321 j x x x x x x x x x x x x x z j
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
5. 给出线性规划问题
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≤≥≥++=+-≤-+++=无约束
321321321321321,0,0221222max x x x x x x x x x x x x x x x z (1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值z ≤1。
6. 已知线性规划问题
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0,,122
max 3
213213212
1x x x x x x x x x x x z
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。 7. 给出线性规划问题
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=)
4,,1(09
6628342max 3
21432214214321 j x x x x x x x x x x x x x x x x z j
要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *
=(2,2,4,0)，试根据对
偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
8. 已知线性规划问题A 和B 如下：
问题A 问题B
()
⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤=∑∑∑∑====n j x y b x a y b x a y b x a x c z j n
j j j n
j j j n
j j j n
j j
j ,,10max 3133212
21
1111 对偶变量
()
⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥+≤+≤≤=∑∑∑∑====n j x y b b x a a y b x a y b x a x c z j n
j j j j n j j
j n
j j j n
j j
j ,,10ˆ3)3(ˆ51
51ˆ55max 311313212211
1
11
对偶变量
试分别写出i y
ˆ同)3,2,1(=i y i 间的关系式。 9. 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≥+≥+++=)3,2,1(05
223318124min 32213
21j x x x x x x x x z j
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≥++≥++++=)3,2,1(010*********min 3214213
21j x x x x x x x x x x z j
10. 考虑如下线性规划问题：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥≥++≥++≥++++=)3,2,1(03222434223804060min 321321321321j x x x x x x x x x x x x x z j
要求：(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题；(3)用单纯形法求解其对偶问题；(4)对比(2)与(3)中每步计算得到的结果。
11. 已知线性规划问题：
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≤+-≤+++-=)3,2,1(0426
2max 22321321j x x x x x x x x x z j
先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。
(1)目标函数变为max z ＝2x 1+3x 2+x 3；
(2)约束右端项由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛46变为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛43。
(3)增添一个新的约束条件-x 1+2x 3≥2。
12. 给出线性规划问题
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=≥≤++≤++++=)3,2,1(03
37343
1
131313132max 221321321j x x x x x x x x x x z j 用单纯形法求解得最终单纯形表见下表。
(1)目标函数中变量x 3的系数变为6；
(2)分别确定目标函数中变量x l 和x 2的系数c 1、c 2在什么范围内变动时最优解不 变；
（3）约束条件右端项由⎪⎪⎭⎫
⎝⎛31变为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛32；
（4）增加一个新的变量7,11,666=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=c P x ；
(5)增添一个新的约束x 1+2x 2+x 3≤4。
13. 分析下列线性规划问题中，当且变化时最优解的变化，并画出z (λ)对λ的变化关系图。
()
()
()()()()()
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≥≤-≤+≤+=≥=++=++++--=+-+=2,10112610524,105322223max 22min 1212121421431214321j x x x x x x x j x x x x x x x x x z x x x x z j j λλλλλ
()
()()
()()()
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≥-≤++≤+-≤++=≥+-=+--=--++=+++=3,2,107304260234024,10122523max 42min 321313214324313214321j x x x x x x x x j x x x x x x x x x x z x x x x z j j λλλλλλλ
14. 某厂生产A ，B ，C 三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。要
求：(1)确定获利最大的产品生产计划；(2)产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；(3)如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产?(4)如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜。
15.已知线性规划问题
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥+=++++=++++++++=)5,...,1(0300)(max 225323222121214313212111543322111j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a x x x c x c x t c z j
当021==t t 时求得解最终单纯形表进见下表。
（1）确定232221*********,,,,,,,,a a a a a a c c c 和21,b b 的值； （2） 当02=t 时，1t 在什么范围内变化上述最优解不变； （3）当01=t 时，2t 在什么范围内变化上述最优基不变；
16．某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂有工人100人，每天白坯纸的供应量为30000kg 。如单独生产各种产品时，每个工人每天可生产原稿纸30捆，或日记纸30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸313
kg, 每打日记本用白坯纸3
1
13kg, 每箱练习本用白坯纸 3
2
26kg 。 已知生产各种产品的赢利为：每捆原稿纸1元，每打日记本2元，每箱练习本3元。试决定：（1）在现有生产条件下使该厂赢利最大的方案；（2）如白坯纸供应量不变，而工人数量不足时可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天15元。问该厂应否招临时工及招收多少人为宜。
线性规划问题及灵敏度分析
实验一 线性规划问题及灵敏度分析 实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容，掌握操作命令。用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和参数分析的操作方法。 实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时 实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑 实验类型：验证性 实验内容： 一、 用WinQSB 软件求解线性规划的方法： 操作步骤： 1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。 2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。 3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动生成在系统程序中。 4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。 5．求解线性规划。启动程序 开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。 6．学习例题 点击File→Load Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。用图解法求解，显示可行域，点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。 下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。 用WinQSB 软件求解下列线性规划问题： 1234max 657Z x x x x =+++ s.t. 12341 2341231234 31234 269260852150 730001020 ,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤⎧⎪-+-≥⎪⎪++=⎪ -≥⎨⎪-≥⎪≤≤⎪⎪≥⎩无约束 解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。 （1）启动线性规划（LP ）和整数规划（ILP ）程序 点击开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming ，显示线性规划和整数规划工作界面（注意菜单栏、工具栏和格式栏随主窗口内容变化而变化）。这一程序解决线性规划（LP ）以及整数线性规划（ILP ）问题。
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法灵敏度分析与对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与 对偶课后习题解析 《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对 偶课后习题解析 《管理运筹学》第四版课后习题解析 第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶 1(解： (l)cl?24 ⑵ c2?6 (3)cs2?8 2(解： (1)cl??0.5 (2)?2?c3?0 (3)cs2?0.5 3(解： (1)bl?250 (2)0?b2?50 (3)0?b3?150 4(解： (1)bl??4 (2)0?b2?10
(3)b3?4 最优基矩阵和其逆矩阵分别为:B??? 最优解变为xl?10??10??l??, B????41??;41?????x2?0, x3?13,最小值变为-78; ?0, x2?14, x3?2,最小值变为-96;最优解没有变化;最优解变为xl 6(解： ⑴利润变动范围cl?3,故当cl=2时最优解不变。 ⑵根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 (3)0?b2?45o (4)最优解不变，故不需要修改生产计划。 (5)此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生产计划没有影响。 7.解： ⑴设xl,x2,x3为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为 max z?2.5xl?2x2?3x3 约束条件:8xl?16x2?10x3?350 10xl?5x2?5x3?450 2xl?13x2?5x3?400 xl,x2,x3?0 解得三种食品产量分别为xl?43.75,x2?x3?0,这时厂家获利最大为109.375万 ye© (2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加
第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题key
i i i i 第二章 线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题 1. 判断下述说法是否正确 (1) 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。 (2) 线性规划原问题的对偶问题的对偶是原问题本身。 (3) 原问题的任一可行解对应的目标函数值都不超过其对偶问题的任一可行解对应的目标函数值。 (4) 已知对偶问题的最优解中， y * > 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第i 种资源已完全消 耗殆尽。 (5) 已知对偶问题的最优解中， y * = 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第 i 种资源一定未 完全消耗。 (6) 影子价格就是市场价格。 (7) 若第 i 种资源的影子价格为 y * > 0 ，则在保持原问题中其它条件不变时，在资源最优配置下，当第i 种资源增加10个单位时，最优值将一定增加10 y * . (8) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值 小于0外，该行其余元素全部大于或等于0，则可以判断该线性规划问题无最优解。 (9) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部小于或等于0，则可以判断该线性规划问题的对偶问题无最优解。 (10)线性规划的原问题和其对偶问题的最优值如果存在，则必然相等。 (11)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅某一非基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。 (12)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。 (13)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一非基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。 (14)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。 (15)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某种资源的数量变化时，线性规划问题的最优值一定改变。 2. 简述影子价格的经济含义。 3. Min ω=2x 1＋3x 2＋5x 3＋6x 4 x 1＋2x 2＋3x 3＋ x 4 ≥ 2 －2x 1＋ x 2－ x 3＋3x 4 ≤－3 x j ≥0, j =1,2, …,4 (1) 写出其对偶问题。 (2) 求解其对偶问题。 (3) 利用对偶性质求原问题的解。 4. 某企业生产A
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析 第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶 1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤8 2．解： （1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.5 3．解： （1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤150 4．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥4 5. 解： 最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-14011 B ； 最优解变为130321 ===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321 ===x x x ，，，最小值变为-96； 6．解： （1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。 （2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 （3）0≤b 2≤45。 （4）最优解不变，故不需要修改生产计划。 （5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。 7. 解：
(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为 ,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件： 解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。 (2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
线性规划习题答案
习题一P .36 1. 一个毛纺厂用羊毛和兔毛生产A,B,C 三种混纺毛料,生产1单位产品需要的原料如下表所示.三种产品的单位利润分别是4,1,5.每月可购进的原料限额为羊毛8000单位,兔毛3000单位,问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润? 解：设生产A,B,C 三种产品的量分别是123,,x x x ，则模型为 123123123123 max 4538000 ..243000,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪ ++≤⎨⎪≥⎩ 2. 某饲料厂生产的一种饲料由6种配料混合配成.每种配料中所含营养成分A,B 以及单位配料购入价由下表所示.每单位饲料中至少含9单位的A,19单位的B.问饲料厂如何配方,使得饲料成本最低且满足要求?
解：设每单位饲料中每种配料所需的量为()1,2,3,4,5,6i x i =，则有 1234561345623456123456 min 3530605027122229..33219,,,,,0z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x =+++++++++≥⎧⎪++++≥⎨⎪≥⎩ 4. 某产品的一个完整单位包括四个A 零件和三个B 零件.这两种零件(A 和B)由两种不同的原料制成,而这两种原料可利用的数量分别是100单位和200单位.三个车间进行生产,而每个车间制造零件的方法各不相同.下表中给出每个生产班组的原料耗用量和每一种零件的产量.目标是要确定每一个车间的生产班组数使得产品的配套数达到最大. 解：设每个车间的生产组数分别为123,,x x x ，则可生产 ()()123123768594min ,43x x x x x x y ++++⎧⎫ =⎨⎬⎩⎭ 个单位产品，则线性规划如 下：
第二章对偶理论与灵敏度分析练习题答案
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；(✓) (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；(✗) (3) 设j ˆ x ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1ˆˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；(✓) (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；(✓) (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；(✓) (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；(✗) (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；(✗) (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；(✓) (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；(✗) (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。(✓) 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 要求：(1) (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价2.5购入第一种资源是否值得，为什么？若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么？
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题 1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。 (1)⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥=++≤++≥++++=无约束 3213213213213 21,0,5343 32243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0 ,0,8374355 22365max 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束 (3)⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪ ⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====) ,,1;,,1(0) ,,1(),,1(min 1 111n j m i x n j b x m i a x x c z ij m i j ij n j i ij m i ij n j ij (4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1() ,,1(min 1 211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij n j i j ij n j j j 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； (4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题 1、对偶问题的对偶问题是（）。 正确答案：原问题 2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。 正确答案：= 3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。 正确答案：<= 4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。 正确答案：= 5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。 正确答案：min=Yb YA>=c Y>=0 6、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。 正确答案：对偶变量 7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。 正确答案：AT 8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…
n)，则原问题（）。 正确答案：无解 二、选择题 1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。 A. “≥” B. “≤” C. “>” D. “=” 正确答案：A 2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。 A.W﹡=Z﹡ B.W﹡≠Z﹡ C.W﹡≤Z﹡ D.W﹡≥Z﹡ 正确答案：A 3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。 A.该资源过剩 B.该资源稀缺 C.企业应尽快处理该资源 D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径
正确答案：B 4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。 A.≥ B.≤ C. > D. = 正确答案：A 5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。 A.正则解 B.最优解 C.可行解 D.可行解 正确答案：A 6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。 A.该资源过剩 B.该资源稀缺 C.企业应尽快处理该资源 D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径 正确答案：B 7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量） ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量 的检验数 （标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将 的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解
将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 ，说明在最优生产计 划中，第 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 ，说明在最优生产计 划中，第 种资源一定还有剩余。
8．对于 来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为 ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加 个单位，相应的目标函数值增加 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 ，且 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题 （1） （2） ；
线性规划的灵敏度分析试题
线性规划的灵敏度分析试题 一、填空题 1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。 2、在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到的性质是_可行性，正则性。 3．在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起该非基变量自身的检验数的变化。 4．如果某基变量的目标系数的变化范围超过其灵敏度分析容许的变化范围，则此基变量应出基。 5．约束常数b；的变化，不会引起解的正则性的变化。 6．在某线性规划问题中，已知某资源的影子价格为Y1，相应的约束常数b1，在灵敏度容许变动范围内发生Δb1的变化，则新的最优解对应的最优目标函数值是Z*+y i△b(设原最优目标函数值为Z﹡) 7．若某约束常数b i的变化超过其容许变动范围，为求得新的最优解，需在原最优单纯形表的基础上运用对偶单纯形法求解。 8．已知线性规划问题，最优基为B，目标系数为C B，若新增变量x t，目标系数为c t，系数列向量为Pt，则当C t≤C B B－1P t时，x t不能进入基底。 9．如果线性规划的原问题增加一个约束条件，相当于其对偶问题增加一个变量。 10、若某线性规划问题增加一个新的约束条件，在其最优单纯形表中将表现为增加一行，一列。 11．线性规划灵敏度分析应在最优单纯形表的基础上，分析系数变化对最优解产生的影响12．在某生产规划问题的线性规划模型中，变量x j的目标系数C j代表该变量所对应的产品的利润，则当某一非基变量的目标系数发生增大变化时，其有可能进入基底。 二、单选题 1．若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则C。 A．该基变量的检验数发生变化B．其他基变量的检验数发生变化C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化 2．线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对D的影响。 A．正则性B．可行性C．可行解D．最优解 3．在线性规划的各项敏感性分析中，一定会引起最优目标函数值发生变化的是B。 A．目标系数c j的变化B．约束常数项b i变化C．增加新的变量 D．增加新约束 4．在线性规划问题的各种灵敏度分析中，B_的变化不能引起最优解的正则性变化。 A．目标系数B．约束常数C．技术系数D．增加新的变量E．增加新的约束条件 5．对于标准型的线性规划问题，下列说法错误的是C A．在新增变量的灵敏度分析中，若新变量可以进入基底，则目标函数将会得到进一步改善。B．在增加新约束条件的灵敏度分析中，新的最优目标函数值不可能增加。C．当某个约束常数b k增加时，目标函数值一定增加。D．某基变量的目标系数增大，目标函数值将得到改善 6.灵敏度分析研究的是线性规划模型中最优解和 C 之间的变化和影响。 A 基 B 松弛变量 C原始数据 D 条件系数 三、多选题 1．如果线性规划中的c j、b i同时发生变化，可能对原最优解产生的影响是_ ABCD. A．正则性不满足，可行性满足B．正则性满足，可行性不满足C．正则性与可行性都满足D．正则性与可行性都不满足E．可行性和正则性中只可能有一个受影响 2．在灵敏度分析中，我们可以直接从最优单纯形表中获得的有效信息有ABCE。 A．最优基B的逆B-1B．最优解与最优目标函数值C．各变量的检验数D．对偶问题的解E．各列向量 3．线性规划问题的各项系数发生变化，下列不能引起最优解的可行性变化的是ABC_。A．非基变量的目标系数变化 B．基变量的目标系数变化C．增加新的变量D，增加新的约束条件 4．下列说法错误的是ACD A．若最优解的可行性满足B-1b≥0，则最优解不发生变化B．目标系数c j发生变化时，解的正则性将受到影响C．某个变量x j的目标系数c j发生变化，只会影响到该变量的检验数的变化D．某个变量x j的目标系数c j发生变化，会影响到所有变量的检验数发生变化。 四、名词、简答题 1.灵敏度分析：研究线性规划模型的原始数据变化对最优解产生的影响 2．线性规划问题灵敏度分析的意义。（1）预先确定保持现有生产规划条件下，单位产品利
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性计划问题. Min z =5x1+3x 2 ≥6 s.t.-2 x1 + 3x 2 ≥4 3 x1 - 6 x 2 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 + x3 = -6 s.t. 2 x1 - 3x 2 -3 x1 + 6 x + x4≥-4 2 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，能够作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适适用于当原问题无可行基,且全部检验数均为负情况. 若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有些人工变量法,没有对偶单纯形法.
3.对偶问题最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题最优解之间存在着亲密关系,能够依据这些关系,从求解原问题最优单纯形表中,得到对偶问题最优解. (1) 设原问题(p)为 Min z=CX s.t. ⎩ ⎨⎧≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ⎩ ⎨ ⎧≥=0X b AX 其对偶线性计划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ⎩⎨⎧≥=0 X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I) 于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。可见，在（LP ）最优单纯形表中，剩下变量对应检验数就是对偶问题最优解。 同时，在最优单纯形表T （B ）中，因为剩下变量对应系数 所以 B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ）
运筹学灵敏度分析题
运筹学灵敏度举例 1．已知以下线性规划问题 max z= 2x 1 +x 2 -x 3 s.t. x 1 +2x 2 +x 3 ≤8 -x 1 +x 2 -2x 3 ≤4 x 1, x 2, x 3 ≥0 的最优单纯形表如下： z x 1 x 5 (1) 求使最优基保持不变的c 2=1的变化范围 C 2 1+δ -1 0 0 0 C B z 2 x 1 0 x 5 3-δ≥0，δ≤3，即c 2≤4。当c 2=5 ，即δ=4 z x 1 8/2 x 5 12/3 x 2进基，x 1离基 z x 2 x 5 新的最优解为x 1=0，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，max z=20 (2) 对c 1=2进行灵敏度分析 C 2+δ 1 -1 0 0 0 C B z 2+δ x 1 0 x 5 3203020+≥+≥+≥⎧⎨⎪⎩⎪δδδ，δδδ≥-≥-≥-⎧⎨⎪ ⎩ ⎪3232/，当δ≥-3/2时，即c 1≥1/2时，最优基保持不变。 当c 1=4时，δ=4-2=2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8δ=32。 （3）增加一个新的变量x 6，c 6=4，a 612=⎡⎣⎢⎤⎦ ⎥。
[] z c c T 666620124242-=-=⎡⎣⎢⎤ ⎦ ⎥-=-=-W a Y B a 61 610111213==⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥ =⎡⎣⎢⎤ ⎦ ⎥- 新的单纯形表为 z x 1 x 5 x 6进基，x 5离基 z x 1 x 6 新的最优解为x 1=4，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，x 6=4，max z=24。 （4）增加一个新的约束x 2+x 3≥2，求新的最优基和最优解。 z x 1 x 5 x 6 3/1 3/1 用对偶单纯形法求解 z x x x x x x RHS z x 1 x 5 x 2 新的最优解为x 1=4，x 2=2，x 3=0，x 4=0，x 5=6，x 6=0，max z=10。
运筹学线性规划习题
一、需要掌握的主要内容 1、单纯形法的计算过程 （1）确定初始基本可行解 （2）最优性检验； （3）基变换。 2、单纯形法的灵敏度分析 （1）最终单纯形表中，变量系数的灵敏度分析针对最优解不变时，判断其变化范围； （2）约束条件常数项b的灵敏度分析针对最优解不变时，判断其变化范围； （3）增加一个变量的灵敏度分析 首先，确定增加变量在初始单纯形表中的系数列P j ；然后，求出其对应在最终单纯形表 中的系数列P j ；最后求出σ j =C j -C B B-1P j 。 若σ j ≤0，则最优解不变；σ j ≥0，则继续进行基变换，直到求出最优解。 二、需要基本掌握的内容 1、解、基本解、可行解、基本可行解等基本概念； 2、利用单纯形法求解如何判断无可行解、无界解和无穷最优解等基本理论； 3、如何写出一个线性规划的对偶问题； 4、对偶单纯形法的基本思路和过程。 一、填空题 （1）线性规划模型中，松弛变量的经济意义是，它在目标函数中的系数是。 （2）设有线性规划问题：max z=CX AX≤b X≥0 有一可行基B，记相应基变量为X B ,非基变量为X N ，则可行解的定义为，基本可行 解的定义为，B为最优基的条件是。 （3）线性规划模型具有可行域，若其有最优解，必能在上获得。 二、选择题 1．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 2．满足线性规划问题全部约束条件的解称为（） A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 3．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（） A．多重解 B．无解 C．无界解 D．退化解 4．原问题与对偶问题的（）相同。 A．最优解 B．最优目标值 C.解结构 D．解的分量个数 5.记线性规划原问题（p）max z=CX，对偶问题（D） min w=Yb AX≤b YA≥C
4灵敏度分析习题
习 题 四 4.1 试就3.11题解答下列问题： （1）试分别确定甲产品单位产值、B 设备供量各自的影响范围。 （2）若每月能以39万元租金租用外厂B 设备300台时，则应否租用？为什么？ （3）若每月A 设备提供量减少200台时，B 设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？ 4.2 已知LP 问题 max z=5x 1+2x 2+3x 3 s.t. 123112321 2352560,0,0x x x b x x x b x x x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪≥≥≥⎩ 对于给定的常数1b 和2b ，其最优单纯形表是： 其中λ1，λ2，λ3，λ4，λ 5是常数。试求： （1）b 1和b 2的值。 （2）对偶问题的最优解。 （3）λ1，λ2，λ3的值。 （4）参数c 1, c 2, c 3的影响范围。 （5）参数b 1，b 2的影响范围。 （6）参数121323,,a a a 的影响范围。 （7）参数1121,a a 的影响范围。 4.3 已知LP 问题 max z=-5x 1+5x 2+13x 3 s.t. 1231231 2332012410900,0,0x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥≥≥⎩ 试用单纯形法求出最优解，然后分别对下述情况进行灵敏度分析： （1）分别确定参数1122,,c b a 的影响范围。 （2）参数b 1从20变为30。 （3）参数b 2从90变为70。 （4）参数c 3从13变为8。
（5）x 1的系数变为11121205c a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣⎦ （6）x 2的系数变为21222625c a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣⎦ （7）增加一个约束条件2x 1+3x 2+5x 3≤50 （8）把约束条件2变为10x 1+5x 2+10x 3≤100 4.4 已知LP 问题 max z=2x 1+7x 2-3x 3 s.t. 1231231 2334304100,0,0x x x x x x x x x ++≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥≥⎩ 给它引进松弛变量x 4,x 5后，用单纯形法求得其最优方程组如下： 23523451 235220520410z x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++-=⎨⎪+-+=⎩ 试对下述情况分别进行灵敏度分析： （1） b 1减少20，同时b 2增加10. （2） 改变x 3的系数为31323232c a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣⎦ （3） 改变x 1的系数为11121432c a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣⎦ （4） 引进一个具有系数61626312c a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的新变x 6. （5） 改变目标函数为z=x 1+5x 2-2x 3. （6） 增加一个约束条件3x 1+2x 2+3x 3≤25. （7） 改变约束条件2为x 1+2x 2+2x 3≤40. （8） 改变约束条件1为2x 1+2x 2+x 3≤20，同时增加一个约束条件x 1+2x 2+x 3=20. 4.5已知LP 问题 max z=2x 1-x 2+x 3
线性规划的对偶问习题.doc
线性规划的对偶问习题.doc 第二章线性规划的对偶问题第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4 ≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3 ＝－4 x j ≥0 （j＝1,2,3）x1 －x3＋x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4 无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3 无约束x1≤0，x2≥0，x3 无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b ，X≥0。分别说明发生下列情况时， 其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k 个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k 个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r 个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 x' 代换。 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2 ＋x4≥3 3x1＋x2＋x3＋x4≥6 x3 ＋x4＝2 x1 ＋x3 ≥2
x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对 偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） *=4；y2* =1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最 其对偶问题的最优解y1 优解。 ４７ 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。 2.6 已知线性规划问题max z＝10x1＋5x2 st. 3x1＋4x2≤9 5x1＋2x2≤8 x j≥0（j＝1,2） 用单纯形法求得最终表如下表所示： x1 x2 x3 x4 b
运筹学作业题
1 运筹学作业题 一、将下列线性规划问题化为标准型 （1）、123 123 123 12312 3 235567916 ..192513 ,0,Max z x x x x x x x x x s t x x x x x x =+++-≥-⎧⎪-+-=⎪⎨ -+≤⎪⎪≥⎩符号不限 （2）、123 12312312 3 242+3=20..3+4=25,0,26Max z x x x x x x s t x x x x x x =+++⎧⎪+⎨⎪≥≤≤⎩ 二、求出下面线性规划问题的所有基解、基可行解和最优解 12 123412341234 522+34=7 ..22++2=3,,,0Min z x x x x x x s t x x x x x x x x =-++⎧⎪+⎨⎪≥⎩ 三、用图解法求解下列线性规划问题，并说明解的类型 （1）、12 1212212 50100300 2400 ..250,0 Max z x x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨ ≤⎪⎪≥⎩ （2）、12 1212 212 12 39322 4 ..6 250 ,0 Max z x x x x x x s t x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎪ ≤⎨⎪-≤⎪⎪≥⎩ 四、分别用图解法和单纯形法求解线性规划问题，并指出每一个单纯形表所对应的可行域的顶点 122121212 2515 6224..5,0 Max z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨ +≤⎪⎪≥⎩ 五、分别用大M 法及两阶段法求解下列线性规划问题 （1）、123 123123 13123 32+11 4+23 ..2 1 ,,0Max z x x x x x x x x x s t x x x x x =---≤⎧⎪-+≥⎪⎨ -=-⎪⎪≥⎩ （2）、12 121212 3222..3412,0Max z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩
《运筹学》习题集
第一章线性规划 1．1将下述线性规划问题化成标准形式 1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4 －x2＋2x3－x4＝－2 4x st. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14 －2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2 x1，x2，x3≥0，x4无约束 2)min z ＝2x1－2x2＋3x3 ＋x2＋x3＝4 －x st. －2x1＋x2－x3≤6 x1≤0 ，x2≥0，x3无约束 1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1)min z＝2x1＋3x2 4x1＋6x2≥6 st2x1＋2x2≥4 x1，x2≥0 2)max z＝3x1＋2x2 2x1＋x2≤2 st3x1＋4x2≥12 x1，x2≥0 3)max z＝3x1＋5x2 6x1＋10x2≤120 st5≤x1≤10 3≤x2≤8 4)max z＝5x1＋6x2 2x1－x2≥2 st－2x1＋3x2≤2 x1，x2≥0 1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4 x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7 st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3 x1，x2，x3，x4≥0
1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz ＝10x 1＋5x 2 3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0 2) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0 1．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。 1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0 2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 . 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4 x 1＋ x 2－ x 3＝5 3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0 123123 123123123 4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨ ++ ≥⎪⎪≥⎩ 1．6
第十五章 线性规划的灵敏度分析
第十五章 线性规划的灵敏度分析 15.1 边际值(影子价格) i q 以(max,≤)为例，边际值(影子价格其实指在最优解的基础上，当第i 个约束行的右端项 b i 减少一个单位时，目标函数的变化量 1()()m i i i f x b --===∑1 1B B C B b C B ()(),i i i q f x b --=∂∂=1B C B 偏导数， 机会成本 ()n i i z --++==11B n i B C B P C B 因此 n i i n i z q z ++⎧=⎨ -⎩ 机会成本的另外表达形式1 1 ()m m j j i ij i ij i i z a q a --=====∑∑1 1 B B C B P C B 例15.1.1 1234 12341 234 12341234max ()53423280054341200 ..34531000,,,0 f x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥⎩ 其最优单纯表形式如下： 表15.1.1 关于影子价的一些说明 影子价是资源最优配置下资源的理想价格，资源的影子价与资源的紧缺度有关 松弛变量增加一个单位等于资源减少一个单位 剩余变量增加一个单位等于资源增加一个单位 资源有剩余，在最优解中就有对应松弛变量存在，且其影子价为 0 影子价为 0，资源并不一定有剩余 15.2 价值系数 C j 的灵敏度分析 ● c j 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 剩余变量 松弛变量，人工变量
● c j 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分析c j 允许的变动范围∆c j ● c j 的变化会引起检验数的变化，有两种情况: 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数 15.2.1非基变量对应的价值系数的灵敏度分析 要保持 -()0j j j z c c +∆≥ 故有 j j j c z c -∞<∆≤- 例15.2.1 1234 12341 234 12341234max ()53423280054341200..34531000,,,0 f x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥⎩ 表15.2.1 13,x x 为非基变量，所以要保持 -()0j j j z c c +∆≥ 故有j j j c z c -∞<∆≤- 15.2.2 基变量对应的价值系数的灵敏度分析 由于基变量对应的价值系数 c j 在C B 中出现，因此它会影响所有非基变量的检验数。 只有一个基变量的k j c 发生变化，变化量为k j c ∆ 即k j c 在C B 中的k 分量，研究非基变量x j 机会成本的变化： 1 1 ()()k k k k m m j j j j i ij j ij j kj j j i i z z c c a c a c a z z ==+∆=+∆=+∆=+∆∑∑
线性规划的对偶理论与灵敏度分析报告
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析 主要内容 对偶问题、对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析、参数规划 讲授重点 对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析 讲授方式 讲授式、启发式 本章知识结构图 第一节 线性规划的对偶问 题 一、对偶问题的提出 首先通过实际例子看对偶问题的经济意义。 例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为： (LP 1) max z ＝2x l +x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤+≤+≤0,5242615 52121212x x x x x x x 现从另一角度提出问题。假定有另一公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。显然美佳公司愿出让自己资源的条件是，出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利。设分别用y 1、y 2、和y 3代表单位时间(h)设备A 、设备B 和调试工序的出让代价。因美佳公司用6小时设备A 和1小时调试可生产一件家电I ，盈利2元；用5小时设备A ，2小时设备B 及1小时调试可生产一件家电Ⅱ，盈利1元。由此y1，y2，y3的取值应满足 6y 2+y 3≥2 5y 1+2y 2+y 3≥1 (2.1) 又另一公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，故有 min z ＝15y 1+24y 2+5y 3 (2.2) 显然y i ≥0(i ＝l ，2，3)，再综合(2.1)，(2.2)式有。 (LP 2) min ω＝15y 1+24y 2+5y 3
⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≥+≥+0,,125263212132y y y y y y y 上述LP 1和LP 2是两个线性规划问题，通常称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。 二、对称形式下对偶问题的一般形式 定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时均取“≤”号，当目标函数求极小时均取“≥”号’。 对称形式下线性规划原问题的一般形式为： max z=c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪ ⎨⎧=≥≤+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++),,1(022112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ΛΛ ΛΛ (2.3) 用y i （i=1，…，m ）代表第i 种资源的估价，则其对偶问题的一般形式为: min w=b 1y 1+b 2y 2+…+b m y m ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥≥+⋅⋅⋅++⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++),,1(0221 12222212111212111m i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a y i n m mn n n m m m m (2.4) 用矩阵形式表示，对称形式的线形规划问题的原问题为： max z=CX ⎩⎨ ⎧≥≤0X b AX (2.5) 其对偶问题为： min w=Y ’b ⎩ ⎨ ⎧≥≥0'Y C Y A 将上述对称形式下线性规划的原问题与对偶问题进行比较，可以列出如表2-1所示的对应关系。