函数积分表

函数积分表
函数积分表

常 用 积 分 公 式

(一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.

d x ax b +?=1

ln ax b C a ++

2.()d ax b x μ

+?

11

()(1)

ax b C a μμ++++(1μ≠-)

3.

d x x ax b +?=2

1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??

+-++++????

5.

d ()x x ax b +?=1ln ax b

C b x +-+

6.

2d ()x x ax b +?

=2

1ln a ax b C bx b x

+-++ 7.

2

d ()x

x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b

++++ 8.2

2

d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-

++ 9.

2d ()x x ax b +?

=211ln ()ax b C b ax b b x

+-++

的积分

10.

x C +

11.x ?=2

2

(3215ax b C a -

12.x x ?=2223

2(15128105a x abx b C a

-+

13.

x

?

=22(23ax b C a -

14

2

x

=2223

2(34815a x abx b C a -+ 15

(0)

(0)

C b C b ?+>+<

16

2a b - 17

x

=b 18

x

=2a +

(三)含有2

2

x a ±的积分 19.

22d x x a +?=1arctan x

C a a

+ 20.

22d ()n x

x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+?

21.

22d x x a -?

=1ln 2x a

C a x a

-++

(四)含有2

(0)ax b a +>的积分

22.2d x ax b +?

=(0)

(0)

C b C b ?+>+<

23.

2d x x ax b +?=2

1ln 2ax b C a

++

24.2

2d x x ax b

+?=2

d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x

x ax b +?=

221ln 2x C b ax b

++ 26.

22d ()x

x ax b +?=21d a x bx b ax b --+?

27.32d ()x x ax b +?=2222

1

ln 22ax b a C b x bx

+-+ 28.

22d ()x

ax b +?=221d 2()2x x b ax b b ax b +++?

(五)含有2

ax bx c ++(0)a >的积分

29.2d x ax bx c ++?

=2

2(4)(4)

C b ac C b ac +<+> 30.

2d x x ax bx c ++?=2

21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c

++-++?

(0)a >的积分 31

=1arsh

x

C a

+

=ln(x C ++ 32

C +

33

x

C

34

x

=C +

35.

2

x 2ln(2a x C ++

36.

2

x ?

=ln(x C +++

37.

1C a +

38.

2C a x -+

39.

x 2ln(2

a x C ++

40.x =2243(25ln(88x x a a x C +++

41.x ?C

42.x

x ?

=422(2ln(88

x a x a x C +++

43.

x a C +

44.

2

d x x ?

=ln(x C x

-+++

(0)a >的积分

45.

1arch x x

C x a

+=ln x C ++ 46.

C +

47.

x C

48.

x =C +

49.

2

x 2ln 2a x C ++

50.

2

x ?

=ln x C +++

51.

1arccos a

C a x

+

52.

C +

53.

x 2ln 2

a x C +

54.x =2243(25ln 88x x a a x C -++

55.x ?C

56.x

x ?

=422(2ln 88

x a x a x C -++

57.

x arccos a a C x -+

58.

2

d x x ?

=ln x C x

-+++

(0)a >的积分 59.

=arcsin

x

C a

+ 60.

C +

61.

x =C +

62.

x C +

63.

2

x =2arcsin 2a x C a + 64.

2

x ?

arcsin

x

C a

-+

65.

1C a +

66.

C +

67.

x 2arcsin 2a x C a

+

68.x =2243(52arcsin 88x x a x a C a -+

69.x ?=C

70.x

x ?

=422(2arcsin 88x a x x a C a

-++

71.

d x x

?

a C

72.

x =arcsin x

C a

-+

(0)a >的积分

73.

2ax b C +++

74.

x

2

n 2a x b c C

+

+++

75.

x

n 2a x b c C

-

+++ 76.

=C +

77.

x 2

C ++

78.

x =C +

79.

x =((x b b a C --+

80.

x =((x b b a C --

81.

C

()a b <

82.

x 2()4b a C -

()a b < (十一)含有三角函数的积分 83.sin d x x ?

=cos x C -+

84.cos d x x ?

=sin x C + 85.tan d x x ?=ln cos x C -+ 86.cot d x x ?=ln sin x C + 87.sec d x x ?=ln tan(

)42

x

C π++=ln sec tan x x C ++ 88.csc d x x ?

=ln tan

2

x

C +=ln csc cot x x C -+ 89.2

sec d x x ?=tan x C + 90.2

csc d x x ?

=cot x C -+ 91.sec tan d x x x ?=sec x C + 92.csc cot d x x x ?

=csc x C -+

93.2

sin d x x ?=

1

sin 224x x C -+ 94.2

cos d x x ?=1sin 224x x C ++

95.sin d n

x x ?=1211sin cos sin d n n n x x x x n n

----+? 96.cos d n

x x ?=1211cos sin cos d n n n x x x x n n ---+

? 97.d sin n x x ?=121cos 2d 1sin 1sin n n x n x

n x n x ----?+--?

98.d cos n x x ?=121sin 2d 1cos 1cos n n x n x

n x n x

---?+--? 99.cos sin d m n

x x x ?=

11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++? =11211

cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n

+----+++? 100.sin cos d ax bx x ?

=11cos()cos()2()2()

a b x a b x C a b a b -

+--++-

101.sin sin d ax bx x ?

=11

sin()sin()2()2()

a b x a b x C a b a b -

++-++-

102.cos cos d ax bx x ?

11

sin()sin()2()2()

a b x a b x C a b a b ++-++-

103.

d sin x

a b x +?

tan x

a b C ++22()a b >

104.d sin x a b x +?

C

+22()a b <

105.

d cos x a b x +?

)2

x

C +22()a b >

106.d cos x a b x +?

C +22()a b <

107.

2222d cos sin x a x b x +?=1arctan(tan )b

x C ab a + 108.

2222d cos sin x a x b x -?=1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-

109.sin d x ax x ?=

211sin cos ax x ax C a a -+ 110.2

sin d x ax x ?=223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++

111.cos d x ax x ?=211

cos sin ax x ax C a a ++

112.2

cos d x ax x ?=223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a

+-+

(十二)含有反三角函数的积分(其中0a >)

113.arcsin d x x a ?

=arcsin x x C a

114.arcsin d x x x a ?=22()arcsin 24x a x C a -+

115.2

arcsin d x x x a ?=3221arcsin (239

x x x a C a ++

116.arccos d x x a ?

=arccos

x

x C a

-

117.arccos d x x x a ?=22()arccos 24x a x C a --

118.2

arccos d x x x a ?=3221arccos (239

x x x a C a -+

119.arctan

d x x a ?=22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120.arctan d x x x a ?=22

1()arctan 22

x a a x x C a +-+

121.2

arctan d x x x a ?=33

222arctan ln()366

x x a a x a x C a -+

++ (十三)含有指数函数的积分

122.d x

a x ?=

1ln x

a C a + 123.e d ax

x ?=1e ax C a +

124.e d ax

x x ?=21(1)e ax ax C a

-+

125.e d n ax

x x ?=11e e d n ax n ax n x x x a a

--?

126.d x

xa x ?

21ln (ln )

x x x a a C a a -+ 127.d n

x

x a x ?=

11d ln ln n x n x

n x a x a x a a --? 128.e sin d ax

bx x ?=2

2

1e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129.e cos d ax

bx x ?=2

2

1e (sin cos )ax b bx a bx C a b

+++

130.e sin d ax n

bx x ?

1222

1

e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n

--+ 22

2

22(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++?

131.e cos d ax n

bx x ?

1

222

1e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n

-++ 22

2

22(1)e cos d ax n n n b bx x a b n

--++? (十四)含有对数函数的积分 132.ln d x x ?

=ln x x x C -+

133.

d ln x

x x ?=ln ln x C +

134.ln d n

x x x ?=

111(ln )11

n x x C n n +-+++ 135.(ln )d n x x ?

=1

(ln )(ln )d n n

x x n x x --?

136.(ln )d m n

x x x ?

11

1(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++?

(十五)含有双曲函数的积分 137.sh d x x ?=ch x C + 138.ch d x x ?

=sh x C + 139.th d x x ?

=ln ch x C +

140.2

sh d x x ?=1

sh224x x C -

++ 141.2

ch d x x ?=1sh224

x x C ++

(十六)定积分 142.cos d nx x π

-π?

=sin d nx x π

?=0

143.

cos sin d mx nx x π

-π?

=0

144.

cos cos d mx nx x π

?=0,,m n

m n

≠??π=?

145.sin sin d mx nx x π

-π?=0,,m n

m n ≠??π=?

146.0sin sin d mx nx x π

?=0cos cos d mx nx x π

?=0,,2

m n

m n ≠??

?π=??

147. n I =20

sin d n

x x π

?

=20

cos d n x x π?

n I =

21

n n I n

-- 13

42

253n n n I n n --=

????- (n 为大于1的正奇数),1I =1 13312

422n n n I n n --π=??

???-(n 为正偶数),0I =2

π

定积分公式表

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数.

公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.

分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式. 解: (为任意常数 ) 例4 求不定积分. 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解: (为任意常数) 例5 求不定积分. 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:

(完整版)常用函数积分表(增强版)

1.∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 2.∫(f(x)?g(x))dx=∫f(x)dx?∫g(x)dx 3.∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)?∫g(x)df(x) 4.∫a x dx=a x ln a +C,a≠1,a>0 5.∫x n dx=x n+1 n+1 +C,n≠?1 6.∫1 x dx=ln|x|+C 7.∫e x dx=e x+C 8.∫sin x dx=?cos x+C 9.∫cos x dx=sin x+C 10.∫sec2x dx=tan x+C 11.∫csc2x dx=?cot x+C 12.∫sec x tan x dx=sec x+C 13.∫csc x cot x dx=?csc x+C 14.∫(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a(n+1) +C,a≠0,n≠?1 15.∫dx ax+b =1 a ln|ax+b|+C,a≠0 16.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a2(ax+b n+2 ?b n+1 )+C,a≠0,n≠?1,?2 17.∫x ax+b dx=x a ?b a2 ln|ax+b|+C,a≠0 18.∫x (ax+b)2dx=1 a2 (ln|ax+b|+b ax+b )+C,a≠0 19.∫x2 ax+b dx=1 2a3 [(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C 20.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ax+b?2b ln|ax+b|?b2 ax+b )+C 21.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+2b ax+b ?b2 2(ax+b) )+C 22.∫x2 (ax+b)n dx=1 a3 (?1 (n?3)(ax+b)n?3 +2b (n?2)(ax+b)n?2 ?b2 (n?1)(ax+b)n?1 )+C,n≠

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+

()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x s e c = ()22x a x f +=;设:t a x t a n = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数 的积分,应分为与 . 当 时, , 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当 时,有 . 当 时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故 ( , )式右边的 是在分 母,不在分子,应记清. 当 时,有 . 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出. 可以推出下表列出的公式:

三角函数_反三角函数_积分公式_求导公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、(a +b )的三次方,(a -b )的三次方公式

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+ ()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x sec = ()22x a x f +=;设:t a x tan = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv

附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与 . 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有 . 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有 . 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.

微积分及三角函数公式合集

第一部分:常用积分公式 基本积分公式: 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+? ? 9 221 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1 arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 2211arctan x dx c a x a a =++? 17 22 11ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+

19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?,令n u x =,ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =,sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =,cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?,令arctan u x =,n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?,令ln u x =,n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?,cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a +=++?? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-? ? 11.()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 第二部分:常用微分、导数公式 (c=常数) 1、极限

初等函数基本积分公式

初等函数基本积分公式(《应用统计》必备知识,要求记住)(k,C 是常数) (1)C kx kdx +=? (2)C x dx x ++= +?111μμμ (3)C x dx x +=?||ln 1 (4)C e dx e x x +=? (5)C a a dx a x x +=?ln (6)C x xdx +=?sin cos (7)C x xdx +-=?cos sin (8)C x dx x +=?tan cos 12 (9)C x dx x +-=?cot sin 12 (10)C x x x dx x +-=?ln ln (11))1ln(11 22x x dx x ++=+? (12) C a x a x a dx a x ++-=-? ||ln 21122 (13)C x a x a a dx x a +-+=-?||ln 21122 (14)C a x x a x dx +±+=±?)ln(2222 热身练习:1、 =-?-dx x x 222 1 2、6 20(1)x dx +?= 1(2)e x e dx x -?= 3.若a =??02x 2d x ,b =??02x 3d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是 4.已知a ∈[0, π2 ],则当?a 0(cos x -sin x )d x 取最大值时,a =________. 5.??-a a (2x -1)d x =-8,则a =________. 6.已知函数f (x )=3x 2+2x +1,若???-1 1 f (x )d x =2f (a )成立,则a =________. 8.设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则???1 2 f (-x )d x 的值等于 9.若等比数列{a n }的首项为23,且a 4=??1 4 (1+2x )d x ,则公比等于________. 11.已知f(x)为偶函数且60 ? f (x )d x =8,则66-?f (x )d x 等于 12.已知f(x)为奇函数且6 0?f (x )d x =8,则66-?f (x )d x 等于 22.(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( D ) A .??a c f (x ) d x B .|??a c f (x ) d x | C .??a b f (x )d x +??b c f (x ) d x

角函数反三角函数积分公式求导公式

1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、(a +b )的三次方,(a -b )的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx

常用基本初等函数求导公式积分公式.doc

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) , (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设,都可导,则 ( 1)( 2)(是常数) ( 3)( 4) 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且,则它的反函数在对应区间内也可导,且 或 复合函数求导法则 设,而且及都可导,则复合函数的导数为 或 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出.

可以推出下表列出的公式: 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别, 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别,e x d x e x c ln a

⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别, a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别, a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2

一元函数积分知识点完整版

一元函数积分相关问题 前言: 考虑到学习的效率问题,我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点,同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点,不做无用的重复。 一.考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系,知道求不定积分与求微分是互逆的关系,理解不定积分的线性性质。 问题1: 若)(x f 的导函数是x sin ,则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二.考查定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握定积分的定义与几何意义,了解可积的充分条件和必要条件,掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点: 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理(及其三个推论) 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续,若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(,则当 ],[b a x ∈时,0)(≡x f 问题2: 设? = 2 )sin(sin π dx x M ,?=20 )cos(cos π dx x N ,则有() (A )N M <<1 (B )1<

分的关系,了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来,需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导,当],[βα∈x 时, b x x a ≤≤)(),(ψ?,则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导,且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数,则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3: 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ,求)('x f )0(≥x 四.考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解:需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质,学会用性质化简积分。 问题4: 设)(x f 在]1,0[上连续, A dx x f =? 2 )cos (π ,则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五.利用定积分的定义求某些数列极限 讲解:需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有: ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5: 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六.考察基本积分表 讲解:需要掌握基本初等函数的积分公式。 七.考察分项积分方法

三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法

从俞诗秋的文章修改而来,原来的口诀不太好记 原文:三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法 三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法 2. 三角函数的定义 [三角函数的定义和符号变化] 名称 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 定 义 r y ==斜边对边αsin r x ==斜边邻边αcos x y == 邻边对边αtan y x ==对边邻边αcot x r ==邻边斜边αsec y r ==对边斜边αcsc 1 sinx cosx cscx cotx secx tanx + -

符号与 增 减 变 化 Ⅰ+↑+↓+↑+↓+↑+↓ Ⅱ+↓-↓-↑-↓-↑+↑ Ⅲ-↓-↑+↑+↓-↓-↑ Ⅳ-↑+↑-↑-↓+↓-↓1. 三角函数的记忆: 对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx,指在三角函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中,两端点处的函数乘积等于中间的数1,即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1. 倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x. 邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三角函数求导数 图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值,右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。 上互换:指在三角函数求导六边形中,上顶角处函数的导数为另一上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。 中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x,

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+ ()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x sec = ()22x a x f +=;设:t a x tan = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数.

公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分

函数积分表

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2d ()x x ax b +? =2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.2 2 d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9. 2d ()x x ax b +? =211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10. x C + 11.x ?=2 2 (3215ax b C a - 12.x x ?=2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13. x ? =22(23ax b C a -

14 . 2 x =2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 . (0) (0) C b C b ?+>+< 16 . 2a b - 17 . x =b 18 . x =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20. 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21. 22d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23. 2d x x ax b +?=2 1ln 2ax b C a ++

三角函数 积分公式 求导公式

一.三角函数 二.常用求导公式 三.常用积分公式 第一部分三角函数 同角三角函数的基本关系式 诱导公式

两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sin αcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβtan(α+β)=—————— 1-tanα·tanβ tanα-tanβtan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 2ta sinα=————— 1+tan 1- /2) cosα=————— 1+tan 2ta tanα=————— 1-tan2 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公

化asin α ±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分 求导公式 1.基本求导公式 ⑴ 0)(='C (C 为常数)⑵ 1)(-='n n nx x ;一般地,1)(-='αααx x 。 特别地:1)(='x ,x x 2)(2=',21 )1(x x -=',x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(;一般地,)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1 )(ln =';一般地,)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2.求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x ),g (x )均在点x 可导,则有:(Ⅰ))()())()((x g x f x g x f '±'='±;

常 用 积 分 公 式

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=1 1()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2d ()x x ax b +?=2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++

的积分 10 .x ? C 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a -+ 12 .x x ? =2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13 . x =2 2(23ax b C a - 14 . 2x =22232(34815a x abx b C a -++ 15 . =(0) (0) C b C b ? +>< 16 . ? 2a b - 17 . x =b 18 . x = 2a + (三)含有22 x a ±的积分

有理函数及三角函数有理式的积分

§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分 教学目的:使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法,掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。 重点:有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点:有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 教学过程: 一、问题的提出 前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发(换元积分法与分部积分法)已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见,求不定积分不像求导数那样,只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数,而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数,要求出结果,有时候都需要一定的技巧,有些甚至还“积不出”。例如, ????+-31,,ln ,sin 2 x dx dx e x dx dx x x x , 被积函数都是初等函数,看起来也并不复杂,但是在初等函数范围内却积不出来,这是 因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。 求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套” “拆”,即将被积函数拆项,把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”,即代数恒等变形:加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子;三角恒等变形:半角、倍角公式,平方和公式,积化和差、和差化积、和角公式;陪完全平方:根号下配完全平方、分母配完全平方等;“凑”,即凑微法(第一类换元法)。“换”,即第二类换元法(三角代换、倒代换、指数代换法等)。“分”,即分部积分法。“套”,即套基本公式。 求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字,即巧用上述方法和综合 运用上述方法。 二、 有理函数的积分 有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数,即 =)(x R m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++= ----11101110) ()(ΛΛ 其中m 和n 都是非负整数;n a a a a ,,,,2 10Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数,通常总假定 分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式,并且00≠a ,00 ≠b . 当m n <时,称)(x R 为真分式;而当m n ≥时,称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如 111122 234-++++=-+x x x x x x x .

EXCEL函数使用方法――积分下载下来的

EXCEL函数使用方法 1.求和函数SUM 语法: SUM(number1,number2,...)。 参数: number 1、number 2...为1到30个数值(包括逻辑值和文本表达式)、区域或引用,各参数之间必须用逗号加以分隔。 注意: 参数中的数字、逻辑值及数字的文本表达式可以参与计算,其中逻辑值被转换为1,文本则被转换为数字。如果参数为数组或引用,只有其中的数字参与计算,数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值则被忽略。 应用实例一: 跨表求和 使用SUM函数在同一工作表中求和比较简单,如果需要对不同工作表的多个区域进行求和,可以采用以下方法: 选中Excel XP“插入函数”对话框中的函数,“确定”后打开“函数参数”对话框。切换至第一个工作表,鼠标单击“number1”框后选中需要求和的区域。如果同一工作表中的其他区域需要参与计算,可以单击“number2”框,再次选中工作表中要计算的其他区域。上述操作完成后切换至第二个工作表,重复上述操作即可完成输入。“确定”后公式所在单元格将显示计算结果。 应用实例二:

SUM函数中的加减混合运算 财务统计需要进行加减混合运算,例如扣除现金流量表中的若干支出项目。按照规定,工作表中的这些项目没有输入负号。这时可以构造“=SUM (B2:B6,C2:C9,-D2,-E2)”这样的公式。其中B2:B6,C2:C9引用是收入,而 D2、E2为支出。由于Excel不允许在单元格引用前面加负号,所以应在表示支出的单元格前加负号,这样即可计算出正确结果。即使支出数据所在的单元格连续,也必须用逗号将它们逐个隔开,写成“=SUM(B2:B6,C2:C9,-D2,-D3,D4)”这样的形式。 应用实例三: 及格人数统计 假如B1:B50区域存放学生性别,C1:C50单元格存放某班学生的考试成绩,要想统计考试成绩及格的女生人数。可以使用公式“=SUM(IF(B1:B50=″女″,IF (C1:C50>=60,1,0)))”,由于它是一个数组公式,输入结束后必须按住Ctrl+Shift键回车。公式两边会自动添加上大括号,在编辑栏显示为“{=SUM(IF (B1:B50=″女″,IF(C1:C50& gt;=60,1,0)))}”,这是使用数组公式必不可少的步骤。 2.平均值函数AVERAGE 语法: AVERAGE(number1,number2,...)。 参数: number 1、number 2...是需要计算平均值的1~30个参数。 注意:

(整理)常用函数积分表(增强版)48790

1.∫sec2x dx=tan x+C 2.∫csc2x dx=?cot x+C 3.∫sec x tan x dx=sec x+C 4.∫csc x cot x dx=?csc x+C 5.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a2(ax+b n+2 ?b n+1 )+C,a≠0,n≠?1,?2 6.∫x ax+b dx=x a ?b a2 ln|ax+b|+C,a≠0 7.∫x (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+b ax+b )+C,a≠0 8.∫x2 ax+b dx=1 2a3 [(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C 9.∫x2 (ax+b)2dx=1 a3 (ax+b?2b ln|ax+b|?b2 ax+b )+C 10.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+2b ax+b ?b2 2(ax+b) )+C 11.∫x2 (ax+b)n dx=1 a3 (?1 (n?3)(ax+b)n?3 +2b (n?2)(ax+b)n?2 ?b2 (n?1)(ax+b)n?1 )+C,n≠ 1,2,3 12.∫dx x(ax+b)=1 b ln|x ax+b |+C,b≠0 13.∫dx x2(ax+b)=?1 bx +a b2 ln|ax+b x |+C 14.∫dx x2(ax+b)2=?a(1 b2(ax+b) +1 ab2x ?2 b3 ln|ax+b x |)+C 15.∫x√ax+bdx=2 15a2 (3ax?2b)(ax+b)32+C 16.∫x2√ax+bdx=2 105a (15a2x2?12abx+8b2)(ax+b)32+C 17.∫(√ax+b)n dx=2(√ax+b)n+2 a(n+2) +C,a≠0,n≠?2 18.∫x n√ax+b dx=2 a(2n+3)x n(ax+b)32?2nb a(2n+3) ∫x n?1√ax+bdx循环计算 19.∫√ax+b x dx=2√ax+b+b x√ax+b =2√ax+b?2√b arctanh√ax+b b +C 20. x ax+b = ?b √ax+b ?b +C,b<0 21. x√ax+b = √b |√ax+b?√b √ax+b+√b |+C,b>0

微积分三角函数公式

锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边/ 斜边 cos α=∠α的邻边/ 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?cosA cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) co s3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina

辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2co t2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a)

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