随机过程的微分及积分
随机过程的微分和积分
在高等数学中,数列的收敛与极限是微积 分的基础。 在随机过程中,随机序列的收敛与极限的 则是随机过程微积分的基础。 随机过程微积分 基础
“数列收敛”的概念
若有数列S1,S2,…,Sn,…对任意小的正实数ε>0,总能 找到一个正整数N,使得当n>N时,存在∣Sn-a∣< ε, 对任意n>N ,则称数列S1,S2,…,Sn,…收敛于常数a 用 lim Sn = a 表示;或用S1,S2,…,Sn
n ? >∞
n ?>∞
→ a
数列{Sn}的极限为a
举例:设一个电压控制电路对外来的噪声电压信号进行控制, 使其稳定在某一水平。我们考察这一渐进过程。
设该试验共有三个结果Ω=( ξ1,ξ2, ξ3),在t=1,2, …,n,…上采样, 随 时间变化得一串随机变量X1,X2,…,Xn… ← 称随机变量序列{X(n)}。 {X(n)}
随机序列收敛的几种定义
1、随机变量序列“处处收敛”
(every ? where)
若随机序列样本空间Ω={ξ1, ξ2, ξ3}中的“所有” 的样 本序列(普通数列)均收敛,即:
ζ 1: x1 (1), x 1 (2), L , x1 ( n ) → x1
n→ ∞
ζ 2: x 2 (1), x 2 (2), L , x 2 ( n ) → x 2 , ( x1 , x 2 , x3 )∈ X
n→∞
ζ 3: x3 (1), x3 (2), L , x3 ( n ) → x3
n→ ∞
若
lim xi (n) = xi, ?ζ i ∈ Ω
n →∞
则称:随机序列{X(n)} “处处收敛”于随机变量X。 记作: lim X (n) = X
n →∞
e 简写: { X (n)} ?? X →
微分和积分电路的异同
电子知识 微分电路(13)积分电路(20) 输出电压与输入电压成微分关系的电路为微分电路,通常由电容和电阻组成;输出电压与输入电压成积分关系的电路为积分电路,通常由电阻和电容组成。微分电路、积分电路可以分别产生尖脉冲和三角波形的响应。积分运算和微分运算互为逆运算,在自控系统中,常用积分电路和微分电路作为调节环节;此外,他们还广泛应用于波形的产生和变换以及仪器仪表之中。以集成运放作为放大电路,利用电阻和电容作为反馈网络,可以实现这两种运算电路。 (一)积分电路和微分电路的特点 1:积分电路可以使输入方波转换成三角波或者斜波 微分电路可以使使输入方波转换成尖脉冲波 2:积分电路电阻串联在主电路中,电容在干路中 微分则相反 3:积分电路的时间常数t要大于或者等于10倍输入脉冲宽度 微分电路的时间常数t要小于或者等于1/10倍的输入脉冲宽度 (二)他们被广泛的用于自控系统中的调节环节中,此外还广泛应用于波形的产生和变换以及仪表之中。 (三)验证:你比如说产生三角波的方法,有这样两个简单的办法,第一就是在方波发生电路中,当滞回比较器的阈值电压数值比较小时,咱们就可以把电容两端的电压看成三角波,第二呢直接把方波电压作为积分运算电路的发生电路的输出电压uo1=+Uz,时积分电路的输出电压uo将线性下降;而当
uo1=-Uz时,uo将线性上升;从而产生三角波,这时你就会发现两种方法产生的三角波的效果还是第二种的好,因为第一种方法产生的三角波线性度太差,而且如果带负载后将会使电路的性能发生变化。你可以用我说的这两种方法分别试试就知道差别优势了。 积分电路和微分电路当然是对信号求积分与求微分的电路了,它最简单的构成是一个运算放大器,一个电阻R和一个电容C,运放的负极接地,正极接电容,输出端Uo再与正极接接一个电阻就是微分电路,设正极输入Ui,则Uo=-RC(dUi/dt)。 当电容位置和电阻互换一下就是积分电路,Uo=-1/RC*(Ui 对时间t的积分),这两种电路就是用来求积分与微分的。方波输入积分电路积分出来就是三角波,而输入微分电路出来就是尖脉冲。 IBIS模型是一种基于V/I曲线对I/O BUFFER快速准确建模方法,是反映芯片驱动和接收电气特性一种国际标准,它提供一种标准文件格式来记录如驱动源输出阻抗、上升/下降时间及输入负载等参数,非常适合做振荡和串扰等高频效应计算与仿真。 IBIS本身只是一种文件格式,它说明在一标准IBIS文件中如何记录一个芯片驱动器和接收器不同参数,但并不说明这些被记录参数如何使用,这些参数需要由使用IBIS模型仿真工具来读取。欲使用IBIS进行实际仿真,需要先完成四件工作:获取有关芯片驱动器和接收器原始信息源;获取一种将原始数据转换为IBIS格式方法;提供用于仿真可被计算机识别布局布线信息;提供一种能够读取IBIS和布局布线格式并能够进行分析计算软件工具。 IBIS模型优点可以概括为:在I/O非线性方面能够提供准
积分电路和微分电路
什么是积分电路 输出信号与输入信号的积分成正比的电路,称为积分电路。 基本积分电路: 积分电路如下图所示,积分电路可将矩形脉冲波转换为锯齿波或三角波,还可将锯齿波转换为抛物波。电路原理很简单,都是基于电容的冲放电原理,这里就不详细说了,这里要提的是电路的时间常数R*C,构成积分电路的条件是电路的时间常数必须要大于或等于10倍于输入波形的宽度。 原理:从图得,Uo=Uc=(1/C)/icdt,因Ui=UR+Uo当t=to 时,Uc=Oo随后C 充电,由于ROTk,充电很慢,所以认为Ui=UR=Ric,即ic=Ui/R,故 Uo=(1/c) / icdt=(1/RC) / Uidt 这就是输出Uo正比于输入Ui的积分(/ Uidt ) RC电路的积分条件:RO Tk 积分电路的作用: 积分电路能将方波转换成三角波,积分电路具有延迟作用,积分电路还有移相作用。积分电路的应用很广,它是模拟电子计算机的基本组成单元,在控制和测量系统中也常常用到积分电路。此外,积分电路还可用于延时和定时。在各种波形(矩形波、锯齿波等)发生电路中,积分电路也是重要的组成部分。 微分电路 可把矩形波转换为尖脉冲波,此电路的输出波形只反映输入波形的突变部分,即只有输入波形发生突变的瞬间才有输出。而对恒定部分则没有输出。输出的尖脉冲波形的宽度与R*C有关(即电路的时间常数),R*C越小,尖脉冲波形越尖,反之则宽。此电路的R*C必须远远少于输入波形的宽度,否则就失去了波形变换
的作用,变为一般的RC耦合电路了,一般R*C少于或等于输入波形宽度的1/10 就可以了。 积分电路 这里介绍积分电路的一些常识。下面给出了积分电路的基本形式和波形图 R=10K o輸出 匚=0-3 F=5OHZ o ---- 当输入信号电压加在输入端时,电容(C)上的电压逐渐上升。而其充电电流则随着电压的上升而减小。电流通过电阻(R)、电容(C)的特性可有下面的公式表达:
微分与积分电路分析
一、微分电路 输出信号与输入信号的微分成正比的电路,称为微分电路。 原理:从图一得:Uo=Ric=RC(duc/dt),因Ui=Uc+Uo,当,t=to时,Uc=0,所以Uo=Uio随后C充电,因RC≤Tk,充电很快,可以认为Uc≈Ui,则有: Uo=RC(duc/dt)=RC(dui/dt)---------------------式一 这就是输出Uo正比于输入Ui的微分(dui/dt) RC电路的微分条件:RC≤Tk 图一、微分电路 二、积分电路 输出信号与输入信号的积分成正比的电路,称为积分电路。 原理:从图2得,Uo=Uc=(1/C)∫icdt,因Ui=UR+Uo,当t=to时,Uc=Oo.随后C充电,由于RC≥Tk, 充电很慢,所以认为Ui=UR=Ric,即ic=Ui/R,故 Uo=(1/c)∫icdt=(1/RC)∫icdt 这就是输出Uo正比于输入Ui的积分(∫icdt) RC电路的积分条件:RC≥Tk 图2、积分电路 微分电路电路结构如图W-1,微分电路可 把矩形波转换为尖脉冲波,此电路的输出波 形只反映输入波形的突变部分,即只有输入 波形发生突变的瞬间才有输出。而对恒定部 分则没有输出。输出的尖脉冲波形的宽度与 R*C有关(即电路的时间常数),R*C越小, 尖脉冲波形越尖,反之则宽。此电路的R*C必须远远少于输入波形的宽度,否则就失去了波形变换的作用,变为一般的RC耦合电路了,一般R*C少于或等于输入波形宽度的1/10就可以了。 积分电路 电路结构如图J-1,积分电路可将矩形 脉冲波转换为锯齿波或三角波,还可将锯 齿波转换为抛物波。电路原理很简单,都 是基于电容的冲放电原理,这里就不详细 说了,这里要提的是电路的时间常数R*C,构成积分电路的条件是电路的时间常数必须要大于
3.4 定积分与微积分基本定理
3.4 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.与定积分∫d x 相等的是( ). 3π 01-cos x A.∫sin d x B.∫d x 23π 0x 2 23π0|sin x 2|C. D .以上结论都不对 |2∫3π0sin x 2 d x |2. 已知f (x )为偶函数,且f(x)d x =8,则f(x)d x =( ) 6∫0?-66A .0 B .4 C .8 D .16 3.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( ). A. m B. m C. m D. m 1603803403203 4.一物体以v =9.8t +6.5(单位:m /s )的速度自由下落,则下落后第二个4 s 内经过的路程是( ) A .260 m B .258 m C .259 m D .261.2 m 5.由曲线y =,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为 x ( ). A. B .4 C. D .6 1031636.已知a =2,n ∈N *,b =x 2d x ,则a ,b 的大小关系是( ). n ∑i =11n (i n )1∫0 A .a >b B .a =b C .a 积分电路与微分电路
积分电路与微分电路 积分电路和微分电路实验的目的和要求 1: (1)进一步掌握微分电路和积分电路的相关知识(2)学会使用运算放大器形成积分微分电路 (3)设计了一个RC差分电路,将方波转换成锐脉冲波(4)设计了一个RC积分电路,将方波转换成三角波(5)进一步学习和熟悉Multisim软件的使用(6)得出分析结论,写出模拟经验 工作原理: 积分电路: 积分是一种常见的数学运算,同时积分电路是一种常见的波形转换电路,它是一种将矩形脉冲(或方波)转换成三角波的电路最简单的集成电路(一阶RC电路)在 实验中,增加了一个运算放大器。原理图如下: 使用虚拟接地和虚拟断路的概念:n?0,i1?i2?I,电流为i1的电容器c?充电V1/电阻假设电容器c的初始电压为vc(o)?0,输出电压为 1 V0=?钢筋混凝土?vdt 1的上述公式表明,输出电压V0是输入电压Vi随时间的积分,负号表示它们相位相反。
当输入信号Vi为阶跃电压(方波)时,电容将在其作用下以近似恒定的电流模式充电,输出电压V0与时间t近似线性,因此 viviv??t。?到 RC?其中τ=R C是 中的时间常数由此可以推断,运算放大器的输出电压的最大V om受到DC调节电源的限制,这导致运算放大器进入饱和状态,V o保持不变,并且积分停止 差分电路: 替换积分电路中的电阻和电容元件,并选择较小的时间常数RC,以获得如图4所示的差分电路该电路还具有虚拟接地和虚拟断路 图4差分电路与运算放大器 设置t=0,电容的初始电压Vc(0)=0,当信号卡电压Vi连接时,dvii??c有1个dtdv??RC odt 的公式显示,输出电压V o与输入电压Vi相对于时间的微分成比例,负号表示它们的相位相反。当输入信号是方波时,电路可以将方波转换成尖峰脉冲波。 实验内容 我们先画出差分和积分电路图,然后进行实验,观察输出波形 差分电路图:
积分电路和微分电路 实验报告书
积分电路和微分电路实验报告书学号:姓名:学习中心:
(1)按如图连接电路 (2)设置信号发生器的输出频率为1HZ,幅值为5V的方波,如图 (3)激活仿真电路 双击示波器图标弹出示波器面板,观察并分析示波器波形
(4)按表1给出的电路参数依次设置R和C的取值,分别激活仿真运行,双击示波器图标,弹出示波器面板,给出输入/输出信号的波形图,并说明R和C的取值对输出信号的影响表1 实验电路参数 序号输入为方波信号电路参数 频率/HZ幅值/V R/KO C/uF 1 1 5 100 1 2 1 5 100 2 3 1 5 100 4.7 2.微分电路实验 (1)按图连接电路 (2)设置R和C (3)激活电路仿真运行, (4)双击示波器的面板,给出输入/输出信号的波形图 (5)说明R和C的取值对输出信号的影响
表2 实验电路参数 序号输入为方波信号电路参数 频率/HZ幅值/V R/KO C/uF 1 1 5 100 1 2 1 5 100 2 3 1 5 100 4.7
三、实验过程原始数据(数据、图表、计算等) 1.积分电路实验 R=100KO,C=1uF R=100 KO C=2UF R=100KO C=4.7uF 2.微分电路实验 R=100KO,C=1uF
R=100 KO C=2UF R=100KO C=4.7uF 四、实验结果及分析 积分电路实验 由积分电路的特点:时间常数t远大于输入信号的周期T,在此条件下Uc(t)<非常好定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 [备考方向要明了 ] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. [归纳·知识整合] 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等
于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质: ①∫b a kf (x )d x =k ∫b a f (x )d x . ②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x =∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x =∫c a f (x )d x +∫b c f (x )d x . [探究] 1.若积分变量为t ,则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a [f (x )-g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么? 提示:由直线x =a ,x =b 和曲线y =f (x ),y =g (x )所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么∫b a f (x )d x =F (b )-F (a ),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式. 为了方便,常把F (b )-F (a )记成F (x )|b a ,即 ∫b a f (x )d x =F (x )|b a =F (b )-F (a ). 课前预测: 1.∫421x d x 等于( ) A .2ln 2 B .-2ln 2 C .-ln 2 D .ln 2 2.(教材 习 题改
随即微积分216335764375
第九章随机过程I:随机微积分 9.1介绍 9.1.1 定义 9.1.2 统计特征 9.1.3 多维情形 9.1.4 过程分类 9.2一些重要的随机过程9.2.1 二项过程 9.2.2 布朗运动和伊藤过程9.2.3 泊松过程 9.3随机伊藤积分9.3.1 动机 9.3.2 直观定义 9.3.3 直接计算9.4伊藤定理9.4.1 直观推导9.4.2 应用举例9.4.3 多维情形 9.5随机微分方程9.5.1随机过程模型9.5.2解的性质和形式9.5.3显性解的例子9.6应用 9.6.1期权定价9.6.2 随机动态规划小结 文献导读 本章的学习目标为: 了解随机过程的定义、描述方法和重要数值特征以及基于分布函数的分类方法 掌握二项过程并熟练运用二项树建模方法 掌握布朗运动和维纳过程的定义和特征并认识到它在连续时间随机分析中的重要作用和核心地位 掌握并熟练运用一般维纳过程、几何布朗运动和伊藤过程来构造金融资产价格运动模型 了解泊松过程的定义和特征,认识它在构造金融市场上突发事件时的作用 明确基于均方收敛的随机伊藤积分的定义以及它与随机微分之间的联系 了解伊藤定理的直观推导过程并熟练应用伊藤定理进行计算 熟练应用随机微分方程模型来构造不同金融资产价格运动模型 了解随机微分方程解的形式,特别要掌握两种重要的显性解情形 掌握期权定价的传统B-S偏微分方程方法 掌握最优个人消费/投资问题的随机动态规划方法 有了前面的准备工作,我们现在就可以着手学习,研究现代金融理论所必须也是最重要的数学工具——随机过程理论了。为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢?这是因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率、汇率、股票指数、价格等等都表现出一定的随机性(randomness)。股票价格明天会是多少,一直吸引和困惑了最富有头脑的理
仿真实验一 RC微分积分电路
一、RC 一阶微积分电路仿真实验 一、电路课程设计目的 1、测定RC 一阶电路的积分、微分电路; 2、掌握有关微分电路和积分电路的概念。 二、仿真电路设计原理 1.RC 电路的矩形脉冲响应 若将矩形脉冲序列信号加 在电压初值为零的RC 串联电路 上,电路的瞬变过程就周期性地 发生了。显然,RC 电路的脉冲 响应就是连续的电容充放电过 程。如图所示。 若矩形脉冲的幅度为U ,脉 宽为tp 。电容上的电压可表示为: 电阻上的电压可表示为: 21010 0)(0)1()(t t t e U t u t t e U t u t t ≤≤?=≤≤-=--K Λττ 即当 0到t1时,电容被充电;当t1到t2 时,电容器经电阻R 放电。 2110 )(0)(t t t e U t u t t e U t u t R t R ≤≤?-=≤≤?=--K Λττ (也可以这样解释:电容两端电压不能突变,电流可以,所以反映在图中就是电阻两端的电压发生了突变。) 2.RC 微分电路 取RC 串联电路中的电阻两端为输出端,并选择适当的电路参数使时间常数τ<dt t du RC dt du RC i R t u i C C )()(0?≈?=?= 上式说明,输出电压uo(t)近似地与输入电压ui(t)成微分关系,所以这种电路称微分电路。 3.RC 积分电路 如果将RC 电路的电容两端作为输出端,电路参数满足τ>>tp 的条件,则成为积分电路。由于这种电路电容器充放电进行得很慢,因此电阻R 上的电压ur(t)近似等于输入电压ui(t),其输出电压uo(t)为: ? ???≈?=?==dt t u RC dt R t u C dt t i C t u t u R R C C )(1)(1)(1)()(0 上式表明,输出电压uo(t)与输入电压ui(t)近似地成积分关系。 4.时间常数 RC 电路中,时间常数τ=R*C ; RL 电路中,时间常数τ=L/R 。 三、仿真实验电路搭建与测试 1、一阶RC 微分电路: 1u c u