中考专题切线长定理及弦切角定理

中考复习专题——切线长定理与弦切角定理

【知识要点】

1.切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论：

（1）PA=PB

（2）PO⊥AB,且PO平分AB

（3）APO BPO OAC OBC

∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP

∠=∠=∠=∠

2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角

推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

【典型例题】

【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.

图1 图2 图3

举一反三：

1.如图2，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.

2.如图3，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD

=，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.

举一反三：

1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB

C

B

O

A

D

C B

A

D

P

O

P

B

A

O

的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .

【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为

A ．1 个；

B ．2个；

C ．4个；

D ．

5个．

【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．

举一反三：

1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．

（1）求∠APB 的度数；

（2）当OA ＝3时，求AP 的长．

2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．

3．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．

4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，

若AE=2 cm，AD=4 cm．

(1)求⊙O的直径BE的长；

(2)计算△ABC的面积．

【课后作业】

1．如图1，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若20

∠=?，则DBE

D

∠

的大小为( )

A. 20?

B. 40?

C. 60?

D. 70?

图1 图2 图3

2.如图2，ABC ?是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，

8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.

3.如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为

A.105°

B.115°

C.120°

D.125°

4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 A.2 B.3 C.23 D.4

图4 图5 图6

5.如图5，AB 是⊙ O 的直径，AC 、BC 是⊙ O 的弦，PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350

，那么∠ACP 等于

A. 350

B. 550

C. 650

D. 1250

6.如图6，在⊙ O 中，AB 是弦，AC 是⊙ O 的切线，A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=

A. 300

B. 450

C. 500

D. 600

7．已知：如图7－154，⊙O 的半径OA ⊥OB ，过A 点的直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引⊙O 的切线交OB 延长线于C ，且PQ=QC ．求∠A 的度数．

8．已知：如图7－155，⊙O 内接四边形ABCD ，MN 切⊙O 于C ，∠BCM=38°，AB 为⊙O 直径．求∠ADC 的度数．

C

D

E O

A

F

B

O A

B

D E

O A C

B D

A

P

9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF ⊥AE于F．求证：

（1）△ABE为等腰三角形；

（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．