高等数学中有理分式定积分解法汇总
高等数学中有理分式定积分解法汇总
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由十个例题掌握有理分式定积解法
【摘要】 当被积函数为两多项式的商
()
()
P x Q x 的有理函数时,解法各种各样、不易掌握,在此由易到难将其解法进行整理、总结
【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分
两个多项式的商
()
()
P x Q x 称为有理函数,又称为有理分式,我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式,当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ,称有理式为真分式,否则称为假分式.
1.对于假分式的积分:利用多项式除法,总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.
例1.2 422
23
1
x x dx x +++? ()222
22131
x x x dx x ++-=+?
解 原式
2
2
2212311
x x dx dx dx x x =+-++???
3
24arctan 3
x x x C =
+-+ ()42
2222
2
22
222223321.11
311
31
13111
31
arctan x x dx
x x x x dx x x x dx dx
x x dx dx
x x dx dx dx
x x x x C +++-=+=-+?
?=-- ?+??
=-++=--+?????????例 解 原式
总结:解被积函数为假分式的有理函数时,用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式,然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆,有助于提高解题速度,例如:
2221111x dx dx x x ?
?=-
?++??
?? 对于真分式
()
()
P x Q x ,若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ,且()1Q x ,()2Q x 无公因式,则可拆分成两个真分式之和:
()()P x Q x ()()()()
1
212P x P x Q x Q x =+,上述过程称为
把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积,则最后有理函数分解式中出现多项式、()
()
1k
P x x a -、
()
()
22
l
P x x
px q ++等三类函数,则多项
式的积分容易求的
2.先举例,有类型一、类型二、类型三,以此为基础求解较复杂的真分式积分
2.1 类型一 ()m
k
ax b dx cx +? 例2.1.1
()
3
2
1x dx x -?
322
331
=x x x dx x -+-?解 原式
211
=33xdx dx dx dx x x
-+-????
211
=332x x In x C x
-+++
总结:当被积函数多项式与单项式相乘的形式,将其进行化简,使被积函数为简单幂函数,
然后利用常见积分公式进行运算
2.2 类型二 ()
k
m
cx dx ax b +?
例2.2.1
()2
3
2x dx x +?
解 令x+2=t ,则2x t =-,∴有dx dt =
()
()
2
3
23
2322
2=44
=1
11=44t
42
=Int+4
2n 222t dx
t
t t dt t
dt dt dt t t t t
x C x x --+-+++-+++?
???? 原式 -+C
=I
总结:当被积函数形如时()
k
m
cx dx ax b +?,将其用换元法转换为()m
k
ax b dx cx
+?,再按照后者解法求解
2.3 类型三
()
()
2
x l
P dx ax
bx c ++?
()
()()
()3
2
2
3
2
2
23
22
322
312222x =dt
11x-1dt 1+tan =dt
set tan 3tan 3tan 1
=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dx
x
x x t t t t
t t t t
t t t t t t --+??-+??
++++++??
?
?? 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()()()
()222
2
2223
=-1cos costd cos +
sin 2dt dt cos 2dt 41
cos 2
1
1
11
11
1122=222arctan 1224422
t t t t t x x x x In x x x C
x x x x -+-+∴-+-+-∴-+++-++-+-+??
??Q =-In +cos t+2t+2sintcost
tant=x-1,cost=,sint=
上式
()()()()()2222
222221
dx
23
1
2222 = dx 23111 = d 23-2d 2231211 = In 23-2arttan +C 22+bx+c +c +1l
x x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++??++ ???
+?
???例2.3.2 总结:当被积函数分母含有ax 时,可以用凑微分法进行积分;对于形如时,
可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .
x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次,便于计算
3. 以前面的几种简单类型为基础,现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分
()()()()()()
2
22222
22+3
dx 3102+3
dx
310
1
=d 310310=In 3102+3
dx 3102+32+3=310+52525211
5252=x x x x x x x x x x x x x x x x x A B
x x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴?
???
例3.1 解法1 +C 解法2 =+
=
原式21
1dx
52310x x x x ??+ ?+-??+-? =In +C
总结:假分式分母可以因式分解,将被积函数化为部分分式之和的形式,然后用基本积分公
式进行运算.
例3.2 ()()2
2
dx 211x x x x ++++?
()()()()22
2
2
222=dx
2111121122=21211
1111121d 12121213
24111211223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??
- ?+++??
+-+++++-++++++??++ ??
??
?++++ ??
???????原式 d -dx =d dx =In -In +arctan +C
总结:遇到被积函数是复杂的有理函数,用拆分法将其分解为自己熟悉的函数,灵活变换. 例3.3 ()()23
dx 11x x x ---?
()()
()()()
2
222223
=d 112
1d 21112211
2d d 2111111d 21d d 2211111
11
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x In
C x x --+-??=- ?-++????
-- ?=- ?-++ ?
??=-+---++--=+++-?
?????? 总结:此题能够得出一个重要结论,分母因式分解要求为各个因式之间无公约数,以此为标准进行因式分解,拆项
除此之外,常见的还有,可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式,将被积函数中含有三角函数的分式函数,例:
()1+sin sin 1cos x
dx x x +?.例如被积函数中含有
n
n
ax b ax b cx d +++或时用换元法将根号去掉,例:1d 1x
x x x
-+?,3
d 11x x ++?. 虽然形式
各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分,那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来,甚是轻松
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
高等数学定积分应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章各节教学内容及学时分配: 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6.2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 45.02+ §3.6 有理函数及三角函数有理式的积分 教学目的:使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法,掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。 重点:有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点:有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 教学过程: 一、问题的提出 前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发(换元积分法与分部积分法)已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见,求不定积分不像求导数那样,只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数,而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数,要求出结果,有时候都需要一定的技巧,有些甚至还“积不出”。例如, ????+-31,,ln ,sin 2 x dx dx e x dx dx x x x , 被积函数都是初等函数,看起来也并不复杂,但是在初等函数范围内却积不出来,这是 因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。 求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套” “拆”,即将被积函数拆项,把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”,即代数恒等变形:加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子;三角恒等变形:半角、倍角公式,平方和公式,积化和差、和差化积、和角公式;陪完全平方:根号下配完全平方、分母配完全平方等;“凑”,即凑微法(第一类换元法)。“换”,即第二类换元法(三角代换、倒代换、指数代换法等)。“分”,即分部积分法。“套”,即套基本公式。 求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字,即巧用上述方法和综合 运用上述方法。 二、 有理函数的积分 有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数,即 =)(x R m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++= ----11101110) ()(ΛΛ 其中m 和n 都是非负整数;n a a a a ,,,,2 10Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数,通常总假定 分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式,并且00≠a ,00≠b . 当m n <时,称)(x R 为真分式;而当m n ≥时,称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如 111122 234-++++=-+x x x x x x x . 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少? 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+? 第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.有理函数及三角函数有理式的积分
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