第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛八年级初赛试题(含答案)

第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛

八年级初赛试题卷

（注：（1）可使用计算器；

（2）可能得到的定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和．） 一、填空题（每小题5分，共40分）

1．刘师傅是某精密仪器厂的一名检测员．某天，他用螺旋测微器测量了一个工件的长度，共测量10次，记下的测量结果如下（单位：cm ）：

1.991，1.995，1.996，1.993，1.999，1.995，1.997，1.994，1.995，1.930． 请问同学们这件工件的可靠长度应是 ．（注：螺旋测微器是一种测量准确可达到0.001cm 的精密仪器．）

2．新世纪中学八年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A ，B ，C ，D 表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加“学用杯”全国数学知识应用竞赛．甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为： 甲：C 得亚军；D 得季军； 乙：D 得殿军，A 得亚军； 丙：C 得冠军，B 得亚军．

已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 3．八年级三班同学参加学校趣味数学竞赛，试题共有50道．评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分．班长小明在计算全班总分时，第一次计算结果是5734分；第二次计算结果是5735分．这两次中有一次是正确的，那么正确的结果是 分． 4．前进中学校园内有一块如图1所示的三角形空地，学校准备在它上面铺上草皮，已知

15

A ∠=，90C ∠=，20A

B =米，请你计算一下学校要购买

米

2

的草皮

才能正好铺满空地．

5．某高楼装潢需要50米长的铝材，现有3米，6米，9米，12米，15米，19米，21米，30米几种型号的可供选择．如果你是采购员，若使购买的铝材总长恰好为50米，则应采用的购买方案是 ．

6．如图2，在正方形上连接等腰直角三角形，不断反复同一个过程，假设第一个正方形的边长为单位1．第一个正方形与第一个等腰三角形的面积和记作1S ；第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和记作2S ；

；那么第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形

图1

的面积和n S 用含n 的代数式表示为

．

7．为响应政府的号召：为每位职工办理应该享受的福利待遇．“天鹰”公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金，金额与他工作的年数的算术平方根成正比例（比例系数为k ，）如果他多工作a 年，他的退休金比原有的多p 元，如果他多工作b 年()b a ≠，它的退休金比原来的多q 元，那么他每年的退休金是（以a ，b ，p ，q 表示）

元．

8．建设节约型社会就是使每一位公民养成节约意识，形成人人节约的良好习惯．节约与否不仅是个生活习惯、生活小节问题，更是个思想道德境界的问题．我们拥有的一切物质财富，无一不是劳动的结晶，每一滴水，每一度电，每一张纸，都凝结着劳动者的心血与汗水，所以，我们应该节约．假如你送给好朋友们的一个棱长为1的正方体礼物，需要用一

条张正方形彩纸包装，若不把纸撕开，那么所需纸的最小边长为 ． 二、选择题（每小题5分，共30分）

9．如图3，将一块边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，叠放在一块足够大的直角三角板上（并使直角顶点落在A 点，）设三角板的两直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ，那么四边形AECF 的面积为（

） Ａ．2

12cm

Ｂ．2

14cm

Ｃ．2

16cm

Ｄ．2

18cm

10．座钟的摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为2T =，其中T 表

示周期（单位：秒），l 表示摆长（单位：米），9.8g =米／秒2

．假如一台座钟的摆长为

0.5米，它每摆动一个来回发一次滴答声，那么在一分钟内，该座钟大约发出滴答声的次

数为 （ ） Ａ．60

Ｂ．48

Ｃ．46 Ｄ．42 11．“十一”黄金周期间，各商场纷纷开展促销活动，如图4是“福满多”超市中甲、乙两种化妆品的价格标签，一位理货员理货时发现标签上有的地方不清楚了：甲化妆品的原价和现价看不清楚，乙化妆品的打折数和现价看不清楚了，但是收银员知道刚卖过2件甲

图2

化妆品和3件乙化妆品的款数为108元，3件甲化妆品和2件乙化妆品的款数为120元，据此理货员可以算出甲化妆品的原价和乙化妆品的打折数分别为 （ ） Ａ．36元 8折 Ｂ．24元 8折 Ｃ．36元 7折 Ｄ．26元 7折

12．将正方形纸片由下向上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作（见图5）．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．那么，当展开这张正方形纸片后，所有小孔的个数为 （ ） Ａ．48 Ｂ．128 Ｃ．256 Ｄ．304

13．“诺亚”集团计划下一年生产一种新型高清晰数字平板电视，下面是各部门提供的数据信息：

人事部：明年生产工人不多于8000人，每人每年按2400工时计算； 技术部：生产一台平板电视，平均要用10个工时，每台平板电视需要10个某种主要部件； 供应部：今年年终库存某种主要部件4000000个，明年能采购到的这种主要部件为16000000个；

市场部：预测明年销售量至少1800000台．

请根据上述信息判断，明年该公司的生产量x 可能是 （ ） Ａ．1800000x 2000000≤≤ Ｂ．1920000x 2000000≤≤ Ｃ．18000001900000x ≤≤ Ｄ．18000001920000x ≤≤

14．如图6所示为长方形台球桌ABCD ，一个球从AB 边上某处P 点被击出，分别撞击球桌的边BC ，CD ，DA 各1次后，又回到出发点P 处，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图中αβ∠=∠）．若3AB =，4BC =，则此球所经过路线的总长度（不计球的大小）为

（

）

Ａ．不确定 Ｂ．12 Ｃ．11 Ｄ．10

甲 乙 图

4 图

5 R

Q

图6

三、解答题（每小题分，共分）

15．远大商贸有限公司，现有业务员100名，平均每人每年可创业绩收入a 元．为适应市场发展的需要，又在某市开设一家分公司，需派部分业务精英去开拓市场．公司研究发现，人员调整后，留在总部的业务员的业绩年收入可增长20%，而派到分公司的业务员，平均每人的业绩年收入可达3.5a 元．为了维护公司的长远利益，要保证人员调整后，总部的全年总收入不少于调整前，而分公司的总收入也不少于调整前总公司年收入的一半，请你帮公司领导决策，需要往分公司派多少名业务精英．

16．如图7，边长为a 的正方形ABCD 的四边贴着直线l 向右无滑动

“滚动”，当正方形“滚动”一周时，该正方形的中心O 经过的路程是多少？顶点A 经过的路程又是多少？

图7 l

四、开放题（每小题分，共分）

17．曹冲称象的故事中，聪明的曹冲知道大象的体重不能直接去称，就把称大象的重量转化为称石头的重量：他先把大象赶到船上，得到船吃水的深度；再把大象赶下船，往船上装一块块的石头，达到相同的吃水深度，于是，称出石头的重量即可得到大象的重量．

曹冲的思维方法就是转化的思想方法，该思想方法在数学中有着广泛而重要的应用，特别是在解决一些实际问题时，应用就更为广泛了．

请你根据自己所学的数学知识，联系生活实际，编写一道用转化的思想方法解决实际问题的题目，并说明理由．

18．为庆祝抗日战争胜利六十周年，请你借助平移，旋转或轴对称等知识设计一个图案，以表达你热爱和平，反对侵略的美好愿望（要求：画出图案，并简要说明图案的含义）．

参考答案

一、填空题（每小题5分，共40分）

1．1.995米 2．Ｃ，Ａ，Ｄ，Ｂ

3．5734

4．50

5．19米铝材2根，12米铝材1根；或19米铝材2根

6．

1

5

2n + 7

．22

2()

aq bp bp aq -=-

8

．二、选择题（每小题5分，共30分）

9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｃ 12．Ｃ 13．Ｄ 14．Ｄ

三、解答题（每小题20分，共40分）

15．设需派往分公司x 名业务精英，依题意可得

(100)(120%)100

3.5100.x a a a x a -+???1

???2

，≥≥ ·························································································· （10分）

解之得10050

73

x ≤≤． ·

························································ （15分） 由于x 为正整数，则x 可取15或16人．

故可派往分公司的业务精英为15人或16人． ······························ （20分）

16．解：（1）

如图1，正方形ABCD “滚动”一周时，中心O 所经过的路程为：

1

244L a ?=

?π?????

中 ······························································· （8分）

a =． ················································································· （10分）

（2）

A

()D B

()A C ()B D ()C A

()D

()C

()B ()A ()D

C B 图2

l

图1

l

如图2，正方形ABCD “滚动”一周时，顶点A 所经过的路程为：

1224L a 1

=?)+2??π4

顶 ·

··················································· （18分）

11

2

224

4

a a a =

?π

+??

π． ······································· （20分）

四、开放题（每小题20分，共40分） 17．答案不惟一．

例如：要测量河两岸相对两点A ，B 的距离（如图3所示），可先在AB 的垂线AF 上

取两点C ，D ，使AC CD =，再过D 作AD 的垂线DE ，使B ，C ，E 三点在一条直线上，这时DE 的长就是AB 的长．

解：由题意可知：AB AD ⊥，DE AD ⊥．

所以90BAC EDC ∠=∠=． 因为在BAC △和EDC △中， BAC EDC ∠=∠，

AC CD =（已知）

， ACB DCE ∠=∠（对顶角）

， 所以(ASA)BAC EDC △≌△．故DE AB =．

即DE 的长就是AB 的长． ···························································· （18分）

此题中，我们运用了转化的思想方法，把不能直接测量的AB 的长转化为可直接测量的

DE 的长．

················································································· （20分） 说明：本题可仿照上例给分． 18．答案不惟一

说明：1．正确运用平移，旋转或轴对称等知识等设计出图案； ············ （10分） 2．正确表达题目要求的含义； ······················································· （18分） 3．创意新颖，含义深刻． ····························································· （20分）

图3