第5章狄拉克delta函数_476401940
几种常用边缘检测算法的比较
几种常用边缘检测算法的比较摘要:边缘是图像最基本的特征，边缘检测是图像分析与识别的重要环节。基于微分算子的边缘检测是目前较为常用的边缘检测方法。通过对Roberts，Sobel，Prewitt，Canny 和Log 及一种改进Sobel等几个微分算子的算法分析以及MATLAB 仿真实验对比，结果表明，Roberts，Sobel 和Prewitt 算子的算法简单，但检测精度不高，Canny 和Log 算子的算法复杂，但检测精度较高，基于Sobel的改进方法具有较好的可调性，可针对不同的图像得到较好的效果，但是边缘较粗糙。在应用中应根据实际情况选择不同的算子。 0 引言 边缘检测是图像分析与识别的第一步，边缘检测在计算机视觉、图像分析等应用中起着重要作用，图像的其他特征都是由边缘和区域这些基本特征推导出来的，边缘检测的效果会直接影响图像的分割和识别性能。边缘检测法的种类很多，如微分算子法、样板匹配法、小波检测法、神经网络法等等，每一类检测法又有不同的具体方法。目前，微分算子法中有Roberts，Sobel，Prewitt，Canny，Laplacian，Log 以及二阶方向导数等算子检测法，本文仅将讨论微分算子法中的几个常用算子法及一个改进Sobel算法。 1 边缘检测
在图像中，边缘是图像局部强度变化最明显的地方，它主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域( 包括不同色彩) 之间。边缘表明一个特征区域的终结和另一特征区域的开始。边缘所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部特征或属性是不同的。边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特征上的差异来实现检测，这些差异包括灰度、颜色或纹理特征，边缘检测实际上就是检测图像特征发生变化的位置。边缘的类型很多，常见的有以下三种: 第一种是阶梯形边缘，其灰度从低跳跃到高; 第二种是屋顶形边缘，其灰度从低逐渐到高然后慢慢减小; 第三种是线性边缘，其灰度呈脉冲跳跃变化。如图1 所示。 (a) 阶梯形边缘(b) 屋顶形边缘 (b) 线性边缘 图像中的边缘是由许多边缘元组成，边缘元可以看作是一个短的直线段，每一个边缘元都由一个位置和一个角度确定。边缘元对应着图像上灰度曲面N 阶导数的不连续性。如果灰度曲面在一个点的N 阶导数是一个Delta 函数，那么就
DeltaV组态逻辑(Logical)功能块详细说明
逻辑与（AND）功能块 此主题包括 逻辑与（AND）功能块根据二到十六个离散输入的逻辑与（AND）关系生成一个离散输出值。功能块支持信号状态传播。逻辑与功能块里没有模式或者报警检测。 逻辑与（AND）功能块 IN_D1 到IN_D[n]是离散输入值和状态（多达16个输入）。 OUT_D是离散输出值和状态。 原理图-逻辑与功能块 下图显示了逻辑与功能块的内部结构 逻辑与功能块原理图 功能块执行-逻辑与功能块
逻辑与功能块的输入数是个可扩展参数。功能块缺省有两个输入。您可以选择功能块原理图，右击并选择扩展参数（Extensible Parameters），然后修改输入的数量。这为功能块创建额外的输入连接器。 逻辑与功能块检查您定义的输入，并应用逻辑与到输入中。当所有的输入是真（1），输出为真。当一个或多个输入为假（0），输出为假。 状态处理-逻辑与功能块 输出状态设为所选输入的最坏状态，除非至少一个输入是假并且其状态为非坏，输出状态设为GoodNonCascade。 参数-逻辑与功能块 下表列出了逻辑与功能块的系统参数： 逻辑与功能块系统参数 注意参数的缺省值和数据类型信息可以通过展开参数视图来获得。 应用信息-逻辑与功能块 逻辑与功能块用于确定是否所有的离散输入都为真。您可以使用逻辑与功能块在一个或者多个紧急停止条件满足时紧急停止一个过程。 您也可以在联锁条件里使用逻辑与功能块，保证只有在进料阀打开并且储罐的液位在最小值之上时泵运行。阀和液位变送器值可以作为逻辑与功能块的输入。只有在两个条件都满足时，逻辑与功能块才会发送一个信号来启动泵。结果信号将送到离散输出功能块作额外处理，像下面的例子一样。
常用数学符号大全
数学符号及读法大全 常用数学输入符号：≈≡≠＝≤≥＜＞???±＋－× ÷／∫?ⅴ∞ⅸⅹ∑∏?∩ⅰ??//?‖ⅶ???√（）【】｛｝ⅠⅡ??ⅷαβγδεδεζΓ 大写小写英文注音国际音标注音中文注音 Ααalpha alfa 阿耳法 Ββbeta beta 贝塔 Γγgamma gamma 伽马 Γδdeta delta 德耳塔 Δεepsilon epsilon 艾普西隆 Εδzeta zeta 截塔 Ζεeta eta 艾塔 Θζtheta ζita 西塔 Ηηiota iota 约塔 Κθkappa kappa 卡帕 ⅸιlambda lambda 兰姆达 Μκmu miu 缪 Νλnu niu 纽 Ξμxi ksi 可塞 Ονomicron omikron 奥密可戎 ⅱπpi pai 派 Ρξrho rou 柔 ⅲζsigma sigma 西格马 Σηtau tau 套
Τυupsilon jupsilon 衣普西隆Φθphi fai 斐 Υχchi khai 喜 Φψpsi psai 普西Χωomega omiga 欧米 符号含义 i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e x a^x a的x次方；有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同 a^x log b a 以b为底a的对数； b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于 sin x/cos x cot x 余切函数的值或 cos x/sin x sec x 正割含数的值，其值等于 1/cos x csc x 余割函数的值，其值等于 1/sin x asin x y，正弦函数反函数在x处的值，即 x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即 x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即 x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即 x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即 x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc y ζ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量(a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b)a、b向量的点积
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
关于MATLAB边缘检测sobel算子
关于MATLAB边缘检测sobel算子 一、sobel介绍 索贝尔算子是图像处理中的算子之一，主要用作边缘检测。在技术上，它是一离散性差分算子，用来运算图像亮度函数的梯度之近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的梯度矢量或是其法矢量。 该算子包含两组3x3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以代表原始图像，及分别代表经横向及纵向边缘检测的图像，其公式如下: 图像的每一个像素的横向及纵向梯度近似值可用以下的公式结合，来计算梯度的大小。 然后可用以下公式计算梯度方向。 在以上例子中，如果以上的角度等于零，即代表图像该处拥有纵向边缘，左方较右方暗。 二、程序 例1 clear all; close all; f=imread('dsy.jpg'); u=rgb2gray(f); F=double(f); U=double(u); [H,W]=size(u); uSobel=u; % ms=0; % ns=0;
for i=2:H-1 for j=2:W-1 Gx=(U(i+1,j-1)+2*U(i+1,j)+F(i+1,j+1))-(U(i-1,j-1)+2*U(i-1,j)+F(i-1,j+1)); Gy=(U(i-1,j+1)+2*U(i,j+1)+F(i+1,j+1))-(U(i-1,j-1)+2*U(i,j-1)+F(i+1,j-1)); uSobel(i,j)=sqrt(Gx^2+Gy^2); % ms=ms+uSobel(i,j); % ns=ns+(uSobel(i,j)-ms)^2; end end % ms=ms/(H*W); % ns=ns/(H*W); subplot(1,2,1);imshow(f);title('原图'); subplot(1,2,2);imshow(im2uint8(uSobel));title('Sobel处理后'); % S=[ms ns]; 程序运行结果： 例2 hg=zeros(3,3); %设定高斯平滑滤波模板的大小为3*3 delta=0.5; for x=1:1:3 for y=1:1:3 u=x-2; v=y-2; hg(x,y)=exp(-(u^2+v^2)/(2*pi*delta^2)); end
delta函数
补充材料：δ函数 见曾谨言 一、问题的提出 在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答： 二、δ函数的定义 为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下： ???=-∞≠-=-) 0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ? ??<<=-?)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=??∞ ∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。 数学性质上δ函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理 例 )(lim 1lim 2 2/0x e e x δπαπσ αασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 24/x e e x i i δπ ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4)
四元数,矢量运算规则,场论基础,并矢,算符,场量的Taylor展开,正交曲线坐标系,Delta函数
四元数quaternions 复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:k ,j ,i ,1.四元数定义dk cj bi a +++=α,其中R d ,c ,b ,a ∈ 另一四元数R 'd ,'c ,'b ,'a ,k 'd j 'c i 'b 'a ∈+++=β,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为 )k 'd j 'c i 'b 'a )(dk cj bi a (++++++=αβk )'cb 'bc 'da 'ad (j )'bd 'db 'ca 'ac (i )'dc 'cd 'ba 'ab ()'dd 'cc 'bb 'aa (-+++-+++-+++---= 四元数的单元间的运算规则: j ik ki ,i kj jk ,k ji ij ,1k j i 222=-==-==-=-=== 四元数加法适合结合律,交换律; ,即)()(βγαγαβ=而一般βααβ≠.(βααβα=?∈R ) 对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！！！ 四元数的共轭: dk cj bi a :---=α,若dk cj bi a +++=α 性质:αβαβ= 四元数的迹: R a 2:)(S ∈=+=ααα 性质: )(S )(S )(S βαβα+=+ 四元数的模: R d c b a :)(N 2222∈+++==ααα 性质: )(N )(N )(N βααβ?=,0)(N 0=?=αα 证明: 0,oder ,00==?=βααβ 00)(N 00)(N 00,und ,0=?? ?? ≠?≠=?=?≠=βααβαααβαααβ,即00,und ,0=?≠=βααβ,同理00,,0=?≠=αβαβund 证明:若α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根,则α也是其根. 因为,α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根0)()(2=++-?ααααα?=++-?0)()(2 αααααα也是其根) 四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程1x 2-=就最少存在k ,j ,i ±±±6个根,实际上1x 2-=有无穷多个根,因为使1r q p 222=++成 立的实数r ,q ,p 有无穷多个,而1)r q p ()rk qj pi (2222-=++-=++ Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使i 在有明确意义: 4阶实方阵集H 内方阵型如????? ? ??------a b c d b a d c c d a b d c b a ,令????? ? ?? --=??? ??? ?? --=?????? ? ?--=?????? ??=0 11001 1010 1100101 100 1101111K ;J ,E ,I ,则集H 内任意方阵可唯一表为dK cJ bE aI +++,即 } R d ,c ,b ,a |dK cJ bE aI {H ∈+++=,H 对矩阵减法封闭;且I K J E -===222 ,;J KE ,E JK ,K EJ ===J EK ,E KJ ,K JE -=-=-=,矩阵乘法在H 内封闭,故H 对矩阵加,乘法构 成环;H 的元素个数>1;I 是H 的单位元,又因I )d c b a ()dK cJ bE aI )(dK cJ bE aI (2222+++=---+++,且当0 ≠+++dK cJ bE aI 时,d ,c ,b ,a 不全为零,故 2222>+++d c b a ,所以H 中非零元在H 内存在逆元,综上所述H 是非交换体,常称H 为四元数环,称H 内的元为四元数Quaterion : t+xi+yj+zk,其中t 为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础. 矢量运算规则 两矢的内积:)b ,a cos(|b ||a |b a ∧=? R V ,V → 两矢的外积: )b ,a sin(|b ||a ||b a |∧ =? , b ,a )b a ( ⊥? V )V ,V (→ 物理意义: b ,a 两矢内积是功; b ,a 两矢外积的模是以b ,a 两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换 外积和内积的关系:)b ,a (sin |b ||a |))b ,a (cos 1(|b ||a |)b a (|b ||a ||b a |2 222222222∧∧=-=?-=? 即)b ,a sin(|b ||a ||b a |∧ =? 推论 22b a b b a a )b a ()b a (; b a )b a ()b a (-=?-?=+?-?=+?- 四元数和两重积间的联系:两四元数k a j a i a 321++=α,k b j b i b 321++=β;两矢量)a ,a ,a (a 321= , )b ,b ,b (b 321= 间关系βα??b ,a 两矢内积和四元数间的关系:两量积)Re()Re()(2 1)(21b a αββαβαβααββα-==+=+=? ,即两矢内积b ,a 对应于四元数βα的实部. 两矢外积和四元数间的关系:矢量内积)Im()Re()(2 1 b a αβαβαβαβαβ=-=-=? ,即两矢外积b a ?对应于四元数αβ的非实部. 两矢内积,外积和四元数间的关系:αβ=?-?b a b a 三矢内积)c b (a c )b a (:]c ,b ,a [ ??≡??=,R V ,V ,V → 物理意义: c ,b ,a 三矢的内积是以c ,b ,a 三矢为边的平行六面体的体积 性质:b )c a (a )b c (c )a b (b )a c (a )c b (c )b a ( ??-=??-=??-=??=??=?? 推论:0]q c ,p b ,r a []p c ,r b ,q a []r c ,q b ,p a [=???+???+??? 2]c ,b ,a []a c ,c b ,b a [ =??? 三矢外积c )b a ()c a (b )c b (a ?-?=??V )V ,V ,V (→ c )b a (b )c a (c c c )b a b a b a (b b b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a ()c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a c b c b c b c b c b c b a a a )c b (a 3213322113213322113332211333221 12332211233221113322111332211233223113112211233233113312212122131132332321 ?-?=??? ? ? ??++-????? ??++=? ? ? ?? ??++-++++-++++-++=????? ??---------=????? ??---?????? ??=?? 推论0)b a (c )a c (b )c b (a =??+??+?? 四矢内积:)c b )(d a ()d b )(c a (d b c b d a c a )d c () b a ( ??-??=????=??? R )V ,V ,V ,V (→ ) c b )( d a ()d b )(c a (a )d )c b (c )d b ((a ))d c (b ()d c ()b a (三矢外 积 三矢内积 ??-??=??-?=???= ??? 四矢外积:a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [)d c ()b a ( -=-=??? V )V ,V ,V ,V (→ a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [a )b )d c ((b )a )d c (()d c ()b a (;d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [d )c )b a ((c )d )b a (()d c ()b a (三矢外积 三矢外 积 -=??-??= ???-=??-??= ??? 推论c ] c ,b ,a [] d ,b ,a [b ]c ,b ,a []c ,d ,a [a ]c ,b ,a []c ,b ,d [d 0]c ,b ,a [ ++=→≠ )d a )(c b ()c a )(d b ()}d c (b {a ??-??=???
费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。 一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)ex p[(11 )(kT E E E f F -+= f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。 只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。 费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】 第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．． ， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。 0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 费米分布函数变化曲线T 3 >T 2 >T 1 >T 0 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适 用于非平衡状态
中间过程、临界现象--分数阶算子理论、方法、进展
https://www.360docs.net/doc/5115540535.html, Intermediate processes, critical phenomena: theory, method, progress of fractional operators and its applications to modern mechanics Xu Mingyu (徐明瑜)1 & Tan Wenchang (谭文长)2 1. Institute of Applied Mathematics, School of Math & System Science, Shandong University, Jinan 250100, China; 2. LTCS & Department of Mechanics and Engineering Science, Peking University, Beijing 100871, China Correspondence should be addressed to Xu Mingyu (email: xumingyu@https://www.360docs.net/doc/5115540535.html,) or Tan Wenchang (email: tanwch@https://www.360docs.net/doc/5115540535.html,) Abstract ：From point of view of physics, especially of mechanics, we briefly introduce fractional operators (with emphasis on fractional calculus and fractional differential equations) used for describing intermediate processes and critical phenomena in physics and mechanics, and their progress in theory and methods, and applications to modern mechanics. Some authors’ researches in this area in recent years are included. Finally, prospects and evaluation for this subject are made. Keywords: fractional operators, intermediate processes, critical phenomena, modern mechanics 1 Brief introduction to the fractional operators (FO) When in the 17th century the integer calculus had been developed, Leibniz and L’Hospital probed into the problems on the fractional calculus (FC) and the simplest fractional differential equations (FOEs) through letters. Leibniz asked in a letter addressed to L’Hospital: Can the meaning of derivatives of integral order d n f(x)/dx n be extended to have meaning when n is not an integer but any number (irrational, fractional or even complex-valued)? L’Hospital responded: What if n be 1/2? d 1/2f(x)/dx 1/2=? for f(x)=x. Leibniz, in a letter dated from Sept. 30, 1695, replied: It will lead to a paradox, from which one day useful consequences will be drawn. And, 124 years later (in 1819) Lacroix gave the correct answer of this problem for the first time, i.e., π/2/2/12/1x dx x d =. After that in a long period of time, through great efforts made by many mathematicians the Riemann-Liouville (R-L) fractional operators were finally formed. In Lebesgue integrable space L 1(a, b) fractional integral operator with q order is defined as: {}∫???Γ= t 0 10)()() (1:)(τττd f t q t f D q q t ，(1Re 0≤ 【OpenCV】边缘检测：Sobel、拉普拉斯算子转自：https://www.360docs.net/doc/5115540535.html,/xiaowei_cqu/article/details/7829481 边缘 边缘(edge)是指图像局部强度变化最显著的部分。主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域(包括不同色彩)之间，是图像分割、纹理特征和形状特征等图像分析的重要基础。 图像强度的显著变化可分为： ?阶跃变化函数，即图像强度在不连续处的两边的像素灰度值有着显著的差异； ?线条（屋顶）变化函数，即图像强度突然从一个值变化到另一个值，保持一较小行程后又回到原来的值。 图像的边缘有方向和幅度两个属性,沿边缘方向像素变化平缓,垂直于边缘方向像素变化剧烈.边缘上的这种变化可以用微分算子检测出来,通常用一阶或二阶导数来检测边缘。 （a）（b）分别是阶跃函数和屋顶函数的二维图像；（c）（d）是阶跃和屋顶函数的函数图象；（e）（f）对应一阶倒数；（g）（h）是二阶倒数。 一阶导数法：梯度算子 对于左图，左侧的边是正的（由暗到亮），右侧的边是负的（由亮到暗）。对于右图，结 论相反。常数部分为零。用来检测边是否存在。 梯度算子 Gradient operators 函数f(x,y)在(x,y)处的梯度为一个向量： 计算这个向量的大小为： 近似为: 梯度的方向角为： Sobel算子 sobel算子的表示： 梯度幅值： 用卷积模板来实现： 【相关代码】 接口 [cpp]view plaincopyprint? 1.CV_EXPORTS_W void Sobel( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, 2.int dx, int dy, int ksize=3, 3.double scale=1, double delta=0, 4.int borderType=BORDER_DEFAULT ); 使用 [cpp]view plaincopyprint? 1./////////////////////////// Sobe l//////////////////////////////////// 2./// Generate grad_x and grad_y 3.Mat grad_x, grad_y; 补充材料：δ函数 一、问题的提出 在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答： 二、δ函数的定义 为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下： ???=-∞≠-=-) 0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ? ??<<=-?)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=??∞ ∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。 数学性质上δ函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理 例 )(lim 1lim 22/0x e e x δπ απσαασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 2 4/x e e x i i δπ ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4) 费米狄拉克分布函数 费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）全同和独立的费米子系统中粒子的最概然分布。简称费米分布，量子统计中费米子所遵循的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。 费米子是自旋为半整数( 即自旋为/2，=h/2π，h是普朗克常量）的粒子，如轻子和重子，全同费米子系统中粒子不可分辨，费米子遵从泡利不相容原理，每一量子态容纳的粒子数不能超过一个。对于粒子数、体积和总能量确定的费米子系统，当温度为T时，处在能量为E的量子态上的平均粒子数为[2] 费米-狄拉克分布公式 式中，k是玻耳兹曼常量，εf是化学势。在高温和低密度条件下，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。 对费米-狄拉克分布公式的理解：是各能级被电子占据的数目服从的特殊的统计规律。 费米能级：用来描述电子的能级填充水平的假想能级， E越大，高能级的电子越多，反之 F E反映整体平均水平）。对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能则越少（ F 级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。只要知道了它的值，在一定温度下，就能确定电子在各量子态下的统计分布。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。 Methods in Mathematical Physics 问题的引入： 问题的引入： 狄拉克与狄拉克方程 英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。 5、1 狄拉克算符 1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza ，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard ，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq ≠qp ，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S ．Poisson ）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方 式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。 5、2 费米—狄拉克统计 1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方2 是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。 图10-12为狄拉克（左）和海森伯（右）在剑桥【OpenCV】边缘检测：Sobel、拉普拉斯算子 .
delta函数性质汇总
费米狄拉克分布函数
10.1狄拉克函数
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
Wuhan University
?行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ? ?分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ?积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ? 1、格林函数法：
其解为含有格林函数的有限积分。 ?Δu = ? h(M ) 由§10.2: ? → ? ?u σ = f ( M ) ?
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 )h( M )dτ ? ∫∫
τ
Wuhan University
σ
?G f (M 0 ) dσ 0 ?n0
G(M,M0)－狄氏格林函数
2、格林函数: 点源函数,点源产生的场和影响
若外力 f ( x , t ) 只在 ξ 点 , τ 时起作用
? ?0, x ≠ ξ , t ≠ τ 2 ?utt = a u xx + f ( x, t ) , f ( x, t ) = ? ? f (ξ ,τ ), x = ξ , t = τ ? ? 则 ?u x =0 = 0, u x =l = 0 ? ?u t =0 = 0, ut t =0 = 0 ↑ ? ?
u ( x, t ) ? 格林函数, 即G(x, t ξ ,τ ); f ( x, t ) ? 点源
Wuhan University狄拉克与狄拉克方程