固体物理习题解答

《固体物理学》部分习题解答

补充：证明“晶体的对称性定律”。

证明：晶体中对称轴的轴次n并不是任意的,而是仅限于 n=1,2,3,4,6这一原理称为“晶体的对称性定律”。

现证明如下:

设晶体中有一旋转轴n 通过某点O,根据前一条原理必有一平面点阵与你n 垂直,而在其中必可找出与 n垂直的属于平移群的素向量a,将a作用于O得到A 点将-a作用于O点得到A’点:若a= ,则L( )及L(- )必能使点阵复原,这样就可得点阵点B,B’,可得向量BB’,显然BB与a平行,因为空间点阵中任意互相平行的两个直线点阵的素向量一定相等,因而向量BB’的长度必为素向量a的整数倍即:

BB’= ma

由图形关系可得:

=

即

m=0,±1,±2

m n

-2 -1 p 2

-1 - 3

0 0 4

1 6

2 1 2p 1

所以 n=1,2,3,4,6

综上所述可得结论:在晶体结构中,任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重,二种,三重,四重或六重等五种,而不可能存在五重和七重及更高的其它轴次,这就是晶体对称性定律。

晶体的对称性定律证明

:

1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。

解 由倒格子定义2311232a a b a a a π?=?? 3121232a a b a a a π?=?? 12

3123

2a a b a a a π?=??

体心立方格子原胞基矢123(),(),()222

a a a a i j k a i j k a i j k =-+

+=-+=-+

倒格子基矢2311230

22()()22

a a a a

b i j k i j k a a a v π

π?==?-+?+-??

2

02()()4a

i j k i j k v π

=?-+?+- 2()j k a π=+

同理31212322()a a b i k a a a a ππ?==+?? 3

2()b i j a

π=+

可见由123,,b b b

为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢

123()/2

()/2()/2

a a j k a a k i a a i j =+=+=+

倒格子基矢2311232a a b a a a π?=?? 12()b i j k a

π

=

-++

同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+

可见由123,,b b b

为基矢构成的格子为体心立方格子

1.4 证明倒格子原胞的体积为

3

(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积

证 倒格子基矢23

11232a a b a a a π?=??

31

21232a a b a a a π?=??

12

3123

2a a b a a a π?=??

倒格子体积*

0123()v b b b =??

3

*0

2331123

(2)()()()v a a a a a a v π=

????? 3

*

00

(2)v v π=

1.5 证明：倒格子矢量112233

G h b h b h b =++

垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证：

33121323

,a a

a a C A C B h h h h =-=-

容易证明123

123

h h h h h h G C A G C B ?=?=

112233G h b h b h b =++

与晶面系123()h h h 正交。

1.6 如果基矢,,a b c

构成简单正交系

证明晶面族()hkl 的面间距为22()()k l d b c

=+ 说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理

证 简单正交系a b c ⊥⊥

123,,a ai a bj a ck ===

倒格子基矢2311232a a b a a a π?=?? 3121232a a b a a a π?=?? 12

3123

2a a b a a a π?=??

123222,,b i b j b k a b c πππ===

倒格子矢量123G hb kb lb =++ 222h i k j l k a b c

πππ=++

晶面族()hkl 的面间距2d G

π

=

= 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大

晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理

3.2 讨论N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N 个格波解，当M=m 时与一维单原子链结果一一对应

解 质量为M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。

质量为m 的原子位于 2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程

2221212121222(2)(2)n n n n n n n n m M μ

βμμμμ

βμμμ+-+++=---=---

—— 体系有N 个原胞，有2N 个独立的方程 方程

2221212121222(2)(2)n n n n n n n n m M μ

βμμμμ

βμμμ+-+++=---=--- 的解

[(2)]2[(21)]

21i t na q n i t n aq n Ae

Be

ωωμμ--++==

A ,

B 有 非零解

2

2

22cos 02cos 2m aq aq

M βω

βββω

--=--

1

2

2

22

()4{1[1sin ]}()

m M m M aq m M

m M ωβ

+=±-

+

—— 两种不同的格波的色散关系 1

2

2

22

()4{1[1sin ]}()

m M m M aq m M

m M ωβ

++=+-

+

2

2(2)(2cos )0(2cos )(2)0

m A aq B aq A M B βωβββω?--=??-+-=??

1

2

2

22

()4{1[1sin ]}()

m M m M aq m M

m M ωβ

-+=--

+

对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N

M=m 2aq ω+=

2

aq ω-=

长波极限情况下0q → sin(

)2

2

qa qa ≈

q ω-=

与一维单原子晶格格波的色散关系一致

3.3．考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c 和10 c ．令两种

原子质量相同，且最近邻间距为2a ．求在0k =和k a π

=处的()k ω．大略地画出色散关系．本

题模拟双原子分子晶体，如2H 。

? ?

1s u - 1s v - s u s v 1s u + 1s v + ()()2

1210s s s s s d u M

C V u C V u dt

-=-+-，

()()212

10,s s s s s d V M

C u V C u V dt

+=-+-

将,.isK a

i t

isK a

i t

s s u ue

e

V Ve

e

ωω--=?=?代入上式有

()()2

2

1011,

1011,

ika

ika M u C e V C u M V C e

u C V ωω--=+--=+-

是U ，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为

2

2

11,(10)

(10),11iK a

iK a

M C C e C e

M C

ωω--++- =0，解出

2

4

2

2

2

2220(1)011.

M M C C conK a C M

ωωω±-+-=?

∴=

±?

当K=0时， 当K=/a π时

2

222/,0,

C M ωω+-

==

2

220/,

2/,

C M C M ωω+-

==

2

ω与K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如2H )晶体

3.6 计算一维单原子链的频率分布函数()ρω 解 设单原子链长度L Na = 波矢取值2q h

N a π=? 每个波矢的宽度

2N a

π

状态密度

2N a π dq 间隔内的状态数

2N a dq π

—— 对应,q ω±取值相同，d ω间隔内的状态数目 ()22N a d dq ρωω

π

=?

一维单原子链色散关系 22

4sin (

)2

aq m βω=

令0

ω=

0sin(

)2

aq ω

ω=

两边微分得到 0

cos()22

a aq d dq

ω

ω= cos(

)2aq =

d ω

=

d ω=

2

d dq =

代入()22N a d dq ρωω

π

=?2ω

=?

一维单原子链的频率分布函数()ρω=

3.7．设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有2

0()q Aq ωω=-

求证：频率分布函数为()

1/2

002

3/2

1(),4V f A

ωωωωωπ

=

-<;

()0f ω=. 0,ωω>

解 ()1

1

2

2

22

00000()0,0Aq f Aq q A ωωωωωωωωωω>-=>=

依据()

3

()2,()()

2q q V

ds q Aq f q ωωωπ?=-=

??

，并带入上边结果有

()()

()

()

()

()

()1/2

1/2

003

3

1/2

2

2

3/2

01142()

222q V

ds V

A

V

f A

A

q ωπωωωωωππωωπ=

?=

?

-=

?

-?-

()

2222

2

2

2

22,222B x

y

K K

m

m a a m

a πππε????

??????=

+=+=???? ? ? ???????????????

B 点能量所以/2B A εε=

4.2．写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k a

π

=的0级波函

数。

解：2221()*

24

()i

m x

i

x

i

m x

i

m x

ikx

ikx

a

a

a

a

k

x e

e

ππ

ππψ+

=

=

=

?=

第一能带：*210,0,()2i

x

a

k

m m x a

π

πψ?

===

第二能带：23*

222,,1,()x

i

x

a

a

k

b b b b m m x a

a

πππ

ππψ''=→?

=-=-∴=

i i

2a

则即（e

=e

）

第三能带：25*2222,,1,()i

x

i

x

i

x

a

a

a

k

c c m m x e

a

a

π

ππππψ'→?

=

==

?=

即

(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度． 解：(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以

111()()()()a a b L

b

b

V x V x V x dx V x dx L

a

a

--=

=

=

?

?

?

题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是 22

2

2

2

3

2

1

11()()223

6

b

b

b

b b

b

b b m m V V x dx b x dx b x x

m b a a a ω

ωω----??==-=-

=???

???。 （3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

200

2

1

()cos ,()cos

()cos

2222b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdx

b b

b

b

b

πππ∞

=-∞

'=+

=

=

∑

?

?112

2

2

10

2,1()cos

2b g g m x E V m E b x dx b

b

ωπ===

-?

第一个禁带宽度以代入上式,

利用积分公式()2

2

3

2cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m

m

=+-

?????得

2

2

3

16m b ω

π=

1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式

22

22

()cos

b g m x E b x dx b

b

ωπ=

-?

再次利用积分公式有2

2

2

2m b ω

π

=

2g E

4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带()s

E k 函数

解 面心立方晶格

—— s 态原子能级相对应的能带函数0()()s

s ik R s

s s R N earest

E k J J R e ε-?==--

∑

s 原子态波函数具有球对称性0*

1()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ?ξξξ?ξξ==--->?

01

()s

s ik R s

s R N earest

E k J J e

ε-?==--∑

—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个

12个最邻近格点的位置 ,,022,,022,,

022,,022

a a a a a a a a ???

?-??

?-???--?0,,220,,220,,220,,22a

a a a a a a a ?

???-???-???--

?

,0,22,

0,22,

0,2

2,0,2

2

a

a a a a a a

a ???

?-??

?-???--

?

022s a a R i j k =++ 01()s s ik R s

s R N earest

E k J J e

ε-?==--∑ ()(0)

22

()

2

(cos

sin

)(cos

sin

)

2

2

2

2

x y z s

x y a a i k i k j k k i j k ik R a i

k k y y x x e e

k a k a k a k a e

i i -++?++-?-+==--

—— 类似的表示共有12项

—— 归并化简后得到面心立方s 态原子能级相对应的能带

1()4(cos cos cos cos cos cos )

222222

s

s y y x x z z E k J k a

k a

k a

k a k a

k a J ε=--++

对于体心立方格子

――任选取一个格点为原点 —— 有8个最邻近格点 —— 最近邻格点的位置 ,,222,,222,,222,,22

2

a a a a a a a a a a a a ?

??

?---??

?-???--? ,,222,,2

22,,222,,

2

22

a a a a a a a a a a a a ?

-??

?--??

?-???--?

222s a a a R i j k

=++

01

()s

s ik R s

s R N earest

E k J J e

ε-?==--∑

()()

()

222

2

(cos

sin

)(cos

sin

)(cos

sin

)

2

2

2

2

2

2

x y z x y z s

a a a a i k i k j k k i j k i k k k ik R y y x x z z e

e

e

k a k a k a k a k a k a i i i -++?++-++-?===---

—— 类似的表示共有8项

归并化简后得到体心立方s 态原子能级相对应的能带

01()8cos(/2)cos(/2)cos(/2)s

s x y z E k J J k a k a k a ε=-- 4.7．有一一维单原子链，间距为a ，总长度为Na 。

（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。

（3）如果每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K 的费米能级0

F E 及0

F E 处的能态密度。 解：010101(1),()()2cos 2cos ika ika

s s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-

0()()s ik R s E k E J J p e -???

=--????

∑

(2) ,1121()22

22sin sin L dk N a

N

N E dE

J a ka

J ka

π

π

π=?

?=

?

=

(3), 0

000

22()22222F k F F F N ak N a N k dk k k a

πρππ=

?=??=∴=

?

11

1()2cos

,()2sin

2F F s F N

N

E E k E J a E N E a

J J a

a

π

π

ππ==-?==

=?

4.9 半金属交叠的能带

2

2

1111

2

2

220022

()(0),0.182()()(),0.062k

E k E m m

m E k E k k k m m

m =-

==+

-=

其中1(0)E 为能带1的带顶，20()E k 为能带2的带底120(0)()0.1E E k eV -= 由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴， 讨论T=0K 的费密能级

解 半金属的能带1和能带2

2

2

111

2

222002

()(0)2()()()

2k

E k E m E k E k k k m =-

=+

-

能带1的能态密度 13

()2

(2)

k V dS N E E

π=??

2

1

k k E m ?=

k E ?= 13

()2

(2)

k V dS N E E

π=??

2

1()2

N E =()

13

212

222()2V

m N E π??=

???

—— 同理能带2的能态密度

(

)

223

22

222()2V

m N E π??=

???

如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带

由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足

1(0)

2()

012()()F

F k

E E E E N E dE N E dE =

?

?

1(0)

12

2

22(

)(2)

F

E E m V π=

?

2()

022

2

22(

)(2)

F

k

E E m V π?

1(0)0

2()

03/2

3/2

3/2

3/2

1112

220[(0)()]

[()()]

F F k

E E E E m E E k m E k E k --=-

11220[(0)][()]F F m E E m E E k -=-

1122012

(0)()

F m E m E k E m m +=

+ 120.18,0.06m m m m == 120(0)()0.1E E k eV -=

20()0.075F E E k eV =+

4.12．设有二维正方晶格，晶体势为()22,4cos cos .x y

U x y U a a

ππ????

=-

?

?????

用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角,a a ππ??

??

?处的能隙． 解：以??,i j 表示位置矢量的单位矢量，以12

??,b b 表示倒易矢量的单位矢量，则有，()1122

11

2

2

1

2

2??????,,,r xi yi G G b G b g b g b g g a

π=+=+=+为整数。

晶体势能()22,4cos cos .x y

U x y U a a

ππ????

=-

?

?????

()()

()()

2222111111i x i x i y i y iG G G U r U e e e e U e ππππσσσσ

--????=-++ ? ?????∑()()()111020...0G G G U U U U =-===其中，而其他势能傅氏系数。这样基本方程

()()()0k G G

C K U G K

G λε-+-=∑变为

()()()()()

()

()

(

)()

()

(

)()

()

(

)11111111111111110

K G G

G G C K U C K

G U C K G

U

C K G

U

C K G

λε-+-+-+-+-=求布里渊区角顶,a a ππ??

???

，即()111(,)11222k G G ==处的能隙，可利用双项平面波近

似

()()()iK r

i K G r

C K e

C K G e

-ψ=+-来处理。

当()()1111,112

2

K G K G =

=-

时依次有

()()()()111111,11112

2

K G G K G G -=-

-=+

而其他的()11K G -，

()()1111K G G ->，所以在双项平面波近似下上式中只有

()()()()()()()

()1111,1111;221111,1111;22C G C K G C G C G C K G C G ????-=- ? ?????????-=+ ? ?????

()()()()()()1

11

21

112

111111022111111022G G C G U C G C G U C G λελε-????

??---= ? ? ????????

???

??---+= ? ? ???

??

??

()

()

1112

1

112

0G G u

u

λ

ε

λ

ε---=--，因为

()

()()2

2

22

1

1

211112

2

11122G G G m ma πλλ

λ-??

====????

222

2

2

()0,U U U m a

πλεελ--=±=

± 由行列式有解得=

2.u π

π

εεε-?-=+所以在（

,-

）处的能隙为=a

a

2)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为222?

??,,,A i B j C k a a a πππ??????=== ? ? ???????

第一布里渊区如图7—2所示．

5.1 设一维晶体的电子能带可以写成22

71()(

cos cos 2)8

8

E k ka ka m a

=

-+

其中a 为晶格常数，计算

1） 能带的宽度

2） 电子在波矢k 的状态时的速度

3） 能带底部和能带顶部电子的有效质量 解 1) 能带的宽度的计算22

71()(

cos cos 2)8

8

E k ka ka m a

=

-+

能带底部0k = (0)0E =

能带顶部k a

π=

22

2()E a

m a

π=

能带宽度()(0)E E E a

π?=-22

2m a

=

2）电子在波矢k 的状态时的速度

22

71()(

cos cos 2)8

8

E k ka ka m a

=

-+

电子的速度1()

()dE k v k dk

=

1

()(sin sin 2)4

v k ka ka m a =-

3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量22

71()(

cos cos 2)8

8

E k ka ka m a

=

-+

电子的有效质量2

*2

2

/

E m k

?=? cos (1/2)cos 2m

ka ka

=

-

能带底部0k = 有效质量*2m m = 能带顶部k a

π=

有效质量*

23

m m =-

6.2 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成3

2.08 2.57/e C T T

m J m ol K =+?

如果一个摩尔的金属钾有23610N =?个电子，求钾的费米温度F T 解 一摩尔的电子对热容的贡献2

(

)2

B V B F

k T C N k E

π

=

与实验结果比较3

2.08 2.57/e C T T m J m ol K =+?

2

(

)2

B B B F

k T N k k T π

3

2.0810

/mJ mol K -=??

费米温度2

3

196242 2.0810

B

F k T N K π-==??

6

3

20 2.210

2.210T K l m nm -==?=?

6.4 设N 个电子组成简并电子气，体积为V ，证明T=0K 时

1） 每个电子的平均能量 0

35

F U E =

2） 自由电子气的压强满足2

3pV N U =

解 自由电子的能态密度3/21/222()4()m

N E V E h

π=

T=0 K ，费米分布函数0

01

()()0

()

F F

E E f E E E ?≤=?

>?

电子总数0

()()N N E f E dE ∞=

?

电子平均能量0

3/2

1/2

2

()24()

F F E E EN E dE U m V E

dE

h

π=

??

35

F U E =

将电子气看作是理想气体，压强23

p nU =

23N p U V

=

23pV N U =

7.1．InSb 电子有效质量0.015e m m =，介电常数18ε=，晶格常数 6.49a A =

。试计算；(1)施主的电离能；(2)基态的轨道半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？ 解：（1）由于施主电离能D E 是氢原子电离能i E 的

2

0*m m ε

倍，

4

2

0*0.01413.6

() 6.5910

()(17)

i D m E E eV eV m ε

-?∴=

=

=?

（2），2

2

8

00002

4170.52() 6.3110()6.3110()**

0.014

m a a A A m m e

m πεεε-?=

=

=

=??

（3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb 中施主杂质浓度D N 就一定满足3

3

202

8

3

11

(2)1,(

) 4.9810()2(2 6.3110)

D D a N N m

a

--=∴==

=???