固体物理学习题答案朱建国版
《固体物理学》习题参考
第一章
1.1 有许多金属即可形成体心立方结构,也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略,并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离,试问R f /R b 等于多少?
答:由题意已知,面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等,都设为a :
对于面心立方,处于面心的原子与顶角原子的距离为:R f =
22 a 对于体心立方,处于体心的原子与顶角原子的距离为:R b =
32
a 那么,
Rf Rb =23a
a
=63
1.2 晶面指数为(123)的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面,OA 、OB 和OC 分别与基失a 1,
a 2和a 3重合,除O 点外,OA ,OB 和OC 上是否有格点?若ABC 面的指数为(234),情况又如何?
答:根据题意,由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1,a 2和a 3重合,那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种,试列举并画图表示之。
答:二维布拉维点阵只有五种类型:正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示:
1.4 在六方晶系中,晶面常用4个指数(hkil )来表示,如图所示,前3个指数表示晶面族
中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1,a 2,a 3上的截距a 1/h ,a 2/k ,a 3/i ,第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明:i=-(h+k ) 并将下列用(hkl )表示的晶面改用(hkil )表示:(001)(133)(110)(323)(100)(010)(213) 答:证明
设晶面族(hkil )的晶面间距为d ,晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族(hkil )中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ,a 2/k ,a 3/i ,因此
123o o o a n hd
a n kd a n id
===g g g ……… (1) 由于a 3=–(a 1+ a 2)
把(1)式的关系代入,即得
根据上面的证明,可以转换晶面族为
(001)→(0001),(133)→(1323),(110)→(1100),(323)→(3213),(100)→(1010),(010)
正方 a=b a^b=90° 六方 a=b a^b=120矩形 a ≠b a^b=90° 带心矩形 a=b a^b=90° 平行四边形 a ≠b
→(0110),(213)→(2133)
1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构,求证球可能占据的最大面积与总体积之比为(1)简
立方:6π
(2)体心立方:38π(3)面心立方:26π(4)六方密堆积:26π(5)金刚石:
316
π
。 答:令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数,Ni 是位于晶胞内的球数,Nf 是在晶胞面上的球数,Ne 是在晶胞棱上的球数,Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有: 边长为a 的立方晶胞中堆积比率为
假设硬球的半径都为r ,占据的最大面积与总体积之比为θ,依据题意 (1)对于简立方,晶胞中只含一个原子,简立方边长为2r ,那么:
θ= 3
3
4/3(2)
r r π= 6π (2)对于体心立方,晶胞中有两个原子,其体对角线的长度为4r ,则其边长为
4
3
r ,那么: θ= 33
2(4/3)
(4/3)
r r π*= 38π (3)对于面心立方,晶胞中有四个原子,面对角线的长度为4r ,则其边长为22r ,那么:
θ= 33
4(4/3)(22)
r r π*= 26π (4)对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子,其坐标为(000)(1/3,2/3,1/2),在理想的密堆积情况下,密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ,因此
θ=32
42()
332
r a c π?=26π (5)对于金刚石结构
Z=8 38a r = 那么333443
*8()338
r F Z a ππ==??=316π.
1.6 有一晶格,每个格点上有一个原子,基失(以nm 为单位)a=3i ,b=3j ,c=1.5(i+j+k ),
此处i ,j ,k 为笛卡儿坐标系中x ,y ,z 方向的单位失量.问: (1)这种晶格属于哪种布拉维格子?
(2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少? 答:(1)因为a=3i ,b=3j ,而c=1.5(i+j+k )=1/2(3i+3j+3k )=1/2(a+b+c ′)式中c ′
=3c 。显然,a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10m 的立方晶胞,基矢c 正处于此晶胞的体
心上。因此,所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
(2)晶胞的体积= c (a b)'?g = 3k (3i 3j)?g =27*10-30(m 3
)
原胞的体积=c (a b)?g =1(333)(33)2i j k i j +++g =13.5*10-30(m 3)
1.7 六方晶胞的基失为:322a a ai j =
+,322
a b ai j =-+,c ck = 求其倒格子基失,并画出此晶格的第一布里渊区.
答:根据正格矢与倒格矢之间的关系,可得: 正格子的体积Ω=a ·(b*c )=
2
32
a c 那么,倒格子的基矢为12()
b
c b π?=
Ω223i j a a ππ=+ ,22()c a b π?=Ω223i j a a
ππ=-+ ,
32()a b b π?=
Ω
2k c π
= 其第一布里渊区如图所示:
1.8 若基失a ,b ,c 构成正交晶系,求证:晶面族(hkl )的面间距为
答:根据晶面指数的定义,平面族(hkl )中距原点最近平面在三个晶轴a 1,a 2,a 3上的截距
分别为1a h ,2a
k ,3a l
。该平面(ABC )法线方向的单位矢量是
这里d 是原点到平面ABC 的垂直距离,即面间距。 由|n|=1得到 故1
2222123
[()()()]h k l d a a a -=++
1.9 用波长为0.15405nm 的X 射线投射到钽的粉末上,得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ
如下
序号 1 2 3 4 5 θ/(°) 19.611 28.136 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构,试求:
(1)各谱线对应的衍射晶面族的面指数; (2)上述各晶面族的面间距;
(3)利用上两项结果计算晶格常数.
答:对于体心立方结构,衍射光束的相对强度由下式决定:
考虑一级衍射,n=1。显然,当衍射面指数之和(h+k+l )为奇数时,衍射条纹消失。只有当(h+k+l )为偶数时,才能产生相长干涉。因此,题给的谱线应依次对应于晶面(110)、(200)、(211)、(220)和(310)的散射。由布喇格公式 得 101101
1.5405
2.29510()2sin 2sin19.611
o
d m λ
θ-=
=
=? 同法得
应用立方晶系面间距公式
可得晶格常数222hkl a d h k l =++
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入,依次可得a 的数值*10-10m 为
3.2456,3.2668,3.2767,3.2835,3.2897
取其平均值则得
1.10 平面正三角形,相邻原子的间距为a ,试给出此晶格的正格矢和倒格矢;画出第一和第二布里渊区.
答:参看下图,晶体点阵初基矢量为1a ai =
用正交关系式{022,i j
i j ij i j b a ππδ≠===g
求出倒易点阵初基矢量b1,b2。设 由112b a π=g 120b a =g 210b a =g 222b a π=g 得到下面四个方程式
11()2x y ai b i b j π+=g (1)
1113()()022x y ai aj b i b j ++=g (2) 22()0x y ai b i b j +=g (3)
2213()()222
x y ai aj b i b j π++=g (4) 由(1)式可得:12x b a
π
=
由(2)式可得:123y b a
π
=-
由(3)式可得:20x b = 由(4)式可得:243y b a
π
=
于是得出倒易点阵基矢
第三章 习题答案
3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率,设原子质量m =8.35×10-27kg ,恢
复力常数β=15N ·m -1 解:一维单原子链的解为)(qna t i n Ae X -=ω
据周期边界条件 11+=N X X ,此处N=5,代入上式即得 所以 aq 5=2πλ(λ为整数)
由于格波波矢取值范围:a
q a π
π
<
<-
。 则 2
5
25<<-
λ 故λ可取-2,-1,0,1,2这五个值
相应波矢:a 54π-,a 52π-,0, a 52π,a 54π
由于2
sin 4qa m βω=
,代入β,m 及q 值
则得到五个频率依次为(以rad/sec 为单位)
8.06×1013,4.99×1013,0,4.99×1013,8.06×1013
3.2 求证由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 ()2
12
2)(2-
-=
ωωπ
ωρm
N
式中m m βω4=是格波的最高频率,并求证它的振动模总数恰为N
解:对一维单原子链,()()dq q q
d q d dN ρρωωρ2?)(=== 所以()()dq
d q ωρωρ2= (1)
由色散关系2
sin 4qa
m βω= 求得
2/12)2
sin 1(2422cos 4qa
a m a
qa m dq
d -=?=ββω
2/12])4[(2ωβ-=m a (2)
而()π
πρ22Na
L q =
=, 则由(1)式可得 由于m m
ωβ
=4 ,则总的振动模数为 令
θωω
sin =m
,则积分限为0到2/π , 故 3.3 设晶体由N 个原子组成,试用德拜模型证明格波的频率分布函数为()239ωωωρm
N
=
解:由书上(3-69)式可得 ()()32
223v
v g ωπωωρ== (1)
由(3-71)可得 ()v n m D 3
/126πωω==
由此可得 n v m
323
32ωπ= ,代入(1)式得 3.4 对一堆双原子链,已知原子的质量m =8.35×10-27kg ,另一种原子的质量M =4m ,力常
数β=15N ·m -1,试求
(1) 光学波的最高频率和最低频率οm ax ω和ο
m in ω; (2) 声学波的最高频率A
m ax ω;
(3) 相应的声子能量(以eV 为单位);
(4) 在300K 可以激发频率为οm ax ω,οm in ω和A m ax ω的声子的数目;
(5) 如果用电磁波来激发长光学波振动,电磁波的波长大小。
解:(1)m m M Mm 5
4
=+=
μ (2)eV 2max
1041.4-?≈ο
ηω (3)1
1/-=
kT
w e
n ?
221.0max
≈∴οωn , 276.0min ≈οωn , 873.0max ≈A
n ω (4)Θ光速v c λ= ,m m c v c μωπ
λ28108.225max
=?≈?==
∴-ο 3.5 设有一维晶体,其原子的质量均为m ,而最近邻原子间的力常数交替地等于β和10β,
且最近邻的距离为2/a ,试画出色散关系曲线,并给出0=q 和a q /π±=处的()q ω。 解:设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同,参看图,
原子的运动方程应是()()()()???---=---=++++-+n n n n n n n n n n x x x x x m x x x x x m 21212221
212221221010ββββ&&&&
即 (
)n n n n x x x x m 2121221110-+=-+β&& 求格波解, 令 ()?
?
?
???-=t qa n i n Ae x ω222,()?
?
?
???-++=t qa n i n Be
x ω21212
代入运动方程,可导出线性方程组为:
令
2
ωβ
=m
,从A ,B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得 可解出
()101cos 2011202+±=qa ωω 色散关系见下图
0=q 时,1cos =qa ,022ωω=+,0=-ω
a
q π
±
=时,1cos -=qa ,020ωω=+,02ωω=-
3.6.在一维双原子链中,如1>>m M ,求证
β 10β β 10β
m
x
2n-1
x
2n
x 2n+1 x 2n+2
[证] 由书中(3.22)式知,双一维原子链声学支
m M >>Θ,14<<∴mM mM
由近似式()nx x n -≈-11,)
当1(< }]sin ) (4211[1{2 /122 21qa M m mM mM M m +- -+=βω qa M qa M m 22sin 2sin 2β β≈+= , 对2 2ω,由于m M >>,M m M ≈+ 3.7在一维双原子晶格振动情况中,证明在布里渊区边界a q 2π ± =处,声学支格波中所有轻 原子m 静止,而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由(3-18)第一式得 22cos 2ωββm qa B A -= ,当a q 2π±= 时 0cos =qa 且对声学支2 /12? ?? ??=M βω,代入上式即得: 0220=-=M m B A ββ ,故A =0, 轻原子静止 再由(3-18)第二式得 22cos 2ωββM qa A B -= ,当a q 2π±= 时0cos =qa 且对光学支,2 /12? ?? ??=M βω,代入上式即得 0220 =-=M m A B ββ 故B =0, 重原子静止 3.8设固体的熔点m T 对应原子的振幅等于原子间距a 的10%的振动,推证,对于简单晶格, 接近熔点时原子的振动频率2 /1502? ? ? ??=M T k a m B ω,其中M 是原子质量。 [解] 当质量为M 的原子以频率ω及等于原子间距a 的10%的振幅振动时,其振动能为: 2 222102121??? ??==a M A M E ωω 在熔点m T 时,原子的能量可按照能量均分定理处理, 即一个一维原子的平均能量为m B T k ,于是有m B T k a M =??? ??2 21021ω,由此得 3.9按德拜近似,试证明高温时晶格热容]2011[32?? ? ??Θ-=T Nk C D B v 证明:由书(3.73)式可知() 43 2 9(/) 1D x T v B D x e x dx C Nk T T e Θ=Θ-? 在高温时,D T Θ>>,则在整个积分范围内x 为小量,因此可将上式中被积函数化简为 ( )( ) ???? ??-=+≈??? ? ??+≈-=--12112 124122222342/2/424 x x x x x x x e e x e x e x x x x 将上式代入v C 的表达式,得353 119(/)360D D v B D C Nk T T T T ?? ΘΘ????=Θ-?? ? ????????? 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为 2 ω η,试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解:由(3-69)式知,状态密度()()3 2 223v V V g ωπωωρ== 则 ()ωωπωωωρεωωd v V d E D D 3 220 002321η? ?== 3.11 在德拜近似的基础上,讨论由一个N 个原子组成的二维晶格的比热,证明在低温下其比热正比于2T 证明:此题可推广到任意维m ,由于 而德拜模型中vq =ω,故()11--∝∝m m q g ωω 令x kT =ω η,则上式变为 在低温时 ∞→=kT x D D ωη 则积分() dx e x e x m x ? ∞+-0 2 1 1 为一个于T 无关的常数 故 m v T C ∝ 对三维 m =3 3T C v ∝ 对本题研究的二维 m =2 2T C v ∝ 对一维 m =1 T C v ∝ 3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为()a r b r e r U +-=2, b 为待定常数, 平衡 间距m r 100103-?=,求线膨胀系数。 解:由书上(3.114)式知,线膨胀系数 0 243r f gk B ?= α 其中:02221r dr U d f ???? ???=,0 3 3!31r dr U d g ???? ? ?-= 由平衡条件09100 2020=-=??? ??r b r e dr dU r 8029r e b =∴ 302 110302429022r e r b r e f =+-=Θ, 402120402352990661r e r b r e g =???? ??--= 由于 m r 80103-?= ,CGSE e 1010806.4-?= 3.13 已知三维晶体在0=q 附近一支光学波的色散关系为 ()() 2220z y x Cq Bq Aq q ++-=ωω , 试求格波的频谱密度()ωρ 解:2220z y x Cq Bq Aq ++=-ωωΘ 则 102 0202=-+-+-C q B q A q z y x ωωωωωω 这是q 空间的一个椭球面,其体积为abc π34 ,而 2 /10A a ω ω-= ,2 /10B b ω ω-= ,2 /10C c ω ω-= q 空间内的状态密度()33 )2(2ππρV L q = ?? ? ??= ,故椭球内的总状态数N 为 故 ()2 /10 22 /102 /12414ABC V ABC V d dN ωωπω ωπωωρ-=-? ? ? ??== 第四章 4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同?为什么? 答:晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中,由于电中性的要求,所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现,所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向. 4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV ,试问当温度为300K 时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少? 答:设肖特基缺陷数为n ,格点数为N 。那么由公式 可得 19230.671.6101.3810300 n e N --??- ??==5.682*10-12 4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1,如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV ,求该原子在1s 内跳跃的次数。 答:由公式 可得 230.11.3810300 eV o v v e -- ??==2*1015*0.02=4*1013 4.5在离子晶体中,由于电中性的要求,肖特基缺陷多成对地产生,令n 代表正、负离子空位的对数,W 是产生一对缺陷所需要的能量,N 是原有的正、负离子对的数目。 (1)试证明:n/N=Bexp (-W/2k B T ); (2)试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V ,其中V 为原有的体积。 答: (1)设n 对肖特基缺陷是从晶体内部移去n 个正离子和n 个负离子而形成的。从N 个正离子中形成n 个正离子空位的可能方式数为 同时,从N 个负离子中形成n 个负离子空位的可能方式数也是 于是,在整个晶体中形成n 对正、负离子空位的可能方式数 由此而引起晶体熵的增量为 设形成一对正、负离子空位需要能量w ,若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响,则晶体自由能的改变 ! 2()!! B N F U T S nw k TIn N n n ?=?-?=-- (1) 热平衡时,( )0T F n ??=?,并应用斯特令公式!InN NInN n =-,从(1)式得 因为实际上N?n ,于是得 n/N=Bexp (-W/2k B T ) (2)对离子晶体的肖特基缺陷来说,每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点,使体积增加。当产生n 对正、负离子空位时,所增加的体积应该是32V na ?= 式中a 为离子最近邻距离。因为32V Na =为晶体原有的体积,有上式可得 4.6已知扩散系数与温度之间的关系为:/A B E k T o D D e -= 下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果: T/K 878 1007 1176 1253 1322 D/m 2·s -1 1.6*10-20 4.0*10-18 1.1*10-18 4.0*10-17 1.0*10-16 试确定常数Do 和扩散激活能E A . 答:由公式 /A B E k T o D D e -=,可得 当T=878,D=1.6*10-20时,D 01= 4.7铜和硅的空位形成能Eu 分别是0.3eV 和2.8eV 。试求T=1000K 时,铜和硅的空位浓度。 答:由公式 可得:对于铜5 0.3 8.61010000.03n e N --??== 对于硅5 2.8 158.61010007.24710n e N ---??==? 4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色,通过测试F 带的光吸收就可得F 心的形成能E B 。当温度从570℃上升到620℃时,吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F 心的数目增加引起的,试计算F 心形成能E B 。 答: 4.9考虑一体心立方晶格:(1)试画出(110)面上原子的分布图;(2)设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在(110)面上原子的投影图。 答:如图所示: 4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。 答:滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面,滑移向也总是原子密度较大的晶向(即沿该方向的周期最小)。 (1)体心立方:滑移面为(110)面,滑移向为[111],最小滑移矢量b 即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a ,则 (2)面心立方:滑移面为(111),滑移向为[101]。最小滑移矢量b 等于[101]方向上相邻格点间的距离,即 (3)六角密堆:滑移面是基面(0001),滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a ,因此, 4.11在FCC 晶格中存在一个位错,其位错线的方向用晶向指数表示为[112],该位错滑移的 方向和大小用伯格斯矢量表示为1 [110]2 b =。试确定该滑移面的晶面指数,并问该位错是刃 位错还是螺位错。 第六章 6.1 一维周期场中电子的波函数()x k ψ应满足布洛赫定理,若晶格常数为a ,电子的波函数为 (1)()x a x k π ψsin = (2)()x a i x k π ψ3cos = (3)()()∑∞ -∞ =-= i k a x f x λψ (f 是某个确定的函数) 试求电子在这些状态的波矢 解:布洛赫函数为()()x e a x k ika k ψψ=+ (1)x a x a a x a π πππ sin )sin()(sin -=+=+ 1-=∴ika e ,π±=ka ,a k π ±= (2)()x a i x a i a x a i ππππ3cos 33cos 3cos -=?? ? ??+=+ 同理,1-=∴ika e ,π±=ka ,a k π ± = (3) ()[]∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =--=+-λλλλa x f a a x f )1( ()()∑∑∞ -∞ =∞-∞ =-=-= λλλλa x f a x f '' 此处1'-=λλ 1=ika e ,π20或=ka ,a k π 20或 = 6.2已知一维晶格中电子的能带可写成()?? ? ??+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 872 2η,式中a 是晶格常数,m 是电子的质量,求(1)能带的宽度,(2)电子的平均速度, (3) 在带顶和带底的电子的有效质量 解:能带宽度为 min max E E E -=?, 由极值条件 ()0=dk k dE , 得 上式的唯一解是0sin =ka 的解,此式在第一布里渊区内的解为a k π或0= 当k =0时,()k E 取极小值min E ,且有()00min ==E E 当a k π =时,()k E 取极大值m ax E ,且有2 2 max 2ma a E E η =?? ? ??=π 由以上的可得能带宽度为2 2 min max 2ma E E E η=-=? (2)电子的平均速度为()?? ? ??-== ka ka ma dk k dE v 2sin 41sin 1ηη (3)带顶和带底电子的有效质量分别为 6.3一维周期势场为 ()()[] ?? ???-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na na x b mW x V )1(02 1 2 22当当, 其中b a 4= ,W 为常数,求此晶体第一及第二禁带宽度 解:据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 n g V E 2= , 其中n V 是周期势场()x V 傅立叶级数的系数,该系数为: 求得,第一禁带宽度为 第二禁带宽度为 6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s 态电子能带,画出()k E , ()k m *与波矢的关系,证明只有在原点和布里渊区边界附近,有效质量才和波矢无关。 解: 根据紧束缚近似, 对一维,最近邻a R s ±= 则 ()() ika ika e e J J E k E -+--=100 ()k E 为余弦函数 (图省) 有效质量 () ka a J k E m cos 22 12 2 22ηη=??=* ()k m *的图也省 在原点附近,ka 很小,1cos ≈ka 在布里渊区边界,a k π ± =,π±=ka ,1cos -≈ka 6.5 某晶体电子的等能面是椭球面 ??? ? ??++=32322 212122m k m k m k E η,坐标轴1,2,3互相垂直。 求能态密度。 解:由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为 将上式与椭球公式122 2222=++c z b y a x 比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面,与椭球的体积 abc π3 4 比较可得到,能量为E 的等能面围成的椭球体积 由上式可得 能量区间()dE E E +→内电子的状态数目 c V 是晶体体积,电子的能态密度 6.6已知能带为:()()z y x ak ak ak k E cos cos cos βα-+-= 其中0>α,0>β,a 为晶格常数,试求 (1) 能带宽度 (2) 电子在波矢 )1,1,1(2a π 状态下的速度 (3) 能带底附近电子的能态密度 解:(1) 0sin ==??x x ak a k E α,πn a k x =∴ 0sin ==??y y ak a k E α,πn a k y =∴ 0sin ==??z z ak a k E α,πn a k z =∴ 可看出,n 为偶数时E 为极小值,n 为奇数时为极大值 故,能带宽度βα24+-=?=底顶E E E (2)k v j v i v v z y x ++= 其中 在)1,1,1(2a k π = 时 (3) 能带底n 为偶数,可取为零,故a k x ,a k y ,a k z 均很小 据2 1cos 2 x x -≈ )1(< 有()?? ? ??--????????? ??-+??? ??- -=222222*********a k a k a k k E z y x βα 用和6.5题相同的方法,其中 βα++→22 2 E E η ,212a m α→,222a m α→,232a m β→ 则:()()2 /12221 2? ? ????++=βαβαπρE E 6.7 用紧束缚模型求最近邻近似的s 态电子能带公式,写出二维正三角形网络的能带,计算电 子的速度及有效质量张量。 解:()001 i Rs E k E J J e =--∑g Q s k R 对二维正三角晶格(如图), y x 6个最近邻的坐标为 ()0,a ,()0,a -,???? ??a a 23,2,???? ??-a a 23,2,???? ??-a a 23,2,??? ? ??--a a 23,2 代入上式并化简得: 电子速度:j v i v v y x +=,其中 由于() y x ij k k E m ???=-*22 1 1η 6.8 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s 态电子能带 (1) 证明在k =0附近,能带的等能面是球形的,导出有效质量。 (2) 画出[100]与[111]方向的()k E 曲线。 (3) 画出y x k k -平面内能量的等值线。 解:(1)()001 i E k E J J e =--∑g Q s s k R R 面心立方最近邻有十二个原子,其R s 位置在 将这些R s 代入上式并简化可得: ()??? ? ? ++--=2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4100a k a k a k a k a k a k J J E k E x z z y y x 在k =0附近, x k ,y k ,z k ,均很小,利用2 1cos 2 x x -≈,(x<<1, 则得 故 ()() 22 22 10024z y x k k k a J J E k E ++?? ? ??--= 由于()() a J a J k E m m i ii 12 2 2122211 2281ηηη= ??? ??=??==-*-* 其余0=* ij m (2) 在[100]方向,0==z y k k ,则 即可按此函数作图(图省) 在[111]方向,k k k k z y x === 可据上函数作图(图省) (4) 在y x k k -平面内,0=z k 等值线即 ()C k E = (C 为常数) 6.9 对体心立方晶格,用紧束缚法近似计算最近邻近似下s 态电子能带,证明在带底和带顶附近等能面近似为球形,写出电子的有效质量。 解:s 态电子能带可表示为()001 i Rs E k E J J e =--∑g s k R 对体心立方,最近邻原子为8个,其R s 为:2a ± ,2a ±,2 a ± 化简后即得: 故 ()?? ? ?? --=a k a k a k J J E k E z y x 21cos 21cos 2cos 8100 由于1cos 1≤≤-x ,可看出 π=2 a k i 时,12cos -=a k i ()E k 为极大值,即max 18E J = 而 02=a k i ,。即0=i k 时,12 cos =a k i ()E k 为极小值,即min 18E J =- 故带宽max min 116E E E J ?=-= 在带底附近,由于0i k →,用2cos 12 x x ≈-,则 这显然是一个球形 有效质量() () 2 2122211 21ηηa J k E m m i ii =??==-*-*, 所以 2 2 12m J a * =h 在带顶附近,可写为i a k i ?-=π2 ,i ?很小 则()?? ? ????--≈?-=?-=2211cos )cos(2cos i i i a k i π 这显然也是个球形 而()() 22122 21222 21 1 2221811η ηηa J k a k J k E m m x x x ii -=?????? ??????????????? ?????? ??-?-=??==-*-* π, 6.10 金属铋的导带底部有效质量倒数张量为 求有效质量张量的各分量,并确定此能带底部附近等能面的性质 解:() 1 -* m 的逆矩阵即为*m 矩阵,用矩阵计算方法,可求得 xx xx a m 1=*,()2yz zz yy zz yy a a a a m -=*,()2yz zz yy yy zz a a a a m -=*,() 2yz zz yy yz zy yz a a a a m m -==* * , 其余为0 为确定等能面,在作为k 矢量原点的能带底部附近泰勒展开(有用的仅二阶项), 并假定能带底E =0,在能带底一阶导数为0,即0=??i k E ,且j i k k E ???221η=() ij ij a m =-*1 故有()()222 2122 xx xx yy yy zz z yz y z E k a k a k a k a k k = +++h 显然等能面()E k c =是一个椭球面 固体物理第七章答案 7.3 (1)先决定导带底及价带顶的极值位置 导带极小值的能量 价带极大值的能量 禁带宽度E g 为 (2)导带底电子有效质量 价带顶电子有效质量 (3)34c v p k k π α ?=-=h h 7.4 重空穴能量比轻空穴小 7.5 7.6 (1)利用类氢模型,InSb 中施主杂质的电离能为 (2)施主杂质的玻尔半径 (3)锑化铟为fcc 结构,晶体的总体积32232.7210V Na Ncm -==? 一个施主杂质所波及的体积为 3 10410.77103 d a cm π-=? 因此,杂质之间不发生重迭的临界杂质数为: 每个原胞中含有4个原子,所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为: 7.7 运动方程 ()1d m V e E V B dt τ?? +=-+? ??? B 平行于Z 轴,载流子是电子时, 稳态时,时间导数为0, 其中,/c eB m ω=,称为回旋频率, 解得 其中 112()1()e e e c e n μσωτ= +,122 () ()1() e e c e e c e n μωτσωτ=+v 同理,当载流子是空穴时: 总电流 令j y =0求得:11111212()()()()e h x y e h E E σσσσ+=+代入j x 表达式,并由霍耳系数定义式得: 略去()2 c ωτ得 7.8 由7.42可得 7.9 在温度不太高时可忽略本征激发,载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子,这时,导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。 其中32 32214e B C m k T N π??= ???h ,32 32214h B D m k T N π?? = ??? h 称为有效能级密度, 当施主电离很弱时,1F D E E -?,可略去右边分母中的1。 若要使1 ()2F C V E E E =+ 则2D C N N = 7.10 通过p-n 结的电流与偏压的关系为 当T=300K ,V=0.15V 时,1eV/k B T=5.8,因此,反向电流实质上便是I 0,故正向电流为 第九章 9.1Sn 在零磁场时Tc 为3.7K ,在绝对零度时的临界磁场Hc (0)为24*103A/m 。求当T 为2K 时的临界磁场Hc 。如果2K 时半径为0.1cm 的Sn 线通过电流,问:在超导线表明的磁场强度H 等于Hc (2K )时的临界电流为多少安培? 答:由公式2 2()(1)c co c T H T H T =- 可得2 3 2 2(2)2410(1)3.7 c H K =??-=16.988*103(A/m ) 9.2已知Hg 和Pb 的德拜温度分别为70K 和96K ,临界温度Tc 分别为4.16K 和7.22K ,低温电子比热2[()()/3]B F k g E γπ=分别为1.79和2.982[/()]mJ mol K g ,求Hg 和Pb 的有效吸引能V Pb /V Hg 之值。 9.3试推证穿透深度L λ的表示式。 答:将London 方程 24L c j A πλ=- (1) 两边求导得 24L j c A t t πλ??=-?? (2) 再由Maxwell 方程 得到1A E c t ???=-??? 代入(2)得到 2 24L j c E t πλ?=-? (3) 由于j=nqv ,n 为载流子密度,且dv m qE dt =。则 与(3)式比较,得 所以2 22 4L mc nq λπ= 9.4如何区分第一类超导体和第二类超导体? 答:超导体按磁化特性可分为两类。第一类超导体只有一个临界磁场Hc ,其 。很明显在超导态,磁化行为满足M/H=-1,具有迈斯纳效应。除钒、铌、钽外,其他超导元素都是第一类超导体。第二类超导体有两个临界磁场,即下临界磁场Hc 1和上临界磁场Hc 2,当外磁场H0小于Hc 1时,同第一类超导体一样,磁通被完全排出体外,此时,第二类超导体处于迈斯纳状态,体内没有磁通线通过。当外场增加至Hc 1和Hc 2之间时,第二类超导体处于混合态,也称涡旋态,这时体内有部分磁通穿过,体内既有超导态部分,又有正常态部分,磁通只是部分被排出。 9.5用直径为1mm 的铅丝围成一个直径为10cm 的环。该铅环处于超导态。已经有100A 的电流在铅环内流动。一年内没有观测到电流有任何变化。设电流测试的精度可达1uA 。试估算铅在超导态时的电阻率为多少? 9.6设均匀磁场Ho 沿y 轴,超导薄板与z 轴垂直。薄板的上下两个平面为z=±d 。求证超导体内部的磁通密度为 答:考虑以厚度为δ的无限平面超导平板,外加的均匀磁场沿Z 轴方向。在超导体外,磁场强度为B=Bak ;在体内B=B (x )k ;在表面处B 连续,B (±δ/2)=Ba 。在一维的情况下,穿透方程22B B λ?=变成 它的通解为:()x x B x ae be λ λ-=+,应用边界条件B (±δ/2)=Ba ,可解得 a=b=//1/2/2()( )x x a e e B x B e e λ λ δλδλ---+=+=cosh() ()cosh() 2a x B x B λδλ = 《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题: 1.给出原胞的定义。 答:最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答:以一个格点为原点,作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线),由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构(简单或复式格子,原胞,基矢,基元坐标)。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式,并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。(晶体含N个原胞,每个原胞含p个原子,问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式) 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中,爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布(给出具体表达式) 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下,布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万(Langevin)方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构,设x 表示钢球所占体积与总体积之比,证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解:设钢球半径为r ,根据不同晶体结构原子球的排列,晶格常数a 与r 的关系不同,分别为:简单立方:a = 2r 金刚石:根据金刚石结构的特点,因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴,因此有 1.3 证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方;面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明:体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义,体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比,正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢,说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意,倒格子不是真实空间的几何分布,因此该面心立方只是形式上的,或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义,面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较,这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明:根据定义,密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线 根据定义,倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系,面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解:根据倒格子的特点,倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格,求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交,因此其大小为 则带入前边的关系式,即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中,最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ,写出最近邻和次近邻的原子间距。 答:体心立方晶格的最近邻原子数(配位数)为8,最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6,次近邻原子间距为a ; 一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列,具有长程有序的固体称为 _______;组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中,所有原子完全等价的晶格称为 ______________;而晶体结构中,存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____;具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______;体心立方结构原子的配位数为 ______。6.NaCl 结构中存在 _____个不等价原子,因此它是 _______晶格,它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子,因此它是 _________晶格,由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成,晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞(单胞)的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时 关系的 b1,b 2, b 3为基矢,由0,当 i ( i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵,称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链,倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______;其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______;其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵,面心立方的倒点阵是 ________________点阵,简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a,则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 (陈志远解答,仅供参考) 第一章 晶体结构 1.1、 解:实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此,可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比,即:晶体原胞的空间利用率, Vc nV x = (1)对于简立方结构:(见教材P2图1-1) a=2r , V= 3 r 3 4π,Vc=a 3,n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= (2)对于体心立方:晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= (3)对于面心立方:晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4,Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= (4)对于六角密排:a=2r 晶胞面积:S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积:V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= (5)对于金刚石结构,晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面?为什么? [解答] 晶体容易沿解理面劈裂,说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱,即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中,为什么不能用可见光? [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米,要使原子晶格成为光波的衍射光栅,光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中,不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 固体物理学题库 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、 填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列,具有长程有序的固体称为_______;组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中,所有原子完全等价的晶格称为______________;而晶体结构中,存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____;具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______;体心立方结构原子的配位数为______。 6.NaCl 结构中存在_____个不等价原子,因此它是_______晶格,它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子,因此它是_________晶格,由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成,晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞(单胞)的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠? 当时 (,当时关系的123,,b b b 为基矢,由 112233h K hb h b h b =++构成的点阵,称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链,倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______;其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______;其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题: 1.给出原胞的定义。 答:最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答:以一个格点为原点,作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线),由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构(简单或复式格子,原胞,基矢,基元坐标)。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面?为什么? 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式,并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。(晶体含N个原胞,每个原胞含p个原子,问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式?) 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中,爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布(给出具体表达式)? 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下,布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万(Langevin)方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明:本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本,重点训练读者在固体物理方面的基础知识,具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1: 1.固体物理的研究对象有那些? 答:(1)固体的结构;(2)组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律;(3)固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点? 答:晶体中原子排列是周期性的,即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性,即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格,面心立方晶格,六角密排晶格的原子排列各有何特点?试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答:体心立方晶格:除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外,在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有:Li,Na,K,Rb,Cs,Fe等。 面心立方晶格:除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外,在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有:Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格:以ABAB形式排列,第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子,且在该正六边形的中心还有1个原子;第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子,且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有:Be,Mg,Zn,Cd等。 4.试说明, NaCl,金刚石,CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答:NaCl:先将两套相同的面心立方晶格,并让它们重合,然后,将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长,就组成Nacl晶格; 金刚石:先将碳原子组成两套相同的面心立方体,并让它们重合,然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度,就组成金刚石晶格; Cscl::先将组成两套相同的简单立方,并让它们重合,然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度,就组成Cscl晶格。 ZnS:类似于金刚石。 《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构,也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略,并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离,试问R f /R b 等于多少? 答:由题意已知,面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等,都设为a : 对于面心立方,处于面心的原子与顶角原子的距离为:R f = 2 a 对于体心立方,处于体心的原子与顶角原子的距离为:R b a 那么, Rf Rb 31.2 晶面指数为(123)的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面,OA 、OB 和OC 分别与基失a 1, a 2和a 3重合,除O 点外,OA ,OB 和OC 上是否有格点?若ABC 面的指数为(234),情况又如何? 答:根据题意,由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1,a 2和a 3重合,那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种,试列举并画图表示之。 答:二维布拉维点阵只有五种类型:正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示: 1.4 在六方晶系中,晶面常用4个指数(hkil )来表示,如图所示,前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1,a 2,a 3上的截距a 1/h ,a 2/k ,a 3/i ,第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明:i=-(h+k ) 并将下列用(hkl )表示的晶面改用(hkil )表示:(001)(133)(110)(323)(100) (010)(213) 答:证明 设晶面族(hkil )的晶面间距为d ,晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族(hkil )中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ,a 2/k ,a 3/i ,因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90° 固体物理学概念和习题 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题: 1.给出原胞的定义。 答:最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答:以一个格点为原点,作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线),由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构(简单或复式格子,原胞,基矢,基元坐标)。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式,并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。(晶体含N个原胞,每个原胞含p个原子,问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式) 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中,爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布(给出具体表达式) 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下,布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万(Langevin)方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 一 名词解释 原胞 布喇菲点阵 结点 第一布里渊区 肖脱基缺陷 弗兰克尔缺陷 费米面 费米能量 费米温度 绝热近似 肖特基效应 德哈斯—范阿尔芬效应 马德隆常数 二 简答题 1. 简述Si 的晶体结构的主要特征 2. 证明面心立方的倒格子为体心立方 3. 按对称类型分类,布拉菲格子的点群类型有几种?空间群类型有几种?晶体结构的点群类型有几种?空间群类型有几种? 4. 晶体的宏观对称性中,独立的对称操作元素有那些? 5. 劳厄方程 布拉格公式 6. 固体结合的五种基本形式 7. 写出离子晶体结合能的一般表达式,求出平衡态时的离子间距。 8. 点缺陷基本类型 9. 什么是热缺陷?简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 10. 接触电势差产生的原因 11. 请用自由电子气理论解释常温下金属中电子的比热容很小的原因。 12. 简要解释作为能带理论的三个基本近似:绝热近似、单电子近似和周期场近似。 13. 简述布洛赫定理 14. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 15. 为什么有的半导体霍尔系数取正值,有的取负值。 16. 自由电子气模型基本假定 17. 能带理论基本假设 三 计算题 1. 某晶体具有面心立方结构,其晶格常数为a 。 (1)写出原胞基矢。 (2)求倒格子基矢,并指出倒格子是什么类型的布喇菲格子。 2. 简单立方晶格中,每个原胞中含有一个原子,每个原子只有一个价电子,使用紧束缚近 似,只计入近邻相互作用。 1) 求出s 态组成的s 能带的E(k)函数。 2) 给出s 能带带顶和带底的位置和能量值。 3) 求电子在能带底部和顶部的有效质量。 5) 求出电子运动的速度。 3.知Si 中只含施主杂质N = 1015 cm -3 D ,求载流子浓度? 4.假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点??? ??a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点?? ? ??0,0,a π的三倍。 5. 金属钠是体心立方晶格,晶格常数a =3.5?,假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气,试推导T=0K 时金属自由电子气费米能表示式,并计算出金属锂费米能。(?=1.05×10-34J ·s ,m=9.1×10-35W ·s 3/cm 2,1eV=1.6×10-19J ) 6. 平时留过的作业题 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 (陈志远解答,仅供参考) 第一章 晶体结构 1.1 、 解:实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此,可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比,即:晶体原胞的空间利用率, x nV Vc ( 1)对于简立方结构: (见教材 P2图 1-1) a=2r , V= 4 r 3 , Vc=a 3,n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 ( 2)对于体心立方:晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 ( 3)对于面心立方:晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ,Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 ( 4)对于六角密排: a=2r 晶胞面积: S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积: V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 ( 5)对于金刚石结构,晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3 《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答,仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解:实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此,可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比,即:晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构:(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方:晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排:a=2r晶胞面积:S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方:晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构,晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3 所以,面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) (2 )体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢) r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证:六方密排堆积结构中C(8)1/21.633 a 3 证明:在六角密堆积结构中,第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形,第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切,于是: NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明:面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明:(1 )面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k) 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k) 2008级电技专业《固体物理学》测验题 一、 (40分)简要回答: 1、 什么是晶体?试简要说明晶体的基本性质。 2、 试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和 结合键的类型。 3、 试用极射赤平投影图说明3(3次旋转反演轴)的作 用效果并给出其等效对称要素。 4、 什么是格波?什么是声子?声子的能量和动量各为 多少? 5、 试写出自由电子和晶体中电子的波函数。 6、 如需讨论绝缘体中电子的能谱,应采何种模型?其势 能函数有何特点? 7、 什么是禁带?出现禁带的条件是什么? 8、 固体中电子的能量和电子波矢间有何关系? 二、(10分)某晶体具有简立方结构,晶格常数为a 。试画出 该晶体的一个晶胞,并在其中标出下列晶面:(111`),(201),(123)和(110)。 三、(8分)某晶体具有面心立方结构,试求其几何结构因子 并讨论x 射线衍射时的消光规律。 四、(12分)试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动 的色散关系,并由此讨论此一维晶格的比热。 五、(15分)对于六角密积结构晶体,其固体物理原胞的基矢 为: k c a j a i a a j a i a a =+-=+=321232232 试求 (1) 倒格子基矢; (2) 晶面蔟(210)的面间距; (3) 试画出以21,a a 为基矢的二维晶格的第一、第二 和第三布里渊区。 六、(15)已知一维晶体电子的能带可写为: ) 2cos 81 cos 87()(22 ka ka ma k E +-= 式中a 是晶格常数,试求: (1) 能带的宽度; (2) 电子在波矢k 态时的速度; (3) 能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。 《固体物理学》测验参考答案 一、(40分)请简要回答下列问题: 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系? 答:晶体结构=空间点阵+基元。 2. 什么是晶体的对称性?晶体的基本宏观对称要素有哪些? 答:晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。 3. 晶体的典型结合方式有哪几种?并简要说明各种结合方式 中吸引力的来源。 答:晶体的典型型方式有如下五种: 离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力; 共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力; 金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力; 分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力 氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间 的库仑引力。 4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格,每个原胞内有r 个原子,试问晶格振动时能得到多少支色散关系?其波矢的取值数和模 式的取值数各为多少? 答:共有3r 支色散关系,波矢取值数=原胞数N ,模式取值数=晶体的总自由度数。 5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理 意义。 一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列,具有长程有序的固体称为_______;组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中,所有原子完全等价的晶格称为______________;而晶体结构中,存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____;具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______;体心立方结构原子的配位数为______。 6.NaCl 结构中存在_____个不等价原子,因此它是_______晶格,它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子,因此它是_________晶格,由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成,晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞(单胞)的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?r r 当时 (,当时 关系的123,,b b b r r r 为基矢,由112233h K hb h b h b =++r r r r 构成的点阵,称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链,倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______;其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______;其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 14. 体心立方的倒点阵是________________点阵,面心立方的倒点阵是________________点阵,简单立方的倒点阵是________________。 15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。 16. 若简单立方晶格的晶格常数由a 增大为2a ,则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。 第一章 晶体结构 1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构,设x 表示钢球所占体积与总体积之比,证明: 结构 X 简单立方 52.06 =π 体心立方 68.08 3 ≈π 面心立方 74.06 2 ≈π 六角密排 74.06 2 ≈π 金刚石 34.06 3≈π 解:实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此,可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比,即:晶体原胞的空间利用率, Vc nV x = (1)对于简立方结构:(见教材P2图1-1) a=2r , V= 3 r 3 4π,Vc=a 3,n=1 ∴52.06834343333====π ππr r a r x (2)对于体心立方:晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)3 34(3423423 3 3 3≈=?=?=πππr r a r x (3)对于面心立方:晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4,Vc=a 3 74.062) 22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x (4)对于六角密排:a=2r 晶胞面积:S=62 60sin a a 6S ABO ?? =??=2 a 233 晶胞的体积:V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062) 22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x (5)对于金刚石结构,晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 34.0633 38 34 83483 3 3 33≈=?=?=πππr r a r x 、证明:面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子是面心立方。 证明:(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+??r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义:1232()b a a π=?Ω r r r 31230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ,223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a a ππ∴=??-++=-++r r r r r r r 同理可得:232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以,面心立方的倒格子是体心立方。 第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11)(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波,价电子与晶格交换能量,实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11/-=T k i B i e n ω . 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3 /222 0)3(2πn m E F =, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答] 中科院考研固体物理 试题 (1997~2012) 一九九七年研究生入学考试固体物理试题 一 很多元素晶体具有面心立方结构,试: 1 绘出其晶胞形状,指出它所具有的对称元素 2 说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状 3 面心立方的Cu 单晶(晶格常熟a=3.61?)的x 射线衍射图(x 射线波长λ=1.54?)中,为什么不出现(100),(422),(511)衍射线? 4它们的晶格振动色散曲线有什么特点? 二 已知原子间相互作用势n m r r r U β α+-=)(,其中α,β,m,n 均为>0的常数, 试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m 。 三 已知由N 个质量为m ,间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为 2sin 42 1 qa m ?? ? ??=βω 1 试给出它的格波态密度()ωg ,并作图表示 2 试绘出其色散曲线形状,并说明存在截止频率max ω的意义 四 半导体材料的价带基本上填满了电子(近满带),价带中电子能量表示式 ())(10016.1234J k k E ?-=,其中能量零点取在价带顶。这时若cm k 6101?=处电子被激发到更高的能带(导带)而在该处产生一个空穴,试求此空穴的有效质量,波矢,准动量,共有化运动速度和能量。(已知s J ??=-3410054.1 , 2 3 350101095.9cm s w m ??=-) 五金属锂是体心立方晶格,晶格常数为5.3 a?,假设每一个锂原子贡献一个 = 传导电子而构成金属自由电子气,试推导K =时,金属自由电子气费米能表 T0 示式,并计算出金属锂费米能。(已知J ? =) 1- .1 10 602 eV19 简答题 1、原子结合成晶体时,原子的价电子产生重新分布,从而产生不同的结合力,分析离子性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。 答案:离子性结合:正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近,当靠近到一定程度时,由于泡利不相容原理,两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时,形成稳定的离子晶体; 共价性结合:靠两个原子各贡献一个电子,形成所谓的共价键; 金属性结合:组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有,因此在结合成金属晶体时,失去了最外层(价)电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下,电子云和原子实之间存在库仑作用,体积越小电子云密度越高,库仑相互作用的库仑能愈低,表现为原子聚合起来的作用。 范德瓦耳斯性结合:惰性元素最外层的电子为8个,具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩,这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。 2. 什么叫简正振动模式?简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事? 答案:为了使问题既简化又能抓住主要矛盾,在分析讨论晶格振动时,将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N. 3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答案:长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 4. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答案:长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 5. 何谓极化声子? 何谓电磁声子? 答案:长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子. 由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子. 6、什么是声子? 答案:晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式,称为晶格振动,晶格振动能量可以用声子来描述,声子可以被激发,也可以湮灭。固体物理学》概念和习题 答案
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