四年级奥数-教师版-第五讲倒推法的应用题
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/ 8 第五讲 倒推法的应用 知识导航 在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 用倒推法解题时要注意： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理. ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算. ③列式时注意运算顺序，正确使用括号. 例1： 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？ 解析:这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题. 如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56. 如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解. 解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56 ［（□－8）＋10]÷7＝56÷4=14 （□－8）＋10=14×7=98 □－8=98-10=88 □=88+8=96 答：于昆这次数学考试成绩是96分. 【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是. 解析：{［（□ + 6）×6］- 6}=6 解：运用倒推法知这个数为（6×6+6）÷6-6=1 【解题技巧】解答此类问题的方法规律是：原题加，逆推为减；原题减，逆推为加；原题乘，逆推为除；原题除，逆推为乘。
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/ 8 例2 ：小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年岁. 解析：｛［（□ + 17）÷4］- 15｝×10 ＝ 100 采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100÷10+15)×4-17=83(岁) 【巩固】某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数. 解析：{［（□÷4）×5］÷6}=615 解：运用倒推法知这个数为615×6÷5×4=2952 例3：马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？ 解析：马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7-1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70-10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题. 解：111-（70-10）＋（7-1）＝57 答：正确的答案是57. 【巩固】在计
算一道减法题时，小马虎把被减数个位上的3看做8，把减数十位上的6看做9，结果得出的差是60.正确的结果是多少？ 解析：被减数个位上的3看做8，差就多加了5；减数十位上的6看做9，差就多减去30.要求出正确的差，就应该用60加上30，减去5. 解：8553060。 例4：树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？ 解析：倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16-6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6-8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解. 解：①现在三棵树上各有鸟 多少只？48÷3＝16（只） ②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只） ③第二棵树上原有鸟只数. 16＋6-8＝14（只）
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/ 8 ④第三棵树上原有鸟只数. 16-6＝10（只） 答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只. 【巩固】三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具，而B又将6个玩具给C，这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个？ 解析：从三人的玩具数相等入手分析， 可得到每人的玩具数 例5：篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？ 解析：依题意，画图进行分析. 解：列综合算式： ｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（个） 答：篮子里原有梨22个. 【巩固】一桶油倒去一半后，再倒去剩下的一半，这时连桶还有16千克。已知桶重5.5千克，那么原来这桶油连桶共重多少？ 解析：倒去两次后连桶有16千克，这16千克不仅有剩下的油的质量还有桶的质量，桶重5.5千克，易知剩下的油重16-5.5=10.5千克，利用倒推法得油重 10.5×2×2=42千克。故这桶油连桶重42+5.5=47.5千克。 解：（16-5.5）×2×2+5.5=47.5（千克）
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/ 8 例6：“六一”儿童节,小明和小培从妈妈那儿分得一些糖，妈妈把糖分成相同的两份给他们，多的一个给自己留下了.小明在路上遇着自己的两个朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的两颗分别送给了两个朋友.过了一会儿,又遇上两个小朋友,他同样分给他们糖,多的两颗分给了他们,后来,他又遇上了两个朋友,分完糖之后,小明发现自己只剩下一颗糖了,请问妈妈原来有多少糖? 解析：最后一次分糖前小明有糖3+2=5颗；倒
数第二次分糖前小明有糖5×3+2=17颗；倒数第三次分糖前小明有糖17×3+2=53颗；妈妈原来有糖53×2+1=107颗. 【巩固】A、B、C三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具，而B又将6个玩具给C，这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个？ 解析：从三人的玩具数相等入手分析，可得到每人的玩具数为16348（个）。然后再看每人的玩具数是怎样得到的，最后用倒推法就使问题解决了。 解：16348 C：10616（个） B：148616（个） A：24816（个） 例7：甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？ 解析：解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克. 求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克. 解：①甲乙两桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克） ②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克） ③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克） 用倒推法画图如下：
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/ 8 ④从甲桶卖出油多少千克？15-11＝4（千克） ⑤从乙桶卖出油多少千克？15—5＝10（千克） 答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克. 【巩固】甲乙丙三人共有图书120本，乙向甲借3本书后，又送给丙5本，结果三个人的数量相等。甲乙丙原来各有多少本书？ 解析：从三人数量相等入手：403120（本）；再根据已知往回逆推，得解。 解：403120（本） 甲：43340（本） 乙：425340（本） 丙：35540（本）
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/ 8 课后练习 1、一个数除以18,乘4，加上6039，等于6139，这个数是多少？ 解析：由于原来的计算为“61396039418?”，根据运算顺序，用倒推法思考：这个数不加上6039时是多少，这个数不乘4时时多少，这个数不除以18时是多少，从6139入手，依次倒推，就可以求出这个数是多少。 解：184)60396139(1841001825450 2、小明在做加法题时，把一个加数个位上的6写成9，十位上的6写成0，结果得到错误的得数584,正确得数应该是多少？ 解析：个位上的6看做9，和就多了3；十位上的6看做0，和就少加了60.要求出正确的和，
就应该用60加上3. 解：641360584 3、几个数相加时，把一个加数个位上的0写成9，把十位上的9写成6；另一个加数百位上少写3，这时得到的和是1395.那么原来几个数的和是多少？ 解析：应为是相加的，所以多加的要减去，少加的要加上。并且要知道，在各位少几就是几个；在十位少几，就是少几十；在百位少几，就是少几百。 解：17169303001395 4、从第一堆糖中拿一半放入第二堆，拿35粒放入第三堆，再拿出剩下中的一半放入第四堆，最后又吃掉第一堆中的2粒，这时第一堆中还有48粒，第一堆原有糖多少粒？ 解析：从吃了第一堆中的2粒，还有48粒入手，倒推出第一堆原有的糖的粒数。 解： 最后一堆 没吃2粒前 没放第四堆前 没放第三堆前 没放第二堆前 48 50248 100250 13535100 2702135 算式：2702]352)248[(（粒） 5、三筐苹果共有90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重了。甲乙丙原来各有苹果多少千克？ 解析：如图；先考虑已经平分，则可知每筐有:30390
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/ 8 解：30390（个） 甲：32171530（个） 乙：25201530（个） 丙：33172030（个） 6、三年级三个班共有学生156人，若从三（1）班调5人到三（2）班，从三（2）班调8人到三（3）班，再从三（3）班调4人到三（1）班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人？ 解析：如图； 解：156÷3=52（人） 三（1）班：52-4+5=53（人） 三（2）班：52+8-5=55（人） 三（3）班：52+4-8=48（人） 7、有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就抢过一半；弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半；哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块。这时，哥哥挑14块，弟弟挑12块。最初弟弟准备挑多少块？ 解：14-5=9（块）9×2=18（块）26-18=8（块）8×2=16（块） 8、三人共有糖72粒，若甲给乙，丙各一些，使他们增加1倍。接着乙又给甲，丙各一些，使他们翻倍。最后丙也给甲，乙各一些，使他们翻倍。这时三人糖数相等，三人原来各有几粒糖？ 解：72÷3=24（粒） 甲 乙 丙 最后的糖果数 24 24 24 丙不给甲，乙 12 12 48 乙不给甲，丙 6 42 24 甲不给乙，丙 39 21 12 9、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩下7米，这捆电线原来总长多少米？ 解析：关键是找好这三次之间的关系，用倒推的方法依次可以返回每次用之前的长度。 解：第三次用之前的一半是：1210715（米） 第二次用之前的一半是：24212（米） 第一次用之前的一半
是：27324（米） 甲 乙 丙 -15 +15 +20 +17 -20 -17 三（1）班 三（2）班 三（3）班 -5 +5 +8 +4 -8 -4
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/ 8 全长：54327（米） 答：原来长54米。 10、袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半，再放回一个，一共做了5次，袋中还有3个球，原来袋中有几个球？ 解析：每次那后剩下的是拿之前的一半多一个。从最后袋中的3个球，依次向前推算解决问题。 解：最后袋中有3个球； 第5次拿之前：42)13(（个） 第4次拿之前：62)14(（个） 第3次拿之前：102)16(（个） 第2次拿之前：182)110(（个） 第1次拿之前：342)118(（个） 答：省去。