第二章-应力分析-例题-东北大学课件

2019年固体力学与岩石力学基础例题

第二章 应力分析

例题2.1 设某点的应力张量为

012120201?? ?= ? ???

σ

试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。 解：

设该平面的法线矢量为：

， ，

由几何关系知：

联立方程：

于是解得：

， ，

所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为：

该平面的法向应力和切向应力为：

解答完毕。

例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。

图2.1

解：

在OP 面上有应力边界条件：

式中， 为水的比重。 解答完毕。

例题2.3 已知一点的应力张量为

2201

211210σ?? ? ? ???

过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ；

2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。 解：

由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即：

又根据几何关系：

解得：

2

解答完毕。

例题2.4 已知坐标系123x x x o 中一点的应力张量为

111213212223313233σσσσσσσσσ?? ?= ? ???

σ

如图 2.2（1）所示坐标系123x x x o 绕3x 轴逆时针旋转90°得到如图2.2（2）所示坐标系

123x x x '''o ，如图2.2（2）所示坐标系123x x x '''o 绕2x '轴逆时针旋转90°得到如图2.2（3）

所示坐标系123x x x ''''''o ，求此点在123x x x ''''''o 坐标系中的应力张量。

（1） （2） （3）

图2.2

解：

当坐标由图1变至图2时，新坐标相对于老坐标的方向余弦为：

根据现性代数坐标转换关系，可以得到：

1x ''

2x ''

3''

o

3x '

2x '1x '90?

o

1

x 3

x 2

x 90?

o

根据张量的对称性质，于是有新的张量：

当坐标由图2变至图3时，新坐标相对于老坐标的方向余弦为：

根据现行代数坐标转换关系，可以得到：

根据张量的对称性质，于是有新的张量：

解答完毕。

例题2.5 已知P点的应力张量为

12

12122112122(,)0()(,)2000ij x x x x x x x x x σσσ+?? ?=- ? ???

试确定1212(,)x x σ，使其满足无体力的平衡方程，并使得11x =面上的应力矢量为

2122(1)(5)x x =++-σe e 。

解：

在x 1=1的面上，l =1，m =0，n =0。 各个应力分量为：

于是：

解答完毕。