研究悖论的意义

数学科学历来被视为是严格、和谐、精确的典型学科，但数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上的三次危机皆由数学产生悖论而引起。悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考。可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。
悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论代替的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消解悖论，在消解悖论的过程中提高认知水平。消除悖论的过程常常是完善，发展原有的理论的过程。
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻。从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关。在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的。在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”。因此，它的发生是必然的、不可避免的。数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义。
一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对待；一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了；一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论是一种特殊的自相矛盾的命题：若肯定该命题真，就推出它假；若肯定它假，就推出其真。人们通常将悖论分为两种：逻辑悖论和语义悖论。逻辑悖论又称集合论悖论，以罗素悖论为典型。语义悖论以说谎者悖论为典型，它们总是涉及真、假、命名等语义学概念。
什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会

更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。 鵜