初中数学三角形外角的性质及应用专题辅导

初中数学三角形外角的性质及应用

角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。

一. 三角形外角的概念及特征

如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。

图1

外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；

（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；

（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。

二. 性质

1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。

2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4. 三角形的外角和等于360°。

三. 应用

1. 求角的度数

例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）

A. 115°

B. 120°

C. 125°

D. 130°

-55=125°。

解析：如图2，∠A的外角为：180°?

∠B的外角为：180°－65°=115°

∠ACB的外角为：55°+65°=120°

所以选D。

图2

例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（）

A. 23°

B. 42°

C. 65°

D. 19°

图3

解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD

所以∠1=∠B=23°

∠BED 是△EDF 的外角

则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。

例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ）

A.

α2

1

B.

α3

1 C.

α4

1 D.

α3

2

图4

解析：设∠EDC=x °

因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1）

因为AB=AC ，AD=AE

所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2）

将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x

所以α=

2

1x 所以选A 。

2. 判定三角形的形状

例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 以上三种情况都有可能

解析：如图5，在三角形ABC 中，∠BAC 的外角∠CAD<∠BAC 而∠CAD+∠BAC=180° 即：∠CAD=180°－∠BAC 所以180°－∠BAC<∠BAC 所以∠BAC>90° 故选C

图5

3. 证明两角相等

例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上，且∠ADE=∠B ，AD=DE 。求证：△ADB ≌△DEC 。

图6

分析：因为∠ADC 是△ADB 的外角 所以∠ADC=∠B+∠BAD

而∠ADE=∠B ，∠ADC=∠ADE+∠CDE 所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD 因此∠BAD=∠CDE

又AB=AC ，可得∠B=∠C 而AD=DE

所以△ADB ≌△DEC

例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，32

CD

，则△ABC 的边长为（ ） A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

图7

分析：因为△ABC 为等边三角形，所以∠B=∠C=60° 又因为∠APC 是△ABP 的外角 所以∠APC=∠B+∠BAP 而∠B=∠APD=60° 所以∠BAP=∠CPD

又∠B=∠C ，所以△ABP ∽△PCD 所以

CD

BP

PC AB =

。 设△ABC 边长为x ，则

3

2

11x x =- 解得x=3 故选A

4. 证明角度不等关系

例7. 已知，如图8，在△ABC 中，D 是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC 。

图8

证明：延长BD 交AC 于E 在△ABE 中，∠BEC>∠A 在△CDE 中，∠BDC>∠BEC 所以∠BDC>∠A

例8. 已知：如图9，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，求证：∠DEC>∠ABC 。

图9

证明：因为∠BAC=90° 所以∠BAD+∠DAC=90° 又因为AD ⊥BC 所以∠ADB=90°

所以∠ABC+∠BAD=90° 所以∠ABC=∠DAC

又因为∠DEC 是△AEC 外角 所以∠DEC>∠DAC 所以∠DEC>∠ABC

5. 证明角度的和差关系

例9. 如图10，已知：在△ABC 中，AB>AC ，∠AEF=∠AFE ，延长EF 与BC 的延长线交于G ，求证：)B ACB (2

1

G ∠-∠=

∠。

图10

证明：因为∠AEF=∠B+∠G

又因为∠AEF=∠AFE ，∠AFE=∠GFC 所以∠AEF=∠GFC 所以∠GFC=∠B+∠G ① 又因为∠ACB=∠GFC+∠G ② ①+②得：∠ACB=∠B+2∠G 所以)B ACB (2

1

G ∠-∠=

∠

例10. 如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

图11

证明：如图11，∠1=∠C+∠D ，∠2=∠A+∠E 而∠1+∠2+∠B=180°

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

练习：

1. （1996年昆明市中考）如图12，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且4:3:2::=γβα，则∠ACB 等于（ ）

A. 20°

B. 30°

C. 40°

D. 80°

图12

2. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 交于一点P 。若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ）

A. 150°

B. 130°

C. 120°

D. 100°

图13

3. （2005年浙江省中考）如图14，直线a//b ，则∠A=_________度。

图14

4. 如图15，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数。

（提示：利用如图∠1、∠2即可）。

图15