专题练习：三角形的外角
导学案
天成文化传媒 课题：三角形的外角
1．引导学生探索并了解三角形外角的性质．
2．让学生学会用学过的定理证明此性质．
重点：三角形外角的性质和三角形外角和．
难点：三角形外角性质和定理的探究及应用．
一、情景导入，感受新知
[投影1]如图，△ABC 的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A 、∠B 、∠C ，它们的和是180°.
若延长BC 到D ，则∠ACD 是什么角？这个角与△ABC 的三个内角有什么关系？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P 14标题11.2.2下的内容，完成下面的内容：
1．什么是三角形的外角？三角形的外角与相邻内角有什么位置关系和数量关系？
2．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则△ABC 的外角∠BCD ＝110°．
(二)合作探究
直接根据图示填空：
(1)∠α＝100°；(2)∠α＝60°；(3)∠α＝35°．
2.
如图，已知DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，∠B ＝67°，∠ACB ＝74°，∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数．
解：∠BDF 的度数是87°.
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：课件展示教材第15页例4：如图，∠BAE ，∠CBF ，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多么？
三角形的内角和与外角的性质祥解
1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2 、 L 3、L 4 所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何 者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360°
4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10°
9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（） A、50° B、40° C、70° D、35° 11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（） A、120° B、180° C、200° D、240° 12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（） A、100 B、110 C、115 D、120 14、以下说法中，正确的个数有（）
(完整版)三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解
三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.
(完整版)苏教版七年级下册三角形内角和外角和.doc
一、三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180 度。 要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。 注：①、已知三角形的两个内角度数，可求出第三个角的度数； ②、等边三角形的每一个内角都等于60 度； ③、如果已知等腰三角形的一个内角等于60 度，那么这个等腰三角形就是等边三角形。 ④、三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较 长，或较长的边，所对的角的度数较大。 例：已知等腰三角形的一个内角等于70 度，则另外两个内角的度数分别是多少度? 二、三角形的外角及其性质 三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。一共有六个外角。 其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。 根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和= 360 度。 性质 1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 性质 2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 （常用于解决角的不等关系问题） 例：等腰三角形的一个外角等于100 度，则这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？ 注：（ 1）、△ ABC 内有一点O，连接 BO、 CO，则有∠ BOC =∠ A +∠ ABO +∠ ACO （2）、△ ABC 内有一点 M ，连接 BM 、CM ，BO、CO 分别是∠ ABM 和∠ ACM 的平分线， 则有∠BOC =( ∠ A + ∠ BMC)/2
（ 3）、一个五角星，五个顶角的和等于180 度。 （可利用性质 1 和三角形的内角和来加以证明） （4）、BO 、CO 分别是△ ABC 的内角平分线， BO 、CO 相交于点 O，则∠ BOC = 90 ° + ∠A/2 （ 5）、BO 、CO 分别是△ ABC 的外角平分线，BO 、CO 相交于点O，则∠ BOC = 90 ° - ∠ A/2 （6）、BO 是△ ABC 的内角平分线，CO 是△ ABC 的外角平分线，BO、CO 相交于点 O， 则∠BOC = ∠ A/2 （ 7）、① 锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补； ② 直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等； ③ 钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一 钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。 三、多边形及其内角和、外角和
三角形外角的性质及应用
三角形外角的性质及应用 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角 形外角 的性质及应用。 一.三角形外角的概念及特征 如图1像/ ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如/ ACD 的顶点C 是厶ABC 的一个顶点; （2） 一条边是三角形的一边，如/ ACD 的一条边 AC 正好是△ ABC 的一条边； （3） 另一条边是三角形某条边的延长线如/ ACD 的边CD 是厶ABC 的BC 边的延长线。 二.性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于 360 °。 三?应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是 55°和65°,这个三 角形的外角不可能是（ ） A. 115 ° B.120 ° C.125 ° D. 130 ° 解析：如图2，/ A 的外角为：180° 55 =125 °。 / B 的外角为：180° - 65° =115° / ACB 的外角为：55° +65 ° =120° 所以选D 。
BCD 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3, AB//CD，/ B=23。，/ D=42 °，则/ E= （） 因为AB//CD 所以/仁/ B=23 ° / BED是厶EDF的外角 则/ BED= / 1 + / D=23 ° +42° =65 故选Co A. 23 例3. （2006年重庆市中考）如图4, AB=AC , / BAD= ,且AE=AD ,贝EDC=( A. B. C. D. 解析：延长
三角形的外角及外角和
9.1.2三角形的外角与外角和 教学目标： 1、理解三角形外角及外角和定义。 2、探索三角形的外角性质及外角和。 3、能运用三角形内角、外角知识解决问题。 4、体会图形在解决问题中的重要性。 重点：掌握三角形内角外角知识，解决实际问题。 难点：探索三角形的外角性质和外角和。 教学过程： 一、知识回顾： 1、三角形三个内角的和等于多少度？ 2、在ABC中： （1）∠C=90°，∠A=30 °，则∠B= ； （2）∠A=50 °，∠B=∠C，则∠B= . 3、在△ＡＢＣ中， ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝，∠Ｂ＝，∠Ｃ＝ 二、探索新知： 【一】自主探究： 1、外角定义： 三角形的（）与（）的延长线组成的角，叫做三角形的外角．说一说下列∠1是哪个三角形的外角？ 画图并思考：画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试． 同时想一想△ABC的外角共有几个呢？ 归纳：1、每一个三角形都有（）个外角． 2、每一个顶点相对应的外角都有（）个． 3、每个外角与相应的内角是（）．
2、外角性质： 请同学们找出三角形的外角与内角关系？ 位置关系： 数量关系： 如图，已知AD是△BDC的边BA的延长线，试说明：∠1= ∠B+ ∠ C 结论：三角形的外角性质： 1.三角形的一个外角（）与它不相邻的两个内角的（）； 2.三角形的一个外角（）任何一个与它不相邻的内角。 【二】、合作探究：三角形的外角和 1、外角和定义： 从与每个内角相邻的两个（）中分别取（）相加，得到的和称为三角形的外角和。 2、外角和： 如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，试说明：∠1+∠2+∠3=？ 议一议：∠1＋∠2＋∠3＝?还可以从哪些途径探究这个结果? 结论:三角形的外角和360°. 【三】、检测： 1、求下列各图中∠1的度数。
华东师大版七年级数学下册 三角形的内角和与外角和教案
三角形的内角和与外角和 教学目的 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、外角的两条性质以及三角形的外角和． 2．能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算． 重点、难点 1．重点：掌握三角形的内角和、外角和以及外角的性质． 2．难点：在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法． 教学过程 一、活动引入：你有什么办法可以探究它呢？ 活动内容：(1)：通过具体的度量，验证三角形的内角和 (2)方法二：剪拼法．把三个角拼在一起试试看？ 图1
图2 通过测量发现三角形的三个内角和是180°从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 已知：△ABC ．求证：∠A +∠B +∠C =180°． 证明：如图，过A 作EF ∥BC ∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等) 同理：∠3=∠5(两直线平行，内错角相等) ∵∠4+∠1+∠5=180°(平角定义) ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换) 2、 方法一：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠DAB =∠B ，∠EAC =∠C (两直线平行，内错角相等) ∵∠DAB +∠BAC +∠EAC =180° ∴∠BAC +∠B +∠C =180°(等量代换) 方法二：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ． ∵CE ∥BA ∴∠B =∠ECD (两直线平行，同位角相等) ∠A =∠ACE (两直线平行，内错角相等) ∵∠BCA +∠ACE +∠ECD =180° A B C D E A B C E D
∴∠A +∠B +∠ACB =180°(等量代换) 2．直角三角形两锐角之间的关系 由三角形的内角和等于180°，容易得到下面的结论： 直角三角形的两个锐角互余． 新知应用：比一比，赛一赛 (1)在△ABC 中，∠A =35°，∠B =43°，则∠C =102°． (2)在△ABC 中，∠C +∠B =140°则∠A ＝40°． (3)在△ABC 中，∠A =40°∠A =2∠B ， 则∠C ＝120°． 三角形的外角定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角． 如图，△ABC 中，∠1是一个外角． 3．三角形的外角及其性质 我们已经知道三角形的内角和等于180°．现在我们探索三角形的外角及外角的性质． 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角． 图 8.2.6 ∠DAC 是三角形的一个外角，内角 BAC 与它相邻，内角∠B 、∠C 与它不相邻． 问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系？(互补) 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系．请同学们拿出一张白纸， 在 1
《三角形的外角及其性质》教案及设计说明
七年级数学《三角形外角及其性质》 一、教学目标双向细目表 说明：1、学习内容的排列与教材的编排顺序相一致。 2、学习水平分为A、B、C、D四个等级： A：识记---了解、认识、感知、初步体会、初步学会 B：理解----说明、表达解释、懂得、领会 C：再现性情景应用---掌握、会用、归纳等 D：生成性的情景应用---会推导、证明、研究讨论、解决问题、总结评价等 3、对于每一知识要点和技能要点所需达到的学习水平，可在空格内“√”。 二、教学设计建议 （一）教材分析 本节课是上教版九年制义务教育课本七年级第二学期第十四章《三角形》第二节的第2课时。本节内容是在学生学习三角形内角和的相关知识后进行学习的。三角形和内角和外角互为邻补角，本节课从研究三角形的内角到研究三角形的外角，是对三角形认识的扩展和深化。本节课的教学重难点：掌握三角形外角的性质及运用三角形的外角的性质。 （二）学情分析
通过前面几节课的学习，学生已经掌握了三角形的基本概念，知道三角形的内角和为180°，三角形的外角与其相邻的内角是互补关系。这就为本节课的学习奠定了基础。本节课应注重渗透数学说理过程，从简单的问题中逐步培养学生运用几何语言的能力。 （三）教学过程设计 一、复习旧知 1、一个三角形有几个内角？内角间有什么数量关系？ 2、△ABC中∠A =50°，∠B=60°，求∠ACD的度数。 A B C D 3、引出三角形的外角； ——课题《14.2（2）三角形的外角及其性质》 二、新知探究 1、外角：三角形一个内角的邻补角叫做三角形的外角。 2、△ABC中一个内角相邻的外角有几个？他们有怎样的关系？一个三角形有几个外角？请画出△ABC的所有外角。 A B C D 3、问：根据上题的计算结果，请找出外角∠ACD与△ABC的三个内角间的数量关系。你有何发现？ （1）与相邻内角：∠ACD+∠ACB=180° （2）与不相邻内角：∠ACD=∠A+∠B, ∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B 4、你能否对刚才发现在的结论加以说明呢？也即是：∠ACD=∠A+∠B
(完整版)三角形内角和外角练习题
规律方法指导 1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角. 3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据． 外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便. 经典例题透析 类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 举一反三： 【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 类型四：与角平分线相关的综合问题 4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；
三角形的内角和与外角和教学设计
多边形的内角和与外角和 课程名称：几何 案例名：选地砖 一、案例背景 该班生源较好，主要表现在两个方面；第一是上课思路相对集中，不容易被其它同学讲话，相互干扰等外因打断自己思考问题的思路。第二发散性思维能力较强。主要表现在学生思考某一问题时能够从不同的侧面、不同的角度发表自己的看法和观点。对于同一个命题，学生能分清题设和结论部分，并有部分学生具有逆向思维能力。但在该班仍有少部分学生学习态度不够端正，学习习惯也不是很好，从而造成数学思维能力、计算能力等不是很强。 教师希望通过这堂课的学习使成绩优良的学生进一步锻炼和发展自己的思维能力，使少部分成绩较差的学生在分层教学和分小组讨论的过程中也能体会学习的乐趣，使全班同学不仅学会多边形内角和的应用，而且要学会发现问题、分析问题、研究问题和解决问题的思维方式和方法。 基于这样的现状，教师在课前做了大量的准备工作。首先布置所有同学进行《多边形内角和》的认真预习，其次，课堂上的位置也是精心编排的。让每组中都有不同层次的同学，希望培养学生的团队精神与合作意识。再次，对于课堂内容，教师进行了目标分层、问题分层、习题分层，并且该课的习题也精心设计有练习题和思考题，练习题是每位同学必须完成的，较难的思考题是选做的。教师希望学生要学会数学知识，但更重要的是学会如何学习。 二、教育过程 （一）新课导入 1、选地砖 “哦，挑那一种地砖好呢？”太太叹了口气。画面上一对年轻夫妇正在挑选装修地板的瓷砖。面对着琳琅满目的瓷砖，他们既希望色彩称心，又希望形状独特别致。 这时候，专业设计师走来向他们推荐。在初步商量之后，设计师向他们展示了三幅不同的拼花图案。 2、调查研究 T：这三幅图案是同学们在日常生活中经常可以看到的。请大家观察一下这三种图案都是由哪些基本图形组成的？有没有同学知道？ S1：第一幅图是由六边形组成的。 T：回答很好，六边形。那第二幅图呢？ S2：五边形与三角形。 T：五边形吗？也是六边形，对，还有吗？这是什么？ S1：三角形。 T：第三幅图呢？ S3：正方形。 T：（微笑）正方形。还有这是什么，几边形？ S3：六边形。 T：六边形吗？ S：八边形。 T：八边形，很好，请坐。 这三幅图我们观察出分别是由边和角相等的三角形、四边形、六边形和八边形所组成的。好，现在呢，我们以第一个图为例。（图1放大）
三角形的内角和与外角和
§9.1.2三角形内角和与外角和 内江六中 饶莹 一、教学目标： 知识与技能目标：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用相关结论进行有关的推理和计算，初步掌握演绎推理的证明格式； 过程与方法目标：在学生学习过程中，使学生学会探索数学问题的归纳和实验法等研究方法； 情感、态度与价值观：通过小组讨论与自主学习相结合的方法，让学生融入课堂，成为课堂的主宰，并感受数学中演绎推理的魅力。 二、教学重难点： 教学重点：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并进行有关的推理和计算； 教学难点：三角形内角和定理的证明过程的引导与掌握。 情景引入： 1、通过PPT 展示生活中三角形的应用 2、提问：三角形内角和等于多少度？ 3、谁能上台用图片直观的给同学们演示三角形三个角之和等于0 180？ 4、通过PPT 动态演示撕一撕，拼一拼的过程 自主探究一： 问题3：如何演绎证明三角形内角和等于0 180？ 已知ABC ?，分别用321∠∠∠、、表示ABC ?的三个内角，证明：0 180321=∠+∠+∠。 结论1：三角形的内角和等 于0 180。 简单提示三角形的内角和等于180°的其他常见方法：
例1、说出下列三角形中未知内角的度数。 结论2：直角三角形的两个锐角互余。 自主探究二：三角形的一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，如图： 思考：三角形的一个外角与它内角的等量关系 结论3：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 的度数。 例2、说出下列各图中1
八年级数学上册三角形的外角课时练习(含解析)
三角形的外角 一、选择题 1、如右图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=( ) A.120° B.115° C.110° D.105° B C E 【答案】B 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质进行计算. 解：∠ADF=∠B+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∵∠B=45°，∠C=38°， ∴∠ADF=83°， ∠DEF=∠A+∠ADF(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∵∠A=32°，∠ADF=83°， ∴∠DEF=115°. 故应选B 考点：三角形外角性质 2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质可得：∠ACD=∠A+∠B ，根据题意可得：∠ACD+∠A+∠B=180°，所以可得：∠ACD+∠ACD=180°，求出∠ACB=90°. 解：如下图所示，设∠ACD+∠A+∠B=180°， ∵∠ACD=∠A+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和)， ∴∠ACD+∠ ACD=180°， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB=90°. 故应选C.
二、填空题 3、如图，x=______。 【答案】60°. 【解析】 试题分析：根据三角形外角的性质列出关于x的方程，解方程求出结果. 解：根据三角形外角的性质可得： x+80=x+x+20， 解得：x=60. 故答案是60°. 考点：三角形外角的性质 4、若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形。 【答案】钝角 【解析】 试题分析：三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，所以这个内角是钝角. 解：如下图所示，∠ACD<∠ACB， ∵∠ACB+∠ACD=180°， ∴∠ACB>90°. ∴△ACB是钝角三角形. 故应选C. 考点：三角形的外角 5、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。 【答案】25cm 【解析】 试题分析：根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，再根据第三条边与其中一边的长相等确定第三边的长. 解：设第三边长为xcm， 根据三角形三边关系可得：25-10 《三角形的外角和》教学设计 一、教学背景 本节内容之前，学生已经对三角形的表示、分类、内角等有关知识有了初步的认识。本节主要内容是：外角的概念及求外角和。它是三角形知识的延伸部分，在以后学习与角有关的计算中占据重要的地位；是今后学习三角形、四边形等有关图形的基础，起着承上启下的作用。 二、教学目标 知识与能力 1、能在图形中准确识别三角形的内角和外角。 2、使学生通过实际操作，探究三角形的外角和，并能进行简单的几何推导。 3、能利用三角形的外角性质和定理进行简单的计算。 过程与方法 教学过程中，启发学生根据习题间的联系进行分组讨论，引导学生进行思考，由浅到深，由易到难，让学生在已有的知识水平上经历探究、思索的过程，诱导他们正确解题、运用多种方法解题，拓展他们的思维，提高想象能力。 情感、态度与价值观 1、在实际探究中，培养学生主动参与的意识，增强学生间的合作能力。 2、通过运用所学知识探索三角形外角及求三角形的外角和的方法，体验数学研究和发现的过程，逐渐培养学生数学说理的习惯。 教学重点与难点 重点：找三角形外角、三角形外角和的探究 难点：三角形外角和的探究 学习方法：自主学习（知识准备）——合作探究（知识形成）——应用测评（知 识应用） 教师准备：三角形尺、普通三角形、等边三角形、等腰直角三角形。 学生准备：剪刀、直尺、量角器。 三、教学过程 （一）复习提问 1、在第五单元，我们学习了《三角形》，关于三角形的内角，你知道哪些知识？ 生：三角形有3个内角，三角形的内角和为180°。 2、回忆一下，我们是怎样推算出三角形的内角和的？ 生：量一量、剪拼、折一折。 3、既然三角形有内角，那么也可能有——外角。猜猜看，三角形的外角在哪儿？（生自由猜测。） 4、把三角形的一条边延长，这条延长线与三角形的另一条边形成的角，叫作三 角形的外角。（板书本段文字，以及课题：三角形的外角） 5、谁能根据定义，到黑板上画出三角形的一个外角？ 学生先画一个正确的，老师问学生有没有不同意见，在同一点上，产生两个外角， 6、辨析：由于在A点，可以画两条延长线，就产生了两个外角，这两个外角大小相等，所以任取其中一个（师把另外一个擦掉），这样一个内角对应一个外角。 7、想一想，三角形有几个外角？生：3个 你能画出来吗？请同桌合作，画出第1个图形的3个外角。 （二）探究三角形的内角与外角的关系 9.1.2三角形的内角和及外角的性质 丁河三中张玲 一、学习目标： 1、理解三角形内角和定理并会证明 2、理解并掌握三角形的外角的性质 3．会利用三角形内角和与外角性质进行有关计 算过程与方法： 培养学生探索、分析、解决问题的能力. 。 情感态度 通过探索三角形内角和与外角性质，提高学生逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度。 二、教学重点： 掌握三角形外角的性质 三、教学难点： 在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。 四、教学方法 三疑三探教学法 五、教学过程： （一）导入新课 同学们，在前面的学习中，我们已经初步认识了三角形的相关知识，知道三角形 的分类、内角、外角及三线（提问回答） 那么三角形的外角和又是多少呢，与内角之间有什么关系呢这就是我们今天要学习 的内容《三角形的内角和及外角的性质》，看到这个课题，你认为本节课我们要掌握 哪些知识呢？ ( 二) 、讲授新课： 同学们提的问题都很有价值，也是本节的重点，请大家按照自探提示自学课本有 关内容就能得到答案。 自探提示： 请同学们思考我们今天的自探提示一： 1、猜想 三角形内角和多少度？尝试用说理的方法给予证明。 2、证明 已知△ ABC，分别用∠ 1、∠ 2、∠3 表示△ ABC的三个内角，证明∠ 1+∠2+∠3=180 结论：三角形内角和等于 180 度 自探提示二： 1、看一看：一个外角与它相邻的内角有什么关系？ 提示：位置关系、数量关系 2 、拼一拼：在一张白纸上任意画一个三角形ABC，把∠ A、∠ B 剪下拼在一起， 放到∠ ACD上，你发现了什么？ 3、想一想：∠ A+∠B+∠1＝ 180°，∠ ACD+∠ 1=180°，你能由这两个等式推出刚才的结论吗？ 4、你能用平行线的知识得到同样的结论吗？ 解疑合探 当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 《9.1.2 三角形的内角和与外角和》（第一课时）教案 第一课时 教学目的 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。 2．利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和。 3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。 重点、难点 1．重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。 2．难点：在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。 教学过程 一、复习提问 1．什么叫三角形的外角?三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系? 2．三角形的内角和等于多少? 二、新授 我们已经知道三角形的内角和等于180°。 1．现在我们探索三角形的外角及外角和。 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻。 A D B C 问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补) 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。请同学们拿出一张白纸， 在白纸上画出如教科书图9.1.9所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD 上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。请你用 文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。 由此可知：三角形外角有两条性质： (1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 A 如图： D是△ABC边BC上一点，则有 ∠ADC＝∠DAB+∠ABD ∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD 问：∠ADB＝∠( )+∠( ) B D C 2．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。 (1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角和呢? (2)你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？ 3、探索三角形的外角和 （1）与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内 角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。 （2）探索三角形的外角和是多少？ （3）探索三角形的外角和是360°的证明方法。 三、巩固练习 教科书第79页练习1、2。 四、小结 1、三角形的内角和与外角和各是多少？ 2、三角形的外角有哪些性质？ 五、作业 三角形外角的性质及应用 蔡志武 阮正法 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC 的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC 的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 解析：如图2，∠A的外角为：180°=125°。 ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE交CD于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED是△EDF的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（） A. B. C. D. 图4 解析：设∠EDC=x° 因为∠ADC是△ABD的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+ （1） 因为AB=AC，AD=AE 所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED 而∠AED是△DEC的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2） 将（2）代入（1）得： 所以 所以选A。 2. 判定三角形的形状 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（） 三角形的内角和(一)教案 教学目标： 1.知道三角形内角之间的关系，直角三角形的两个内角互余 2.能运用相关结论进行有关的推理和计算； 教学难点 1.探索三角形3个内角之间的关系 2.灵活使用相关结论，理性思维的培养 教学过程 一、创设情境，感悟三角形内角和等于1800 在小学里，学生知道三角形内角和等于1800 ，通过运用几何画版制作的课件，使学生直观地感受三角形的三个内角之间的关系。 情境1：感受△ABC 的形状在不断变化过程中三角形三内角的和为1800 。 情境2：感受△ABC 用拼图的方法得出三角形内角和等于1800 。 方法一，在△ABC 中，把∠A 撕下，然后把点A 与点C 重合在同一点，摆成如图所示的位置。 方法二，其它拼图验证方法（如集中在A 点） 二、探索规律，揭示三角形内角和等于1800 1.议一议：如图7-33，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a 与木条b 平行，则∠1+∠2=1800 操作：把木条a 绕点A 转动，使它与木条b 相交于点C ，根据图（2），你能说明“三角形内 角和等于1800 ”吗？ A B a b (2) 1 221(1) b a C B A 三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800 2.由下图1、图2你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。 图1 图2 三、尝试反馈，领悟新知 例1、如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A 与∠B 的和等于∠C 与∠D 的和吗？为什么？ O D C B A 四、拓展延伸，运用新知 1.处理教材P26“做一做”1，2 教学中，要注意引导学生在探究“∠A 与∠B 的和”的度数的基础上,逐步归纳出 直角三角形的两个锐角互余 2、三角形的三个内角中，最多能有几个直角？最多能有几个钝角？为什么？ 五、课堂小结，内化新知 1、重点探究了三角形3个内角之间的关系以 2、由三角形3个内角 的关系得到直角三角形的一个性质：直角三角形的两个锐角互余。 六、课后作业 一、选择题 外角的性质 角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。 一. 三角形外角的概念及特征 如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。 图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； （2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。 二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。 三. 应用 1. 求角的度数 例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。 解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D 。 图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角 则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。 例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 《三角形的外角和定理》教案 思林中学张太宗 一、教学目标： 1、知识与技能：了解三角形的外角概念和三角形外角的性质，初步学会数学说理。 2、数学思考：能剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论。 3、解决问题：通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。学会运用简单的说理来计算三角形相关的角。 4、情感与态度目标： 通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯。 二、教学重点与难点： 重点：三角形的外角及其性质 难点：运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法。 五、教学准备：学生：三角尺、铅画纸、小剪刀 六、教学过程设计 [活动2] 问题1：图中那个角是三角形的外角？（多媒体显示图形） 问题2：三角形的外角有什么特点？根据这些特点，谁能说说什么叫做三角形的外角？ 学生观察图形找出三角形 的外角引出本节课题。 学生仔细观察 图形和学生间交流，师生共 同得出： 1、三角形外角的特点： ①顶点在三角形的一个顶 点上。 ②一条边是三角形的一条 边。 ③另一条边是三角形的某 条边的延长线。 2、三角形的外角的概念： 本次活动中，教师应重点关 注： 1、学生能否主动参与数学 学习活动。 2、学生是否敢于发表个人 观点。 培养学生仔细观 察能力，和语言表达能 力。 [活动3] 问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ ABC的一个外角，能由∠A、∠B 求出∠ACD吗？如果能，∠ACD 与∠A、∠B有什么关系？ 问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？学生先独立思考每个问题再分组 讨论、交流。并解决问题。 教师深入小组参与活动，及 时了解学生情况，同时引导学生 说出推理过程： 因为∠ACB+∠ACD=180° ∠ACB+∠A+∠B=180° 比较两个式子可得∠ACD=∠A+ ∠B 师生共同归纳三角形外角的 性质。 本次活动中，教师应重点关 注： ①学生能否在小组活动中 与他人交流思考过程。 ②学生能否积极地参加小 组探究活动。 ③学生能否采用不同方法 解决问题。 培养学生仔细观 察的能力，并进行大胆 猜想，再操作确认，培 养学生勤于动手，乐于 探究的良好习惯。 在交流与合作的 过程中，感受合作的重 要性。 教师引导学生说 出推理过程，让学生体 验证明的必要性，初步 学会说理。 [活动4] 问题：你能运用三角形的外角性质解决课后练习吗？ 学生独立思考解决问题，教 师总结结论。 本次活动中，教师应重点关 注： ①学生能否运用三角形外 角性质解决问题。 ②学生能否有条理地表达 自己的思考过程。 了解学习效果， 让学生经历运用知识 解决问题的过程，给学 生以获得成功体验的 空间，激发学习的积极 性，建立学好数学的自 信心。 【知识点2】三角形的外角性质 知识要点： 1.三角形的一个外角等于 .三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 2.三角形的外角和为 . o 【典型例题】 如图，△ABC 中，∠A=50°,∠ABC 的平分线与∠C 的外角∠ACE 平分线交于D ，求∠D 的度数。 【变式训练】 1.如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是 度． 2 3.如图，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACE，∠A=40°，则∠D 的度数是 ． 三角形． ． 8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 9.如图,在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝80°，∠C ＝46° (1)你会求∠DAE 的度数吗? (2)你能发现∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系吗? (3)若只知道∠B －∠C ＝20°，你能求出∠DAE 的度数吗? (4)∠AED 是哪个三角形的外角? C E D B A 第2题 第1题 第3题 第4题 22题1()O D C B A O 22题2()E D C B A 22题3()C E D B A 22题4() 65432122题5()765432110.如图22（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D， 利用这个结论，完成下列填空. （1）如图22题(2)，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ . （2）如图22题（3），∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ （3）如图22题（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ . （4）如图22题（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ . 三角形内角和、外角定理(含详细解答) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角形内角和、外角和定理 一．选择题（共10小题） 1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（） A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D ． 钝角三角形 2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（） A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D ． 钝角三角形 3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（） A ．150°B．210°C．105°D ． 75° 4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（） A ．40°B．45°C．50°D ． 55° 5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（） A ．360°B．250°C．180°D ． 140° 6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（） A ．10°B．12°C．15°D ． 18° 7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（） A ．70°B．80°C．90°D ． 100° 8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（） A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=1 80° D ． ∠2+∠3+∠5=3 60° 9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（） A ．36B．72C．108D ． 144 10．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（） A ．37B．57C．77D ． 97 二．填空题（共4小题） 11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度． 12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是 _________．四年级下册数学《三角形的外角和》
三角形内角和与外角性质..doc
《三角形的内角和与外角和》(第一课时) word版 公开课一等奖教案
三角形外角的性质及应用
三角形的内角和与外角和 优秀教案
外角的性质
三角形的外角和定理
三角形 的外角典型练习题汇编
三角形内角和、外角定理(含详细解答)