集合的含义与表示(学案及练习)

集合的含义与表示学案(1)

学习目标：

（1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；

（2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

（3）掌握常用数集及其记法；

学习内容：

（一）集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体

叫集合（set），也简称集。

3.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；

（2）我国的小河流；

（3）非负奇数；

（4）方程210

x+=的解；

（5）某校2007级新生；

（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）全班成绩好的学生。

5.元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a?A

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A

4?A，等等。

6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

（二）相关例题：

例1．用“∈”或“?”符号填空：

（1）8 N ； （2）0 N ；

（3）-3 Z ； （4；

（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

例2．已知集合P 的元素为21,,33m m m --, 若3∈P 且-1?P ，求实数m 的

值。

集合的含义与表示 学案(2)

学习目标：

（1）了解集合的表示方法；

（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

学习过程：

一、复习回顾：

１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集

及表示。

２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系

二、新课学习

（一）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考

虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开；

3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的

规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为

{}1,2,3,4,5,......

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x 2=x 的所有实数根组成的集合；

（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；

（4）方程组

20;

20.

x y

x y

+=

?

?

-=

?

的解组成的集合。

思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}

内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或

变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共

同特征。

一般格式：{}

()

x A p x

∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

说明：

1．课本P5最后一段话；

2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

（3）方程组

3;

1.

x y

x y

+=

?

?

-=-

?

的解。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（二）．相关练习：

１．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

2．集合A＝{x|

4

3

x-

∈Z，x∈N}，则它的元素是。

3．已知集合A＝{x|-3

第一章 集 合

1.1.1 集合的含义与表示

一、选择题

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；

③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有( )

A ．2组

B ．3组

C ．4组

D ．5组

2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，

N ＝{小于1050的正整数}，

P ＝{定圆C 的内接三角形}，

Q ＝{所有能被7整除的数}，

其中无限集是( )

A ．M 、N 、P

B ．M 、P 、Q

C ．N 、P 、Q

D ．M 、N 、Q

3．下列命题中正确的是( )

A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义

B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合

C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合

D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合

4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( )

A ．第一象限内的点

B ．第三象限内的点

C ．第一或第三象限内的点

D ．非第二、第四象限内的点

5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )

A ．x ＋y ∈M

B ．x ＋y ∈X

C ．x ＋y ∈Y

D ．x ＋y ?M

6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( )

A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}

B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R }

C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R }

D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z }

二、填空题

7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个．

8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．

9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______．

10．用符号∈或?填空：

①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2

1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______．

12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．

13．方程组??

???=+=+=+321x z z y y x 的解集为______．

14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．

15．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________． ③}75,64,53,42,31{______________________________________________________．

16．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______．

三、解答题

17．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．

18．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5?B ，求实数a 的值．

19．实数集A 满足条件：1?A ，若a ∈A ，则A a

∈-11． (1)若2∈A ，求A ；

(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由；

(3)求证：A a

∈-

11．

20．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R

①若A 是空集，求a 的范围；

②若A 中只有一个元素，求a 的值；

③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．

21．用列举法把下列集合表示出来：

①A =};99|

{N N ∈-∈x x ②B =};|99{N N ∈∈-x x

③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；

④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；

⑤E ＝?∈∈=+=*},,5,|{N N q p q p x q

p x

22．已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．