科氏力和陀螺力20170112

陀螺运动受力分析

Fig.1 简化成四个等质量块的陀螺模型，Ω是进动角速度，ω是转动角速度

将陀螺工作简化如下模型：用绕中心转动的均匀分布的四个质点D,E,G,H来近似质量圆盘（Fig.1），这种简化有助于从受力的角度理解陀螺运动。从线性动量和线性力的角度理解陀螺运动。考虑一个简化的陀螺Fig.1。沿轴A到质心c.m.转动，且质心围绕底座有进动，角动量沿Z轴正向。此外，质心的进动简化在水平面内，没有章动。初始情况下，GH是水平方向，EF是垂直方向。质点动力学分析分别从转动和进动两方面着手分析：

1.自转质量块由于进动产生的力

(先进动，再自转，自转速度v方向变化引起动量变化)

首先，考虑在一个进动微元内的质量块自转速度矢量变化。从Z轴向下看（Fig.2），v 代表D点的初始速度，v’代表经历进动微元后的速度。V代表质心进动的线速度。用dv表示由v到v’的变化（Fig.3）。由于刚性结构施加在质点D上的力使得单位时间内在dv方向动量发生变化，这里的刚性结构是由Fig.1中绿色和红色杆件构成。因此，质点D的对结构的反作用力与dv方向相反。在Fig.1中，这个反作用力施加在结构的D点上，方向沿-Y 轴方向。在进动微元变化的时间里，质点Ｄ的自转速率不变，只是方向发生变化，产生的合力记为F1（Fig.１），在D点作用在结构上产生一个径向向内的推力。F1对结构产生了一个力矩以抵消重力矩的作用。用类似方法(Fig.4-5)，可以做出质点E的受力分析，

但作用力F 2的方向与质点D 的方向相反。从数学上，F 1和F 2可由Fig.2-4中的相似三角形计算得出：

Fig.2俯瞰质点D ，由于进动造成质点D 自转速度矢量方向变化

Fig.3 由于质点D 的进动，线速度随自转的变化

Fig.4 俯瞰质点E ，由于进动造成质点E 自转速度矢量方向变化

Fig.5 由于质点E 的进动，线速度随自转的变化

Fig.6 从侧面观察质点G ，由于进动方向与G 点自转方向垂直，G 点速度不变。

Vdt dv

R v

= （1） 整理后得，

1dv Vv a dt R

== （2） 乘上质点D 的质量有

11D D Vv

F m a m R

==

（3） 类似的有

22E E Vv

F m a m R

==

（4）

由于D E m m =所以有12F F =。这里F 1、F 2都会产生一个抵消重力矩的矩。这里的力矩恰是抵消重力矩的一半（下节阐述），进而有整个陀螺的合力矩为零，与没有章动的假设是一致的。

依此法分析质点G 和H 不产生力。质点G 的方向v 向下（Fig.6），由进动导致G 的自转速度是v ’和v 有相同的大小和方向。因此动量变化为零，所以由质点Ｇ和Ｈ施加在结构上的合力为零。

２. 进动质量块由于自转产生的力

(先自转，再进动，进动速度V 方向发生变化引起的动量变化)

用类似的分析，考虑由质量块自转引起的进动速度的变化。俯瞰，质点D 的进动速度是V ，经历一个自转微元后进动速度变化为V ’如Fig.7所示。Fig.8中显示的是这些矢量在时间微元dt 内的变化是由于框架作用在质点D 上的力形成的，由质点D 施加在结构上的反作用力方向指向Z 轴见Fig.1。由于每个质点在进动速度上仅在方向发生变化（若大小发生变化会是什么情况？），所以反力矩用来抵消重力矩的作用。类似的可以分析质点E 的受力。质点G 和H 由于进动速度没有发生变化，所以受合力为零。再次用相似三角形对Fig.7-8进行求解，可得质点D 是受力情况

Fig.７ 俯瞰，在自转微元下，进动速度方向的变化

Fig.８由于自转，线速度随进动的变化

dV vdt

V R

= （5） 整理后得

1DV dV Vv

a a dt R

=== （6） 1DV D DV D

Vv

F m a m F R

=== （7） 同样方法可得质点E 的受力情况等于F 2

由以上两种情况分析可知质点D 在运动中既有自转受力又有进动受力。因此,质点

D

受到结构的作用力是2F 1.同理E 点受力为2F 2.图1中旋转质量对A 点的矩为

1212244Vv

rF rF rF mr

R

τ=+== （8） 设质量块总质量为M ，这里D E G H M m m m m =+++

2Vv

Mr

Mr r Mr R

τωω==Ω=Ω (9) 重力矩为

MgR τ= （10）

这里（忽略章动，且进动速度V 在XY 平面内）当旋转质量力矩与重力矩平衡时，即有（9）=（10），即可得

2r gR ωΩ=

以上的讨论中V 是关于质心绕基座的进动速度（平行于XY 平面），忽略章动。对于一般的讨论运动，当章动存在时，V 是陀螺质心的瞬时线性速度，且有三个非零分量。 （俯瞰逆时针方向转动）当陀螺在水平面上带有初始自转速度（如图1，但没有进动速度）释放后，就会像单摆一样下落。当它下落，由于自转速度保持不变，但质心速度变了（开始增加，方向向下）。当陀螺一开始下降时，质心的速度V 获得了一个沿-Z 轴方向的分量。由之前的讨论中可知，V 在XY 平面内Fig.1 ，系统产生反作用力的真实力沿+Z 轴方向（对于A 点形成的矩），以阻碍陀螺下落的趋势。在这里，初始速度V 平行于YZ 平面，所以作用于陀螺的真实力主要沿-X 轴方向，初始进动平行于XY 平面。速度V 在XY 平面内的分量产生一个矩以抵制重力作用，且这个矩随着V 的增大而增大。在某个瞬时，反向扭矩和重力矩达到一个平衡，但这里仍有一个V 沿-Z 轴的分量。因此，陀螺仍将下落，除非有V 的一个分量，在+Z 方向有足够大的力来抑制其下落。因为，陀螺降至平衡

有摩擦阻尼产生。

科氏力：2F mv ω=?，方向由右手定则判断 考虑E 点的等效运动情况:

E 点受科氏力影响方向是由圆心径向朝外的2E

F mv =?Ω=同理可以判断质点D 的受力22D F mv mr ω=?Ω=Ω 即2

()D E r F F Mr τω=+=Ω与（9）相同。