由香农定理展开
曾莉萍通信四班 2009070471
由香农定理想开
克劳德〃艾尔伍德〃香农，1916年4月39日出生于美国密歇根州，1936年毕业于密歇根大学并获得数学和电子工程学士学位，1940年获得麻省理工学院（MIT）数学博士学位和电子工程硕士学位。
香农的大部分时间是在贝尔实验室和MIT(麻省理工学院)度过的。1948年至1949年间，他先后发表了《通讯的数学原理》和《噪声下的通信》，文章阐明了通信的基本问题，给出了通信系统的模型，提出了信息量的数学表达式，并解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等一系列基本技术问题。这两篇论文被视为信息论奠基之作。香农也因此一鸣惊人，被誉为“信息论之父”。
香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。香农定理描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信号噪声功率比之间的关系.
联想到所熟悉的通信技术，很容易对香农公式进行定性地验证，首先来看看因特网的接入方式。最早使用的拨号上网方式都离不开“猫”(调制解调器)，这是一种在模拟链路（音频电话线）上传输数据的设备，并且没有太高的错误率。但细心的人一定会
发现“猫”的标称速度为56Kbps了，但实际网络传输的速度都远低于56Kbps。究其原因就会发现瓶颈在电话线上。
自100多年前无线通信诞生以来，通信技术发生了翻天覆地的变化。香农的信息论不仅对传统的通信技术进行了概括总结，而且对当今及未来社会的信息化发展起到了决定性的指导作用。
香农三大定理
香农第一定理：可变长无失真信源编码定理。采用无失真最佳信源编码可使得用于每个信源符号的编码位数尽可能地小，但它的极限是原始信源的熵值。超过了这一极限就不可能实现无失真的译码。 香农第二定理：有噪信道编码定理。当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。 香农第三定理：保真度准则下的信源编码定理，或称有损信源编码定理。只要码长足够长，总可以找到一种信源编码，使编码后的信息传输率略大于率失真函数，而码的平均失真度不大于给定的允许失真度，即 D'<=D. 一:香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) 设信源S的熵[shāng]H(S),无噪离散信道的信道容量为C,于是,信源的输出可以进行这样的编码,使得信道上传输的平均速率为每秒 (C/H(S)-a)个信源符号.其中a可以是任意小的正数, 要使传输的平均速率大于(C/H(S))是不可能的。 二:香农第二定理（有噪信道编码定理） 设某信道有r个输入符号,s个输出符号,信道容量为C,当信道的信息传输率R 公式：C=B*log2(1+S/N) 注：B为信道带宽；S/N为信噪比，通常用分贝（dB）表示。 三:香农第三定理（保失真度准则下的有失真信源编码定理） 设R(D)为一离散无记忆信源的信息率失真函数,并且选定有限的失真函数,对于任意允许平均失真度D>=0,和任意小的a>0,以及任意足够长的码长N,则一定存在一种信源编码W,其码字个数为 M<=EXP{N[R(D)+a]}，而编码后码的平均失真度D'(W)<=D+a。 现代通信与香农三大定理 姓名：杨伟章学号：201110404234 摘要：当我们提起信息论，就不得不把香农和信息论联系在一起，因为正是香农为通信理论的发展所做出的划时代贡献，宣告了一门崭新的学科——信息论的诞生。从此，在香农信息论的指导下，为了提高通信系统信息传输的有效性和可靠性，人们在信源编码和信道编码两个领域进行了卓有成效的研究，取得了丰硕的成果。其实，信息论是人们在长期通信实践活动中，由通信技术与概率论、随机过程、数理统计等学科相互结合而逐步发展起来的一门新兴交叉学科。 关键词：信息论基础现代通信系统香农三大定理 上个世纪四十年代，半导体三极管还未发明，电子计算机也尚在襁褓之中。但是通信技术已经有了相当的发展。从十九世纪中叶，电报就已经很普遍了。电报所用的摩斯码（Morse Code），就是通信技术的一项杰作。摩斯码用点和线（不同长度的电脉冲）来代表字母，而用空格来代表字母的边界。但是每个字母的码不是一样长的。常用的字母E只有一个点。而不常用的Z有两划两点。这样，在传送英语时，平均每个字母的码数就减少了。事实上，摩斯码与现代理论指导下的编码相比，传送速度只差15%。这在一百五十多年前，是相当了不起了。 在二次世界大战时，雷达和无线电在军事上广泛应用。无线电受各种噪声的干扰很厉害，这也给通讯技术提出了新的课题。各种不同的调制方式也纷纷问世。于是就出现了这样一个问题：给定信道条件，有没有最好的调制方式，来达到最高的传送速率？ “传输速率是波特率与每波特所含比特数的乘积。波特率受频宽的限制，而每波特所含比特数受噪声的限制。”前一个限制，由那奎斯特（Harry Nyquist）在1928年漂亮地解决了。而后一个问题则更复杂。1928年，哈特利（R. V. L. Hartley）首先提出了信息量的概念，并指出编码（如摩斯码）在提高传送速度中的重要作用。但是他未能完整定量地解决这个问题。二战期间，维纳（Norbert Wiener）发展了在接收器上对付噪声的最优方法。但是传输速率的上限还是没有进展。 在这种情况下，香农（Claude E Shannon）在1948年发表了《通信的一个数 拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时， lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ --?存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。 0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞=+?式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 00[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ=（a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9） 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞-? 3. 拉普拉斯逆变换 5. 克劳德. 艾尔伍德. 香农（Claude Elwood Shannon）——数学家、信息论的创始人 克劳德·艾尔伍德·香农（1916—2001）——1916年4月30日出生于美 国密歇根州的加洛德（Petoskey），1936年毕业于密歇根大学并获得数学和电 子工程学士学位，1940年获得麻省理工学院（MIT）数学博士学位和电子工 程硕士学位。1941年他加入贝尔实验室数学部，工作到1972年。1956年他 成为麻省理工学院（MIT）客座教授，并于1958年成为终生教授，1978年成 为名誉教授。香农博士于2001年2月26日去世，享年84岁。 香农在普林斯顿高级研究所（The Institute for Advanced Study at Princeton）期 间，开始思考信息论与有效通信系统的问题。经过8年的努力，从1948年6月到10月，香农在《贝尔系统技术杂志》（Bell System Technical Journal）上连载发表了影像深远的论文《通讯的数学原理》。1949年，香农又在该杂志上发表了另一著名论文《噪声下的通信》。在这两篇论文中，香农解决了过去许多悬而未决的问题：阐明了通信的基本问题，给出了通信系统的模型，提出了信息量的数学表达式，并解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等一系列基本技术问题。两篇论文成为了信息论的基础性理论著作。那时，他才不过刚刚三十出头。 香农的成就轰动了世界，激起了人们对信息论的巨大热情，它向各门学科冲击，研究规模象浪雪球一样越来越大。不仅在电子学的其他领域，如计算机、自动控制等方面大显身手，而且遍及物理学、化学、生物学、心理学、医学、经济学、人类学、语音学、统计学、管理学……等学科。它已远远地突破了香衣本人所研究和意料的范畴，即从香农的所谓“狭义盾息论”发展到了“广义信息论”。香农一鸣惊人，成了这门新兴学科的寞基人。20世纪80年代以来，当人们在议论未来的时候，人们的注意力又异口同声的集中到信息领域。按照国际一种流行的说法，未来将是一个高度信息化的社会。信息工业将发展成头号工业，社会上大多数的人将是在从事后息的生产、加工和流通。这时，人们才能更正确地估价香农工作的全部含义。信息论这个曾经只在专家们中间流传的学说，将来到更广大的人群之中。香农这个名字也飞出了专家的书斋和实验室，为更多的人所熟悉和了解。 香农被尊称为是“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报》上的论文《通信的数学原理》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利先前的成果。在该文中，香农给出了熵的定义： 这一定义可以用来推算传递经二进制编码后的原信息所需的信道带宽。熵的概念量度的是消息中所含的信息量，而去除了消息中固有结构所决定的部分，比如，语言结构的冗余性以及语言中字母、词的使用频度等统计特性。 拉普拉斯变换公式总结.. 拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域 若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 §2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 3 10 120012104121 -=D 中选定第一、三行，第二、四列得到 一个二级子式M ： 1 042= M , M 的余子式为 1 020= 'M . 例2 在五级行列式55 54 5352 51 25242322211514131211 a a a a a a a a a a a a a a a D = 中, 45 43 42 252322 15 1312 a a a a a a a a a M =和54 51 34 31 a a a a M ='是一对互余的子式. 定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是 k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后 称做M 的代数余子式. 因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D . 香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) 设离散无记忆信源X包含N个符号{x1,x2,…,xi,..,xN}，信源发出K重符号序列，则此信源可发出N^k个不同的符号序列消息，其中第j个符号序列消息的出现概率为PKj，其信源编码后所得的二进制代码组长度为Bj，代码组的平均长度B为 B=PK1B1+PK2B2+…+PN^kBN^k 当K趋于无限大时，B和H(X)之间的关系为B/K=H(X)(K趋近无穷） 香农第一定理又称为无失真信源编码定理或变长码信源编码定理。 香农第一定理的意义：将原始信源符号转化为新的码符号，使码符号尽量服从等概分布，从而每个码符号所携带的信息量达到最大，进而可以用尽量少的码符号传输信源信息。 香农第二定理（有噪信道编码定理） 有噪信道编码定理。当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性，但若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。 设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为C，当信道的信息传输率R 香农信息论初阶1 1.说明信息、消息、信号的关系。 信息是消息所含有的内容；消息是信息的外在表现形式；信号是消息的具体物理体现。 所以：信息?消息?信号。 2.论述Shannon 信息论的不足之处。 Shannon 信息论主要有两大不足： 第一，Shannon 信息论中对信息的定义仅考虑由概率统计和随机过程所引起的因果关系的不确定（外延明确的不确定），未考虑其他因素引起的不确定性，如模糊不确定性（外延不明确的不确定）、混沌（chaos ）不确定性（确定中的不确定）、灰色不确定性（贫信息的不确定）等。 第二，Shannon 信息论中对信息的定义未涉及信息具有的主观性。 3.画出信息传输系统的模型，并对各主要部件进行阐述。 信源 → 编码器 → 信道 → 译码器 → 信宿 ↑ 噪声源 由于通信中的噪声源的存在，信息传输系统有以下5个部分： （1）信源是产生消息和消息序列的源； （2）编码器是把消息变成信号的部件，一般有信源编码、信道编码、加密编码； （3）信道是指通信系统把载荷消息的信号从甲地传输到乙地的媒介或通道； （4）译码器是把信道输出的编码信号进行反变换的部件，一般有解密译码、信道译码、信源译码； （5）信宿是消息传送的对象。 4.Shannon 信息论的框架结构。 Shannon 信息论 压缩理论（研究信息表示的有效性） 有失真信源编码定理 信源编码理论 具体的信源编码 无失真信源编码定理 传输理论（研究信息传输的可靠性） 信道编码定理 信道编码理论 具体的信道编码 保密理论（研究信息的保密性） 保密编码定理 保密编码理论 具体的保密编码 5.何为自信息和平均自信息？ 自信息定义为：) (1 log )(2i i a p a I = 平均自信息定义为：)(1 log )()(21i n i i a p a p X H ∑== 平均自信息是自信息的统计平均。 信息论的应用 13348108 吴泽焕13331138梁伟军 （中山大学信息科学与技术学院通信工程广州510006） 摘要：信息论是关于信息的本质和传送规律的科学理论，其主要特点是理论的成功应用。而信息论不仅仅在通信领域起作用，还在所有与信息有关的领域都发挥着重要作用。本文主要对信息论的一些原理做一个简单的综述。同时，将香农的信息论原理与人的主观世界结合，对主观领域定量分析，并利用信息论解释人的认识过程和记忆、遗忘的原因，拓展信息论的应用领域。 关键词：信息论；学习和记忆；应用 Application of information theory Abstract:Information theory is a scientific theory about the essence and the transmission of information, its main characteristic is the successful application. Whereas the theory not only plays an important role in the field of communication, but also plays an important role in other related fields. This article mainly makes a brief summary on the information theory. At the same time, we will combine Shannon's theory with human's subjective world to quantitatively analyse the subjective field,.and then use the information theory to explain the process of human's learning, as well as the cause of human forgetting, aiming to expand its application field. Key words:Information theory; Learning and memory; Application 0引言 通过课上老师对信息论的总体介绍，我们对信息论有了初步的认识。信息论在科学领域和日常生活中都有着非常重要的应用。 在当今信息社会中，信息是社会与社会生产力发展的动力与资源。信息作为一种资源，如何开发、利用、共享是值得关注的问题。作为通信工程专业的学生，一提起信息论的应用，我们首先想到了其在通信领域中的广泛应用。但是，信息论的实际应用远不止于通信领域，它在其他领域中也发挥着不可忽视的作用。据此，我们将信息论原理结合到学习生活当中，并利用信息论解释人的认识过程和记忆、遗忘的原因，拓展信息论的应用领域。 §8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 3 10 12001 2104121-= D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1 042= M , M 的余子式为 1020= 'M . 例2 在五级行列式 55 54 5352 51 25242322211514131211 a a a a a a a a a a a a a a a D = 中 45 43 42 252322 151312 a a a a a a a a a M = 和 54 5134 31a a a a M = ' 是一对互余的子式. 定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是 k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后 称做M 的代数余子式. 因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D . 例3 利用拉普拉斯定理计算行列式 1 31 31011 2104121-= D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 1= 和 nn n n n n b b b b b b b b b D 21 2222111211 2= 的乘积等于一个n 级行列式 nn n n n n c c c c c c c c c C 2 1 2222111211 = ,现代通信与香农三大定理
拉普拉斯变换公式总结
香农的简介
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯(Laplace)定理
香农三大定理
香农信息论大意
《信息论的应用》
拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则