北师版数学八年级(上)上第一章勾股定理导学案

第一章勾股定理导学案

第1课时探索勾股定理（1）

一、1.学习内容：教材P1-7

2.学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。

二、预习设计：

1、三角形按角的大小可分为：、、。

2、三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和；任意两边之差。

3、直角三角形的两个锐角；

4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。

5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：

（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；

（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?

（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想：

三、课堂探究：：

如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？

思考：

每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。

勾股定理：

直角三角形等于；

几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°，

则：；

若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。

图1.1-1 课堂练习：

1、求下图中字母所代表的正方形的面积

落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？

三、师生互动：

例题.在△ABC 中,AB=AC=5cm ，BC=6cm,求△ABC 的面积.

C

B A

四、训练达标： 基础巩固：

1．在△ABC 中，∠C=90°，

（1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ；

（3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。

2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .

3．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。

4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。 能力提升：

6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方

形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2

. 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 的面积是 。

8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其

面积为 ．

10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。

第4题

第2课时探索勾股定理（2）

一、1.学习内容：教材P8-11

2.学习目标：能用拼图验证勾股定理,能利用勾股定理解决实际问题。

二、学习探究：

知识回顾：

1、勾股定理：

2、求下列直角三角形的未知边的长

3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c：

（1）如果8

a=，15

b=，则c=，面积为；（2）如果5

a=，13

c=，则三角形的周长为，面积为；

活动探究：利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）：活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：

1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？

12

5

B

A

C

活动二：你能利用类似的方法由图2

活动三:请利用图3验证勾股定理.

思考：用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，

你还有那些方法？ 三、师生互动：

例1 、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000

米处，则飞机的飞行速度是多少？

四、训练达标： 基础巩固：

1、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________；

2、如图，阴影部分的面积为 ；

3、一个直角三角形的三边分别为3，4，x ，则2

x

图3

b

C

D

A

4、若等腰三角形的腰为10cm，底边长为16cm，则它的面积为；

5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有米。

6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为；

7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是；

8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为；

能力提升：

9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距

10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？

M

12、．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的。 13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长

15、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？

E

C

B

E

D

B

C

A

第3课时 探索勾股定理（3）

一、1.学习内容：教材P12-16

2.学习目标：欣赏几种常见的勾股定理的验证方法，加深对勾股定理

的认识，体会勾股定理的的文化价值。 二、课前准备：制作“五巧板”两幅

步骤：做一个Rt △ABC ，以斜边AB 为边向内做正方形ABDE ，延长BC 交DE 于I ，作DF ⊥BI ，在AC 上截取CG=BC ，作HG ⊥AC ，这样就把正方形ABDE 分成五部分：①②③④⑤。 沿这些线剪开，就得到一

幅五巧板。 三、活动探究：

活动一：利用五巧板拼“朱青出入图”

（1）取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C 为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a 、b 的正方形。 （2）你能拼出“朱青出入图”来吗？

（3）利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流。 活动二：

观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。

B

四、师生互动：

下面几个图是勾股定理的“无字证明”法，你能看懂吗？

五、训练达标： 基础巩固：

1、一直角三角形的三边分别为

2、

3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积 为

2、等腰直角三角形三边的平方比为

3、长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是

4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．

5、Rt ?ABC 中，?=∠90C ，AB=2，则AB 2

+BC 2

+CA 2

= . 6、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开

拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ）。

7、一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．

8、等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是 cm 2

.

D'

C

B

A 9.直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.

能力提升：

10.某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？

11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

12. 如图,有一只小鸟在一棵高4m 伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

13、 如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25㎞，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少㎞处？

14、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？

15、以Rt △ABC 三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S 1、S 2、S 3之间有什么关系？说明理由。

A

D

E

B

C

第4课时能得到直角三角形吗

一、1.学习内容：教材P17-21

2.学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。

二、预习设计：

1、勾股定理：

条件：

结论：

2、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

(1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15

勾股逆定理：

条件：

结论：

3、勾股数：。下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。

（1）12，18，22 (2) 9, 12, 15 （３）12，35，36 （4）15,36,39

三、师生互动：

例１、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？

Ｄ

例２、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？

例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写

（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。

四、训练达标：

基础巩固：

1. 下列说法正确的是( )

A. 若a、b、c是ABC

的三边，则222

a b c

+=

B. 若a、b、c是Rt ABC

的三边，则222

+=

a b c

C. 若a、b、c是Rt ABC

的三边90

a b c

+=

A

∠= ，则222

D. 若a、b、c是Rt ABC

的三边90

+=

a b c

C

∠= ，则222

2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

Ａ、８，15，17；Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40

3、下列几组数中，是勾股数的是（ ）

A 、4，5，6

B 、12，16，20

C 、-10，24，26

D 、2.4，4.5，5.1

4、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2

）＝０，则△ＡＢＣ是（ ）

Ａ、等腰三角形 Ｂ、直角三角形

Ｃ、等腰直角三角形 Ｄ、等腰三角形或直角三角形 5、 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙ ﹚ A ．13，12，12 ； B ．12，12，8； C ．13，10，12 ； D ．5，8，4

6、三角形的三边长a, b, c 满足等式（a+b ）2-c 2

=2ab,则此三角形的是 三角形。 7、如图，在平行四边形ABCD 中，CA ⊥AB ，若AB=3，

BC=5，则平行四边形ABCD 的面积为

8、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为 边的三角形是直角三角形。

9.一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为 ，这个三角形的面积为 。

10、如果三条线段a 、b 、c 满足a 2=c 2?b 2

，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？

能力提升：

11、如图，在?DEF 中，DE=17cm, EF=30cm, EF 边上的中线DG=8cm ，问?DEF 是等腰三角形吗？为什么？

G

F

E

D

B

12、已知：在△ABC 中，三条边长分别为a,b,c,a=n 2-1,b=2n,c=n 2

+1(n ＞1)。试判断△ABC 的形状.

13、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900

, 求这块草地的面积。

14、如图，有一零件是等腰三角形ABC ，AB=AC ，底边BC=20，D 是AB 上的一点，且CD=16，BD=12，⊿ACD 的形状，并求⊿ABC 的周长。 15、若⊿A BC 三边长分别为a,b,c,且满足条a 2

+b 2+c 2

+338=10a+24b+26c,

试判断⊿ABC 的形状，并证明为什么。

A B

第5课时 蚂蚁怎样走最近

一、1.学习内容：教材P22-24

2.学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。

二、预习设计：

1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )

A. 1.5,2,3;

B. 7,24,25;

C. 6,8,10;

D. 9,12,15 2、若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时 ，这三条线段才能组成直角三角形。

3、 圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。

4、圆的周长公式是 ___。

5、在一个圆柱石凳上，，恰好一只在A 处的蚂蚁想吃到B 处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自己做一个圆柱进行思考探索。

三、学习探究： 活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).

活动二：

一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、 12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到顶的B 点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

B

12cm

8cm

8cm

B

A

B

小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是：

___________ . 活动三：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗？

四、训练达标： 基础巩固：

1、 下列说法正确的是( )

A. 若a 、b 、c 是ABC 的三边，则222a b c +=

B. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边，则222a b c +=

C. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90A ∠= ，则222a b c +=

D. 若a 、b 、c 是Rt ABC 的三边90C ∠= ，则222a b c += 2、在△ABC 中, ∠C=90°，c=25, b=15,则a= . 3、三角形的三个内角之比为：１：２：３，则此三角形是 ． 4、三条线段 m,n,p 满足m 2

-n 2

=p 2

，以这三条线段为边组成的三角形为 5、.如图，直线l 上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，11，则

b 的面积为 。

6、编制一个底面周长为8、高为6的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的212121B C A B C A ，，…则每一根这样的竹条的长度最少是_________。

l

c

b

a

7、一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形，厚

30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有240cm高，宽100cm．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？说明理由．

8、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护

城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？

9、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？15cm

9cm

11.7cm

能力提升：

10、如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走

最近？并求出最近距离．

11、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道

有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的

正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水

面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰

好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇

的长度各是多少？

12、如图所示，有一高4㎝，底面直径为6㎝的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？