B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究

B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究

XXX

（XXX学院数学与信息科学学院05级信本（2）班）

摘要

从B样条曲线曲面的定义入手，阐述了B样条曲线曲面的性质，在生成算法中提出了一个扩展B样条曲线曲面的新方法.扩展B样条曲线曲面的关键是为新增加的点确定节点值.生成算法的基本思想是:首先，B样条曲线和扩展部分在连接点处满足2

GC连续，用能量极小化方法确定扩展部分的曲线形状，通过对曲线重新参数化使两部分曲线满足2

C连续，进而确定新增加点的节点值.文章还讨论了运用该方法进行B样条曲面扩展，且以实例对新方法与其它方法进行了比较.

关键词：B样条曲线; B样条曲面;参数化;曲线扩展

Research On The Nature Of B-spline Curves And Surfaces And

Their Generation Algorithm

Yongning Zhang

College of Mathematics and Information Science , Xianyang Normal University , Information

Class 05(2)

Abstract

First, the definitions of B-spline curves and surfaces are introduced, and then the nature of B-spline curves and surfaces are studied. On the final, a new generation algorithm on expansion of B-spline curves and surfaces is proposed. The key thought of expansion of B-spline curves and surfaces is to determine the value of the new points. The basic idea of generation algorithm is: First of all, B-spline curve and the extension of the connecting points in a row to meet with the energy minimization method to determine the extension of the curve shape of the curve through re-parameterized so that the two parts meet the continuous curve, and then determine the new value of the node points. The article also discussed the use of the method of B-spline surfaces expansion, and compared an example of the new method with other methods.

Keywords: B-spline curve; B-spline surfaces; parameter; curve extension

目录

引言........................................................... - 3 - 1．B样条曲线.................................................. - 3 -

1.1 B样条基函数的定义...................................... - 3 -

1.2 B样条曲线的定义........................................ - 3 -

1.3 B样条曲线的性质....................................... - 4 -

1.3.1 严格的凸包性...................................... - 4 -

1.3.2 分段参数多项式.................................... - 4 -

1.3.3 可微性或连续性.................................... - 4 -

1.3.4 几何不变性........................................ - 4 -

1.3.5 局部可调性........................................ - 4 -

1.3.6近似性............................................ - 5 -

1.3.7变差缩减性........................................ - 5 -

1.4 B样条曲线的分类....................................... - 5 -

1.4.1均匀B样条曲线.................................... - 5 -

1.4.2 非均匀B样条曲线.................................. - 6 -

1.5 B样条曲线的生成算法.................................... - 7 -

1.5.1B样条曲线的扩展................................... - 7 -

1.5.2 2

GC连续条件...................................... - 8 -

1.5.3确定 的值........................................ - 8 -

1.5.4确定节点u的值.................................... - 9 -

1.5.5求控制顶点........................................ - 9 -

2.1 B样条曲面的定义....................................... - 12 -

2.2 B样条曲面的性质...................................... - 12 -

2.3 B样条曲面的分类...................................... - 12 -

2.3.1 均匀B样条曲面................................... - 12 -

2.3.2 非均匀B样条曲面................................. - 13 -

2.4 B样条曲面的生成算法.................................. - 14 -

3.应用........................................................ - 15 - 4结论........................................................ - 16 - 谢辞.......................................................... - 17 - 参考文献...................................................... - 17 -

引言

B 样条曲线曲面以其直观性、连续性、局部可控性、使用方便、灵活等特点，在计算机图形学和CAD 中得到了广泛的应用，成为重要的曲线曲面描述工具. 在曲线曲面的设计中，经常需要对己有的B 样条曲线曲面进行扩展，并且要求扩展的曲线曲面满足一定的几何形状要求或者其它的工程要求.B 样条曲线曲面的扩展是在保持原有形状不变的情况下，使新的曲线曲面通过新给定的点.因此，B 样条曲线扩展问题，实际上是对给定B 样条曲线和扩展点的插值问题.目前曲线曲面插值有多种方法，一般通过反算控制顶点来实现.在一些CAD 系统中，B 样条曲线的扩展是通过增加一段Bezie:曲线，然后将扩展后的整个曲线转换为B 样条形式.

1．B 样条曲线

1.1 B 样条基函数的定义

给定参数u 轴上的一个分割1{}(),(0,1,2,)i i i U u u u i +=≤=…，m ，由下列递推关系定义的,()i p N u 称为U 的p 次(p+1阶)B 样条基函数。

1,01,()0,i i i u u u N u +≤≤?=??

其他 （1-1-1） 1,,11,1111

()()()i p i i p i p i p i i i p i u u u u N u N u N u u u u u ++-++++++--=+-- （1-1-2） 000

=规定 其中，p 表示B 样条的次数（即为p+1阶），i u 为节点，U 为节点矢量。

1.2 B 样条曲线的定义：

设01,,...,n p p p 为给定空间的n+1个控制顶点，01{,,...,}m U u u u =是m+1个节点矢量，称下列参数曲线

,0()()n

i i p i C u p N u ==∑ a u b ≤≤ （1-2-1）

为p 次的B 样条曲线，折线01,,...,n p p p 为B 样条曲线的控制多边形。

其中次数p,控制顶点个数n+1,节点个数m+1具有如下关系：

m=n+p+1

图1 B 样条曲线 1.3 B 样条曲线的性质：

1.3.1 严格的凸包性

曲线严格位于控制多边形的突包内，如果1[,),1,i i u u u p i m p +∈≤<--C(u)位于控制

顶点1,...,i i p p -所建立的凸包内。

图2 B 样条曲线的凸包性：

1.3.2 分段参数多项式

C(u)在每个区间1[,)i i u u u +∈上都是次数不高于p 的多项式。

1.3.3 可微性或连续性

C(u)在每一曲线段内部是无限可微的，在定义域内重复度为k 的节点处，则使p-k 次可微或具有p-k 阶参数连续性。

1.3.4 几何不变性

B 样条曲线的形状和位置与坐标系的选取无关。

1.3.5 局部可调性

因为,()i p N u 只在区间1[,)i i p u u ++中为正，在其他地方均取0值，使得p 次的B 样条曲线在修改时只被相邻的p+1个顶点控制，而与其他顶点无关，当移动其中的一个顶点i p 时，

只影响到定义在区间1[,)i i p u u ++上那部分曲线，并不对整条曲线产生影响。

1.3.6近似性

控制多边形是B 样条曲线的线性近似，若进行节点插入或升阶，会更加近似，次数越低，B 样条曲线越逼近控制顶点。

1.3.7变差缩减性

设为01,,...,n p p p 为B 样条曲线的控制多边形，某平面与B 样条曲线的交点个数不多

于该平面与其控制多边形的交点个数。

图3 B 样条曲线的变差缩减性

1.4 B 样条曲线的分类

1.4.1均匀B 样条曲线

节点矢量中节点为沿参数轴均匀等距分布，所有节点区间长度1i i i u u +?=-为大于0的常数，可将定义在每个节点区间1[,)i i u u +上用整体参数u 表示的B 样条基函数变换成用局部参数[0,1)t ∈表示，只需做如下的参数变换：

1()(1)i i u u t t u tu +==-+ [0,1]t ∈，,1,...,i p p n =+ （1-4-1）

则B 样条曲线可改写为矩阵形式：

,()(())(())i

i i j p j i k C t C u t PN u t =-==

∑，[0,1]t ∈，,1,...,i p p n =+ （1-4-2）

将上式改写为矩阵形式：

12()[1...],i p i p p i p i P P C t t t t M P --+??????=??????

[0,1]t ∈，,1,...,i p p n =+ （1-4-3）

其中1-3次系数矩阵(1,2,3)p M p =分别为：

11011M ??

=??-??

， （1-4-4） 2110220121M ????=-????-??

， （1-4-5）

3141030303630133

1M ????-??=??-??--??

（1-4-6） 则可以很容易地写出三次均匀B 样条曲线的方程： 322

331141030301()[1]363061331i i i i P P C t t t t P P ---????????-????=????-????--????

(1-4-7)

1.4.2 非均匀B 样条曲线：

非均匀B 样条函数的节点参数沿参数轴的分布是不均匀的，因而不同节点矢量形成的B 样条函数个不相同，在CAD/CAM 软件中，对于开曲线，包括首末端点位置连续的闭曲线，都建议两端点取重复度p+1,以使具有同次Bezier 曲线的端点几何性质，便于人们对曲线端点的行为进行控制，且通常将曲线的定义域取成规范参数域，即1[,][0,1]p n u u u +∈=，于是有

011210,0p n n n p u u u u u u ++++======== . (1-4-8)

在这种情况下，设01,,...,,n p p p 为给定空间的n+1个点，则非均匀B 样条曲线可重新描述为 ,0()()n i i p i C u PN u ==∑， a

u b ≤≤ (1-4-9)

基函数定义在非均匀节点矢量：

1111,,,,,,,,p m p p p U a a u u b b +--++????=??????

(1-4-10) 其中a,b 分别是具有p+1重的节点。

1.5 B 样条曲线的生成算法：

1.5.1 B 样条曲线的扩展

B 样条曲线扩展就是在保持原曲线形状不变的情况下，扩展该曲线使其通过给定的数据点.对于给定的一个新的扩展点1+n P ，首先应确定该点的节点值u ，当u 的值确定之后,扩展后的B 样条曲线的形状也就完全确定了.因此，扩展B 样条曲线的关键是选取节点u.确定u 值的方法有很多，文献[5]中采用累加弦长参数化法.本文通过极小化目标函数确定曲线的形状，进而确定u 的值.首先取u 值为2，根据2G

C 连续条件得到扩展后的曲线)(_t P .由于2GC 连续的曲线重新参数化后可成为2C 连续的曲线，所以，根据)(_

t P 在t= 1处满足2C 连续重新确定参数u 的值.

在计算出u 值后，)(_t P 的节点矢量从)(21T T 变为3T

13,,,1,,,,0,,0,0:-i n i i u u t t T (1-5-1) 然后需要求出扩展后的曲线)(_t P 的控制顶点_

,i P i=0,1,2,…,n,n+1.扩展后曲线的控制点的计算在第4节给出，则扩展后的曲线可表示为 ∑+==10

__,_)()(n j i

k i P t B t P , u t ≤≤0 (1-5-2) 其中)(_,t B k i 为定义在节点向量3T 上的基函数.

1.5.2 2GC 连续条件

假定待扩展的目标点为1n P +，此时1n P +对应的参数暂定为u=2.我们用三次参数曲线

()(12)Q t t ≤≤来构造曲线的扩展部分. ()Q t 和B 样条曲线P(t)在n P 处达到2GC 连续的充要条件是存在常数α和β使：

??

???+===)1()1()0()1()0()1()0('"2"''P P Q P Q P Q βαα （1-5-3） 为了使()Q t 经重新参数化后仍为三次曲线，并且和P(t)在拼合处满足2C 连续，取0β=。因此，满足式（1-5-3）定义在[0,1]区间上的三次参数曲线Q(t)可写成如下形式： 13"22'10)()1()()1()()1()()(++++=n P t P t P t P t t Q ?α?α?? （1-5-4）

其中，

,1)(30+-=t t ? ,)(31t t t +-=?

,2/)()(232t t t +-=? 33)(t t =?.

式(1-5-4)中的α是待定参数。

1.5.3确定α的值

在2

GC 连续条件中，还有一个自由度α尚待决定.当u=2时，一种简单的方法是采用α= 1，但这种办法只适用于均匀型值点间隔1i i i l P P -=，1,2,,i n = 的场合，当间隔i l 极不均匀时，扩展曲线上就会出现很不理想的效果，即对应于i l 较大的一段曲线会比较扁平且

靠近弦线，对应于l 较短的一段曲线可能出现两个拐点或奇点.本文采用能量极小化的方法确定的α值.

曲线可用来描述一条粗细均匀的弹性梁的变形，根据光顺准则，变分问题是使得这一弹性梁的应变能量为最小，这可表示为

])()(min['2dt t P t K ? (1-5-5)

其中，()K t 为曲线()P t 的曲率函数.

一阶导数通常用来估计该插值曲线的应变能及光滑性，较小的应变能通常意味着较好

的光滑性.在小挠度的情况下，式(1-5-5)常用下式来近似表示

])(m i n [2

"dt t P ? (1-5-6) 所以式(1-5-4)对应的优化目标函数为 .)(01)(2"dt t Q G ?=α (1-5-7)

即α为下列方程的解 0)(=??α

αG (1-5-8) 1.5.4确定节点u 的值

由式(1-5-8)计算得α的值，节点向量3T 中的u 重新设置为u=1+ a,这样，相应的式(1-5-4)在[0, α]区间上重新定义如下 13"22'10][)1(][)1(][)1(][)(++++=n P t

P t P t P t

t Q α

?αα?αα?α?. (1-5-9) 容易验证()Q t 有如下端点性质：

),

1()0(),1()0(),

1()0(""''P Q P Q P Q === (1-5-10) 即经重新参数化后，()Q t 和原B 样条曲线()P t 在拼合处满足2C 连续.

1.5.5求控制顶点

当扩展一个点时，对于k 阶B 样条曲线的收缩型节点矢量，我们可采用算法1来计算新控制点]

5[1

P . 算法1 (节点打开)

.,,4,3,)1(0n k n k n i P P i i +-+-== (1-5-11)

????

?????--=-=+-=--=-+-+-==+++---i r i i n t i t i t i t i t i t t t t k r n k n i P P P r n k n k n i P P 11111;3,,2,1.,,1,)1(.,,4,3,)2(ααα (1-5-12) ???+-=+-==-n k n i P k n i P P k i

i i ,,3,2,,2,1,0,)3(3 (1-5-13) 另外，我们可以用下面的算法2来求控制点.由于扩展需保持原曲线形状不变，对于k 阶B 样条，可列出k- 2个线性方程的方程组来求解原曲线最后k- 2个变化了的控制点i P ， i= n-k+ 3, n- k+4，…,n.

算法2 （解方程组） 设i P 和i t 分别表示扩展后的控制点和节点向量，i P 和i t 分别表示扩展前的控制点和节点

向量.由于扩展后的曲线()P t 和P(t)在t= i t ( i= n- k+ 3, n- k+ 4,…,t)处具有相同

的值，所以得到如下方程组

????

?????+++=+++=+++=+++=++-++-+-++---+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-n n k n k n n k k n k n n k k n n n n k n k n n k k n k n n k k n n k n k n k k n k n k n k k n k n k n k k n k n k n k n k k n k n k n k k n k n k n k k n k n P t B P t B P t B P P t B P t B P t B t P P t B P t B P t B t P P t B P t B P t B t P )()()()()()()()()()()()()()()(1,31,321,21,12,21,134,324,2524,52423,213,1423,43 (1-5-14) 易知11++=n n P P ,并且有

).

()(),

()(),

()(3,23,23,323,323,423,42+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-===k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n t B t B t B t B t B t B

(1-5-15) 所以22n n P P --=.由于式（1-5-14）是一个显式方程，控制顶点i P (i= n-k+ 3, n- k+4，…,n.)

很容易求得.

以4阶为例，最后4个控制顶点为22n n P P --=, 11n n P P ++=, n P 和1n P -满足

214,214,114,12

4,234,314,1)()()()()()()(-+-+-+--------=+--=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P t B P P t B P t B P t B P t B t P P t B (1-5-16)

对曲线扩展多点问题，我们将对B 样条曲线扩展两点的问题进行讨论，多于两点的情况与此类似.假定待扩展的两点为1n P +和2n P +.对扩展点1n P +，记与式(1-5-4)相应的扩展曲线

为1()n Q t +，用以上方法把原曲线扩展到1n P +，得到与1n P +相应的节点值11n a ++.对扩展点1n P +，记与式(1-5-4)相应的扩展曲线为2()n Q t +，由1()n Q t +和2()n Q t +在拼合处满足2GC 连续，并通过极小化目标函数2()n Q t +的平方的积分确定与2n P +相应的节点值121n n u a a ++=++.则扩展后的曲线()P t 的节点向量为

k n n k k k u u t t t ,,,1,,,,,0,,0,011+++α (1-5-17)

对扩展两点1n P +和2n P +的情况，扩展后曲线新的控制顶点

(3,4,,1)i P i n k n k n =-+-++ 很容易求得.事实上，方程(1-5-14)再增加一个方程就得到了求(3,4,,1)i P i n k n k n =-+-++ 的方程，其求解方程组如下

????

?????+++=+++=+++=+++=++++-++-+-++-+++-++-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-12,142,432,311,31,321,234,324,2524,52423,213,1423,43)()()()()()()()()()()()()()(n n k n k n n k k n k n n k k n n n n k n k n n k k n k n n k k n n k n k n k k n k n k n k k n k n k n k k n k n k n k n k k n k n k n k k n k n k n k k n k n P t B P t B P t B P P t B P t B P t B P P t B P t B P t B t P P t B P t B P t B t P (1-5-18) 同样以4阶为例，所求的3个控制顶点1n P -, n P 和1n P +为下列方程的解 1124,124,12,12

14,214,114,12

4,234,314,1)()()()()()()()()()(+++++-+--+-+-+-------=++-=+--=n n n n n n n n n k n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P P t B P t B P t B P t B P P t B P t B P t B P t B t P P t B (1-5-19)

对于扩展多点来说，用算法1求解控制顶点时，存在重复计算问题.因为每扩展一点，需将原曲线节点矢量打开，计算最后k- 2个控制点，对扩展后的曲线再进行扩展时，则将有k- 3个控制点需要重新计算.若要对k 阶B 样条曲线扩展m 个点，则有（k 一3) x ( m-

1)个控制点需要重复计算.相比算法1而言，算法2直观且容易理解，不存在重复计算问题，计算一次就可将扩展后所有的控制点算出.

2．B 样条曲面

2.1 B 样条曲面的定义：

给定(1)(1)n m +?+控制顶点,P (0,1,;0,1,,)i j i n j m == 的阵列，构成一张控制网格，分别给定参数u,v 的次数p,q,两个节点矢量

011011[,,,],[,,,]n p n p U u u u V v v v ++++== ，就可以定义一张p q ?次张量积B 样条曲面，其方程为

,,,00

(,)()()n m

i p j q i j i j S u v N u N v P ===∑∑

(2-1-1)

图4 B 样条曲面

2.2 B 样条曲面的性质：

除变差递减性质外，B 样条曲线的其他性质都可以推广到B 样条曲面。

2.3 B 样条曲面的分类：

2.3.1 均匀B 样条曲面

Eg: 均匀双三次B 样条曲面如下：

(,)T T

B B P u v UM PM V = (2-3-1) 133136301303061410B M -??

??

-??=??-????

(2-3-2)

0,00,10,20,31,01,11,21,32,02,12,22,33,0

3,13,23,3p p p p p p p p P p p p p p p p p ??????=?????? (2-3-3) 其中， 23[1]U u u u =, 23[1]V v v v =

2.3.2 非均匀B 样条曲面

??

????????=+--++ 11111,,1,,,,,00,U p p r p p u u ， (2-3-4) 11110,,0,,,,1,,1q s q q q V v u +--++????=??????

， （2-3-5）

其中U 有r+1个节点，V 有s+1个节点，并且具有如下的关系式：

1r n p =++; 1s m q =++ （2-3-6）

非均匀B 样条曲面具有如下性质：

2.3.2.1非负性

0(v)N (u)N q j,p i,≥ （2-3-7）

2.3.2.2规范性

∑∑===n 0i m 0j q j,p i,1(v)N (u)N

， ]1,0[,∈v u （2-3-8）

2.3.2.3一般性

若n=p,m=q,U={0,…0,1,…1}, V={0,…0,1,…1},

(v)B (u)B (v)N (u)N m j,n i,q j,p i,=, B 样条函数的张量积即为Bernstein 多项式的张量积，B 样条曲线退化为Bezier 曲面。

2.3.2.4 局部性

若]v ,[v ]u ,[u v)(u,1q j j 1p i i ++++?∈ ，(v)N (u)N q j,p i,=0，j i,P 移动仅仅影响矩阵区域

]v ,[v ]u ,[u 1q j j 1p i i ++++?的形状。

2.3.2.5 端点性质

曲面插值于控制顶点的4个角点：

m n,n,0m 0,0,0P )1,1(,P )0,1(,P )1,0(,P S (0,0)====S S S （2-3-9）

2.3.2.6 （仿射）几何不变性

曲面的形状仅与控制顶点的位置有关，与坐标系的选取无关；

2.3.2.7 凸包性

曲面一定位于控制顶点所构造的凸包性

2.3.2.8 逼近性

若将控制顶点三角化，则所构成的网络是去面片的分段平面近似。

2.3.2.9 连续和可微性

S （u,v ）在u(或v)方向上具有p-k(或q-k)次微分（可导），其中k 是节点重复

度。

2.4 B 样条曲面的生成算法：

k l ?阶B 样条曲面P(t,s)定义为

1

11100,)

()(),(+-+-==≤≤≤≤=∑∑t t n k n i m j jt ik ij s s s t t t s N t N P s t P （2-4-1）

其中(0,0)ij P i n j m ≤≤≤≤为控制顶点，,()i k B t 和,()j t B s 分别为k 阶和l 阶B 样条基函数。节点向量为14T T 和。

t t sm st T 1,,1,,,,0,,0,0:4 （2-4-2）

设在t 方向上扩展曲面P(t,s)到m+1目标点1,n j P +，j=0,1,…,m. 设P(t,s)中沿t 方向的m+1

条B 样条曲线为

∑===n i ik ij

j m j t N P t P 0.,,1,0),()( （2-4-3）

可通过以下两种方法计算u 的值.第1种方法:设与()j P t 相应的第j 条扩展曲线为()j Q t ，与()j Q t 相应的a 为j a , j a 由式(8)确定，则与目标点1,n j P +( j=0,1,…,m)相应的节

点值为所有α( j=0,1,…,m) 的加权平均，即

∑=++=m

j j m u 0111α （2-4-4）

第2种方法:假定m+ 1条扩展曲线()j Q t ( j=0,1,…,m)对应相同的α,则α的值可通过极小化下面的目标函数式得到.

∑?==m j j dt t Q G 02

"

.)(01)(α （2-4-5）

3.应用

本节我们以4阶B 样条为例，用4组数据对累加弦长参数化法及本文方法产生的新扩展曲线段进行了比较. 图5是对B 样条曲线扩展一个点，图6是扩展两个点.实验中我们比较了两种方法所得曲线的能量和绝对旋转指标.旋转数是微分几何中讨论曲线整体形状性质的一个工具，它刻画了曲线的切矢或法矢沿曲线运动时的旋转情况

.

（a ）第1组数据扩展前曲线 (b)累加弦长参数化法扩展 (c)本文方法扩展

图5扩展一个点

(a)第2组数据扩展前曲线 (b)累加弦长参数化法扩展

(c)本文方法扩展

图6扩展两个点

定义1.对一条平面曲线P(t),,10≤≤t 记K(t)为其曲率，则其绝对旋转指标A Rot 为

dt t P t K ARot )()(0

121'?=π （3-1-1） 对于累加弦长参数化法，其u 值由下式计算得出

∑+-=-++--+=1

01)

()(1k n t t k t k n t P t P R P u （3-1-2） 表1计算结果比较

从计算结果(见表1)知，采用本文方法所得B 样条曲线与累加弦长参数化法相比，曲线的能量大大降低了，并具有较小的旋转数指标.从图5和图6可看出2GC 连续曲线的光顺性得到了明显改善，曲率变化更平坦，几何形状更自然. 图7为采用本文两种方法对4x4阶B 样条曲面进行扩展，图中最下方两条曲线为待扩展的目标曲线.

a)本文第1种方法曲面扩展 (b)本文第2种方法曲面扩展

图7本文的两种扩展方法

4结论

本文全面系统地介绍了B 样条曲线曲面的定义、性质，重点介绍了保持2C 连续条件下的扩展问题.扩展B 样条曲线的关键是选取节点值.本文通过能量极小化使B 样条曲线和

扩展曲线在连接处满足2

GC，从而使曲线的扩展部分具有较好的形状.通过重新设置节点向量使曲线达到2

C连续.新B样条曲线的控制点可通过一个显式递推公式计算.实例计算表明，新方法所确定的节点值可得到能量低和自然形状好的扩展曲线.

谢辞

首先要特别感谢我的指导老师——杨雪梅教授，在她的帮助下我完成了这篇论文，是她告诉我如何快捷地收集相关论文资料并运用它，本论文的完成离不开她的细心指导和孜孜不倦的教诲，特别是她的工作热忱与责任心使我受益终生.其次要感谢那些与我朝夕相处的同学，在这些日子里，他们和我一块奋斗，相互鼓励，相互帮助，为我的论文的胜利完成起到了很大的推动作用.

参考文献

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