《正态分布》教学设计1

《正态分布》教学设计（1）

【教学目标】

(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.

(2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.

(3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.

教学难点正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念. 如果说二项分布是离散型随机变量最具典型意义的概率分布，那么连续型随机变量最具典型意义的概率分布就是正态分布了。实践中常见的一类连续型随机变量，多数服从或近似服从正态分布。例如测量误差、智商以及人体的身高体重、运动员的成绩等等，都可以用正态分布进行描述。一般地讲，若影响某一变量的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大且相互独立，则这个变量服从正态分布。更为重要的是，正态分布还是抽样理论和统计推断的基础。例如，不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n 足够大，样本平均数的抽样分布就趋于正态分布。

正态分布的研究始于18世纪，是最重要的概率分布，这是因为：①许多自然现象与社会现象，都可用正态分布加以叙述；②不少离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布都以正态分布为其极限（即当样本相当大时，可用正态近似法解决这些概率分布的问题）；③许多统计量的抽样分布呈正态分布，故在参数估计与假设检验上经常以正态分布为理论基础。

【教学重点】正态曲线的性质

【教学难点】对正态分布的理解及应用

课时安排：1课时

1．正态分布的数学形式

自本书第三章引出变量数列，我们便可以列举出不少总体的分布很接近于正态分布，例如男性的身高。如果我们拥有的数据非常多，在编制变量数列时我们就可以把组分得很细，并得到组距很小的直方图。现在想象，如果组越分越细，并且纵轴采用频率密度（＝组距

频率），直方图最终就转化为的概率密度曲线 (X ＝x )

(参见图7．2)。很显然，从图7．2可以看出，这样的平滑曲线如“钟型”，它具有单峰、对称这两个特点，并且曲线向左、向右延伸，以横轴为渐近线。

上述实例，对于我们领会正态分布是很有启发性的。根据经验总结和理论分析可知，正态分布的概率密度表达为如下形式

?(X ＝x )＝πσ21222)(ομ--X e （7．5）

式中π和e 都是常数，分别近似等于3．14和2．72。

从正态分布的数学表达式可以看出，当总体均值μ和方差σ2确定后，正态分布曲线的精确形式也就确定了。换句话说，有许多不同的正态曲线，每一个对应于μ和σ的一个组合。

分析正态分布的概率密度?(X ＝x )，很容易理解正态曲线具有下列性质：

(1)正态曲线以X ＝μ呈钟形对称，其均值、中位数和众数三者必定相等。

(2) ?(X ＝x )在X ＝μ处取极大值。X 离μ越远，?(X ＝x )值越小。这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X 落在这个区间的概率越小。正态曲线以X 铀为渐近线，即?(X ＝x )在| X |无限增大时趋于零，即-∞

→x lim ?(x )＝0或+∞→x lim ?( x )＝0。

(3)对于固定的σ值，不同均值μ的正态曲线的外形完全相同，差别只在于曲线在横轴方向上整体平移了一个位置(参见图7．3)。

(4)对于固定的μ值，改变σ值，σ值越小，正态曲线越陡峭；σ值越大，正态曲线越低平(参见图7．4)。

(5)正态分布的数学期望E (X )＝μ，变异数D (X )＝σ2，因为

E (X )＝?+∞

∞

-dx x x )（?＝μ

D (X )＝?+∞

∞

--dx x x )][2（?μ＝σ2

正态曲线的性质可供阐明标准差。由于曲线的形状完全取决于标准差σ，所以σ可供作为衡量总体分布状况的一个统一的尺度，称为标准差。从直观上去理解，σ实际上是一个很好的离势的量度: σ值越小，离中趋势越小，总体中各变量值也就越接近;；σ值越大，离中趋势越大，总体中各变量值也就越分散。

2．标准正态分布

我们在统计分析时，经常性的重要工作是要确定给定区间所含总体单位数的比重，也就是变量X 的取值在这个给定区间内出现的频率。因此在对有限总体的数据进行分组时，得到相对频数分布是很重要的。对于连续变量，过去由于分组有限，只能加以近似地讨论。现在，由于正态曲线的一些异乎寻常的数学性质，使得这项工作非但不困难，反而变得简单易行。一般作法是引入新的随机变量Z [参见(5．12)式]

Z ＝σμ

-X (7．6)

上式表明，Z 代表以标准差σ为单位表示的变量值离开均值μ的偏差，即代表经σ标准化之后的X 对μ的离差。故Z 经常被称为变量X 的标准分，或称Z 分数；Z 亦被称为标准正态变量。

如果把Z 代入(7．5)式，我们便得到了用Z 分数表达的标准正态分布，其概率密度为

?(Z )＝π

2122Z e - (7．7)

比较(7．5)和(7．7)式，很容易得知标准正态变量的数学期望E (Z )＝0，变异数(即方差)D (Z )＝1。实际上，标准正态分布?(Z )只是正态分布的一个特例，即μ＝0，σ2＝1的正态分布，简记作N (0，1)。对于一般正态分布则简记为N (μ，σ2)。

3．正态曲线下的面积

我们在第三章学习过频数(或频率)分布图，从中我们体会到，用几何图形表示统计资料的好处在于，直观地从图形的升降起伏就可以看出总体的分布特征和规律性。具体来说，矩形的高度（更确切地说是矩形的面积）是和相应区间里所含的总体单位数成正比的。如果取各矩形的总面积为1，一定区间图形所含的面积就等于变量的取值在该区间出现的频率。现在组距不断变小，直方图过渡到了平滑曲线，但基本原理并没有变。

和频率分布的直方图一样，正态曲线下的总面积也为1。从直方图中选取任一个矩形，如图7．5所示，平滑曲线多包含的那一部分面积等于被曲线切去一角的那一部分矩形的面积，增减相当。而作为频率分布的极限，正态曲线下的面积可设想是组距趋于0而矩形无限增多时所有矩形面积的总和。在频数分布直方图中，所有矩形的总面积为1，所以正态曲线下的面积当然也是l 。

正态分布是最具典型意义的连续型随机变量的概率分布。上一章已经说明，对于连续型随机变量，由于X＝x的取值充满一个区间，不能一一列出，因此只能关心X的取值落在一个区间的概率。现在既然有了正态分布的概率密度(7．5)式，随机变量X的取值在某区间{x1≤X≤x2}上的概率便可用下式求得

P(x

1

≤X≤x2 )＝?2

1)

x

x

dx

x

（

?

但积分毕竟太麻烦了，更何况许多人对积分运算不熟悉，为此须计算出现成的数值表供使用者查找。由于正态曲线的优良性质，这项工作可以卓有成效地完

成：①经过X的标准分Z＝

σμ

-

X

，可以将任何正态分布N(μ，σ2)转换成标准正态分布N(0，1)；②运用分布函数的定义，并利用正态曲线的对称性，通过下式（分布函数）可以计算编制出正态分布表(见附表4)。

F(Z

α)＝P（0≤Z≤Zα）＝?α?Z dZ

Z

)

（ (7．8)

采用标准正态变量表达正态分布，使标准差得到了进一步阐明。我们看到，标准差是计算总体单位分布及其标志值变异范围的主要依据，图7．6说明了这一点。

如果从总体均值向右一个标准差定出一区间，则在这个区间正态曲线下方所包含的面积为0．3413。因此这个面积的两倍，X 的取值有68．26％包含在均值两侧各一个标准差的范围之内。换言之，略多于2／3的总体单位出现在总体均值两边的一个标准差的范围之内。同样，在均值与距它两个标准差的区间内，正态曲线下方所含面积是0．4773。因此略多于95％的总体单位包含在均值两边的两个标准差的范围之内。虽然理论上正态曲线向两边可扩展至无限远，但几乎所有总体单位(99．73％)都位于均值两边的三个标准差的范围之内。

总之，决定任意两点间的面积都完全是可能的。比如向均值两侧移1．96个标准差，曲线下方便包含了大约95％的面积，如移动2．58个标准差，则面积几乎是99％。附录4已编制了关于Z 和标准正态曲线所含面积之间关系的精确数值表，即Z 从0到+∞变化，相应区间所含的面积从0变至0．5。这种处理具有重要的实用价值，以后只要知道分布是正态的，有关计算只要查表就成了。

[例7．3．1] 设随机变量X 服从正态分布N (50．102)，试求P (50 ≤X ≤65)。

[解] 已知μ＝50，σ＝10，Z 1＝0

Z 2＝σμ-2x ＝10

5065-＝1．5 查表得正态曲线在此区间的面积是0．4332(参见图7，7)。所以，P (50 ≤X ≤65)＝43．32%。

[例7．3．2] 设随机变量X 服从正态分布N (168，122)，试求P (X ≤143)。

[解] 已知μ＝168，σ＝12，

Z α＝σμ-X ＝10

168143-＝―2．08 Z 是负值，表示X 的取值处于均值左边。由于曲线完全对称，所以使用正态分布表时可以忽略Z α的正负号。查表可知，正态曲线在均值与Z α＝2．08之间所含

的面积是0．4812。由于总面积的一半是0．5，因此P(X≤143)可以由下面计算求得

P(X≤143)＝0．5―P(0≤Z≤2．08)

＝0．5―0．4812

＝1．88％

这说明，X的取值小于或等于143的概率大约是2％。由于即将讨论的正态检验几乎都要涉及概率分布的尾端，所以此例说明的是一个非常普遍的问题(参见图7．8)。

[例7．3．3] 设随机变量X服从正态分布N(60，82)，试求：①第一四分位数的标志值；②第一四分位数和标志值为50的取值之间正态曲线所含的面积(参见图7．9)。

[解] 先根据四分位数的定义，通过正态曲线左边尾端面积为0．25，查表求出四分位数Q1对应的Z分数

Z

α＝0．67＝σμ|

|

1-

Q

Q

1

＝μ―Zασ＝60―0．67×8＝54．64

由此可见，第一四分位数的标志值是54．64。再求标志值为50的Z分数

Z

α＝8

| 60

50

|-

＝1．25

查表得Zα＝1．25和均值之间正态曲线所含的面积是0．3944。所以

P(50≤X≤Q

1

)＝0．3944―0．25＝0．1444

这说明，X的取值在第一四分位数Q1和50之间的概率是14．44％。

4．二项分布的正态近似法

二项分布是在所谓的重复独立试验之中产生的。通过本章第一节的讨论，我们已经知道二项分布受成功事件概率p 和试验次数n 两个参数的影响，只要确定了p 和n ，二项分布也随之确定了。

但是，二项分布的应用价值实际上受到了n 的很大限制。也就是说，只有当n 较小时，我们才能比较方便地利用(7．3)式计算二项分布。所幸的是，二项分布是以正态分布为极限的。所以当n 很大时，只要p 或q 不近于零，我们就可以用正态近似来解决二项分布的计算问题，即

)(lim b x a P n ≤≤∞→＝P (Z 1≤Z ≤Z 2)＝π21?21Z Z 22Z e -d z （7．9）

又 Z α＝

npq

np x - （7．10） 式中：Z 为标准正态随机变量，n 为重复试验的次数，p 为成功的概率，q ＝1―p 为失败的概率，x 为二项随机变量。

[例7．3．4] 在抛掷一枚硬币10次的二项试验中，试以二项分布与二项分布的正态近似法，求成功3到6次的概率。

[解1] 已知p ＝0．5，n ＝10，查附表3得

P (3≤x ≤6)＝∑=6

3x B (x ；10，0.5)＝0．9453―0．1719＝0．7734

[解2] 用二项分布的正态近似法

μ＝np ＝10×0．5＝5

σ＝npq ＝5.05.010??＝1．58

Z 2＝σμ-1x ＝

58

.155.2-＝- 1．58 Z 2＝σμ-2x ＝58.155.6-＝0．95 查表得 P （Z 1≤Z ≤Z 2）＝P （―1．58≤Z ≤0．95）

＝0．4430十0．3289

＝0．77l 9

由正态近似法求得的概率为0．7719，这一数值十分接近由二项分布算得的0．7734。

简言之，二项分布的正态近似法，即以n p ＝μ、n p q ＝σ2

，将B (x ；n ，p )视为N (n p ，n p q )进行计算。在社会统计中，当样本量n ≥30，n p 、n q 均不小于5时，对二项分布作正态近似是可靠的。

[例11．3．5] 铁路部门预计对号车票的旅客中有5％赶不上该列车，该列车有座位600个，但却售出了620张票，试求每位旅客都有座位之概率。

[解] 设“赶不上火车”为成功事件，则随机变量“赶不上火车的人数”可看成服从二项分布。因n ＝620大于30，n p ＝620×0．05＝31，n q ＝620×0．95＝589，所以可对二项分布作正态近似。现μ＝n p ＝31，σ2＝n p q ＝

620×0．05×0．95＝29．45。列车有600座位却售出了620张车票，故每位旅客都有座位的概率是P (x ＞20)，于是有 Z α＝npq np x -＝95

.005.06203120??-＝―2．03 查表得 P (x ＞20)＝P (Z ＞―2．03)

＝0．4788十0．5

＝97．88％

所以，每位旅客都有座位的概率为97．88%。

[例11．3．6] 共有5000个同龄人参加人寿保险，设年死亡率为0．1％。参加保险的人在年初应交纳保险费10元，死亡时家属可领2000元。求保险公司一年从这些保险的人中，获利不少于30000元的概率。

[解] 据题意，保险公司一年内若获利不少于30000元，最多理赔人数为 x ＝2000

30000105000-?＝10(人)

现因n ＝5000大于30，n p ＝5000×0．001＝5，所以二项分布可用正态分布近似法处理。于是有

Z α＝npq np x -＝999

.001.05000510??-＝2．237 查表得

P (x ≤10)＝P (Z ≤2．237)

＝0．4875十0．5

＝98．75％

所以保险公司一年内从这些保险的人中获利不少于30000元的概率为

98．75％。

第四节 中心极限定理

在各种分布中，正态分布居于首要地位。这不仅因为许多总体分布具有正态分布的特征，更为重要的是，无论总体服从什么分布，其样本均值的概率分布都随着样本量的增加而呈正态分布。这一节我们将着重讨论抽样分布与中心极限定理，后者是全部统计推断理论中最重要的定理。在推论统计中，作为研究对象的总体，其分布总是未知的。中心极限定理对大样本均值正态分布性质的揭示，为未知总体的研究奠定了理论基础。

1．抽样分布

在本章第二节，我们已经引入了抽样分布的概念。为什么要讨论抽样分布?这是因为一旦统计的学习进入到推论统计，我们就必须同时与三种不同的分布概念打交道，即总体分布、样本分布、抽样分布。为了不产生混淆，视分布不同，将统计指标的符号加以区别是完全必要的。对那些反映标志值集中趋势和离中趋势的综合指标，尤其对均值和标准差(或方差)，现在我们应该注意鉴别它们在具体场合哪些是概括总体特征的，哪些是概括样本特征的，哪些是概括抽样分布特征的。为此列表如下：

表7．4

已知一总体分布，可求得它的特征值。根据总体分布计算的特征值，即根据总体各个单位标志值计算的统计指标，在推论统计中称为总体参数。总体均值和总体标准差(或方差)是反映总体分布特征最重要的两个总体参数，习惯上分别记作μ和σ(或σ2)。

同理，已知一样本分布．可求得它的特征值。根据样本分布计算特征值，即根据样本各个单位标志值计算的统计指标，在推论统计中称为统计量。样本均值和样本标准差(或方差)是反映样本分布特征最重要的两个统计量，习惯上分别记作X和S(或S 2)。

将总体均值、总体标准差与样本均值、样本标准差加以区别是很必要的。因为总体参数和统计量之间存在着重要差别。参数是有关总体的固定值，一般都是未知的。例如，在任何给定的时间，某学校学生平均年龄这样的参数一般是未知的，因为如果参数已知就用不着抽取样本了。但参数如果能得知，那么对所有观察者来讲都必定相同。因此μ和σ都应该是唯一确定的值。而统计量则不然。任何统计总体，由于样本容量n小于总体容量N，可能被重复抽取的样本就不止一个(也可以说可以抽取许许多多乃至无数个样本)。在一总体中，当从一个样本换为另一个样本，统计量很可能不同。例如从学生总体中随机地抽取10个学生组成样本，我们就不能期望样本不同也可以得到精确相同的年龄均值。所以，统计量必定是随机变量。另一方面，与参数不同，对于一个特定的样本而言，统计量是可以计算出来的，这便是抽样调查的价值所在。不过，一个特定的样本对总体的实际代表程度如何，则是另一回事。

由于统计量是随机变量，并且在一个统计总体中可以重复抽取的样本在理论上是无数的，所以可以用概率分布来进行描述。

在推论统计中，理论和实际的一个重要结合就是通过抽样分布和抽样调查这两者的联系来实现的。首先，抽样调查是从总体中随机地抽取样本，然后借助样本指标数值来推算总体指标数值。只有遵从随机原则，样本分布才接近于总体分布，进而表现样本分布的特征值才对反映总体分布的特征有较大的代表性。与此同时，只有遵从随机原则，尽可能减少非抽样误差，样本调查的结果才能在假设检验中作为有效的检验统计量。

其次，抽样调查只涉及总体的部分单位，因此哪怕随机样本是有保障的，样本的统计量与总体参数之间也存在一定的差别。对于用样本指标代表总体指标而不可避免存在着的误差，除了运用数理统计的方法得到抽样分布，样本本身不能告诉些什么。这样，本书在引出总体分布、样本分布的概念之后，又引出了抽样分布的概念。需要再次提醒大家，抽样分布是运用数理统计的方法，把具体概率赋予样本的所有可能结果的一种理论分布。但有了抽样分布对概率分布的具体化，研究者便找到了一种理论与实际相联系的有效途径。

2．中心极限定理

我们知道，概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的定理，是著名的大数定理。其具体内容是：频率稳定于概率，平均值稳定于期望值。但是，大量随机现象的稳定性不仅表现在平均结果上，同时也表现在分布上，这就是中心极限定理所要阐明的内容。仔细考虑统计量和与之相对应的未知参数的接近程度，引出了研究和应用抽样分布的课题。显然，推论统计需要有一座能够架通抽样调查和抽样分布的桥梁。中心极限定理告诉我们：如果从任何一个具有均值μ和方差σ2的总体(可以具有任何形式)中重复抽取容量为n 的随机样本，那么当n 变得很大时，样本均值X 的抽样分布接近正态，并具有均值μ和方差n

2

。 通过上一节，我们已对正态分布留下了深刻印象。不过，在现实世界里，像身高、体重、婚龄、智商等等近似服从于正态分布的总体其实是相当有限的。幸运的是，中心极限定理大大放宽了对正态总体的前提要求。它指出，无论总体的分布多么异常，只要n 足够大，我们可以相信得到的样本均值的抽样分布近似于正态分布。正如二项检验那样，因为在显著性检验中使用的是抽样分布，而不是总体分布。这就意味着，只要n 足够大，我们就完全不必顾忌总体是不是正态，

尽可以在检验中使用正态曲线。而正态曲线具有特别的数学性质，使用它是很方便的。

无疑，中心极限定理大大拓展了正态分布的适用面，同时我们得到了以下重要信息：

(1)虽然样本的均值可能和总体均值有差别，但我们可期望这些X 将聚集在μ的周围。因此均值抽样分布的算术平均数能和总体的均值很好地重合，这就是为什么在表7．4中总体均值和抽样分布的均值用同一个μ表示的缘故。

(1) 由于抽样分布的标准差要比总体标准差小，并且X σ＝n

σ，所以如图7．10所示，样本容量越

大，抽样分布的峰态愈陡峭，由样本结果来推断总体参数的可靠性也随之提高。

这是与我们的常识相一致的。在无偏的前提下，在估计总体均值时，较之用小样本，我们更相信大样本。而定理比常识高明之处在于，它指出，如果n 增加了一定的数量，那么可靠性将随之提高到什么程度。例如，为了把抽样分布的标准差缩小一半，就要把n 扩大4倍。

在后面学习的统计推论中，我们一般是用样本均值作为总体均值的估计量的。早在本书第二章我们就已经知道，在遵守随机原则的条件下，用样本指标值代表总体指标值不可避免地存在着抽样误差。统计推论不能从样本资料算出统计量就完事了，还必须进行误差分析。从直观的意义上去理解，抽样误差应该是指某一次抽样结果所得的样本统计量与总体参数之间的差别。但事实上，这一差别无从得知。因为，如果知道了总体参数，也就不需要抽样了。具体某一次抽样结果的

误差，仅仅是反复抽样下一系列抽样结果可能出现的误差中的一个，它亦是随机变量，显然不能用来概括一系列抽样可能产生的抽样误差。而抽样分布的标准差X σ可以综合地反映了样本均值在总体均值附近的变异程度，因此我们用它来概括

一系列抽样可能产生的误差，并把它称为抽样平均误差。后面我们将看到，利用抽样分布计算X σ，在统计推断与估计的误差分析中也具有重要意义(抽样平均误

差将在第九章较系统地加以讨论)。

为了理解中心极限定理的正确性，最好的方法是从一个已知均值和标准差的总体中抽取一些样本，计算样本均值，并把这些均值一一在图上标出，看抽样分布是不是正态，同时找出这些均值的标准差，再把它与n

σ做比较。但是，为什么在总体分布不是正态的时候，其抽样分布却很可能会是正态呢?下面我们来看在一个男女人数相等的性别总体中，当抽取的样本越来越大时将会发生些什么?

描述这个该总体只要分两组、用两个标志值就可以了，因此其分布显然不可能是正态的。为了简单起见，用X ＝1表示男性，X ＝0表示女性。并且，因为男女人数相等，所以相对频数都是1/2，计算后知总体均值μ也等于1/2，图7．11表示了这种十分简单的分布。当然，严格来讲分布是离散的，而不是图中画的那样是连续的。

现在我们从这个总体抽取随机样本，看样本均值的分布怎样随其容量n 起变化。先抽2人，井计算样本均值的抽样分布。很显然，如果对抽到的人加以区分，能得到四种结果：两人都是男性，标志值和最大(为2)；两人都是女性，标志值和最小(为0)；男性女性各一人则会有两种情况。四种结果的标志值可分别显示为(1，

1)，(0，0)，(1，0)，(0，1)。求样本均值的方法很简单，只要按(4．1)式把标

志值加起来除以2。样本均值的抽样分布可按古典法直接算出，也可以由(7．3)

式算出。样本均值的概率分布分别见表7．5和图7．12。

表7．5

然后抽取容量为4人的随机样本，样本均值的分布如表7．6所示。除均值和其概率的计算稍许复杂一点外，计算方法和n＝2的样本完全一样，绘成图7．13。

表7．6

再取样本容量为8人，样本均值抽样分布如表7．7所示，绘成图便是图7．14。表7．7

至图7．14，样本均值的抽样分布已经开始接近正态曲线了，尽管这时样本容量还不过是8。这就从直观上说明了为什么当容量n越来越大时，样本均值的抽样分布会逼近正态曲线，而总体分布怎样是无关紧要的。

那么究竟n多大时，才可以放宽总体是正态的限制而放心使用中心极限定理呢?这个问题尚无简单的答案，因为它还与下列问题有关：①估计第一类错误所要求的精度；②总体接近正态的程度（虽然总体分布是与抽样分布含义不同的分布，但正态总体的抽样分布要比非正态总体的抽样分布更容易接近正态）。一般我们采用经验定则：如果n＞100，正态总体的限制总是可以放宽；如果n＞50，同时经验表明总体分布与正态分布的差异不大时，可以放心使用中心极限定理；如果n≤30，就应该避免使用该定理。

统计检验应用正态分布和二项分布有两点区别：①抽样分布在这里是连续的而非离散的，否定域的大小可以和显著性水平的要求精确地一致起来。②计算检验统计量不再像在应用二项分布时那样，可以不劳而获了。很显然，为了能使用现成的正态分布表，关键是要从样本资料中计算出在N(0，1)形式下的统计量Z，再根据Z是否落在否定城内而对被检验假设的取舍作出决定。

在上一节（7.6）式，我们曾引出Z＝

σμ

-

X

。Z的这种形式适用于N(μ，σ2)的总体，但并不适用于取正态的抽样分布。正如我们反复强调的那样，统计检验单纯依靠样本自身是得不出结果的，必须首先在一系列假设的基础上求出抽样分布。如果这些假设实际上正确，那么抽样分布将告诉我们得到一个给定的X的可

能性是多少。在抽样分布中，随机变量的取值是每个X ，均值是μ，标准差是X σ＝n

σ。因此Z 如果作为检验统计量，应该用X 替换X ，用X σ替换σ，μ不动，因而有

Z ＝n

X /σμ- (7．11) 第五节 总体均值和成数的单样本检验

现在我们来看中心极限定理在统计检验中的应用。虽然不必每一次都明写出来，但本章第二节论述的检验程序的每一步都不能缺少。把从样本调查中得到的检验统计量与假设的总体均值作比较，我们很快发现了正态分布的重要的实用价值。

1．σ已知，对总体均值的检验

例如，一位研究者试图检验某一社会调查(如家庭收入调查)所运用的抽样程序，该项调查是由一些缺乏经验的采访员进行的，研究者怀疑属于干部和知识分子的家庭抽得过多。过去的统计资料表明，这一街区的家庭的平均年收入是24500元，标准差是3000元。这次调查共随机抽选了l00个家庭，样本的家庭平均年收入是25300元。该研究人员是否有理由怀疑该样本有偏估(选用α＝0．05)。

研究者主要由于采访者缺乏经验而对随机样本这一点不放心，因此随机抽样就是待检验的零假设。因为样本容量为100，可以运用中心极限定理。于是求抽样分布，在这里变为去查正态分布表。在统计检验中，我们多半使用一些现成的数值表。应该明白，这些数值表是用概率论计算出来的，使用它们实际上就是在使用抽样分布。

根据题意，显著性水平为0．05，并由于研究者怀疑抽样调查对中上收入家庭做了较多的抽取，所以用单侧检验。查正态分布表得知，离均值1．65标准差以外的正态曲线的面积是全部面积的5％，这就是否定域(图7．15中的阴影部分)。所以，只要样本均值大于μ的量超过1．65个标准差时，便否定零假设。

题目实际已给出下列量：X ＝24500元，μ＝25300元，σ＝3000元，n ＝I00，根据(7．11)式计算检验统计量有

Z ＝n

X /σμ-＝100/30002450025300-＝2．67 ＞1．65 检验统计量Z 的计算表明，样本均值比总体均值大2．67个标准差（X σ），

超过了显著性水平规定的临界值，调查者应该否定“随机抽样”的零假设。也就是说，由于抽样在程序上不合要求，这项社会调查有必要重新组织。

中心极跟定理实际解决了大样本均值的检验问题。假定样本比较大(n ＞50，这在社会调查中一般都能得到满足)，样本均值的抽样分布就与总体分布无关，而服从正态分布。当H 0成立时，样本均值X 的观察值比较集中地分布在总体均值μ

周围；当H 0不成立时，X 对μ有明显偏离的趋势。因而，我们可以在选定的显著

性水平上，通过计算检验统计量Z ，对零假设进行检定。

[例7．5．1] 某单位统计报表显示，人均月收入为2330元，为了验证该统计报表的正确性，作了共81人的抽样调查，样本人均月收入为2350元，标准差为75元，问能否说明该统计报表显示的人均收入的数字有误(取显著性水平α＝0．05)。

[解] 根据题意，可作如下的假设

H 0：μ＝2330元

H 1：μ≠2330元

因α＝0．05，查正态分布表得Z α/2＝1．96，故否定域为|Z|≥1．96

根据(7．11)式计算检验统计量

Z ＝n X /σμ-≈n

S X /μ-

＝81

/7523302350-＝2．40＜1．96 所以，可以认为该单位人均月收入不是2330元，即可以认为该统计报表有误。

2．学生t 分布(小样本总体均值的检验)

在大多数场合，把总体参数作为已知是不切实际的。通常我们既不知道μ的值，也不知σ的值。但中心极限定理涉及到σ，而我们又不能轻视这条定理的价值。那么怎么办呢？一种方法就是用样本标准差S 来代替σ。在Z 的公式中，σ／n 直接被S ／n 取代。因为S 可以从样本数据中计算出来，所以公式中就没有未知数了。事实证明，当n 大的时候，用这种方法可以得到很好的结果。问题是当n 较小的时候，用这种方法求出的概率可能是错误的，有必要做某种修正。于是人们设计了另一种检验统计量

t ＝1

/--n S X μ (7．12) 这个统计量最初是由戈塞持(Gosset ，1876一1937年)用笔名“学生”发表，所以这个统计量的抽样分布称为学生t 分布。比较t 和Z ，我们注意到它们的分子相同，而分母却稍有不同：①σ为S 所代替(这一点无须解释)；②根号下是n ―1。

图7．16大致从直观上说明(7．12)式中采用n ―1的原因。因为样本数据的全距只能小于(顶多等于)总体数据的全距，可以明显看出，样本数据的离散程度小于总体数据的离散程度。如果用样本的标准差来代替总体的标准差，就会偏小，即产生所谓的“向下偏误”。为了修正这种偏误，以便使修正的样本标准差更好地估计总体标推差，所以用n ―l 而不用n 。n ―1实际为自由度数k ，这一点将在

第九章得到说明。

图７．1６