牛顿迭代法的实验报告

牛顿迭代法实验报告

1．功能

本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程

f(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n=０（a n≠０）（1）

的在初始值x0附近的一个根。

2.使用说明

（1）函数语句

Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1)

调用M文件newton_1.m。

（2）参数说明

A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。

N整变量，输入参数，方程阶数。

X0 实变量，输入参数，初始迭代值。

NN整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。

EPS1实变量，输入参数，控制根的精度。

3．方法简介

解非线性议程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数

f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2

!2)

(0x

f''

+…

取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有

f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0

设fˊ(x0)≠0则其解为

x1=x0－f(x0)/fˊ(x0)

再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得

x2=x1－f(x1)/fˊ(x1)

这样，得到牛顿法的一个迭代序列

x n+1=x n－f(x n)/fˊ(x n)

4．newton_1.m程序

function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)

x(1)=x0；

b=1；

i=1；

while(abs(b)>eps1*x(i))

i=i+1；

x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；

b=x(i)-x(i-1)；

if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；

return；

end

end

y=x(i)；

i

5．程序附注

（1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m 是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。

（2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。

6．例题

用牛顿法求下面方程的根

f(x)=x3+2x2+10x-20

7．运行结果

>>a=[1,2,10,-20] ；

>>n=3；

>>x0=1；

>>nn=1000；

>>eps1=1e-8；

>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)

y=

1.368808107821373e+000

i=

6

程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：

function y=n_f(a,n,x)

y=０.0；

for i=(n+1)(n+1)

y=y+a(i)*x?(n+1-i)；

end

function y=n_df(a,n,x)

y=0.0；

for i=1:n

y=y+a(i)*(n+１-i)*x?(n-i)；

end

参考文献：

张培强. MA TLAB语言---演算纸式的科学工程语言. 合肥：中国科技大学出版社，1995