矩阵特征值与特征向量计算的MATLAB GUI设计[文献综述]

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信息与计算科学

矩阵特征值与特征向量计算的MATLAB GUI设计

一、前言部分

MATLAB语言是性能卓著的实验“仪器”,是一款功能强大的。用它能能送的进行各种数学计算和符号演算，绘制多种可视化图形[1]。

MATLAB是一种数值计算环境和编程语言，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB基于矩阵运算，具有强大的数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示功能，其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使得它的编程极为简单。MATLAB既能进行科学计算，又能开发出所需要的图形界面。图形用户界面（GUI）是由窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象（Objects）构成的一个用户界面。用户通过一定的方法选择、激活这些图形对象，是计算机产生某种动作或变化，比如实现计算、绘图等[2]。

由于计算机的发展和普及,科学计算已经成为解决各类科学技术问题的重要手段。因此,掌握科学计算的基本原理和方法是当今科学技术工作者不可缺少的本领和技能之一。求特征问题是科学与工程中提出的一类重要数学问题。如动力学系统和结构系统中的振动问题，需要求系统的频率与振幅，又如物理学中的某些临界值的确定等[3]。

二、主题部分

2.1 MATLAB软件介绍

2.1.1 MATLAB软件概况[4、5]

“MATLAB”是“Matrix Laboratory”的缩写。MATLAB的第一个版本是LINPACK和EISPACK库的程序的一个接口，用来分析线性方程组。随着MATLAB的演化，除了线性代数外，它还支持许多其他的程序。MATLAB的核心仍然是基于命令行的交互式分析工具。用户可以用类Fortran语言扩展交互环境。交互环境中的程序以命令行的形式执行。

MATLAB用户接口包括下拉菜单和对话框，任何个人电脑使用者对这一接口都很熟悉。菜单命令支持文件操作、打印、程序编辑和用户接口定制。MATLAB的数值计算是通过在命令窗口输入命令，并不是通过菜单操作进行的。

MATLAB是一个基本的应用程序，它有一个称为标准工具箱的巨大程序模块库。MATLAB 工具箱包括解决实际问题的扩展库，如：求根、插值、数值积分、线性和非线性方程组求解以及常微分方程组求解。由于继承了LINPACK、EISPACK和LAPACK的特性，MATLAB对数值线性代数来说是一个高可靠的优化系统。许多数值作业能够用线性代数语言精确地表示。MATLAB和线性代数的密切关系是程序员能够用很短的MATLAB语言来解决复杂的数值作业。标准工具箱还包括数据可视化的扩展图形库，有简单的点、线和复杂的三维图形和动画。所有的MATLAB程序都可以使用这些函数，这样就可以在所有程序和程序集中分析并生成达到出版质量的图示。对图形的快速访问能有效地提高用户的效率。诊断点有助于调试程序和检验算法是否正确执行。低级的图形函数为自定义图形用户接口的分析代码提供了扩展空间。除了标准工具箱，可以使用其他的工具箱，如：信号处理、图像处理、优化、统计分析、偏微分方程的求解和许多数值计算的应用。

2.1.2 MATLAB语言特点[6、7]

MATLAB语言有不同于其他高级语言的特点，它被称为第四代计算机语言，MATLAB语言的最大特点就是简单和直接。正如第三代计算机语言使人们摆脱对计算机硬件操作一样，MATLAB语言使人们从烦琐的程序代码中解放出来。它丰富的函数使开发者无须重复编程，只要简单的调用和使用即可。MATLAB语言的主要特点可概括如下：

（1）以矩阵和数组为基础的运算

MATLAB 是以矩阵为基础的，不需要预先定义变量和矩阵(包括数组)的维数，可以方便地进行矩阵的算术运算、关系运算和逻辑运算等。

（2）简单易学，使用方便

MATLAB 被称为“草稿式”语言，这是因为其函数名和表达更接近我们书写计算公式的思维表达方式，编写MATLAB程序犹如在草稿纸上排列公式与求解问题，因此可以快速地验证工程技术人员的算法。此外MATLAB还是一种解释性语言，不需要专门的编译器。

（3）强大的图形技术

MATLAB具有非常强大的以图形化显示矩阵和数组的能力，同时它能给这些图形增加注释并且打印这些图形。MATLAB 的图形技术既包括一些可以方便产生二维、三维科技专业图形的高级绘图函数，又包括一些可以让用户灵活控制图形特点的低级绘图命令。另外，用户还可以利用MATLAB的句柄图形技术创建图形用户界面。

(4)编程效率极高

MATLAB 是一种面向科学和工程计算的高级语言。它以矩阵运算为基础，极少的代码即可实现复杂的功能。

(5) 可扩充性强，具有方便的应用程序接口

MATLAB 不仅有着丰富的库函数，在进行复杂的数学运算时可以直接调用。而且用户还可以根据需要方便地编写和扩充新的函数库。通过混合编程用户可以方便地在MATLAB环境中调用其他用 Fortran 或者 C 语言编写的代码，也可以在 C 语言或者 Fortran 语言程序中调用MATLAB 计算引擎来执行MATLAB代码。

2.1.3 MATLAB GUI介绍 [8、9]

一个可以发布的应用程序通常都需要有一个友好的图形用户界面（Graphical User Interface）。程序的用户界面是用户与计算机程序的交互方式，用户通过键盘、鼠标等输入设备与计算机交换信息。图形用户界面（GUI）是包含图形对象，如窗口、图标、菜单和文本的用户界面。用户以某种方式选择或激活这些对象，会引起动作或发生变化，例如调用计算程序或者绘图等。

图形用户界面通常是一种包含多种图形对象的界面，典型的图像界面包括图形显示区域，功能按钮控件以及用户自定义的功能菜单等。为了让界面实现各种功能，需要对各个图形对象进行布局和事件编程。当用户激活对应的GUI对象时，就能执行相应的时间行为。

GUI也是一种Matlab对象，可以使用M文件来创建M文件，这也是最基础的，使用其他方法创建时，也需要编写相应的程序代码。除了使用M文件来创建GUI对象外，Matlab 还为用户开发图形界面提供一个方便高效的继承开发环境：Matlab图形用户界面开发环境（Matlab Graphical User Interface Development Environment,GUIDE）。其主要是一个界面设计工具集，他将所有GUI所支持的用户控件都集成起来，同时提供界面外观、属性和行为响应方法的设置方法。除了可以使用GUIDE创建GUI之外，还可以将设计好的GUI界面保存为一个FIG资源文件，同时自动生成对应的M 文件。该M文件包含了GUI初始化代码和组建界面布局的控制代码。

使用GUIDE创建GUI对象执行效率高，可以交互式的进行组件布局，还能生成保存和发布GUI的对应文件。

2.2 矩阵特征值与特征向量计算

求解特征问题是科学与工程中提出的一类重要数学问题,如动力学系统和结构系统中

的震动问题,需要求系统的频率与振幅,又如物理学中的某些临界值的确定等

2.2.1乘幂法及其变体[3]

乘幂法是用于大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法,其特点是公式简单,易于上机实现.

乘幂法德计算公式如下.

设n n A R ?∈,取初始向量()0n x R ∈,令()()10x Ax =, ()()21

x Ax =,…,一般有()()1k k x Ax -=

(3.1.4) 并形成向量序列(){}k x

，由递推公式(3.1.4),有 ()()()()2202()...k k k k x A Ax A x A x --==== (3.1.5)

这表明()k x 是用A 的k 次幂左乘()0x 得到的,因此称此方法为乘幂法,(3.1.4)式或(3.1.5)式称为

乘幂公式, (){}k x

称为乘幂序列.

设n n A R ?∈可逆,反幂法可以求出A 的绝对值最小的特征值及相应的特征向量.由 ()0Ax x x λ=≠

可知

11

,A x x λ-=

即若0λ≠为矩阵A 的特征值,则

1λ必为矩阵1A -的按模最大特征值,且特征向量相同.

因此,若乘幂法可求A 的主特征值1λ,则用1A -做乘幂矩阵,由迭代公式

()()11k k x A x +-= (3.1.24) 便可求出1A -的按模最大特征值1

n λ,再取倒数即可得到矩阵A 的按模最小特征值n λ.因此,对

任取初始向量()0n x

R ∈,称公式(3.1.24)为求矩阵A 按模最小特征值的反幂法. 2.2.2 子空间迭代法[10]

子空间迭代法最初是由Clint 和Ｊennings 提出,是反幂法的推广[11] .稍后,Bathe 和

Wilson 在其中加入了子空间上的Rayleigh-Ritz 过程,它可以明显地改善收敛速度.以下是一个子空间迭代算法的主要步骤.

Ⅰ.初始化

(1)确定子空间的维数q ;

(2)选取初始向量矩阵N q x R ?∈;

(3)设定每次移轴的最大迭代次数max I .

Ⅱ.移轴与Sturm 序列校核

(1)计算移轴μ,应设法保证它不是特征值;

(2)分解移轴刚度矩阵1

K M LDL μ--=;

(3)Strum 序列校核.

Ⅲ.迭代max I 次,完成后转向Ⅰ

(1)将X 进行M 一成交归一化;

(2)解试11()T X LDL MX -=; (3)计算K 和M 在1X 上的投影,

1111,T T K X KX M X MX ??==

(4)求解q 阶广义特征值问题K M ?????Φ=ΦΛ;

(5)形成新的近似特征向量1X X ?=Φ;

(6)按模态误差判断特征值和特征向量的收敛,移出已收敛的特征向量,并在X 中加入随机向量或减缩子空间的大小.

子空间迭代法假设q 个初始向量同时进行迭代,求得前p 个特征向量.传统上,

4)q =, 其中s 为L 中一行的平均非零元个数,由第Ⅱ与Ⅲ步计算之比确定.

2.2.3 Jacobi 旋转法[12]

Jacobi 方法用来计算实对称的全部特征值及对应的特征向量.

基本思想:通过一组平面旋转将A 化为对角阵.

若n n A R ?∈为对称阵,则存在一正定阵p ,使12(,,...,)T n PAP diag p λλλ==, 12,,...,n λλλ为A 的特征值, T P 的列向量j v 为A 对应于j λ的特征向量.主要问题是如何构造P .