matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量

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matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量

篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征

向量

一.幂法

1.幂法简介：

当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵a需要满足的条件为：

(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值

xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,

1.1计算过程：

n

对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有

i1

x(k1)ax(k)...ak1x(0)

aαiuiαiλik1uik1

i1i1nn

nk12k1λ1u1()a2u2()anun11

k111u1k11

2|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。kxx11u1

2算法实现

(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n

(2).k1,0;y(k)x(k)

max(abs(x(k))

(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)

(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停

机.3matlab程序代码

function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;

z=0;%z相当于

y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量

x=a*y;%迭代格式

b=max(x);%b相当于

ifabs(z-b) t=max(x);

return;

end

whileabs(z-b)>eps

z=b;

y=x./max(abs(x));

x=a*y;

b=max(x);

end

[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵

的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。

end

4举例验证

选取一个矩阵a，代入程序，得到结果，并与eig(a)的得到结果比较，再计算a*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。结果如下：

结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶hilb矩阵，与eig(a)的得到结果比较，再计算a*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为

x0=ones(15,1)，结果显示如下

可见，结果正确。得到了15阶hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。

二.反幂法

1.反幂法简介及其理论

在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下，与幂法基本相同：1则a1x由axxxa(x)，1

x，可知，a和a-1的特征值互为倒数，

求a按模最小特征值即求a-1的按模最大特征值,取倒数即为a的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算x(k1)时，不是令x(k1)ay(k),而是x(k1)a-1y(k)具体计算时，变换为ax(k1)y(k);对a做lu分解，来计算x(k1)

2.算法实现

(1).输入矩阵a,初始向量x,误差限,最大迭代次数n,

(2).置k1,00,y

(3).作三角分解alu

(4).解方程组luxy(lzy,uxz),

(5).max(x),

1(6).若|0|,输出,y,停机,否则转(7),x,max(abs(x))

(7).若kn,置kk1,0,y

否则输出失败信息,停机.x,转(4);max(abs(x))

3matlab程序代码

function[s,y]=invpower(a,x0,eps,n)%s为按模最小

特征值，y是对应特征向量k=1;r=0;%r相当于0

y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量

[l,u]=lu(a);

z=l\y;

x=u\z;

u=max(x);

s=1/u;%按模最小为a-1按模最大的倒数.

ifabs(u-r) return

end

whileabs(u-r)>eps

r=u;

y=x./max(abs(x));

z=l\y;

x=u\z;

u=max(x);

end

[m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值

s=1/x(index);%是原值，而非其绝对值。

end

4举例验证

同幂法一样，选取一个矩阵a，代入程序，得到结果，并与eig(a)的得到结果比较，再计算a*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。

篇二：第3章矩阵特征值与特征向量的计算-new