第三单元 函数及其图象

第三单元 函数及其图象

第十二章 坐标系与变量之间的关系

一、知识回顾 1、函数1

-=

x x

y 的自变量x 的取值范围是__________________ 2、在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-4，6），则点P 在第____象限；若点Q 与点P 关于原点对称，则点Q 坐标为_____________；若点M 与点P 关于x 轴对称，则点M 坐标为______________；若点N 与点P 关于y 轴对称，则点N 坐标为______________ 3、若点A （m ，4-m ）在第二象限，则m 应满足__________________

4、点A （a ，b ）向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到点B 坐标是_____________ 二、典型例题

例1 如图12-1，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片沿OB 折叠，使点A 落在点A ’的位置上，若OB=5，tan ∠BOC=

2

1

，求点A ’坐标。

例2 如图12-2，一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x （h ），两车之间的距离为y （km ），图中的折线表示y 与x 之间的函数关系 根据图象进行研究：

（1）甲、乙两地之间距离是_______________ （2）求快车和慢车的速度；

（3）若第二列快车也从甲地驶往乙地，速度与第一列快车相

同，在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车

相遇。求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

三、课堂练习

1、平面内点P （m ，2）与点Q （3，-2）关于原点对称，则m=_____________

2、函数2

+=

x x y 中自变量x 的取值范围是__________________

3、在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，5）、（-3，-1）、（1，-1），在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 坐标是_______________

4、如图12-3是某函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A 、当y=1时，x 的取值是2

3

-

，5

B 、当y=-3时，x 的近似值是0，2

C 、当x=2

3

-

时，函数值最大

D 、当x>-3时，y 随x 的增大而增大

图12-1 图12-2 图12-3

四、家庭作业

1、在平面直角坐标系中，点（-1，12

m ）一定在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

2、如图12-4，小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别和上班时一致，那么他从单位回到家所需时间为_____________

3、如图12-5，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B->C->D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）

4、如图12-6，△ABC 是边长为2的等边三角形，点A 在坐标原点，则点B 坐标为____________

5、点A 坐标为（1，2），AB ∥y 轴且AB=3，则点B 坐标为_______________

6、如图12-7，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴，y 轴的负半轴上，且OA=2，OB=1，将Rt △AOB 绕点O 按顺时针方向旋转90°，再把所得的图象沿x 轴正方向平移1个单位，得△CDO ；（1）写出点A 、C 的坐标；（2）求AC 的长度。

7、某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，先由甲装修公司单独完成装修3天，剩下的工作由甲、乙一起完成，工程进度满足如图12-8函数关系，该家庭共支付工资8000元。

（1）完成此房屋装修共需多少天？

（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？

(分钟)图12-4 P 图12-5 A B C D

第十三章 一次函数

一、知识回顾

1、一次函数y=x+2的图象不经过第_______象限

2、已知关于x 的函数1)2(32

++-=-m x m y m 是一次函数，则m 的值是_______________ 3、下列图象中，表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m 、n 是常数且mn ≠0）的图象是（ ）

二、典型例题

例1 已知一次函数的图象经过（2，5）和（-1，-1）两点。 （1）在给定的坐标系中画出这个函数的图象；（2）求这个一次函数的关系式。

例2 【阅读材料】在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义，下面就两个一次函数图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数11b x k y +=的图象为直线1l ，一次函数22b x k y +=的图象为直线2l ，若21k k =，且21b b ≠，我们就称直线1l ∥2l 。 解答下列问题：

（1）求过点P （1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线的函数表达式，并画出图象； （2）设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y=kx+t （t>0）与直线l 平行且交x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式。

三、课堂练习

1、如果一次函数y=kx+b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A 、k>0,b>0 B 、k>0,b<0 C 、k<0,b>0 D 、k<0,b<0

2、已知函数y=kx+b 的图象与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2，则此函数的表达式为_________________

3、若一次函数的图象经过点（3，5）与（-4，-9），则该函数的图象与y 轴交点的坐标为_______

4、A 、B 两地相距45千米，图中折线表示某骑车人离A 地的距离y 与时间x 的函数关系。有一辆客车9点从B 地出发，以45千米/时的速度匀速行驶，并往返于A 、B 两地之间。（乘客上、下车停留时间忽略不计）

（1）从折线图可以看出，骑车人一共休息_________次，共休息_________小时； （2）请在图中画出9点至15点之间客车与A 地的距离y 随时间x 变化的函数图象； （3）通过计算说明，何时候车人与客车第二次相遇。

图13-1

四、家庭作业

1、若点P （2，k-1）在第一象限内，则k 的取值范围是___________，直线y=2x+b 经过点（1，3），则b=__________；

2、已知y 是x 的一次函数，右表给出了部分对应值，则m 的值是_______

3、如图13-2，直线l 与x 轴正方向的夹角为30°，则直线l 的函数表达 式为____________

4、点A （5，1y ）和B （2，2y ）都在直线y=-x 上，则1y 与2y 的关系是 （ ） A 、1y ≥2y B 、1y =2y C 、1y <2y D 、1y >2y

5、如图13-3，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，若把△AOB 沿直线AB 翻折，点O 落在C 处，则点C 坐标为_____________。

6、（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是________________；直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是____________________；（2）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是_______________；（3）如图13-4，已知点C 为直线y=x 上在第一象限内的一点，直线 y=2x+1交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，将直线AB 沿OC 方向平移 23个单位，求平移后的直线解析式。

7、如图13-5，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （-2，-1）、B （1，3），并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D 。 （1）求该一次函数的解析式；（2）求tan ∠OCD 的值；（3）求证：∠AOB=135°

8、如图13-6，已知直线1l ：3

8

32+=

x y 与直线2l ：162+-=x y 相交于点C ，1l 、2l 分别交x 轴于A 、B 两点，矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线1l 、2l 上，顶点F 、G 都在x

轴上，且点G 与点B 重合。 （1）求△ABC 的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的边长；（3）若矩形DEFG 从原地出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t ≤12）秒，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围。

图13-2 图13-5

图13-6

第十四章 反比例函数

一、知识回顾

1、反比例函数经过点（-1，2），则它的解析式是__________________

2、反比例函数x

y 1

-

=的图象在第________象限 3、若A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）是双曲线x

y 3

=上两点，且1x >2x >0，则1y ______2y （填“>”、“=”、“<”） 4、过反比例函数x

y 1

=的图象上一点向坐标轴作垂线段，它们所围成的矩形面积为_____ 二、典型例题

例1 若M （21-

，1y ），N （4

1-，2y ），P （21，3y ）三点都在函数)0(<=k x k y 的图

象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）

A 、2y >3y >1y

B 、2y >1y >3y

C 、3y >1y >2y

D 、3y >2y >1y

例2 如图14-1，已知一次函数y=kx+b(k ≠0)和反比例函数

x

k

y 2=

的图象交于点A （1，1）。 （1）求两个函数的解析式；（2）若点B 是x 轴上一点，且 △AOB 是直角三角形，求B 点坐标

三、课堂练习 1、反比例函数)0(1

>=

x x

y 的图象如图14-2所示，随着x 值的增大，y 值（ ） A ．增大 B ．减小

C ．不变

D ．先减小后增大

2、已知点M （-2，3）在双曲线x

k

y =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．（3，-2）

B ．（-2，-3）

C ．（2，3）

D ．（3，2）

3、反比例函数x

y 2

=

图象的两支分别在第_________象限 4、如图14-3，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数x

y 1

=的图象上，则图中阴影部分的面积是________________

5、如图14-4，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数x

k

y =

的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C ，AB ⊥x 轴于 点B ，△AOB 的面积为1，则AC 的长为______________

图14-1

图14-2

图14-3

图14-4

图14-6

P

四、家庭作业 1、对于反比例函数x

y 2

=

，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点（-2，-1）在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限

C ．当x>0时，y 随x 的增大而增大

D ．当x<0时，y 随x 的增大而减小

2、已知反比例函数x

k y 2

-=

的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是______________ 3、已知点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、C （3x ，3y ）是函数x

y 2

-=图象上的三点，且

3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是______________

4、若函数x m y )12(-=与x

m

y -=3的图象无交点，则m 的取值范围是______________ 5、如图14-5，第四象限的角平分线OM 与反比例函数)0(≠=k x

k

y 的图象交于点A ，已知

OA=23，则该函数的解析式是______________________

6、如图14-6，已知双曲线)0(>=

x x

k

y 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k 的值是_____________

7、如图14-7，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 在BC 边长运动，连接DP ，过点P 作AE ⊥DP 于E ，设DP=x ，AE=y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）

8、已知，如图14-8，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数x

k

y =

的图象交于点A （3，2）。

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0

OADM 的面积为6时，请判断BM 与DM 的大小关系，并说明理由。

图14-5 图14-7

A B C D 图14-8

第十五章 二次函数

一、知识回顾

1.当m=________时，函数5)3(7

2

+-=-m

x m y 是二次函数。

2.抛物线232+-=x x y 与x 轴交点的坐标是_____________

3.抛物线)3)(1(-+=x x a y （a ≠0）的对称轴是直线_____________

4.抛物线n m x y ++=2)(2（m ，n 是常数）的顶点坐标是______________

5.把抛物线2x y -=向左平移1个单位，再向上平移3个单位后的抛物线解析式是_________ 二、典型例题

例1 小强从如图15-1所示的二次函数图象中，观察得出下面五 条信息：（1）a<0；（2）c>0；（3）b>0；（4）a+b+c>0； （5）a-b+c>0。你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

例2 如图15-2，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的 直线m x y +-

=3

3

与x 轴交于点E 。 （1）求点E 坐标；（2）求过A 、O 、E 三点的抛物线解析式； （3）若点P 是（2）中求出的抛物线AE 段上一动点（不与A 、 E 重合），设四边形OAPE 的面积为S ，求S 的最大值。

三、课堂练习

1.下列函数中，是二次函数的是（ ）

①c bx ax y ++=2；②2

R S π=；③bx x a y ++=22)1(；④2

1x y =

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2.在同一直角坐标系中，函数m mx y +=和函数222

++-=x mx y （m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3.已知二次函数的图象经过原点及点（21-

，4

1-），且图象与x 轴另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________________

4.已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）。 （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。

图15-1

图

15-2

四、家庭作业

1.把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为___________________

2.抛物线m x x y ++=822与x 轴只有一个公共点，则m 的值为__________________

3.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，

ABC S ?=3，那么b=______________

4.已知抛物线322--=x x y ，若点P （-2，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是________________

5.如图15-3所示是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，图象过A 点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1，给出四个结论：①ac b 42

>；②bc<0；③2a+b=0；④a+b+c=0，其中正确的结论是（ ）

A ．②④

B ．①③

C ．②③

D ．①④

6.甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为2

3

321212++-

=s s h ，如图15-4，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为

4

9

米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m

的取值范围是__________________

7.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间每天的定价增加x 元，求： （1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式，当每个房间每天的定价为多少元时，w 有最大值？最大值是多少？

8.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图15-5-1），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m 。

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图15-5-2），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间距忽略不计）？请说明你的理由。

图15-3

图15-4 图15-5-1

图15-5-2