平面向量数量积的坐标表示典型例题
平面向量数量积的坐标表示
坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法．用坐标来研究向量的数量积是本节的基本内容．
本节内容的重点是平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．难点是用坐标法处理长度、角度、垂直等问题．
1．平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．
2．向量垂直的坐标表示的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0．即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．
3．向量长度公式的坐标表示
设a ＝（x ，y ），则|a |2＝x 2＋y 2
，因此，|a |＝22y x +． 4．两向量夹角公式的坐标表示
已知非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），夹角为θ，则cos θ＝2
22221212
121||||y x y x y y x x +⋅++=⋅b a b a ． 学习本课时，我们弄清楚下面的问题：
平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i 、j 分别是和x 轴、y 轴同向的单位向量，则i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则
a ·
b ＝（x 1i ＋y 1j ）·（x 2i ＋y 2j ）
＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2
＝x 1x 2＋y 1y 2．
数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．
【学习方法指导】
怎样用向量的坐标形式求解向量积的问题？
［例1］已知a ＝（1，－2），b ＝（2，0），求同时满足条件a ·c ＝4，b ·c ＝0的向量c ．
解：设c ＝（x ，y ），则
由⎩⎨⎧=⋅=⋅04c b c a 得⎩⎨⎧=⋅+=-00242y x y x
∴x ＝0，y ＝－2，∴所求向量c ＝（0，－2）
怎样求向量的投影？
［例2］求向量a ＝（1，2）在向量b ＝（2，－2）方向上的投影．
分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．
解：设向量a 与b 的夹角为θ，则
cos θ＝.1010)2(221)2(221|b ||a |b a 2222-=-⨯⨯+-⨯+⨯=⋅⋅
∴a 在b 方向上的投影＝|a |cos θ＝5×（－22)1010-=．
怎样把一个已知向量转化为单位向量？
［例3］设a ＝（x ，y ）≠0，则
)
,(),(1||222222y x y y x x y x y x ++=+=a a 即得到一个单位向量 ．
怎样利用向量的几种形式解答问题？
［例4］已知a 、b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 分析：由于向量的表示形式不同，有下面三种解法：
解法一：由|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2
又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2
∴a ·b ＝21
|a |2
而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2
∴|a ＋b |＝3|a |
设a 与a ＋b 的夹角为θ，则 cos θ＝
,23||3||||21||22=⋅+=+⋅+⋅a a a a |b a ||a |b)(a a ∴θ＝30°． 解法二：设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）
∵|a |＝|b |，∴x 12＋y 12＝x 22＋y 22
由|b |＝|a －b |
得x 1x 2＋y 1y 2＝21
（x 12＋y 12）
由|a ＋b |2＝2（x 12＋y 12）＋2·21
（x 12＋y 12）＝3（x 12＋y 12）
得|a ＋b |＝
2
1213y x + 设a 与a ＋b 的夹角为θ，则 cos θ＝.233)(21)(|b a ||a |b)(a a 2121212121212121=+⋅⋅++++=+⋅+⋅y x y x y x y x
∴θ＝30°
解法三：由向量加法的几何意义，可作图5－7－1如下：
图5－7－1
在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，以、为邻边作平行四边形OACB ． ∵|a |＝|b |，即||＝||，
∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b ，
而|a |＝|b |＝|a －b |
即|OA |＝|OB |＝|BA |
∴△AOB 为正三角形，则∠AOB ＝60°，
于是∠AOC ＝30°
即a 与a ＋b 的夹角为30°．
点评：用向量的坐标形式入手容易，但计算量较大．用向量的几何形式简捷且直观，但不易入手．
怎样用平面向量的坐标形式解证几何问题？
［例5］已知A （5，－1），B （－1，7），C （1，2），求△ABC 中∠A 的平分线AD 的长．
图5－7－2
解：|AB |＝22)17()51(++--＝10，
|AC |＝22)12()51(++-＝5．
设D 分BC 所成的比为λ，则
λ＝
||||||||AC AB DC BD =＝2． 设点D （x 0，y 0），则
x 0＝31121227,312
11210=+⨯+==+⨯+-y 所以，|AD |＝
【知识拓展】
用向量方法可以解证三角和不等式方面的问题．
［例6］用向量法证明cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（要求α－β∈［0，π］）．
证明：在单位圆上取两动点A 、B ，设以OA 、OB 为终边的角分别为α，β． 则A （cos α，sin α），B （cos β，sin β）
于是·＝cos αcos β＋sin αsin β
又·＝||·||cos （α－β）＝cos （α－β）
∴cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β．
点评：用向量方法证明三角的和差角公式显得方便．但也有缺陷，要限制α－β∈［0，π］，否则不符合定义中“向量夹角”的要求
平面向量数量积的坐标运算含答案
平面向量数量积的坐标运算答案 一、单选题 1．已知(2,1),(1,1)a b =-=-，则(2)(3)a b a b +⋅-等于（） A ．10 B ．－10 C ．3 D ．－3 【答案】B 【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出2,3a b a b +-，再根据向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为(2,1),(1,1)a b =-=-， 所以2(4,3),3(1,2)a b a b +=--=-， 所以(2)(3)4(1)(3)210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-. 故选：B. 2．已知()()()1,1,2,5,3,a b c x ===，若() 830a b c -⋅=，则x 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得x 的值. 【详解】由于()() 86,3,830a b a b c -=-⋅=， 所以63330,4x x ⨯+==. 故选：C 3．已知向量()2,1a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b 等于（） A 5B 10C ．5 D ．25 【答案】C 【分析】对52a b +=两边同时平方，化简可得22250a a b b +⋅+=，再将2 5a =，10 a b ⋅=代入化简即可得出答案. 【详解】∵()2,1a =，∵2 5a =， 又52a b +=， 所以()( ) 2 2 52 50a b +==， 即22250a a b b +⋅+=， ∵5＋2×10＋2 b ＝50， 所以2 b ＝25，即b ＝5. 故选：C.
4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =-，()1,1b =，则AB 与a b -的夹角的余弦值为（） A ．B ． C D 【分析】由平面向量的坐标运算求得AB ，a b -，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =-，()3,0a b -=-， 则AB 与a b -的夹角的余弦值为( )()()2 21312AB a b AB a b ⋅-⨯-+= -+-故选：A ． ．边长为2的正ABC 中，G 为重心，P 为线段上一动点，则AG AP ⋅=（）A ．1 B ．2 C ．()()BG BA BA BP -⋅- D ．2 ()3 AB AC AP +⋅ 为ABC 的重心，所以为线段BC 所以23 (0,3 AG =- ，(,AP x =-，则0AG AP x ⋅=⋅ 故选：B ． a 与 b 相互垂直，()6,8a =-，5b =，且b 与向量(1则b =（） A ．()3,4-- B ．()4,3 C ．()4,3- D ．()4,3--
平面向量数量积的坐标表示典型例题
平面向量数量积的坐标表示 坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法．用坐标来研究向量的数量积是本节的基本内容． 本节内容的重点是平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．难点是用坐标法处理长度、角度、垂直等问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2． 2．向量垂直的坐标表示的充要条件 两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0．即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． 3．向量长度公式的坐标表示 设a ＝（x ，y ），则|a |2＝x 2＋y 2 ，因此，|a |＝22y x +． 4．两向量夹角公式的坐标表示 已知非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），夹角为θ，则cos θ＝2 22221212 121||||y x y x y y x x +⋅++=⋅b a b a ． 学习本课时，我们弄清楚下面的问题： 平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？ 数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i 、j 分别是和x 轴、y 轴同向的单位向量，则i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则 a · b ＝（x 1i ＋y 1j ）·（x 2i ＋y 2j ） ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2 ＝x 1x 2＋y 1y 2． 数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件． 【学习方法指导】 怎样用向量的坐标形式求解向量积的问题？ ［例1］已知a ＝（1，－2），b ＝（2，0），求同时满足条件a ·c ＝4，b ·c ＝0的向量c ． 解：设c ＝（x ，y ），则 由⎩⎨⎧=⋅=⋅04c b c a 得⎩⎨⎧=⋅+=-00242y x y x ∴x ＝0，y ＝－2，∴所求向量c ＝（0，－2） 怎样求向量的投影？ ［例2］求向量a ＝（1，2）在向量b ＝（2，－2）方向上的投影． 分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得． 解：设向量a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝.1010)2(221)2(221|b ||a |b a 2222-=-⨯⨯+-⨯+⨯=⋅⋅
平面向量的数量积的坐标表示、平移
第二十六教时 教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移 目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平 行的充要条件的平行上更熟练。 过程： 一、复习：设向量a = (x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)， 1．数量积的坐标表示：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 2．关于距离公式 3． 二、 例题： 1．已知|a | = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。 解：设a = (x ,y ) ∵|a | = 3 ∴322=+y x …① 又：∵a ∥b ∴1?y - 2?x = 0 …② 解之：???????==556553y x 或??? ????-=-=556553y x 即：a = ( 556,553) 或a = (5 5 6,553--) 2．设p = (2,7)，q = (x ,-3)，求x 的取值范围使得： ①p 与q 的夹角为钝角 ②p 与q 的夹角为锐角。 解：①p 与q 的夹角为钝角? p ?q <0?2x -21<0?221
平面向量数量积坐标表示的应用
平面向量数量积坐标表示的应用 参考答案与试题解析 一、选择题（共4小题） 1．（2012•松江区三模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（） A．1B．C．2D． 考点：平面向量数量积坐标表示的应用． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ， 如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ， 故=（cosθ+sinθ，cosθ） 同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ）， ∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故的最大值 是2， 故答案是2． 点评：本题主要考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题． 2．（2012•浙江模拟）已知向量，满足||=2||≠0，且关于x的函数f（x）=2x3+3||x2+6•x+5 在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（） A． [0.]B． [0，] C． （0，] D． [，π] 考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：计算题；平面向量及应用．
分析：求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+5 在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用||=2||≠0，利用向量的数量积，即可得到结论．解答： 解：求导数可得f′（x）=6x2+6||x+6 ，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+5 在实数集R上单调递增， 可得f′（x）=6x2+6||x+6 ≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判别式△=﹣4≤0 恒成立， 再由||=2||≠0，可得 4 ≤8||•||cos＜，＞， ∴cos＜，＞≥， ∴＜，＞∈[0，]， 故选B． 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立，属于中档题． 3．（2012•房山区一模）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（） A．2B．C．πD．4 考点：平面向量数量积坐标表示的应用． 专题：平面向量及应用． 分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ， 如图∠BA x=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ， 故=（cosθ+sinθ，cosθ），
4平面向量数量积的坐标表示
第四节 平面向量数量积的坐标表示 1.数量积的坐标表示：若=→a （11y x 、），=→b （22y x 、），则2121y y x x b a +=?→ → 例1.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→ b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是_____ 例2.已知→a =（θ23cos ，θ23sin ），→b =（2cos θ，2sin θ-），且∈θ[0，2π] （1）求| |→→→ →+?b a b a 的最值； （2）若||3||→→→→-=+ b k a b a k （R k ∈），求k 的取值范围。 例3.设函数→→?=b a x f )(，其中向量→a =（m ，x 2cos ），→ b =（x 2sin 1+，1），R x ∈，且函数)(x f y =的图象经过点（ 4 π，2） （1）求实数m 的值； （2）求函数)(x f 的最小值及此时x 值的集合。 例4.已知向量)cos ,(sin αα=→m ，)2,1(=→n ，且0=?→→n m 。 （1）求αtan 的值； （2）求函数x x x f sin tan 2cos )(?+=α（R x ∈）的值域。 例5.已知A 、B 、C 是ABC ?的内角，向量)3,1(-=→m ，)sin ,(cos A A n =→，且 1=?→→n m 。 （1）求角A 的大小； （2）若1sin cos 2sin 122-=-+B B B ，求 C tan 。 例6.已知ABC ?三个顶点的坐标分别为)4,3(A 、)0,0(B 、)0,(c C 。 （1）若0=?，求c 的值； （2）若5=c ，求A sin 的值。 例7.已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若 )sin ,(cos C B m =→，)sin ,(cos B C n -=→，且21= ?→→n m 。 （1）求角A 的大小； （2）若32=a ，ABC ?的面积3=S ，求c b +的值。
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷(有详细答案)
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷 一、选择题 1、（2007?辽宁）若向量a与b不共线，a?b≠0，且，则向量a与c的夹角为（D） A、0 B、 C、D、 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求 一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律． 解答：解：∵ = =0 ∴向量a与c垂直， 故选D． 点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的． 2、（2007?上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 分析：根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是． 解答：解：∵ （1）若A为直角，则； （2）若B为直角，则； （3）若C为直角，则． ∴k的可能值个数是2，
故选B 点评：能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题． 3、已知△ABC中，，则 △ABC的面积为（C） A、2 B、 C、D、 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角。 专题：计算题。 分析：由=（cos23°，sin23°）， =（2cos68°，2sin68°），知和x轴成23°角，和x轴68°角，由此能求出和，再由正弦定理能求出ABC的面积．解答：解：∵=（cos23°，sin23°）， =（2cos68°，2sin68°）， ∴和x轴成23°角，和x轴68°角， ， =2， ∴△ABC的面积S==． 故选C． 点评：本题考查平面向量的坐标表示，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式、正弦定理的灵活运用． 4、已知点A（3，0），B（﹣，1），C（cosa，sina），O（0，0），若||=，a∈（0，π），则与的夹角为（D） A、B、 C、D、 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的模；三角函数的恒等变换及化简求值。专题：计算题。
高中数学 平面向量数量积的坐标表示(知识讲解与典型例题)苏教版必修4
平面向量数量积的坐标表示（知识讲解与典型例题）本周重点：平面向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的充要条件。 本周难点：利用向量的数量积解决具体问题。 本周内容： 上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。 我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。如图不妨设： 则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为， 则有， ∵是互相垂直的单位向量， ∴，， 则 也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即 ， 若 则， ∵， ∴∴， 上图中A(x1,y1),B(x2,y2),
则 则。 这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。 上图中若设∠AOB=α，则， 即 。 由此可得到两个向量的夹角。特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。 这个充要条件在今后解决问题中十分重要。 下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。 例1．已知：。 （1）求：； （2）求：； （3）求：， （4）求： 解：（1） 由此可见证。（严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。） （2）
（3） 。 由此可证： （4） 由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即不一定相等。 例2．试判断满足下列条件的三角形的形状。 （1）ΔABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1） （2）ΔABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5） （3）ΔABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4） 解：（1） 由此可知ΔABC为等腰三角形。 （2） 或：， ∴ΔABC为直角三角形。 （3）
第5练 向量数量积的坐标表示2021新高考午练
第5练 向量数量积的坐标表示 一、选择题 1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( ) A ．12 B ．0 C ．－3 D ．－11 答案 C 解析 ∵a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，∴a ＋2b ＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5)×3＋6×2＝－3. 2．已知向量a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值为( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案 C 解析 ∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)． 又∵2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又∵|a |＝5，|b |＝13，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝165×13＝1665 . 3．已知向量a ＝(k ,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 的值为( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 答案 C 解析 ∵2a －3b ＝(2k －3，－6)， 又(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0， 即(2k －3)×2＋(－6)×1＝0，解得k ＝3. 4．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，则n ·BC →等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D ．0 答案 B 解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →.∴n ·BC →＝n ·AC →－n ·AB →＝7－5＝2. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角为( )
平面向量数量积的坐标表示习题精选
平面向量数量积的坐标表示基础训练 1．下列各命题中为真命题的是（） ①若 ②若 ③若 ④若 A．①②B．②③C．③④D．①④ 2．在点等于（） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知，则向量与的夹角为（） A．B．C．D． 4．已知恰好与垂直，则实数的值是（） A．1 B．－1 C．1或－1 D．以上皆非 5．设是两上非零向量，且，则以下等式中与等价的个数有（） ①；②；③；④ . A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知点A（1，0）、B（5，－2）、C（8，4）、D（4，6），则四边形ABCD为（） A．正方形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 7．已知坐标平面上的三点A（1，2）、B（4，1）、C（0，－1），则的形状为（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．A、B、C均不正确 8．已知 .若，则m的取值范围为（）
A．（－1，1） B． C． D． 9．已知A、B是不同的两点，若，则的取值范围是（）A． B． C． D． 10．已知 .若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）A． B． C． D． 11．若，则 12．若，则与a垂直的单位向量的坐标是______. 13．已知三点，则与的夹角为______. 三、解答题 14．已知 .若存在向量c，使得，试求向量c的坐标. 15．已知向量a与b同向， （1）求向量a的坐标； （2）若，求 . 16．已知 .当为何值时，与a垂直？ 17．如图所示，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形 .求点B和的坐标.
参考答案 1．B 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C 10．D 11．A 12．D 13． 14．或 15． 16．设，则由可得：； 又由可得：， 于是有： 由（1）＋2×（2）得 .将它代入（1）可得： . ∴ . 17．（1）因为a与b同向，又，所以 . 又因为，所以，解得∴符合a与b向同条件，∴ . （2） 18． 由于与a垂直，则有 ∴当时，与a垂直. 19．设，∴，
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(同步练习)(附答案)—高一下学期数学必修第二册
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（同步练习） 一、选择题 1.已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,0)，且(a ＋c )⊥(a －b )，则m ＝( ) A ．3＋10 B ．3－10 C ．3±10 D ．－3±10 2.a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a·b 等于( ) A .23 B.57 C.63 D.83 3.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B.－17 C.16 D.－16 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD → ＝(2,1)，则AD →·AC → ＝( ) A .5 B.4 C.3 D.2 5.设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y)，若a ∥b ，则|2a －b|等于( ) A .4 B.5 C.3 5 D.45 6.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A .(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，＋∞ C .(－∞，－2) D.(－2,2) 7.已知向量a ＝(2,0)，a －b ＝(3,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b ) D ．|a |＝|b | 8.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 9.(多选)已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，a ，b 的夹角为θ，b 方向上的单位向量为e ，则( ) A.b ＝(5,12) B.a ·b ＝16 C.cos θ＝1665 D.a 在b 上的投影向量为1613e
平面向量的数量积练习题含答案
平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
(整理)平面向量数量积的坐标表示
平面向量的数乘运算的坐标运算一、知识精讲 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积两个向量的数量积等于它们的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量 垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2．三个重要公式 [小问题·大思维] 1．已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？ 提示：∵a0＝±a |a|＝±1 x2＋y2 (x，y)， ∴a0＝(－ x x2＋y2 ，－y x2＋y2 )
或a 0＝(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)． 2．向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 在向量b 方向上的投影怎样用a ，b 的坐标表示？ 提示：向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)，而cos θ＝a·b |a ||b | ， ∴|a |cos θ＝a·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22 . 二、典例精析 例1、已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)，求： (1)2a ·(b －a )； (2)(a ＋2b )·c . [自主解答] 法一：(1)∵2a ＝2(1,3)＝(2,6)， b －a ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)， ∴2a ·(b －a )＝(2,6)·(1,2) ＝2×1＋6×2＝14. (2)∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(2,5) ＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)， ∴(a ＋2b )·c ＝(5,13)·(2,1) ＝5×2＋13×1＝23. 法二：(1)2a ·(b －a ) ＝2a·b －2a 2
2021年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精选练习(含答案)
2021年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》 精选练习 一、选择题 1.已知向量a=(0，－23)，b=(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B.3 C.－ 3 D.－3 2.设x ∈R ，向量a=(x,1)，b=(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b|=( ) A. 5 B.10 C.2 5 D.10 3.已知向量a=(2,1)，b=(－1，k)，a ·(2a －b)=0，则k=( ) A.－12 B.－6 C.6 D.12 4.a ，b 为平面向量，已知a=(4,3)，2a ＋b=(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B.－865 C.1665 D.－1665 5.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 6.设向量a=(1,0)，b=⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A.|a|=|b| B.a ·b=22 C.a －b 与b 垂直 D.a ∥b 7.已知向量错误!未找到引用源。=(2,2)，错误!未找到引用源。=(4,1)，在x 轴上有一点P ，使错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。有最小值，则点P 的坐标是( ) A.(－3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 8.若a=(x,2)，b=(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫103，＋∞ 9.已知错误!未找到引用源。=(－3,1)，错误!未找到引用源。=(0,5)，且错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。 (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，294 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－294 二、填空题 10.设向量a=(1,2m)，b=(m ＋1,1)，c=(2，m).若(a ＋c)⊥b ，则|a|=________. 11.已知向量a=(1，3)，2a ＋b=(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ=________. 12.已知向量a=(3，1)，b 是不平行于x 轴单位向量，且a ·b=3，则向量b 坐标为______. 13.平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，
平面向量的基本定理及坐标表示知识点及例题
知识点总结： 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosθ叫与的数量积，记作⋅，即⋅ = ||||cosθ，并规定与任何向量的数量积为0 2．平面向量的数量积的几何意义：数量积⋅等于的长度与在方向上投影||c osθ的乘积. 3．两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 1︒⋅ = ⋅ =||cosθ； 2︒⊥⇔⋅ = 0 3︒当与同向时，⋅ = ||||；当与反向时，⋅ = -||||,特别地⋅ = ||2 4︒cosθ =； 5︒|⋅| ≤ |||| 4.平面向量数量积的运算律 ①交换律：⋅ = ⋅②数乘结合律：()⋅ =(⋅) = ⋅() ③分配律：( + )⋅ = ⋅ + ⋅ 5.平面向量数量积的坐标表示 ①已知两个向量，,则. ②设，则. ③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、，那么. ④向量垂直的判定两个非零向量，，则 . ⑤两向量夹角的余弦co sθ =（）.
1．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，怎样用与的坐标来表示呢？ 设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有 ， ∴ 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 3.平面向量数量积的坐标表示的性质 ⑴向量的模 设，则有或 ⑵平面内两点间的距离公式 设，，则， ⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件 设，，则 ⑷两向量的夹角的坐标表示公式 设非零向量，，为与的夹角，则 二．例题讲解 1.平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题: ①; ②; ③; ④ 其中正确命题序号是②、④ . 点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
平面向量在坐标中的运算习题带答案
一．复习稳固 1、以下说法正确的选项是〔D 〕 A、数量可以比拟大小，向量也可以比拟大小. B、方向不同的向量不能比拟大小，但同向的可以比拟大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比拟大小. 2、设O是正方形ABCD的中心，那么向量,,, AO BO OC OD是〔D 〕A、相等的向量B、平行的向量 C、有一样起点的向量 D、模相等的向量 3、给出以下六个命题： ①两个向量相等，那么它们的起点一样，终点一样；②假设|||| =， a b 那么a b=； ③假设AB DC =，那么四边形ABCD是平行四边形； ④平行四边形ABCD中，一定有AB DC =； ⑤假设m n=，n k=，那么m k=；⑥a b，b c，那么a c. 其中不正确的命题的个数为〔B〕 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 4、以下命中，正确的选项是〔 C 〕 A、|a|＝|b|⇒a＝b B、|a|＞|b|⇒a＞b C、a＝b⇒a∥b D、｜a｜＝0⇒a＝0 6．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，
假设AB →＝a ，AC →＝b ，那么MN →＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，那么 〔 A 〕 A ．a 与b 方向一样 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC →， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA →共线的向量有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 〔 C 〕 9、点C 在线段AB 的延长线上，且λ λ则,,2CA BC AB BC ==等于( D ) A ．3 B ．31 C ．3- D ．31 - 10.设a 、b 是不共线的两个非零向量, (1)假设2,3,OA a b OB a b OC =-=+=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线; (2)假设8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值. 正负4 导学稿 平面向量的坐标运算 教学目标：理解平面向量的坐标概念；掌握平面向量的与、差与积的坐标运算。 教学重难点：平面向量的坐标运算；定比分点坐标公式。
向量的数量积经典例题(含详细答案)
向量的数量积经典例题（含详细答案） 1．已知3,4a b ==，,a b 的夹角为120. 求（1）a b ，()()22a b a b +⋅-；（2）23a b + 2．已知向量a 、b 的夹角为2,||1,||23a b π==. 。 （1）求a ·b 的值 （2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值. 3．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-= （1）若a b ⊥，求2a b +； （2）若0m =，求a b +与a b -夹角的余弦值. , 4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=， （1）求()a b c ⋅+； （2）若()a b c λ+∥，求实数λ的值.
5．已知||2a =，||3b =，且(23)()2a b a b -+=. : （1）求a b ⋅的值； （2）求a 与b 所成角的大小. 6．已知()1,2a =，()3,4b =- （1）若ka b +与2a b -共线，求k ； （2）若ka b +与2a b -垂直，求k . ￥ 7．已知2,3a b ==,a 与b 的夹角为60︒,53c a b =+,3d a kb =+, (1)当c d 时，求实数k 的值； (2)当c d ⊥时，求实数k 的值.
参考答案 1．（1）6-，32-； （2）． 【解析】 【分析】 （1）根据向量数量积的定义进行求解； （2）根据()22323a b a b +=+先求数量积，再求模长． 【详解】 解：（1）∵3,4a b ==，,a b 的夹角为120， ∴cos120a b a b ︒=1 34()2 =⨯⨯-=6-， ()()22a b a b +⋅-=22223a b a b -+292163(6)=⨯-⨯+⨯-=32-； （2）23a b +=== 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的定义及平面向量的模长，考查计算能力，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用()()20t b a b a +=-可求实数t 的值． 【详解】 （1）21cos 12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a b a +=-， 整理得到：()22220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯- -= ⎪⎝⎭， 解得2t =． 【点睛】 本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
知识点一平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 知识点三平面向量夹角的坐标表示 cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×) 2．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×) 提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角． 3．两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(×) 题型一数量积的坐标运算 例1(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于() A．10 B．－10 C．3 D．－3 考点平面向量数量积的坐标表示与应用 题点坐标形式下的数量积运算 答案 B
解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________． 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 32 9 解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系． ∵AB ＝2，BC ＝2， ∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，
平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
平面向量的数量积及向量的应用习题及详解 （理）（2010 •四川广元市质检）已知向量a= （2,1）,b= ( —1, 2)，且m= ta+ b, n= a —kb(t、k€ R)，则 、选择题 1.（文）（2010 •东北师大附中）已知|a| = 6,b|= 3,a・b=—12,则向量a在向量b方向上的投影是（ A. —4 B. 4 ［答案］A a - b —12 ［解析］a在b方向上的投影为仃厂=—厂=—4. 1 b| 3 （理）（2010 •浙江绍兴调研）设a • b= 4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1, 与b的夹角等于（ ）2n 或"a ［答案］B ［解析］由条件知, …=2心=1 a・b= 4 | b| , |a| , , |b| = 2, ••• cos 〈a,b>= a• b=丄=1 |a| •I b| 4x2 2' 2 .（文）（2010 •云南省统考）设e1, e2是相互垂直的单位向量，并且向量a= 3&+ 2e2, b = xe1 + 3e2, 如果 a L b,那么实数x等于（ ）9 A.— 2 D. 2 ［答案］C ［解析］由条件知| = | e2| = 1, e1 • e2= 0, •- a • b= 3x + 6= 0,二x=— 2. m L n的充要条件是（ ）A. t + k = 1.t • k= 1 ［答案］D ［解析］ m= ta+ b= (2 t —1, t + 2) , n= a—kb= (2 + k, 1 —2k), •/ rnL n,「. m- n= (2t —1)(2 + k) + (t + 2)(1 —2k) = 5t —5k= 0,「. t —k= 0. 3.(文)(2010 •湖南理)在Rt△ ABC中，/ C= 90,AC= 4,^UAC等于( ) A. —16D . 16 ［答案］D ［解析］因为/ C= 90°,所以A C- CB= 0，所以AB- A C=(心C B • AC= | AC|2+ A C- CB= AC= 16.
平面向量的数量积及应用(含答案)
平面向量的数量积及应用 ［基础知识］ 1向量数量积的定义： (1) 两个向量的夹角：已知两个非零向量a、b,作OA = a、OB = b,则—称作向量a和向量b的夹角，记 作〈a，b>，并规定其范围是当〈a，b>= _________ 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作________ . ⑵数量积的几何意义：数量积 a b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos B的乘积. (3)向量数量积的定义：__________________ . 2 ⑷向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则 a e= e a= __________ :②a丄b? ______ :③a a = |a| 或|a|= ____ :④ cos