2019年山东省高考数学模拟试卷

2019年山东省高考数学模拟试卷

题号一

二

三

总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.

命题“?x ＞1，x 2-x ＞0”的否定是（ ）

A. ，

B. ，?x 0≤1x 2

0?x 0>0

?x 0>1x 2

0?x 0≤0

C. ，

D. ，?x >1x 2

?x ≤0

?x ≤1x 2

?x >0

2.

椭圆点=1

的离心率为（ ）

x 2

6

+

y 2

8A.

B.

C. D. 12

14

13

3

3

3.

若函数f （x ）=x 2-，则

f ′（1）=（ ）

1

x A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.已知双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线互相垂直，焦距为

8，则C 的方程为（ ）

x 2

a 2

?

y 2

b 2A.

B.

C.

D.

x 27?y 29

=1

x 24?y 2

4

=1

x 216?y 2

16

=1

x 28?y 2

8

=1

5.

已知向量，平面α的一个法向量，若AB ⊥α，则（ ）

?AB

=(2，4，x)

?n

=(1，y ，3)

A. ，

B. ，

C.

D. x =6y =2

x =2y =63x +4y +2=04x +3y +2=0

6.

已知函数

的图象在点（1，f （1））处的切线与直线x -ey +2=0平行，则a =（ ）

f(x)=

x +a e x

A. 1

B. C. e

D. ?e

?1

7.

在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若=，=，=，则=（ ）?AB ?

a ?AC ?

b ?AA 1?

c ?

C 1B A. B. C.

D.

?a +?b ??

c

?a ??b ??

c

??a

+?b ??

c

??a ??b

+?

c

8.已知函数f （x ）=x +cos （+x ），x ∈[，]，则

f （x ）的极大值点为（ ）

12π2?

π2π

2A.

B.

C.

D.

?π

6

?π

3

π6

π3

9.

已知函数f （x ）=m ln （x +1）+x 2-mx 在（1，+∞）上不单调，则m 的取值范围是（ ）

A. B. C. D. (4,+∞)(?∞,4](?∞,0)(0,+∞)

10.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=1，公差为d ，则“-1＜d ＜0”是“S 22+S 52＜26”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

11.已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为

2，F 1，F 2分别是双曲线的左右焦点，点M （-a ，0），x 2

a

2

?y 2

b 2N （0，b ），点P 为线段MN

上的动点，当?取得最小值和最大值时，△PF

1F 2的面积分别为

?

PF 1?

PF 2S 1，S 2，则=（ ）

S 2

S 1A. 4 B. 8

C. D. 2343

12.已知函数f （x ）=x 2+2a ln x +3，若?x 1，x 2∈[4，+∞）（x 1≠x 2），?a ∈[2，3]，

＜2m ，则m 的取值

f(x 2)?f(x 1)x 1?x 2

范围是（ ）

A. B.

C.

D.

[?2,+∞)[?5

2,+∞)

(?9

2,+∞)

[?19

4,+∞)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的最小值为______．

f(x)=1

2x 2+x?2lnx

14.直线l 的一个方向向量为，直线n 的一个方向向量为，则l 与n

?a

=(?2，?3，23)

?b =(?1，2，?3)

的夹角为______．

15.过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若|NF |=10，则MF |=______．16.已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直．若点C 到平面AB 1D 1的距

离为

B 1D 与平面AB 1D 1所成角的余弦值为______．

410

5

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，AB =2，AA 1=4．

（1）若=x +y +z ，求

x +y +z ；

?

DE ?

DA ?

DC ?

DD 1（2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，写出A 1，C ，D 1，E 的坐标，并求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值．

18.已知动圆C 过定点F （2，0），且与直线x =-2相切，圆心C 的轨迹为E ，

（1）求E 的轨迹方程；

（2）若直线l 交E 与P ，Q 两点，且线段PQ 的中心点坐标（1，1），求|PQ |．

19.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AC =AB =4，AA 1=8，点E ，F 分别

为CA 1，AB 的中点．

（1）求异面直线EF 与A 1B 所成角的正弦值；（2）求二面角A -B 1F -E 的余弦值．

20.设函数f （x ）=e 2x -a （x +1）．

（1）讨论f （x ）的单调性；

（2）若f （x ）＞0对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．

21.已知椭圆C ：的离心率为，且经过点．

x 2

a

2

+y 2b

2

=1(a ＞b ＞0)

2

2Q(2，2)（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线l ：y =kx +m （k ＞0，m 2≠4）与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |=4，试用m 表示k ．

22.已知函数

f （x ）=x lnx+ax 3-ax 2，a ∈R ．

1

2（1）当a =0时，求f （x ）的单调区间；（2）若函数

g （x ）=存在两个极值点x 1，x 2，求

g （x 1）+g （x 2）的取值范围．

f(x)

x

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x＞1，x2-x＞0”的否定是：?x0＞1，x02-x0≤0．故选：B．

利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．

2.【答案】A

【解析】

解：椭圆点=1，可得a=，b=，c=，

可得e===．

故选：A．

求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

3.【答案】C

【解析】

解：∵f（x）=x2-，∴f′（x）=2x+，

则f′（1）=2+1=3．

故选：C．

求出原函数的导函数，取x=1得答案．

本题考查导数的计算，关键是熟记初等函数的求导公式，是基础题．

4.【答案】D

【解析】

解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则a=b，

由2c=8，可得c=4

由a2+b2=c2=16，可得a2=b2=8，

故选：D．

根据双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则a=b，再根据c=4，即可求出a2=b2=8．

本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．

5.【答案】A

【解析】

解：因为⊥α，所以，

由，

解得x=6，y=2．

故选：A．

根据空间向量的共线定理列方程组求出x、y的值．

本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．

6.【答案】D

【解析】

解：函数，可得，

函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-ey+2=0平行，

，

所以a=-1．

故选：D．

求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求解a即可．

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．

7.【答案】B

【解析】

解：=-=-=--．

故选：B．

利用=-=-即可得出．

本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8.【答案】B

【解析】

解：f（x）=x+cos（+x）=x-sinx，

则f′（x）=-cosx，

令f′（x）＞0，解得：-＜x＜-或＜x＜，

令f′（x）＜0，解得：-＜x＜，

故f（x）在[-，-）递增，在（-，）递减，在（，]递增，

故f（x）的极大值点是-，

故选：B．

求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可．

本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是一道常规题．

9.【答案】A

【解析】

解：函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=+2x-m=，

若f（x）在（1，+∞）上不单调，

即当x＞1时f′（x）=0有解，即2x2+（2-m）x=0，则x＞1时，有解，

由2x2+（2-m）x=0得2x+（2-m）=0，即x=，

则＞1即可，得m＞4，

即实数m的取值范围是（4，+∞），

故选：A．

求函数的导数，结合函数在（1，+∞）上不单调，得当x＞1时f′（x）=0有解，结合一元二次方程进行求解即可．

本题主要考查函数导数的应用，结合函数单调性与导数之间的关系转化为f′（x）=0，有解是解决本题的关键．

10.【答案】B

【解析】

解：∵S22+S52＜26，

∴（2+d）2+25（1+2d）2＜26，

∴（101d+3）（d+1）＜0，

∴-1＜d＜-，

∵-1＜d＜0推不出-1＜d＜-，

-1＜d＜-?-1＜d＜0，

∴“-1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的必要不充分条件．

故选：B．

解出关于d的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．

本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了等差数列的前n项公式，是一道基础题．

11.【答案】A

【解析】

解：?取==PO2-c2．

∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴1+=4，即b=a．

当PO⊥MN时，PO最小，当P与N重合时PO最大．

当PO⊥MN时，由，可得，

则=，

故选：A．

由?==PO2-c2．可得当PO⊥MN时，PO最小，当P与N重合时PO最大．求得面积S1，S2，即可．

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．

12.【答案】D

【解析】

解：设x1＞x2，由＜2m，得f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，

记g（x）=f（x）+2mx，则g（x）在[0，+∞）上单调递增，

故g'（x）≥0在[4，+∞）上恒成立，

即在[4，+∞）上恒成立，整理得在[4，+∞）上恒成立，

∵a∈[2，3]，∴函数在[4，+∞）上单调递增，故有，

∵?a∈[2，3]，∴，即．

故选：D．

设x1＞x2，把＜2m转化为f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，记g（x）=f（x）+2mx，则g（x）在[0，+∞）上单调递增，故g'（x）≥0在[4，+∞）上恒成立，转化为在[4，+∞）上恒成立，

求出函数在[4，+∞）上的最大值即可求得m的范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．

13.【答案】3 2

【解析】

解：因为，

易知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以．

故答案为：．

求出函数的导数，利用函数的单调性转化求解函数的最小值．

本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．

14.【答案】π4

【解析】

解：∵直线l的一个方向向量为，

直线n的一个方向向量为，

，

∴l与n的夹角为．

故答案为：．

利用空间向量夹角公式直接求解．

本题考查两直线的夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15.【答案】25 3

【解析】

解：设M（x0，y0），F（3，0）．

∵|NF|=10，∴=102，=12x0，

解得x0=，

则MF|=+3=．

故答案为：．

设M（x0，y0），F（3，0）．由|NF|=10，可得=102，又=12x0，联立解出即可得出．

本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16.【答案】310 10

【解析】

解：设AA1=t，以D为原点，DA，DC，DD1所在直

线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B1（2，2，t），D1（0，0，t），

D（0，0，0），C（0，2，0），

=（0，2，t），=（-2，0，t），

=（2，2，t），=（-2，2，0），

设平面AB1D1的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，

得=（1，-1，），

∵点C到平面AB1D1的距离为，

∴d===，

由t＞0，解得t=2，

∴平面AB1D1的法向量=（1，-1，），=（2，2，2），设直线B1D与平面AB1D1所成角为θ，

则sinθ===，

∴

cosθ==．

∴直线B 1D 与平面AB 1D 1所成角的余弦值为．

故答案为：

．

设AA 1=t ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出

t=2

，从而求出平面AB 1D 1的法向量，利用向量法能求出直线B 1D 与平面AB 1D 1

所成角的余弦值．

本题考查线面线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系得：D 1（0，0，4），D （0，0，0），E （2，2，2），A （2，0，0），C （0，2，0），

则=（2，2，2），=（2，0，0），=（0，2，0），=（0，0，4），?

DE ?

DA ?

DC ?

DD 1又=x +y +z ，?

DE ?

DA ?

DC ?

DD 1所以，即，{

2x =22y =2

4z =2{x =1

y =1

z =12故

x +y +z =5

2

（2）由图可得：A 1（2，0，4），C （0，2，0），D 1（0，0，4），E （2，2，2），所以=（2，2，2），=（0，-2，4），?

DE ?

CD 1设，的夹角为

θ，

?

DE ?

CD 1则cosθ==?DE ??

CD 1

|?DE

||?CD 1

|

15

15则异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值为，

15

15故答案为：．15

15

【解析】

（

1）由空间直角坐标系、空间点的坐标得：=x +y +z ，所以，即，

故

x+y+z=

（2）利用向量的数量积求异面直线所成的角得：设，的夹角为θ，则

cosθ==

，则异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值为，得解．

本题考查了空间直角坐标系、空间点的坐标及利用向量的数量积求异面直线所成的角，属中档题．

18.【答案】解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x =-2的距离，

所以点C 的轨迹是以F 为焦点x =-2为基准线的抛物线，所以所求E 的轨迹方程为y 2=8x ．

（2）由题意已知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的斜率为k ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），

则有，两式作差得y 12-y 22=8（x 1-x 2）即得

，y 21=8x 1，y 22=8x 2k =8

y 1+y

2因为线段PQ 的中点的坐标为（1，1），所以k =4，则直线l 的方程为y -1=4（x -1），即y =4x -3，与y 2=8x 联立得16x 2-32x +9=0，得，

x 1+x 2=2，x 1x 2=9

16

．

|PQ|=1+k 2?(x 1+x 2)2?4x 1x 2=17×4?4×9

16=1192

【解析】

（1）利用动圆C 过定点F （2，0），且与直线l 1：x=-2相切，所以点C 的轨迹是以F 为焦点x=-2为基准线的抛物线，即可求动点C 的轨迹方程；

（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|．

本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19.【答案】解：（1）∵在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，

AC ⊥AB ，

AC =AB =4，AA 1=8，点E ，F 分别为CA 1，AB 的中点．∴以A 1为原点，A 1C 1，A 1B 1，A 1A 所成直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，

则E （2，0，4），F （0，2，8），A 1（0，0，0），B （0，4，8），

=（-2，2，4），=（0，4，8），

?

EF ?

A 1

B 设异面直线EF 与A 1B 所成角为

θ，

则cosθ==

，

|?EF ??A 1B

|

|?EF

|?|?A 1B

|

40

24?805

6

sinθ=

=，

1?(5

6)2

6

∴异面直线EF 与A 1B 所成角的正弦值为．6

6（2）A （0，0，8），B 1（0，4，0），=（0，-2，8），=（0，-4，8），=（2，-4，4），

?B 1F ?B 1A ?

B 1E 设平面AB 1F 的法向量=（1，0，0），?

n 设平面B 1EF

的法向量=（x ，y ，z ），

?

m 则，取z =1，得=（4，-2，1），{

?m ??B 1F

=?2x +8z =0

?m ??B 1E

=2x?4y +4z =0

?

m 设二面角A -B 1F -E 的平面角为θ，

则cosθ===．

|?m ??n

|

|?m

|?|?n

|

421421

21∴二面角A -B 1F -E 的余弦值为．

42121

【解析】

（1）以A 1为原点，A 1C 1，A 1B 1，A 1A 所成直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF 与A 1B 所成角的正弦值．

（2）求出平面AB 1F 的法向量和平面B 1EF 的法向量，利用向量法能求出二面角A-B 1F-E 的余弦值．

本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由函数的解析式可得：f ′（x ）=2e 2x -a ，

当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增，当a ＞0时，由f ’（x ）=0可得，x =1

2ln a

2

则

单调递减，

x ∈(?∞，1

2ln(a

2))，f ′(x)＜0，f(x)

单调递增．

x ∈(1

2ln(a

2)，+∞)，f ′(x)＞0，f(x)

（2）由题意可得：e 2x -a （x +1）＞0，e 2x ＞a （x +1）恒成立，

很明显a ＜0不合题意，当a ≥0时，原问题等价于指数函数y =（e 2）x 的图象恒在y =a （x +1）的上方，直线y =a （x +1）恒过定点（-1，0），考查函数y =（e 2）x 过（ -1，0）的切线方程：易知切点坐标为，切线斜率为，

(x 0，e 2x 0

)k =2e

2x 0

故切线方程为：，

y?e

2x 0

=2e

2x 0

(x?x 0)

切线过（-1，0），故，解得：

，

0?e

2x 0

=2e

2x 0

(?1?x 0)x 0=?1

2，k =2e

2x 0

=2?e ?1=2

e

综上可得，实数a 的取值范围是．

[0，2

e )

【解析】

（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

（2）将原问题转化为函数过一点的切线问题，利用导函数研究切线的性质即可确定实数a 的取值范围．

本题主要考查导函数研究函数的切线方程，导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．

21.【答案】解：（1）由题意有，

{

c a

=

22

4a 2

+2b 2

=1

a 2=

b 2+

c 2

解得{

a 2=8

b 2

=4.故椭圆C

的方程为．

x 2

8

+

y 24

=1

（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

由

，得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2-8=0，

{

y =kx +m

x 28

+

y 24

=1

所以

，

．

x 1+x 2=?4km 2k 2+1x 1x 2=

2m 2?82k 2+1因为|AB |=4|，所以，

1+k 2|x 1?x 2|=1+k 2(x 1+x 2)2?4x 1x 2=4所以

，

1+k

2

16k 2m 2(2k 2+1)2

?4×

2m 2?82k 2+1

=4

整理得k 2（4-m 2）=m 2-2，显然m 2≠4，所以．

k 2=

m 2?24?m 2

≥0

又k ＞0，故．

k =

m 2?24?m

2

(2≤m 2＜4)

【解析】

（1）由题意可得，解得a ，b 即可．

（2）利用直线与椭圆方程，利用弦长公式，韦达定理，求得

，整理得，

即可求解．

本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．

22.【答案】解：（1）当a =0时，f （x ）=x lnx ，

f ′（x ）=ln x +1，令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜，

1

e 令

f ′（x ）＞0，解得：x ＞，

1

e 故函数

f （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增；

1e 1

e （2）g （x ）==ln x +ax 2-ax （x ＞0），f(x)x 1

2g ′（x ）=，

ax 2?ax +1

x 由题意知：x 1，x 2是方程g ′（x ）=0的两个不相等的正实根，即x 1，x 2是方程ax 2-ax +1=0的两个不相等的正实根，

故

，解得：a ＞4，

{

△=a 2?4a ＞0

x 1+x 2?1＞0x 1x 2=1

a ＞0

∵t （a ）=g （x 1）+g （x 2）

=a -ax 1+ln x 1+a -ax 2+ln x 212x 2112x 22=a [-2x 1x 2]-a （x 1+x 2）+ln （x 1x 2

）

1

2(x 1

+x 2)2=-a -ln a -1

是关于a 的减函数，

1

2故t （a ）＜t （4）=-3-ln4，

故g （x 1）+g （x 2）的范围是（-∞，-3-ln4）．【解析】

（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出a 的范围，得到t （a ）=g （x 1）+g （x 2）的解析式，结合函数的单调性求出其范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．