实变函数试题库参考答案 (2)
《实变函数》试题题库参考答案
一、选择题
1、D
2、C
3、D
4、D
5、A
6、B
7、C
8、A
9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A
二、填空题
1、n 2 ；
2、c ；
3、c ；
4、c ；
5、c ；
6、c ；
7、{x:对于任意的I ∈α,
有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I
∈?；10、ααA C s I ∈?；11、
n k
n k A ∞
=∞=??1；12、n k
n k A ∞=∞=??1；13、2
1
1
)(∑=n
k k x ；14、|})()({|sup ]
,[t y t x b a x -∈；15、2
11
2
})({∑∞
=-k k k y x ；16、
2
12
22211})(){(y x y x -+-；17、2
12
33222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、
2
1
244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；
20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、
}1:),{(22≤+y x y x ；
23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d B
y A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d A
y A x ∈∈；30、1；31、∑∞
=1
||inf
i i I ；
32、n n mS ∞
→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>?σ有 ∞
=<1
i i I E ；35、C B D A ???；
36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞
=1i i G （i G 开）；
45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞
=1
n n F ，（n F 闭
集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞
→lim ；52、零测集； 53、
可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0
三、判断题 1、( √ )
理由: 集合具有无序性 2、( × )
理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）
理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）
理由:符号?表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )
理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ
6、( × )
理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是0
7、( √ )
理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点
8、( × )
理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分
9、( √ )
理由: 有内点的定义可得.
10、( √ )
理由: 有内点的定义可得.
11、( × )
理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.
12、( × )
理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E
13、（×）
理由: 因有若]1,0[
]1,0
)
([-可测
?
E，E不可测，而E
E
14、（√）
理由: 因)
e
a
g
g
f
=
>
=
≠
E>
f
(
)
(
E
(
)(
)
g
g
(a
g
a
f
f
>
E
=
=
≠
E>
(
(
(
))(
)
f
))
g
)(
g
((a
两可测集的并可测。
15、（×）
理由: 因 C ==]2,0[]1,0[，但2]2,0[,1]1,0[==m m 16、（√）
理由: 因 ∞
=>=∞=1)()(n n f E f E 分
17、（×）
理由: 反例：]1,0(=E ，????
?
=-∈-∈=n n
n n n n j i j
j x j
j x x f 2,,2,1]2,21(,0]2,21(,1)()
( 把}{)(n j f 是按n 后按j 的顺序形成的函数列
18、（×）
理由: 因2S 的测度可能无限
19、（√）
理由: 因若1E （可测）E ?，则11)()(E a f E a f E >=>
20、（×）
理由: 反例：自然数集外测度为零。
21、（×）
理由: 若1E 是E 的不可测集就不行。
22、（×）
理由: 反例：),0(),,1(+∞=+∞=B A ，1)(=-A B m
23、（√）
理由: 因R c ∈?，存在单调下降趋于c 的有理数列}{n r ， 则有 ∞
=>=>1)()(n n r f E c f E ，故可测。
24、（√）
理由: 因mE E A m mE E A E m A E m =-+=-=)())(()(
四、简答题
1、答: 令f(2n) = 2n f(2n －1)＝－2（n －１） 其中n=1, 2, 下面验证f 是{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射. （1） 设m ∈{自然数全体}, n ∈{自然数全体}且f(m) =f(n)
若f(m) =f(n)>0, 则m 、n 为偶数，f(m) =f(n)=m=n 若f(m) =f(n)≤ 0, 则m 、n 为奇数，f(m) =f(n)=1－m=1－n 即 m=n, 故而f 是单射。 （2） 对于任意的m ∈{偶数全体}
若m=0, 则有f(1)=0 ; 若m>0, 则有f(m)=m; 若m<0, 则有f(1－m)=m 故而f 是满射。
有（1）（2）得f 是一一映射。
2、答：令f(x)=tg(π(x －
2
1
))， 下证f(x)是(0, 1)到R 的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单增连续函数，且 f((0, 1)) =R 所以f(x)是(0, 1)到R 的一一映射.
3、答：令f(x)=tg(
2
π
(１－x))，
下证f(x)是(0, 1)到[0, ∞]的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单减连续函数，且f((0, 1)) = [0, ∞]所以f(x)是(0, 1)到[0, ∞]的一一映射.
4、答：令f(3n)= n n = 1, 2, …
下证f 是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射 (1) 对于任意的 3m, 3n ∈{能被3整数整除的正整数} 若f(3m)=f(3n) 则有 m=n, 所以f 是单射
(2) 对于任意的n ∈{正整数全体}
显然有3n ∈{能被3整数整除的正整数} 且 f(3n)=n 即f 是满射
由（1）（2）得f 是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.
5、答: 令f(x)= 2x 当x ∈(0,
21) ; f(x)=2x+1 当x ∈(2
1
, 1). 由 f(x) 的单调性, 易知f(x)是(0,1) 到(0, 1)?(2, 3) 的一一映射. 6、答: 令f(x)=x+1,
显然，f(x)是{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射. 7、答：因对n ?=,1σ。有),[)1(
)1|(|+∞=≥=≥-n n
x
E f f E n 这样)(0)1|(|∞→→/∞=≥-n f f mE n ，故f f n ?
/。 8、答： ,2,1=i S i
，可测j i S S j i ≠Φ=,
∑∞
=∞
==1
1
)(i i i i mS S m
9、答：因1°0=c 分
2°0>c 时 )()(c
a
f E a cf E >
=> 3°0 a f E a cf E <=> 故cf 在E 上可测。 10、答：设E 是L 可测的，F 是σF 集，则存在零测集N ，使 E = F + N 11、答：因 ?? ? ??≥Φ<≤<=>1,10,]1,0[0], 1,0[))(](1,0[c c Q c o x D 而[0, 1]，Q ]1,0[，Φ均可测，故)(x D 可测。 12、答：有限集，可列集，康脱尔集。分 五、计算题 1、解：因为有理数集的测度为0， 故在]1,0[上几乎处处有x x f =)( 这样利用积分的性质得： ? ] 1,0[)(dx x f ?=] 1,0[xdx =21102211 |==?x xdx 。 2、解：因为有理数集的测度为0， 故在]1,0[上几乎处处有x e x f =)( 这样利用积分的性质得： ? ] 1,0[)(dx x f ?=] 1,0[dx e x =1|101 -==?e e dx e x x 。 3、解：因为有理数集的测度为0， 故在]1,0[上几乎处处有 x x f sin )(= 。 这样利用积分的性质得： ? ] 1,0[)(dx x f ?=] 1,0[sin xdx =1cos 1|cos sin 101 -=-=?x xdx 。 4、解：因为00=mP ， 故在]1,0[上几乎处处有x x f =)( 这样利用积分的性质得： ? ] 1,0[)(dx x f ?=]1,0[xdx =211 02211 |==?x xdx 。 5、解：因为00=mP ， 故在]1,0[上几乎处处有x e x f =)( 这样利用积分的性质得： ? ] 1,0[)(dx x f ?=] 1,0[dx e x =1|101 -==?e e dx e x x 。 6、解：因为00=mP ，故在]1,0[上几乎处处有x x f sin )(= 。 这样利用积分的性质得： ? ] 1,0[)(dx x f ?=] 1,0[sin xdx =1cos 1|cos sin 101 -=-=?x xdx 。 7、解：令nx x f x n nx n 51sin )(22+=，则0)(lim =+∞ →x f n n 。 而21212 2)(=≤ ≤ +nx nx x n nx n x f 。 故由Lebesgue 控制收敛定理得： 0sin )(lim 1 05122=? +∞ →nxdx R x n nx n 。 8、解：令nx x f x n nx n sin )(2 22 /11+=，则0)(lim =+∞ →x f n n 。 而x nx nx x n nx n x f 21212/12 22 /1)(= ≤ ≤ +，且函数x 21在]1,0[上L 可积。 故由Lebesgue 控制收敛定理得： 0sin )(lim 1 012 22 /1=? +∞ →nxdx R x n nx n 。 9、解：令nx x f x n nx n 21cos )(22+=，则0)(lim =+∞ →x f n n 。 而2 1212 2)(=≤ ≤ +nx nx x n nx n x f 。 故由Lebesgue 控制收敛定理得： 0cos )(lim 1 02122=? +∞ →nxdx R x n nx n 。 10、解：令nx x f x n nx n cos )(2 23 /21+=，则0)(lim =+∞ →x f n n 。 而3/1213/22 23/2)(-+=≤ ≤ x x f nx nx x n nx n ，且函数3/1-x 在]1,0[上L 可积。 故由Lebesgue 控制收敛定理得： 0cos )(lim 1 012 23 /2=? +∞ →nxdx R x n nx n 。 11、解：令)cos (sin )(21242 nx nx x f x n x n n +=+，则0)(lim =+∞ →x f n n 。 而2121222 42)(=≤ ≤ +x n x n x n x n n x f 。 故由Lebesgue 控制收敛定理得： 0)cos (sin )(lim 1 0212 42=+? +∞ →dx nx nx R x n x n n 。 12、解：令2 42 /331)(x n x n n x f +=，则0)(lim =+∞ →x f n n 。 而2/12 42 /33)(-≤≤ x x f x n x n n 。 故由Lebesgue 控制收敛定理得： 0)(lim 1 012 42 /33=? +∞ →dx R x n x n n 。 六、证明题 1、证明: 设A 为一无穷集合, A 不空, 任意取一元素1x , 因为A 是无穷集 合, 所以}{1x A -不空, 任意取一元素2x , 同理},{21x x A -不空, 任意取一元素 3x ,… ，依次取下去, 得一个集合A x x x n ?},,,{21 。 令f(n x )=n ，显然 f 是},,,{21 n x x x 到N 的一一映射。故而 },,,{21 n x x x 是A 的可数子集. 2、证明:令C=B －A, 则C ?B, 若C 是空集，则B A ?＝A 是可数集. 若C 不是空集，则C 是有限集，设C=},{21n a a a A=},,{21 n x x x ， 显然i m x a ≠ 其中n m ≤≤1，i ≤1。k k a c =当n k ≤≤1时；n k k x c -= 当 k>n 时．则},,{21 k c c c ＝B A ?， 显然B A ?是可数集. 3、证明: 令C=A －B, 则有A C ?, 故C 是可数集或有限集． 若C 是有限集，显然. 若C 是可数集，显然 Φ=?B C ，设},,,{21 n c c c C =， },,{21 n b b b B =。令n n b a =2，n n c a =-12，则 B A C B a a a n ?=?=},,,{21 。而},,,{21 n a a a 显然是可数集。故而B A ?是 可数集. 4、证明：设},,,{3 21 i i i i A = （ ,3,2,1=i ）, 则i A 是可数集，于是知全体正有理数 ∞ =+ =1 i i A Q 成一可数集。 因正负有理数成一一对应，故负有理数-Q 成一可数集。但全体有理数 }0{ -+=Q Q R ，故有理数全体成一可数集。 5、证明：在每个区间中取一有理数与这个区间对应，则不同的区间对应不同的有理数，故A 与有理数的子集对等。 而有理数集是可列的，所以A 是至多可列的。 6、证明：令}:),{(Z x n x A n ∈= 其中Z n ∈，Z 为整数集。显然n A 是可数集, 并且=?+∞ -∞=n n A {Z y Z x y x ∈∈,:),(}。 因为可数个可数集的并是可数集，故{Z y Z x y x ∈∈,:),(}是可数集。 7、证明：必要性，取B A T =，则B CE T A E T == ,，从而 B m A m CE T m E T m T m B A m **)(*)(**)(*+=+== 充分性，T ?，令CE T B E T A ==,，则CE B E A 因此 )(*)(***)(**CE T m E T m B m A m B A m T m +=+== 8、证明：设)(x f 是E 上a , e 有限的可测函数，由鲁金定理得，)(x f 在E 上基本连续，即对0>?ε存在E E ?δ，及连续函数g 满足 （1）εδ<-)(E E m （2）E x x g x f ∈=),()( 于是对δδδE E g f E g f E -<≠<≥->?)()|(|,0，所以 εδδ<-≤≥-)()|(|E E m g f mE 9、证明：因对T ?，有 )(*)(**CE T m E T m T m += )(*))((*CE T m CE C T m += 10、证明：因f f n ?，由Riesz 定理，存在}{n f 的子列}{k n f ，使 )()(lim x f x f k n k =∞ →，E E x ?∈0，且0)(0=-E m m 设k E x ∈时有)()(x g x f k n ≤，且0)(=-k E E m 这样 ∞ =∈1 k k E x 时，有)()(x g x f k n ≤，从而)()(x g x f ≤ 注意∑∞ =∞==-≤-0 0)()(k k k k E E m E E 11、证明：设},,,,{21 n r r r E =，0>?ε 令)2 2 (1 1 +++ -- =i i i i i r r I ε ε 则 i i mI 2 ε = ，且 ∞=?1 i i I E εε ==∑ ∑∞ =∞=1 1 2||i i i i I 由E m *的定义知 ε=≤∑∞ =1 ||*i i I E m 故有0*=E m 12、证明：N k ∈?有k E 使k E E m k 1 )(< -，且在k E 上n f 一致收敛于f 令 ∞ ==1 0k k E E ，则n f 在0E 收敛于f ，且k E E m E E m k k 1 )(()(1 0≤ -=-∞ = 。 从 而 0)(0=-E E m 13、证： )(*21n E E E m ))()((*121 n i i n S E E E m == 21121((*)()((*E E m S E E E m n += ))((*))212n n n S E E E m S E ++ n E m E m E m ***21+++= 14、证明：因 |)()(||)()(||)()(|x g x f x f x f x g x f k k -+-≤- 故N n ∈?， ? ?????≥-??????≥-????? ?? ≥-n g f n f f n g f k k 21||21||1|| 从而 ???? ?????? ??≥-+???? ????????≥-≤???? ????????≥-n g f m n f f m n g f m k k 21||21||1|| 令 ∞→k ，得 01||=??? ? ???????? ≥ -n g f m 注意到 {} ∞ =? ??? ?? ≥ -=≠11||k n g f g f 故 {}()0=≠g f m ， 即)()(x g x f =，a , e 于E ． 15、证明：①若E 有界，则0*0*=≤≤E m E m ， 从而E m E m **=，即E 可测 ②若E 无界，则存在互不相交的有界集列}{n E ，使 ∞ ==1n n E E 。 而每个 E E n ?，且 0*=E m ，所以 0*==n n E m mE ， 因 ∑∞ ===10n n mE mE ，所以E 是可测的。 16、证明：首先 )()(lim x f x f n n =∞ → 因0>?σ， ]) 1(1 ,0[))1(1()|(|+=+≤ =≥-n n x E f f E n σσσ 故 0) 1(1 lim )|(|lim =+=≥-∞ →∞ →n f f mE n n n σσ 所以 f f n ? 17、证明：因A 可测，取B A T =，有 ))((*))((*)(*cA B A m A B A m B A m += )(*cA B m mA += 又因)(*)(**cA B m A B m B m +=（定义3中取T = B 即得） 所以)(*)(*)(*)(*B A m cA B m mA B A m B A m ++=+ B m mA *+= 18、证明：显然 )()(lim x f x f n n =∞ → 0>?σ，Φ=≥=≥-)1( )|(|σσn E f f E n （σ 1 > n 时） 0)|(|=≥-σf f mE n （)1 σ >n 故 0)|(|lim =≥-∞ →σf f mE n n 从而 f f n ? 19、证明：令][n f E E n ≥=，因)(x f 在E 上可积，故)(x f 在E 上也可积，且有 ? ] 1,0[)(dx x f ? =n E dx x f )(? -+n E dx x f ]1,0[)( n E nmE dx x f n ≥≥? )( 所以 ? ≤ ≤n E n n dx x f mE )(01 故 0][lim =≥∞ →n f mE n 。 20、证明：因为)(x f 是E 上的有界函数，故可设K x f ≤)(，E x ∈，其中K 为常数。 则 ?? ≤≤≤ A A KmA dx x f dx x f )()(0 所以 ? =→A mA dx x f 0)(lim 21、证明：用)(x k E ?表示k E 上的特征函数，由假设对于任何]1,0[∈x 至少属于q 个k E ，所以∑=≥n k E q x k 1)(?，因而?∑=≥1 1 ))((n k E q dx x k ?。 而另一方面， ∑?∑?∑=====n k n k k E n k E mE dx x dx x k k 11 1 1 1 )())((?? 故q mE n k k ≥∑=1 ，从而这n 个集中必有一集，它的测度大于或等于n q /。 22、证明：令x x f -=1)(1，322)(x x x f -=，…，1222)(---=n n n x x x f ， …，易见每一个)(x f n 都是)1,0(上的非负可测函数，且x x f n n += ∑+∞ =11 )(1。 从而由L 逐项积分定理得： +-+-===∑??+∞=+41 312111 1 111)(2ln n n x dx x f dx 。 23、证明：由于)()(x f x f n → a.e. 于E ，故|)(||)(|x f x f n → a.e. 于E ，由Fatou 引理得： ?? ? +∞<<≤=+∞→+∞ →E E n n n n E K dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(， 这说明|)(|x f 在E 上可积，所以)(x f 在E 上也可积。 24、证明：由于E 可表示为 ]0[][11=≥=+∞ =f E f E E n n ， 令]/1[n f E E n ≥=，则它是可测集。 又因为 ?=E dx x f )(0?=n E dx x f )(? -+n E E dx x f )(n n E mE dx x f n 1)(≥≥?， 故0=n mE ，从而0]0[=>f mE ，即0)(=x f a.e. 于E 。 第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D) 实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有 习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾. 充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D) 本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞ 实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ） （A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数） 。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63) 《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） 《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例 实变函数与泛函分析试卷A 一、判断题 1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。 2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。 3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。 4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。 5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。 二、填空题 1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。 2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。 3.有限维空间上的任何两个范数都是____。 4.一闭集中所有点都是此集合的聚点，则称此集合为____。 5.在半序集中，如果所有全序集都有上界，则此半序集中有____。 三、选择题 1.直线上的单调函数的不连续点集____。 A.可数 B.至多可数 C.不可数 D.有限 2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。 A.开集 B.闭集 C.有界集 D.无界集 3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。 A.无界 B.开 C.闭 D.有界 4.可分赋范空间的共轭空间必是____。 A.可分的 B.完备的 C.不可分的 D.不完备的 5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。 A.有界的几乎处处连续 B.有界 C.几乎处处连续 D.Lebesgue 可积函数 四、论述题 1.证明：设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集，映射F F T →:满足： ),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈?<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。 2.证明：设集1R E ?有界，0*>E m ，则对于任意小于E m *的正数，恒有E 的子集1 E 使得c E m =1*。 3.设,...,21αα是一列数，∞ 一、 判断题 1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 2.可数集的交集必为可数集。（× ） 3.设 ，则 。（× ） 4.设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。（× ） 5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ） 6.任意多个开集的并集仍为开集。（√ ） 7.任意多个开集的交集仍为开集。（× ） 8.设 ，则 。（× ） 9.设E 为 中的可数集，则 。（√ ） 10.设E 为无限集，且 ，则E 是可数集。（× ） 二、填空题 1.设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=1E 的内部 1E 2.设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '=1E 的内部；1E 3.设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '=1E 的内部 1E 4.设P 是Cantor 集，则P P P P 5. 设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,a b ，且a ， 。 三、证明题 1.证明：()A B A B '''?=?。 证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从而 ()A B A B '''??? 反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有 (,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=???为无限集， 从而(,)B x A δ?为无限集或(,)B x B δ?为无限集至少有一个成立，即x A '∈或 x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''???。综上所述，()A B A B '''?=?。 实变函数练习及答案 一、选择题 1、以下集合，（ ）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（ ） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（ ） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（ ） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ） 1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。 6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e 9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且 11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明 卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限 1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？ 《实变函数》试题库及参考答案（完整版） 选择题 1,下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、全体自然数 B 、0,1 之间的实数全体 C 、[0, 1]上的实函数全体 D 、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{全体小个子} D 、{x ： x>1} 3、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体 胖子} 4、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体小孩子} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体实 数} 6、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体大人} C 、{x ：x>1} D 、{全体整 数} 7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I ∈?= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞) 8、设}1111:{i x i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1] 9、设}110:{i x x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、 (0, +∞) 10、设}1211:{i x i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、 (1, 2) 11、设}2 3:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、 {0} 12、设}11:{i x i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0} 13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1] 14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1] 第2章习题参考答案 A 类 1、（1）()C ；（2）()A ；（ 3）()C ；（4）()B ； （5）()D 。 2、（1）[0,1]，空集，[0,1]；（2）3 {(0,):1}E y y ≤； （3）(1,6)；（4）公共；（5）c E 。 3、证明：（1）必要性 设' 0P E ∈，则0δ?>，邻域0(,)N P E δ中有无穷多个点。现设0(,)P N P δ∈， 则00(,)d P P η δ ≤=<。故 0(,)y N P δη∈-，有 00(,)(,)(,)d y P d y P d P P δηηδ≤+<-+=。 所以 0(,)(,)N P N P δηδ-?，而0(,) N P E δη-有无穷多个E 中的点，自然有异于 0P 的点 10(,)(,)P N P E N P δηδ∈-?。而00(,)({})N P E P δη--是无穷点集，故(,)N P δ中有 无穷多个异于0P 的E 中的点。 充分性 若任意含0P 的邻域(,)N P δ中恒有异于0P 的点1P E ∈，则0δ?>，0(,)N P δ中有异于0 P 的点1P E ∈，记101(,)d P P δ=，显然1δδ<，于是邻域01(,)N P δ中又有异于0P 和1P 的点2P E ∈， 而202 1(,)d P P δδδ=<<，这样下去，可得无穷点集 0{(,),1 ,2,}n n P P E N P n δ∈= 这表明0(,)N P δ中有无穷多个E 中的点，由δ的任意性知，' 0P E ∈。 （2）必要性显然。 充分性 若存在包含0P 的邻域(,)N P E δ?，则00(,(,))(,)N P d P P N P E δδ-??，故0P 为E 的 内点。 4、仿第3题。 5、证明：记B 为E 的孤立点全体，则'E B E -=，所以' ()E E B B E B =-=，而B 至多可数， 则当'E 有限时' E B 是至多可数的，从而E 至多可数，矛盾。 6、证明：因为E 为闭集，则E E '?，而E E E '=?，所以E E =。反之，因为E E E E '==?， 所以，E E '? ，即E 为闭集。 7、证明：对任意{()}x E x f x a ∈=>，有()f x a >，由连续函数的局部保号性，存在(,)B x δ， 使对任意(,)y B x δ∈，有()f y a >，即y E ∈，所以，(,)B x E δ? ，即x 为E 的内点。所以实变函数习题解答(1)
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库(4)及参考答案
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
实变函数第一章答案
实变函数论试题及答案
实变函数习题解答
实变函数测试题1-参考答案
实变函数综合练习题
实变函数试题库及参考答案
实变函数期末考试题库
实变函数复习资料,带答案
实变函数练习题A
实变函数期中试卷及答案
完整word版,实变函数练习及答案
实变函数复习题
实变函数试题库参考答案
第2章 实变函数 答案