幂级数收敛域是(
幂级数
1、幂级数()∑∞=-?+112425n n
n n x 的收敛域是（ C ） （A ）()2,2-（B ）[)3,7--（C ）()3,7--（D ）()1,9-- 因4=R ，于是()452
<+x ，所以3725-<<-?<+x x ，而幂级数()∑∞=-?+112425n n
n n x 在7-=x 、3-=x 处均发散，所以选（C ）。
2、幂级数∑∞
=1ln n n x n n 的收敛域是（ C ）
（A ）()1,1-（B ）(]1,1-（C ）[)1,1-（D ）[]1,1-
因1=R ，所以1 n n n 1ln >，所以级数发散；在1-=x 处，n n u n ln =单调递减且趋近于零，所以级数收敛，故选（C ） 3、已知级数()∑∞ =-13n n n x a 在4=x 处发散，则在0=x 处（ C ） （A ） 绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）无法判断其敛散性 解：由阿贝尔定理得，级数()∑∞ =-13n n n x a 在区间()4,2以外都发散，所以它在0=x 处也发散 4、设级数∑∞=0n n n x a 、∑∞=0n n n x b 的收敛半径都是R ，级数()∑∞ =+0n n n n x b a 的收敛半径为1R ，则（ C ） （A ）R R =1（B ）R R <1（C ）R R ≤1（D ）R R ≥1 5、幂级数()∑∞=?+02425n n n n x 的收敛区间为（ B ） （A ）()2,2-（B ）()3,7--（C ）()2,8--（D ）()1,9-- 解：因()44221 421 lim 1 =+?+∞→n n n n n ，故24==R ，则当252<+<-x ，即37-<<-x 时级数收敛。 6、设，则（） （A ）（B ）（C ）（D ） 7、设，则（） 8、设，则（）（A）（B）（C）（D）9、设，则（）（A）（B）（C）（D）10、设，则（）（A）（B）（C）（D）11、设，则（）（A）（B）（C）（D）12、设，则（）（A）（B）（C）（D）13、设，则（）（A）（B）（C）（D）14、设，则（）（A）（B）（C）（D）15、设，则（）（A）（B）（C）（D）16、设，则（）（A）（B）（C）（D）17、设，则（）（A）（B）（C）（D）18、设，则（）（A）（B）（C）（D）19、设，则（）（A）（B）（C）（D）20、设，则（）（A）（B）（C）（D）21、设，则（）（A）（B）（C）（D）22、设，则（）（A）（B）（C）（D）23、设，则（）（A）（B）（C）（D）24、设，则（）（A）（B）（C）（D）25、设，则（）（A）（B）（C）（D）26、设，则（）（A）（B）（C）（D）27、设，则（）（A）（B）（C）（D）28、设，则（）（A）（B）（C）（D）29、设，则（）（A）（B）（C）（D）30、设，则（） 31、设，则（）（A）（B）（C）（D）32、设，则（）（A）（B）（C）（D）33、设，则（）（A）（B）（C）（D）34、设，则（）（A）（B）（C）（D）35、设，则（）（A）（B）（C）（D）36、设，则（）（A）（B）（C）（D）37、设，则（）（A）（B）（C）（D）38、设，则（）（A）（B）（C）（D）39、设，则（）（A）（B）（C）（D）40、设，则（）（A）（B）（C）（D） 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 幂级数 1、幂级数()∑ ∞ =-?+112425n n n n x 的收敛域是（ C ） （A ）()2,2-（B ）[)3,7--（C ）()3,7--（D ）()1,9-- 因4=R ，于是()452<+x ，所以3725-<<-?<+x x ，而幂级数()∑∞=-?+1 1 2425n n n n x 在7-=x 、 3-=x 处均发散，所以选（C ）。 2、幂级数∑ ∞ =1ln n n x n n 的收敛域是（ C ） （A ）()1,1-（B ）(]1,1-（C ）[)1,1-（D ）[]1,1- 因1=R ，所以1 比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析， 找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一：比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤（或者） （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2：比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ（+λ∞为有限数或）则： （i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同. （ii ）：1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时，由收敛可推出收敛. （iii ）：1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明：若级数1 n n a ∞ =∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ （11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 幂级数 1、幂级数()∑∞=-?+112425n n n n x 的收敛域是（ C ） （A ）()2,2-（B ）[)3,7--（C ）()3,7--（D ）()1,9-- 因4=R ，于是()452 <+x ，所以3725-<<-?<+x x ，而幂级数()∑∞=-?+112425n n n n x 在7-=x 、3-=x 处均发散，所以选（C ）。 2、幂级数∑∞ =1ln n n x n n 的收敛域是（ C ） （A ）()1,1-（B ）(]1,1-（C ）[)1,1-（D ）[]1,1- 因1=R ，所以1 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 十五. 任意项级数收敛性判别法 判断∑a n 收敛性的线索: 1°a n 是否→0; 2°是否绝对收敛; 3°是否条件收敛. 绝对收敛判别方法: 对∑| a n | 用正项级数判别法. 注意∑|a n |发散时一般不能得到 ∑a n 发散, 但|n n a a 1+|或n n a ||≥1时∑| a n |和∑a n 都发散. a n 为连乘积时用检比法,和Raabe 法, a n 为n 次幂时考虑检根法和检比法, a n 单调时考虑积分法. 以上方法困难时考虑比较法(找a n 的阶或比较级数)、级数运算、收敛原理、定义、Cauchy 准则. Leibniz 判别法 若a n ↓0, 则交错级数∑(-1)n +1a n 收敛, 其和s < a 1, 余项| R n | < a n +1. 证 s 2n = (a 1 - a 2 ) + (a 3 - a 4 ) + … + (a 2n -1 - a 2n ), s 2n +1 = a 1 - (a 2 - a 3 ) - … - (a 2n - a 2n +1) = s 2n + a 2n +1, 故s 2n ↑, s 2n +1↓, 且0 < s 2n < s 2n +1< a 1 , lim s 2n 与lim s 2n +1存在, lim (s 2n +1- s 2n ) = 0. 因此?s = lim s n , 且s < a 1. 又, | R n | = | (-1) n (a n +1 - a n +2 + a n +3 - … ) = a n +1 - a n +2 + a n +3 - … < a n +1. Abel 变换 a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n = s 1 b 1 + (s 2 - s 1 ) b 2 + … + (s n - s n -1)b n = s 1 (b 1 - b 2 ) + … + s n -1 (b n -1 - b n ) + s n b n =∑-=+-1 11)(n k k k k b b s + s n b n , 其中s n = a 1 + a 2 +…+ a n . 利用Abel 变换, 把∑a n b n 的收敛问题化为∑s n (b n - b n +1)与{s n b n }的收敛问题. Di 法 {s n }有界, b n ↓0 (或↑0)?∑a n b n 收敛. (对积分:?t a f 有界,g ↓0??b a fg 收敛.) A 法 ∑a n 收敛, {b n }单调有界?∑a n a n 收敛. (积分:?b a f 收敛, g 单调有界??b a fg 收 敛.) 证 D 法: 设 | s n |≤M , 则s n b n ↓0,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M ∑=n k 1(b k - b k +1) = M (b 1 - b n )≤ Mb 1, 故∑s n (b n - b n +1)绝对收敛. A 法: 设s n →s , | s n |≤M , b n ↓b , 则s n b n →sb ,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M (b 1 - b n )≤M (b 1 - b ). 注1. 用这三个判别法(L 法是D 法的特例)不能判断发散性. 当然, 如果已经用前面的方法得到∑| a n |发散, 用这三个方法就能判断∑a n 的条件收敛性, 但不能由此而误认为它们是条件收敛判别法 注2. 用D 法证A 法: ∑a n 收敛?{s n }有界; {b n }减、有界??b 使b n ↓b ? b n - b ↓0. 由D 法, ∑a n (b n -b )收敛, 而∑ba n 收敛, 故∑a n b n 收敛. 类似地可证上册p.276.10. *级数与广义积分 给定∑a n , 定义阶梯函数f :[1,∞)为f (x ) = a n (n ≤x 级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。 一、通过部分和来判断级数的敛散性 通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。 一、交错级数的敛散性判别法 对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。 从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断; 如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。 正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。 一、正项级数的比较判别法 正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下： 从上面的典型题型分析看到，有些级数虽然不是正项级数，但却可以借助正项级数的敛散性判别法来分析或证明其是否收敛，如上面例2的情况;在具体正项级数中，p级数是一个十分有用的比较工具，我们常用它与需要判断敛散性的级数进行比较;对于需要判断是否绝对收敛的级数，也需要利用正项级数的判别法，如比较判别法。以上分析希望对大家有所帮助，最后预祝各位考研取得成功，金榜题名! 1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容 点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求 使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函 数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 三、教学重点难点 函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P68 1（5）（7） 2 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验 证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5） 有, , . （注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质 是否必遗传给极限函数 能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研 究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质 能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收 敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设 令 ， 推论1 在D上 , ，. D , 使 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4 万方数据 万方数据 级数收敛的判别方法 作者：李春江 作者单位：河北大学 刊名： 中小企业管理与科技 英文刊名：MANAGEMENT & TECHNOLOGY OF SME 年，卷(期)：2010，""(10) 被引用次数：0次 参考文献(7条) 1.华东师范大学数学系数学分析 1991 2.陈传璋数学分析 1983 3.邓东皋.尹小玲数学分析简明教程下册 1999 4.杨钟玄双比值判别法与对数判别法的比较 2004(1) 5.宿小迪正项级数收敛性判别法研究 1999(2) 6.任建娅判断正项级数敛散性的一个方法 1994(1) 7.杨丽有关级数敛散性的几个问题 2003(2) 相似文献(10条) 1.期刊论文尤秀英双侧二重随机Dirichlet级数的相关收敛公式-广东工业大学学报2002,19(3) 在双侧二重Dirichlet级数的相关一致有界收敛定理及Valiron公式基础上,通过引进一个随机变量序列,在概率空间(Ω,A,P)上定义了下侧二重随机Dirichlet级数,建立了该级数的收敛性理论,并建立了双侧随机Dirichlet级数相关收敛横坐标的Valiron推广公式. 2.期刊论文唐荣荣渐近级数与收敛级数的比较-大学数学2009,25(3) 函数的渐近级数展开式与收敛级数展开式是解决非线性问题的有力工具.本文剖析了这两类展开式的特性、分析了它们的区别等,在此基础上对如何准确有效地使用这两类展开式进行了探讨. 3.学位论文杨云燕最强Orlicz-Pettis拓扑及最一般的Orlicz-Pettis型定理2005 本文主要在一个具有普遍意义的对偶系统(E，F)中研究了Orlicz-Pettis定理和Orlicz-Pettis拓扑，得到了最强的Orlicz-Pettis拓扑和一个最一般的Orlicz-Pettis型定理.这个结论的产生具有非常重大的理论与实际意义：首先，它是几十年来Orlicz-Pettis型定理的一个终极性结果，我们不但得到了最强的Orlicz-Pettis拓扑OP(E，F)，而且还找到了生成拓扑OP(E，F)的F的最大子集族FOP(E，F)，而使得余下的研究只能围绕着F的哪一类特殊的子集族包含在最大子集族FOP(E，F)中来进行；其次，我们的研究框架具有空前的普遍性，致使历史上的各种Orlicz-Pettis型定理都成为了这个结论的特殊情形，而且许多其它著名的定理也成为它的推论，例如Vitali-Hahn-Saks-Nikodym定理、Graves-Ruess定理和Thomas定理等；另外，同我们所得的最强Orlicz-Pettis拓扑OP(E，F)相比，Tweddle得到的Orlicz-Pettis拓扑τ(E，G”)和Dierolf得到的Orlicz-Pettis拓扑D只是拓扑OP(E，F)在特殊框架下的两个特殊情形，而且τ(E，G”)与D虽然都是局部凸空间中的Orlicz-Pettis拓扑，但是Tweddle和Dierolf都仅仅给出了其拓扑在各自意义下的最强性，而没能够指出E’或G”中的何种子集M使得当∞∑j=1xj子级数弱收敛时，级数∞∑j=1f(xj)关于f∈M一致收敛.事实上，生成Tweddle拓扑和 Dierolf拓扑的子集族都包含在我们的最大子集族FOP(E，F)中.而弄清楚这个最大的子集族不仅有着明显的理论意义，而且还有重要的实际意义，例如在测度系统(∑，ca(∑，G))中，一致地可列可加测度族的全体就相当于是M的全体.这也充分说明了在比线性对偶更加一般的框架下讨论子级数收敛问题的必要性. 其次，在局部凸空间中建立了级数绝对收敛的定义，将原本只在赋范空间中有定义的级数的绝对收敛这一简单概念进行了推广.这使得对级数绝对收敛的研究突破了范数的限制，对级数收敛理论来说具有重大意义.由于在有限维空间中，级数的绝对收敛、无条件收敛、子级数收敛和有界乘数收敛都是等价的，因而只有在无限维空间中去研究它们的关系才是必要的，而且这样的研究也具有十分重要的理论和实际意义，例如，著名的Orlicz定理、Dvoretzky-Rogers定理和Rolewicz-Ryll-Nardzewski定理等就是对这几种级数收敛关系的研究.本文将在局部凸空间中，对级数的绝对收敛与有界乘数收敛的性质及其关系进行深入地探讨与研究，进而得到以下结果：在任意对偶(X，X’)中，存在一个可容许拓扑η(X，X’)使得，在(X，η(X，X’))上，有界乘数收敛级数都是绝对收敛的，但是当可容许拓扑τ严格强于η(X，X’)时，在(X，τ)中，一定存在级数有界乘数收敛，但不是绝对收敛的.这个结果的建立主要借助于李容录的一致收敛引理和Antosik-Mikusinski基本矩阵定理. 另外，在已经对级数的绝对收敛概念进行了推广的基础之上，我们通过对绝对收敛级数的研究，并且借助于李容录的一致收敛引理和Antosik-Mikusinski基本矩阵定理，得到了对偶中的一个关于绝对收敛级数的不变性定理，即当局部凸空间X序列弱完备时，在对偶(X，X’)中，存在一个X上的可容许极拓扑F(C)使得，F(C)与弱拓扑σ(X，X’)具有相同的绝对收敛级数.这个结论在级数收敛理论中具有重要意义.因为作为对偶中的不变性质，子级数收敛、无条件收敛和有界乘数收敛都曾经被人们研究过，但把绝对收敛作为不变性来研究却是首次出现，因而它使得本文具有重要的开创性意义.同时，通过对局部凸空间中的绝对收敛级数与子级数收敛级数的研究，我们在任意对偶中找到了一个可容许极拓扑使得在该拓扑中，子级数收敛级数都是绝对收敛的. 4.期刊论文尤秀英.YIU Xiu-ying在左半平面收敛的Dirichlet级数与随机Dirichlet级数的下级与准确下级-哈尔滨工业大学学报2000,32(1) 对于在左半平面σ<0内收敛的下侧Dirichlet级数所定义的解析函数f1(s)定义了下级;通过引入一个较弱的指数条件,建立了f1(s)的下级存在的充分必要条件;定义了在概率空间(Ω,(A,P))上的下侧随机 Dirichlet级数(σ<0),研究了该级数所定义的随机解析函数f1(s,ω)的下级存在的条件;建立了 f1(s)或 f1(s,ω)在σ<0内的准确下级和下型概念及其与f1(s)或f1(s,ω)的系数及指数之间的关系式. 5.期刊论文尤秀英.YOU Xiu-ying下侧或双侧二重Dirichiet级数收敛性-广东工业大学学报2000,17(4) 定义了双侧与下侧二重的Dirichlet级数；讨论了它们的几对相关收敛横坐标；建立了下侧二重Dirichlet级数的相关一致有界收敛定理；建立了该两类级数的Valiron推广公式及Knopp-Kojima推广公式．拓广了关于单复变数的Dirichlet级数相应结论． 6.学位论文程财生Walsh-Fourier级数收敛性的研究2007 考研高数：幂级数的收敛半径，收敛区 间，收敛域 综合上述，整体法适用于任何级数，而根值法或比值法适用于所有项都可取到或者删掉有限项后的级数。大家做题时，按照级数的类型，选方法之后再计算即可。 凯程考研辅导中心优势 凯程考研辅导中心创办于2005年4月，具有强大高校背景，是中国最早专门从事考研高端辅导的机构之一。并积累了多年的考研辅导经验。 成功学员多 至今已有数千位学员进入全国各大高校研究生院学习，这些同学的名单在网上有据可查。而且从2005年到2010年，据不完全统计，每年凯程考研辅导中心的成功学员人数要比前一年翻一倍，所谓的成功学员，是指通过初试，进入各校复试并最终录取的同学。 师资力量强 首先，所有老师均来自北京各高校的教师，且讲任何课程备课必须超过一个月，那些虽然有名但是准备草草的老师从来不能站在讲台上，这是对老师的硬性要求。 其次，所有老师都必须经过专门的培训与试讲环节且试讲必须得到听课学生90%以上的好评，好评不够马上淘汰。 第三，讲授的内容必须是应试化的，让学生越听越迷糊的老师，也坚决不要。 课程质量高 采取公共课小班授课，专业课一对一辅导的方式，针对不同程度学生的特点及程度差异，因材施教，精讲精练，才能达到理想的效果 服务效果好 服务，是一种理念，更是一种信念。只有经历过考研的人才能够理解考研对于每个人，每个家庭的意义。凯程考研的全部管理人员都有着考研成功的经历，才能够给广大考生提供贴心、贴切的服务，保证考生没有后顾之忧的全力以赴进行备考。. 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有 浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法 摘要 对形如∑∞=o n n n x a （其中s ∈N,t ∈Z ）的幂级数，当其为“特型”时，直 接利用公式R=1 lim +∞→n n n a a （n a 为系数）求其收敛半径和收敛区间；当其为“一般型”时，可通过换元转换为特型求解；若为有缺项时，半径公式已不再适用，要用比值法求收敛域收敛半径。本文先用引理引出其结论，然后讨论不同类型的求解方法，最后将其结论进行推广应用。 关键词 函数项级数； 幂级数 ；收敛半径 ；收敛域 ；比值判别法 1 问题的实际背景 本文对形如∑∞=o n n n x a （其中s ∈N,t ∈Z ）的幂级数进行了研究，这类幂级数在 函数方面非常重要，尤其是求他们的收敛半径和收敛区间，因此如何求解各类幂级数的收敛半径及收敛域，是值得研究的问题。 2 问题的提出 2.1 问题的分析 要求幂级数的收敛半径和收敛域首先要了解幂级数的相关概念，包括幂级数的形式、收敛点、发散点、收敛域等的概念，以及端点处()R x ±=的敛散性。 2.2 问题的重述 幂级数的形式多样，不同类型的幂级数求解方法各异，那么有几种关于幂级数收敛半径和收敛域的求法呢？这些方法又利用了什么原理呢？让我们一起来研究一下。 3 问题的求解 3.1引理：如果幂级数 L a a x a x a x a a x a n n n n n n n n =+++++=+∞→∞=∑1 22100lim ............的系数满足条件 则（1）当0 第十章 函数项级数 一、内容简介 本章主要介绍函数项级数的收敛域和一致收敛性的判别、和函数的性质以及初等函数的幂级数展开。 二、学习要求 1. 了解用多项式来逼近函数的思想； 2. 正确理解函数项级数的收敛域、一致收敛性以及和函数的性质； 3. 掌握函数项级数的一致收敛性的Weierstrass 判别法和A-D 判别法，幂级数的收敛半径及和函数的计算。 三、学习的重点和难点 重点：函数项级数的一致收敛性, 初等函数的幂级数展开; 难点：含参数数项级数的条件收敛性和函数项级数一致收敛性的判别, 四、研究级数的目的 1． 借助级数表示很多有用的非初等函数。 2． 解微分方程。 3． 利用多项式来逼近一般的函数。 4． 实数的近似计算。 §１ 一致收敛性 一．点收敛的收敛域 函数项级数： 1 ()n n u x ∞ =∑． 定义１ 设()n u x (1,2, ,)n =在E 上有定义，0x E ∈．若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛， 则称函数项级数在0x 点收敛，称0x 是 1 ()n n u x ∞=∑的收敛点．收敛点全体D 称为1 ()n n u x ∞ =∑的收 敛域．其和()S x 是定义在D 上的函数称为其和函数． 例：（１） 1 ()1n n x S x x ∞ === -∑ (1,1)x ∈-． （２）1 n p n x n ∞ =∑ 1p > ，收敛域为［－１，１］；01p <≤，收敛域为［－１，１］； 0P ≤，收敛域为（－１，１）． （３） 1sin p n x n ∞ =∑ 0p >时，(,)-∞∞． 例：nx e - 收敛域为(0,)∞． 部分和函数列：{()}n S x ． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上收敛?{()}n S x 在D 上收敛． 二．函数序列的一致收敛性 {()}n S x ．lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈． 00 lim(lim ())lim(lim ())lim ()n n x x n n x x x x S x S x S x →→∞ →∞→→==．即逐项求极限．是否逐项求导，求积分？ 一般否．反例： 例：()n n S x x = 收敛域(1,1]D =- 0(1,1)()11 x S x x ∈-?=? =? ． 1lim ()0x S x - →= 1 lim lim ()lim11n n n x S x - →∞→∞ →==。 例：()0n S x = →．(,)D =-∞+∞ ()0S x = ()n S x nx '==． 例：1!()0n n x S x ∈?=? ? 其他 ． x ＝无理数时，()0n S x =；x ＝有理数 q p 时，n p >时，!q n p 整数，()1n S x =． ()n S x 在任何区间[,]a b 上可积，而()S x 不可积． 定义２ 设lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈．若0,()0.N n N εε?>?>?>及x D ?∈，有： ()()n S x S x ε-<成立，则称在D 上{()}n S x 一致收敛于()S x ，记为()().D n S x S x ? 若级数 1 ()n n u x ∞=∑的部分和函数列在D 上一致收敛于()S x ，则称1 ()n n u x ∞ =∑一致收敛于 ()S x ． 例１：22 ()1n x S x n x =+． 1 ()n n S x ∞ =∑ 0x =时，()00n S x =→；0x ≠时，()0n S x →． 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,, ,N N n N p N ε+?>?∈? >?∈有12n n n p u u u ε++++++< 。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。正项数收敛判别方法
幂级数的收敛域是(
比较几种判定正项级数收敛性的方法
正项级数收敛及其应用公式版
，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
幂级数收敛域是(
级数敛散性判别方法的归纳
任意项级数收敛性判别法
级数敛散性判别方法的归纳
2016考研数学：无穷级数敛散性判断方法
第十章 函数项级数
级数收敛的判别方法
考研高数：幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域
浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法
函数项级数
正项级数敛散性的判别方法