几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用
一、几个重要不等式
以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式
设12,,,n a a a
是非负实数，则12n
a a a n
++
+
≥
2、柯西（Cauchy ）不等式
设,(1,2,
)i i a b R i n ∈=，则2
22111.n n n i i i i i i i a b a b ===??????
≥ ??? ???????
∑∑∑等号成立当且仅当存在
R λ∈，使,1,2,
,.i i b a i n λ==
变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===??? ??≥n i i
n i i n
i i
i b a b a 1
2
112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==
变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===???
??≥n i i
i n
i i n
i i
i b a a b a
12
11。等号成立当且仅当
n b b b === 21
3．排序不等式
设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121?≤?≤≤≤?≤≤是n ,,2,1?的一个排列，则
n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当
n a a a === 21或n b b b === 21。（用调整法证明）. 4．琴生（Jensen ）不等式
若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有
()()()12121
().n
n x x x f f x f x f x n
n
++
+≤
+++????等号当且仅当n x x x === 21时取
得。（用归纳法证明） 二、进一步的结论
运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。 1. 幂均值不等式
设0>>βα，),,2,1(n i R a i =∈+，则
ββ
β
β
β
αα
α
ααM n a a a n a a a M n
n
=???
?
??+++≥???
? ?
?+++=1
211
21 。 证：作变量代换，令i i x a =β
，则β1
i i x a =，则
β
α
β
αβαβα
βα??? ??+++≥???
? ?
?
+++?≥n x x x x x x n M M n n
21211① 0>>βα ，1>∴βα，又函数)1()(>=p x x f p 是()+∞,0上的凸函数，由Jensen 不等式知①式成立。 2.（切比雪夫不等式）
设两个实数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则
()()n n n
i i
n i i n n n b a b a b a n
n
b
n
a b a b a b a n
+++≤
?
≤+++∑∑==- 22111
1
11211
1
等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。 证：由排序不等式有：
n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 221122111121， n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 2211132211121，
……………………………………………………………………………
n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-- 221111211121
以上n 个等式相加即得。
3. 一个基础关系式
y x y x )1(1αααα-+≤-，其中]1,0[,0,∈>αy x
证：若x,y 中有一个为0，则显然成立。
设x,y 均不为零，则原不等式ααα
-+???
? ??≤???? ???1y x y x ，令t y x =，则上式)1(ααα-+≤?t t ，记αααt t t f --+=)1()(，则1)(--='αααt t f ，因此，当1>t 时，
0)(>'t f ，当10≤ 1 x k + 1 x k (kx k－1－kx－k－1 ) = k· x2k－1 x2k + 1 + x, f''(x) = k·1 (x2k + 1 + x)2 ( 2k·x2k－1(x2k + 1 + x)－(x2k－1)((2k + 1)x2k + 1 )) = k (x2k + 1 + x)2 ((2kx4k + 2kx2k)－((2k + 1)x4k－2kx2k－1)) = k (x2k + 1 + 2)2 (－x4k + 4kx2k + 1)… ① 当0 < x≤ 1时，由于k∈N + ，故－x4k + kx2k + 1 = －(x2k－2k)2 + 4k2 + 1 > －(2k)2 + 4k2 + 1 > 0． 故由①知f''(x) > 0 (x∈(0, 1])．故f(x)在(0, 1]上为下凸函数。 由于a i > 0, a1 + a2+ … + a n = 1 (i= 1, 2, …, n)，故a i∈(0, 1]．从而由Jensen不等式有 1 n(f(a1) + f(a2)+ … + f(a n))≥ f(1 n(a1 + a2+ … + a n)) = f( 1 n)， 即f(a1) + f(a2)+ … + f(a n)≥ n f(1 n)． 故ln(a1k + 1 a1k) + ln(a2 k + 1 a2k)+ … + ln(a n k + 1 a n k)≥ n ln(( 1 n) k + 1 (1 n) k )． 即ln(a1k + 1 a1k)(a2 k + 1 a2k)… (a n k + 1 a n k)≥ ln( 1 n k+ n k)n． 从而(a1k + 1 a1k)(a2 k + 1 a2k)… (a n k + 1 a n k)≥ ( 1 n k+ n k)n．证毕． 另证：由H?lder 不等式得 ∏i = 1n (a i k + 1 a i k ) ≥ ((∏i = 1 n a i ) k n + 1(∏i = 1 n a i ) k n ) n ． 又∵ ∏i = 1 n a i ≤ ( ∑i = 1 n a i n ) n = ( 1n ) n < 1，且 f (x ) = x + 1 x 在(0, 1)上单减．∴ ((∏i = 1 n a i ) k n + 1 (∏i = 1 n a i ) k n ) n ≥ ( ( 1n ) n ·k n + 1( 1n ) n · k n ) n = ( 1n k + n k ) n ，得证． 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 伯努利不等式 概念 伯努利不等式： 对任意整数0≥n ，和任意实数1->x ， 有nx x n +≥+1)1(成立； 如果0≥n 是偶数，则不等式对任意实数x 成立。 可以看到在1,0=n ，或0=x 时等号成立； 而对任意正整数2≥n 和任意实数0,1≠-≥x x ，有严格不等式：nx x n +>+1)1(。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 伯努利不等式的一般式为： )1()1)(1()1(2121n n x x x x x x +++≤++++ ，当且仅当n=1时等号成立。 证明 设+∈≥≠->N n x x 2,0,1，则nx x n +≥+1)1(。 证 用数学归纳法证明。 当1=n 时，易知上述不等式成立， 设对1-n ，有：x n x n )1(1)1(1-+≥+-成立，则 []nx x nx nx x n x x n x x n x x x n n +≥-++=-++-+=+-+≥++=+-11)1()1(1) 1()1(1) 1()1()1(2 221 即+∈?N n ，1->x ，有nx x n +≥+1)1(。 推广 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若0≤r 或1≥r ，有rx x r +≥+1)1(； 若10≤≤r ，有rx x r +≤+1)1(。 证 通过微分进行证明。 如果1,0=r ，则结论是显然的。 如果1,0≠r ，作辅助函数)1()1()(rx x x f r +-+=，那么r x r x f r -+?=-1)1()('，则00)('=?=x x f ； 下面分情况讨论： 1. 10< 基本不等式在实际中的应用 1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ） A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ） A ．a v << B ．v C 2a b v +< D ．2 a b v += 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ） A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20 y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式 35(06)814(6)k x x S x x ?++< 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果 设X为一n维赋范空间，其范数定义为, 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤; 2. ||x||p≤||x||1； 3. ||x||q≤||x||p≤，p 从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。所以有，即，令x=b/a，有a p+b p≤(a+b)p，同理，使用归纳法可 证明：|x1|p+|x2|p+…+|x n|p≤(|x1|+|x2|+…+|x n|)p②(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|x n| 也即||x||p≤||x||1成立。 3. 先证||x||q≤||x||p (p 几个重要不等式及其应用 一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式 设12,,,n a a a L 是非负实数，则12n a a a n +++≥L 2、柯西（Cauchy ）不等式 设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则2 22111.n n n i i i i i i i a b a b ===?????? ≥ ??? ??????? ∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使 ,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅰ）：设+ ∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===??? ??≥n i i n i i n i i i b a b a 1 2 112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===??? ??≥n i i i n i i n i i i b a a b a 1 2 11。等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式 设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121?≤?≤≤≤?≤≤是n ,,2,1?的一个排列，则 n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当 n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。（用调整法证明）. 4．琴生（Jensen ）不等式 若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ* ()n N ∈有 ()()()12121 ( ).n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++??? ?L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。（用归纳法证明） 二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到 的效果。 1. 幂均值不等式 设0>>βα，),,2,1(n i R a i Λ=∈+ ，则 幂平均不等式 幂平均定义：如果p 是一个非零实数，我们可以定义正数12,,,n a a a ???指数为p 的幂平均为 1 1212(,,,)()p p p p n p n a a a M a a a n ++???+???=。 同时定义：012120 (,,,)lim (,,,)n p n p M a a a M a a a →???=???= 幂平均不等式： 如果p q <，则1212(,,,)(,,,)p n q n M a a a M a a a ???≤???， 当且仅当12n a a a ==???=时等号成立。 11 1212()()p p p q q q p q n n a a a a a a p q n n ++???+++???+ 2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最 基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带 【最新整理，下载后即可编辑】 用基本不等式解决应用题 例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35 k p x x = ≤≤+， 若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值． 变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩 形区域的总面积．．． 为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值． 17．解：（1）由题设，得 ()9007200822916 S x x x x ?? =--=--+ ???， ()8,450x ∈． ………………………6分 （ 2） 因 为 8450 x <<，所以 72002240x x + =≥， ……………………8分 当且仅当60 x =时等号成 立． ………………………10分 从 而 676S ≤． ………… ……………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 伯努利不等式 数学中的伯努利不等式是说：对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 (1+x)^n≥1+nx 成立； 如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有 严格不等式： (1+x)^n＞1+nx。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 证明 设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx. 证明: 用数学归纳法: 当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有: (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 则 (1+x)^n =(1+x)^(n-1)(1+x) >=[1+(n-1)x](1+x) =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 >=1+nx 就是对一切的自然数,当 x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx 若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx 这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下： 如果r=0，1，则结论是显然的 如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么 f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0; 下面分情况讨论： 1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于? 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。 2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于? 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx 证毕 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 第7课时基本不等式的实际应用 1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题. 3.能利用基本不等式解决实际问题. 今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2. 问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为错误！未找到引用源。dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(错误！未找到引用源。+2)-72=8+2(x+错误！未找到引用源。)≥8+2×2错误！未找到引用源。= . 当且仅当时,取得最小值. 问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤 (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把定为函数; (2)建立相应的,把实际问题抽象为问题; (3)在定义域内,求出函数的; (4)正确写出答案. 问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+错误！未找到引用源。,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+错误！未找到引用源。≥2错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=错误！未找到引用源。. 问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性. 1.在下列不等式的证明过程中,正确的是(). 目录 数学中常用不等式及其应用 (2) 1.前言 (2) 2.研究背景及研究意义 (3) 2.1 不等式研究背景 (3) 2.2 研究意义 (4) 3.高等数学常用不等式举例介绍 (5) 3.1柯西不等式 (5) 3.2拉格朗日中值定理 (5) 3.3均值不等式 (8) 4.数学中不等式的中的应用 (9) 4.1 构造条件不等式对命题进行证明 (9) 4.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明 (12) 5.总结 (15) 参考文献 (17) 数学中常用不等式及其应用 1.前言 正所谓“问渠那得清如许。为有源头活水来”。回顾我国建国近70年的发展历程，我国坚持把国民教育在经济和社会发展中优先发展的战略地位，并制定了优先发展教育和“科教兴国”的重大战略决策，促进教育的改革和发展。我国教育改革始终坚持党对教育的领导和政府对教育的统筹，切实保证“科教兴国”战略和教育优先发展地位的落实。在教育改革中义务教育是提高国民素质和发展教育事业的基础，是社会主义现代化建设的奠基工程，涉及广大人民群众的根本利益。没有一个好的底子，就不能决定以后的参天大树枝叶是否会繁密。中央确定把基础教育作为整个教育工作的重点，把“两基”作为当代教育发展的“重中之重”，这是我国教育发展的一个重要指导思想，是贯彻科教兴国战略的重大措施。自2008年秋季起国家在全国范围实施了义务教育，使许多贫困家庭的孩子都能够享受接受教育的权利。 回顾历史我们可以看到，从提出“两基”，到逐步明确“两基”目标和具体规划，是党和国家根据社会主义经济、政治和社会发展的客观需要，多年酝酿，逐步成熟，并适时做出的慎重决策。作为大学生的我们有责任也有义务为国家教育事业的发展做出自己的贡献，将我们学习到的知识应用到教育中去，而中学教育就是一个很好的切入点。随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，国家开始注重创新教育，指出教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力，为国家培养出适应新世纪发展的一代新人。 不等式是数学基础理论的重要部分。不等式是刻画现实世界和日常生活、生产和科学研究中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量关系和进一步学习数学的必备知识。此外，不等式在高中数学中占有举足轻重的地位，是学习数学及其他学科的基础知识。 泰勒公式在证明不等式中的几个应用 摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用. 关键词：泰勒公式；偏导数；不等式 引言 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有 很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数]31[-.所以泰勒公式能很好的 集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾： 定理1[1] 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0 ' f x 0 (x -x )+ ()0f''x 2! 02 (x -x )+???+ () () n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = () (1) (1)! n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x + ()02! f''2 x +???+ () () 0! n f n n x +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用 不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的内容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。 2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助 基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为: 【知识梳理】 一、基本不等式的应用 基本不等式ab 2b a ,0b ,0a ≥+>>是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。 （一）直接应用基本不等式 直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。 例1. 已知a ，R b ∈，求证：12b a 1b 1a 2 22 2++≤+?+。 （二）间接应用基本不等式 间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。 例2. 设x>0，求证： 231x 22x ≥++。 分析：由题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。 （三）两次应用基本不等式 连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。 例3. 已知a ，+∈R b ，且a+b=1，求b 2a 1+的最小值。 例4. 设a>b>0，求 )b a (b 16a 2-+ 的最小值。 变式题1：若x> -1则x 取什么值时x+11 +x 的值最小？最小值是多少？ 变式题2：x>0时x x 1 2+的最小值为多少？何时取到？ 变式题3：x>0，当x 为何值时，22+=x x y 取到最大值？最大值是多少？ 变式题4：x>-1，当x 为何值时，11 2+++x x x 的值最小？最小值是多少？基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
伯努利不等式
基本不等式在实际中的应用
基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)
几个范数不等式的证明
|≤||x||2||y||2，令x=( |x1|, |x2|,..., |x n|)，y=(1,1, (1) 可得(|x1|+|x2|+…+|x n|)≤(|x1|+| x2|+…+|x n|)1/2n1/2 ||x||1≤成立。 根据Jensen不等式，令α=2，β=1可以证明。 2. 令f(x)= p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况
几个重要不等式及其应用
幂平均不等式
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
用基本不等式解决应用题(精编文档).doc
(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
伯努利不等式
2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用
北师大版数学必修五：《基本不等式的实际应用》导学案(含答案)
数学中常用不等式及其应用
19泰勒公式在证明不等式中的几个应用
基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
基本不等式及其应用